2026高三数学复习讲义：椭圆

8.5椭圆

考试要求

1

1.理解椭圆的定义、几何图形和标准方程.

2.掌握椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、轴长、离心率）.

3.掌握椭圆的简单应用.

「宓备知识

回顾自主学习•基“:回扣

教材回扣

1.椭圆的定义

把平面内与两个定点R,B的距内的和等于常数（大于IRBD的点的轨迹叫做椭圆.这

两个定点叫做椭圆的焦点,两隹点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.

2.椭圆的标准方程和简单几何性质

项目焦点在X轴上焦点在J轴上

在石

标准方程

(a>b>0)(a>b>0)

yA.

_d8.

图形r一

o"；B,wB2X

A

a,b,c

42=—+。2

的关系

—0),Fi(0,—c),

住占八、、

FNc,0)尸2(0,c)

焦距|「周=2c

-aWx，，一bWxWb,

范围

-bWyWb-aWyWa

简

对称性对称轴为坐标轴，对称中心为原点

单

A\(~a,0),/h(0,—a),

几

Ai(a,0),4(0,a).

何顶点

Bi(0,-b),Bd—b,0),

性

82(0，b)0)

质

短轴长忸山2|=2/>,

轴长

长轴长4闽=24

离心率e=C,1）,e越接近1,椭圆越扁平

3.在用椭圆定义时，若用尸2|=2〃，则动点的轨迹不是椭圆，而是连接两定点的线段（包

括端点）；若|乃产2|>2〃,则轨迹不存在.

IET教材拓展

椭圆的焦点三角形

椭圆J_的点尸（X0,/）与两焦点构成的△尸人尸2叫做条点三角形.如图所示，设NF1P尸2

(1)当尸为短轴端点时，〃最大，S4F1PF?最大

(2)|PFj(mux=4+。，\PF)|min=6f—6*.

忸ai+iPF2r(2

(3)|尸尸i"B|W2J=a2.

222

(4)4c=|PFi|4-|PF2|-2|PFJ||PF2|COS0.

（5）焦点三角形的周长为2（a+c）,面积为〃ian；.

基础检测

1.判断（正确的画“J”，错误的画“x”）

（1）设外（-4,0）,后（4,（））为定点，动点M满足|MR|+|M6|=8,则动点M的轨迹是椭

圆.（X）

（2）椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.（V）

（3））：+1=1（〃】#〃）表示焦点在y轴上的椭圆.（X）

（4）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（X）

2.（人教A版选择性必修第一册PIO9Tl改编）若椭圆“+）'=1上一点M到椭圆的一

369

个焦点的距离为5,则点M到另外一个焦点的距离为（B）

解析：由椭圆方程可知/=36,解得〃=6.又椭圆上一点M到两焦点的距离和为2a=12,

所以M到另一个焦点的距离为12—5=7.故选B

3.（人教A版选择性必修第一册P112例4改编）若椭圆的方程为？+尸=1,则该椭圆

的（D）

A.长轴长为2B.短轴长为3

C.焦距为1D.离心率为!

解析：由椭圆的方程'+/=1可知焦点在X轴上，即标=4,方2=3,02=标一〃2=|则

43

。=2,b=3,c=l.所以长轴长为2a=4,短轴长为2b=23,焦距为2c=2,离心率为e=°

a

=1.故选D.

2

4.（人教A版选择性必修第一册Pl16T12改编）若椭圆C：则该椭圆上的点

到焦点距离的最大值为（A）

A.3B.2+3

C.2D.3+1

解析：由题意知。=2,b=3,所以c=l,则椭圆上的点到焦点距离的最大值为4+c

=3.故选A.

快键能力提升互动探究•考点精讲

考点1椭圆的定义及应用

【例1】（I）已知圆C：（工一1）2+产=16,F（—1,0）为圆内一点，将圆折起使得圆周过

点F（如图），然后将纸片展开，得到一条折痕/,这样继续下去将会得到若干折痕，观察这

些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为（A）

【解析】F（-l,0）,C（l,0）,点/关于折痕/的对称点/在圆周上，折痕/为线段

力产的垂直平分线，折痕/与力C相交于点P,如图所示，则有四|=|PF|,可知|PQ+|PC|=|H|

十|Pq=|4C|=4>/q=2,所以点尸的轨迹是以£C为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2。

=4,焦距2c=2,所以点P的轨迹方程为:+；=1,易知除点P外，折痕/上任意一点到£

C两点的距离之和均大于|PQ+|PC|,即除点尸外，折痕/上的其余点均在椭圆：+：=1外，

所以折痕围成轮廓对应的圆锥曲线的方程为炉+产=1.故选A.

43

（2）在平面直角坐标系xQy中，椭圆：；+[=1（心3）与双曲线，一[=1有公共焦点K,Fi.

设P是椭圆与双曲线的一个交点，则的面积是色

【解析】根据对科性，不妨设〃在第一象限.由题设可知|a尸2|2=4(〃2—9)=4(和2+4)

=4/,即〃一力=13,a2—c2=9,c2一加=4.根据椭圆与双曲线的定义得

|PFi|+|PF|=2a,\PF]\=a-\~m,

2在△PFiR中,由余弦定理得cosNaPB=

|PFi|-|PF2|=2m

IPFi^+IP^I2-|FiF2|2_(674~/H)2+(a-4c2_6t2+/w2--2c2_(£72_c2)-(c2-w2)_5

2-\PF}\-\PF^2{a-\-m)(a~m)a2~m2a2~m213

17iii-)

22,z

所以sinZFiPF2=,SAPFIF2=-|PFi|-|PF2|-sinZFIPF2=X(a-/n)X=6.

132213

」规律总结

椭圆定义的应用技巧

（1）椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、

最值和离心率等.

（2）通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.

【对点训练1】（1）（2024•山西太原三模）已知点R,后分别是椭圆C的左、右焦点,

P（4,3）是。上一点，△「月尸2的内切圆的圆心为/（〃】，1），则椭圆。的标准方程是（B）

A.x2+^=lB./+"=]

24272821

C.9+产=]D./+炉=]

52136412

解析：依题意,设椭圆C的方程为工+]：=1（4»>0）,由尸（4,3）在。上，得1?+2=1,

crb-q-Zr

显然△尸EB的内切圆与直线相切，则该圆半径为1,所以S4PEB=；（2a+2c>l=a

十c,X5A^?I^2=1X2CX3=3C,得。=2C,b2=a2~c2=3a2,因此/十3=1,解得标=

24a2a2

28,b2=2\,所以椭圆C的标准方程是y+产=1.故选B.

2821

（2）（2024•广东汕头三模）已知椭圆C：：：+二=1的两个焦点分别为R,后，P是C上

1612

任意一点，则下列说法不正确的是（D）

A.C的离心率为।

2

B.|Pn|的最小值为2

C.|PQ|・|PF2|的最大值为16

D.可能存在点P,使得/产砂尸2=65。

2

解析：M圆C:'+)=1的长半轴长。=4,短半轴长h=23,半焦距c—a—tr=2t

1612

则C的离心率e=c'=l,A正确；由|PFi|+|PF2|=2a,

得a-cW\PF]I&a+C,因此|PQItnin

a2||PE|一|PB||W2g

仅RI+IM2r|2

2

=a-c=2tB正确；2J=a=16,当且仅当|Pp|=|尸产z|=4时取等号,

C正确；当P不在x轴上叶3〃糜=呐川崎一|巾2=(24-(2027=24

2尸臼||尸尸2|2\PF}\\PF2\\PFI\\PF2\

741

一12—1=,当且仅当1PBi=|PB|=4时取等号，当P在x轴上时，cosZFIPF=I,上

1622

述不等式成立，因此最大为60。，D错误.故选D.

考点2椭圆的方程

【例2】(1)与椭圆3.Y+4/=12有相同焦点，且过点(4,0)的椭圆的方程是(C)

A.2=1B.3=1

15141612

22

C.v+(广v=1D.3=1

16151216

【解析】椭圆方程3/+4产=12化为标准形式为*+歹2=1,设要求的椭圆方程为1+

434+x

广=1,2>-3,将(4,0)代入得16=1,解得2=12,所以9+广=1.故选C.

3+24+21615

(2)(2024•江西九江三模)已知椭圆C：：；+\=1(公6>0)的左、右焦点分别为E，户2,

过且倾斜角为7r的直线艾C.于第一象限内一点4若线段4b।的中点在y轴上，△/!为b2的

6

面积为23,则。的方程为(D)

AJ2+^=1B.1+炉=1

C.2=iD.3=1

9396

【解析】如图，为线段的中点，8为线段的中点，・・・OB〃/B,又08_Lx

轴，

・FB_Lx轴.在RtZ\"*/2中，乙妨心二兀，设M6|=/,则|/in|=2/,|BB|=3/.VAJFIF2

6

的面积为23,

.Yx3/X/=23,解得f=2.

2

22

.*.2a=|/4Fi|+|JF2|=3/=6,〃=3,2c=|F|F2|=3/=23,c=3,/>=«-(?=6,则C

的方程为『+产=1.故选D

96

规律总结

根据条件求椭圆方程的常用方法

（1）定义法：根据题目所绐条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义，进而求出椭圆方程.

（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的％.当不知道焦点在哪一个坐标轴

上时，一般可设所求椭圆的方程为〃?/+〃产=［（〃］>0,〃〉o,与椭圆=I(a>b>0)

共焦点的椭圆方程可设为/=15乂>0,m>-b2）；与椭圆£+^=1（心/>0）奉相同

G--rmb2-rma1b~

离心率的椭圆方程可设为0f+'£=以心/以0,；>0).

G1b,b-

【对点训练2］（1）经过两点（2,-2）,卜r］的椭圆的离心率为（B）

1,

A，:B-22

C-/6j

解析：设椭圆方程为〃*+〃产=1（心0,〃>0,m#〃），因为椭圆经过两点（2,—2）,

_1

卜所以4m4-2/i=1,W-8,

/〃,+7〃=1,解得

2"一4’

?7

所以椭圆方程为=1,所以a=22,b=2,c=a2—b2=2,所以e=r==

a222

故选B.

（2）（2024•江西新余模拟）已知焦点在x轴上的椭圆C的左、右焦点分别为Q,B，经

过B的直线/与。交于48两点，若KA^B=T6,行i•赢=9,诈i•应=0,则C的方程

为（A)

A.B.2=]

32

C..；+3D.

解析：如图所示，因为赤।•扇=0,所以加_L8R,则易•尸方=百"=16,ABAF\=AB2

=9,可得|尸制=4,|行|=3,即r冏=4,|彳8|=3,则|力尸］|=/因2+|力4|2=5,由椭圆定义

22

可得4“=MQ|+|Q6|+M6|=12,即“=3,且/26|=24—此阴=2,则内尸2尸|FI5|+|F2^|=

25,即2c=25,可得c=5,h=a2~c2=2,所以桶圆。的方程为“+•广=1.故选A.

94

考点3椭圆的几何性质

命题角度1离心率

【例3】⑴（2024•山东青岛三模）已知椭圆E：=l（a＞Z»0）的左、右焦点分别

为F\,B，左、右顶点分别为4B,焦距为2c,以尸尸2为直径的圆与椭圆上在第一和第三

象限分别交于"，N两点，且MW48=23ac,则椭圆E的离心率为（D）

2

A.B.2

2

3

C.DU

3

【解析】以为直径的圆的方程为＜+产=。2,联立

解得、2=叭。2f2),产?

C2(T

(ac2-b2(ac2—h2

所以认c，JA]C'-J

又力(一出0),B(a,0),

所以血=[c2-h22庐

4〃2M™/心

cJ,嘉=Qa,0),所以就f•诵==23ac,所以4加(/

c

—Z）2）=3c4,所以Acre2—4叭凉—修）=3c4,所以3c'—8a2c2+4/=0,所以3d—8/+4=0,

解得/=2或/=2（舍去）.所以e=6故桶圆后的离心率为6故选口.

333

（2）（2024•河南濮阳模拟）点M是椭圆=1（6工＞0）上的点，以M为圆心的圆与x

轴相切于椭圆的焦点尸，圆历与y轴相交于P,。两点，若是锐角三角形，则椭圆离

心率的取值范围是（D）

5

A.(2-3,1)B.(r-)

C.'I"D.ru7

【解析】连接板,

工必凡轴，可设）・・在椭圆上，，'：+】：=

二圆“与x轴相切于焦点产,Lxy,.M1,

a-lr

乂h2

解得y=±",J圆M的半径为。.

aa

作轴，垂足为N,如图所示.

V\MP\=\MQ\,J4FMN=4NMQ,

'：△PMQ为锐角三角形，・•・NNM0V71,

-4

226-2即椭圆离心

:P>c>,/.ac<a-c<lac,即e<l—e2V2e,<e<5—1,

a2a22

6—25;1]

率的取值范围为2

」规律总结

求椭圆离心率或其范围的常用方法

(1)直接求出。，c♦的值或范围，利用离心率公式e=c求解.

a

(2)由。与力的关系，利用变形公式。=1一号求解.

CT

(3)构造关于mc的齐次方程或不等式，可以不求出小。的具体值，而是得出。与。的

关系，从而求得e的值或范围.

命题角度2与椭圆有关的最值(范围)问题

【例4】(2024•山东潍坊三模)已知E，出分别为椭圆C5+1=1的左、右焦点,

62

点尸(xo,次)在C上，若NBPE大于兀，则xo的取值范围是(D)

A.(—8,—3)U(3,+8)

B.(-3,3)

C.(-8.-5)U(5,+8)

D.(-5,5)

【解析】如图所示，因为椭圆C:%2+>?2=1,所以〃=6,b2=2,所以c2=〃2—y=4,

62

所以H(—2,0),B(2,0),因为点P(xo,次)在。上，所以:+^=1,所以贞=2一1端，-

又一PF?=Q—xo,-所以一

6Wx°W6,PB=(2—xo,—yo),jo),PFiPAnxB+yd—duj^

2,又|P*尸(一2一对2+(一)，0)2=；|xo+3尸；(xo+3),|PB|=(2—.%)2+(一/)2=；|3

-Xo|=因为NEPB大于;，所以万冗而2=1万耳卜|乐|cosNBP尸2Vl)人卜|丽|cos

n

,所以2高一2<2(xo+3>(3—xo)」，解得一5<xo<5,所以XQ的取值范围是(-5,5).故

3332

选D.

y

oj))x

规律总结

与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法

(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.

(2)利用函数，尤其是二次函数.

(3)利用不等式，尤其是基本不等式.

【对点训练3](1)(2024•浙江温州三模)已知乃，出分别是椭圆C：

的左、右焦点，。上两点力，8满足"2=2后瓦cos^AF\B=\则椭圆。的离心率是

(D)

A.3B.7

44

C.2D.5

33

解析：如图所示，由而=2疫可知|疣|=2|疫|,设|用户x,则|万2|=2x,|箫i|=2a

-2x,\BF\\=2a-xt\AB\=3x,则由余弦定理可得(3x)2=(2a-2x)2+Qa-x)2-2(2a-2x)(2a

—x)X±化筒可得2/—3"—9x?=0=(〃-3x)(2。+3x)=0,故a=3x或a=一斗(舍去)，又

52

广_L/orZ7-Ar/^)2+4c2—(2a—2xf,x2+4c2—(2a—x)2_功衿4过

cosZJFzn+cosZ.BFiF\—^,所以+=0,化向可得

22x-2c2x2c

3c2+4av—3tz2=0=>3c24-4<z-—3a2=0=>9c2=5a2,故3c=5a=>e='.故选D.

33

(2)设石,乃分别为椭圆C：f+£=](0VzMv])的上、下焦点，若在椭圆C上存在一点P,

nr

4更PFi_LPFa，则丈数小的取值范围是(C)

解析：如图所示，由椭圆的性质知，当尸在椭圆左、右顶点时NQ尸B最大，J梢圆。

上存在一点P使Pa_LAB,只需尸在椭圆左、右顶点时NBP尸2290°,此时，cosNRPB

=:《0,即。2忘2口又〃=］,°2=］一62,—阳2）,解得一又

2/22

7

0<w<l,・•・()<"W故选C.

2

［高考创新方向

O

【例】已知由椭圆G：5+）：=1（。＞护1）与椭圆。2：/+»：=1的交点连线可构成矩形

中b-中

9

力BCD（点力，8在x轴下方），且8c=38,则〃+」的最小值为（D）

a1

A.22B.3

2

【解析】如图所示，根据椭圆的对称性及8c=3CZ）可得直线4c的方程为y=3x,

可得则＞4»以抖＞"+一一*2

9即b=6时等号成立，则/＞2+2的最小值为”.故选D.

4A22a24

创新解读

本题将解析几何与基本不等式结合，题目新颖，需要充分挖掘几何关系并转化为直线方

程才能顺利做出题目，充分体现了解析几何“先用几何眼光观察，再用代数方法解决”的学

科思想，与新高考倡导的“鼓励学生多角度主动思考、深入探究”的思想不谋而合.

课时作业57

窠基础巩固.

1.（5分）（2024•湖北荆州三模）已知椭圆C：5+丫=1的一个焦点为（（），2）,贝〃的值

8k

为（D）

A.4B.8

C.10D.12

解析：由题意，得^=4,a2=k,82=8,所以片=4+8=12.故选D.

2.（5分）（2024•广西南宁二模）已知E，八分别是椭圆M：、+产=1的左、右焦点，

165

P为M上一点,若|PQ|=3,贝山尸产2|=（C）

A.2B.3

C.5D.6

解析：由椭圆〃：1+F=1,可得/=]6,所以。=4,因为a,B分别是椭圆M的左、

165

右焦点，尸为“上一点，所以|PR|+|P广2尸2。=8,又/臼|=3,所以俨产2|=5.故选C.

3.（5分）（2024•浙江绍兴二模）已知椭圆工+，=1（49>0）的离心率为I长轴长为4,

则该椭圆的短轴长为（B）

A.3B.23

C.43D.63

解析：由°।可得a2=4c'=4（a2—〃）（*）,因为2a=4,所以4=2,代入（*）解得力=3,

a2

故短轴长为劫=23.故选B.

4.（5分）已知方程,+V=1表示的曲线是椭圆，则实数4的取值范围是（D）

4—48—k

A.（4,6）B.（6,8）

C.（4,8）D.（4,6）U（6,8）

、、心一4>0,

解析：因为方程片+-r=1表示的曲线是椭圆，所以d—QO解得4<K8

%—48—k

k-4乎8—k,

且A-W6,所以实数片的取值范围是（4,6）U（6,8）.故选D.

2

5.（5分）（2024•河北保定二模）已知椭圆C：:+二=1（公4>（））的左、右焦点分别为B，

中lr

（_i5n

F2,2'2j在椭圆。上，旦力尸」/尸2，则椭圆c的长轴长为（B）

A.5B.25

C.5或3D.25或23

1f-1512Pl2

解析：由。为坐标原点，得|0川=尸产水所以c=[04|=I2）+l2j

2

=2,把〃=加一4及力[一2,2）代入工+＞：=1,得9+1=1,解得4=3（含去）

crb24tr4（。——4）

或凉=5,所以4=5,楠圆。的长轴长为25.故选B.

6.（5分）（2024•江苏南京二模）设H，B分别为椭圆曰5+廿=1（。乂＞0）的左、右焦

u1lr

点，P为椭圆上一点，直线EP与以B为圆心，O后为半径的圆切于点0（O为坐标原点）,

且尸垣=3前，则椭圆E的离心率为（B）

A.3B.3

23

C.1D.1

23

解析：如图所示，由题意，得|BB|=2c,因为直线尸仍与以B为圆心，OB为半径的圆

相切，所以NB0£=9（）。，尸2。|=*因此由勾股定理可知|尸|0|=4c2-c2=3c,又Q0=

3QP,所以|。尸|=；c,因此|QP|=3c+33c=\3,在RtZXPQ乃中，由勾股定理可得|尸三|

=\2+C2=2^C,根据椭圆定义，得|丹川+|尸产2|=2e＞\3c+233c.=2〃ne=c=故选

B.

7.（5分）（2024•重庆模拟）已知*,B分别是椭圆C：；+[=1的左、右焦点，点尸

在。上，旦线段PE的中点在以为直径的圆上，则APBE的面积为（C）

C.15D.8

解析：如图所示，设的中点为M,由题意得|PB|=2|OM=2c=4,于是|产月|=24—

，

2c=2,又//2|=2e=4,则为等腰三角形，SAPF]F2=X2X16~1=15.故选C.

2

8.（5分）已知椭圆C：：+,=1（心〃>°）的离心率为;，下顶点为&点M为C上的

任意一点，则|M切的最大值是（A）

A.°32bB.2b

2

C.3bD.2b

解析：由椭圆。的离心率e=6,可得a=3b,所以椭圆的方程为E+'：=l,设M（xo,

33b-b~

次），则R+R=l，可得埼=3〃-3环，又由点8（0,-b）,可得|M8|2=x8+o,o+份2=3护一3脚

3n-b-

+（>0+力2=—2卜—2）2+9；,因为一bWyoWb,所以|MB|禧=9；,所以幽皿=3故选

A.

9.（7分）（多选）（2Q24•辽宁沈阳三模）设椭圆C：“'+/=1的左、右焦点分别为Q,

2516

F?,尸是C上的动点，则下列说法正确的是（ACD）

A.|尸产i|的最大值为8

B.椭圆。的离心率。=：

C.△尸尸尸2囿积的最大值为12

D.以线段F\F?为直径的圆与圆（x—4）2+0，—3尸=4相切

解析：椭圆C:f+y=i的长半轴长4=5,短半轴长b=4,则半焦距。=/一出=3,

2516

|PQ|的最大值为a+c=8,A正确；椭圆。的离心率e='=3,B错误：设点P（xo,vo）,则脑|max

a5

=4,而回尸d=2c=6,因此△P*尸2面积的最大值等于:><6X4=12,C正确：以线段

2

为直径的圆为/+/=9,圆心0（0,0）,半径门=3,圆（x—4）2+&-3）2=4的圆心M（4,3）,

半径/2=2,%/|=5=门+r2,则圆O与圆例外切，D正确.故选ACD.

10.（7分）（多选）（2024•河南开封三模）椭圆C：：：+汇=1（〃》0）的两个焦点为凡，

〃厂+1nr

F2,上顶点为4直线4Q与。的另一个交点为反若，则（ABD）

A.C的焦距为2

B.C的短轴长为23

c0的离心率为；

D.△力夕产2的周长为8

解析：不妨令B分别为椭圆C的左、右焦点，如图所示，由于/乃力尸2=几，所以

3

NFi"=，故cosN"O=cos7c=I""="="={因此'J2J=

1

66\AF}\。2+〃〃2a

了,故"r=3,所以椭圆C:x2+y2=l,a=2,b=3,c=l,焦距为2c=2,A正确：

〃广+143

箱轴长为2b=23,B正确：离心率为o=c、=l,C错误：△/«凡的周长为4a=g,D近瑜.故

a2

选ABD.

11.（7分）（多选）（2024•安徽合肥一模）已知椭圆C："=1的左、右顶点分别为4

B,左焦点为RM为C上异于力，5的一点，过点〃且垂直于x轴的直线与C的另一个交

点为N,交x轴于点丁，则（BCD）

A.存在点也，使NXM8=120。

B.TATB=2TMTN

C.EM/N的最小值为一;

D.周长的最大值为8

解析：设椭圆的上顶点为E,如图所示，则直角三角形8OE中,

tan^OEB=a=2=2<3,得NOEB?,则N4MBW//仍/兀，故A错误；设M（/〃，

b233

2'>

〃），则7（m，0）,N（m,一〃），且;—+；=1,即4一加=2卮又力（一2,0）,8（2,0）,则璘布

=（一2一m，0）（2—〃?，（））=一（2+〃?）（2—⑼=一（4一〃?2）=—2〃2,又2施禾=一2层，故万,莎

=2游•禾，故B正确；F（-2,0）,FMFN=（〃】+2,〃）•（w+2,一〃）=5+2）

2

2—“2=（,„+2）2_4一加=3/+22加=3卜+3I2-’，一2VzM<2,则当小=一？Bf,

22233

丽・丽取得最小值一4故C正确；

3

设椭圆的右焦点为广，如图所示,

工FMN的周长为\MF\+\NF\+\MN\=4一|MF*|+4一|W|+\MN\=8一（|M/1+|八厅|一

|MN|）W8,当且仅当M,N,k三点共线时，等号成立，故D正确.故选BCD.

12.（6分）（2024•广东江门二模）已知圆儿（》+1>+产=1内切于圆P,圆。内切于圆

B：（x-l）2+/=49,则动圆P的圆心的轨迹方程为千土汩.

9o

解析：设圆尸的半径为凡则|以|=弥一1,|尸8|=7—R,则以|+甲8|=6>|48|=2,所以

点尸的航迹为以力，〃为焦点，长轴长为6的椭圆，则a=3,c=l,所以Z?2=a2—c2=g,所

以动圆尸的圆心的轨迹方程为*+】*=1.

98

13.（6分）（2024•陕西西安二模）若P为椭圆C："+^=1上一点，Fi，产2为C的两

1216

个焦点,且|尸/针一『尸我=16,则|尸尸i|=3

解析：对于椭圆C：£+产=1,标=]6,所以。=4,所以|PPI|+|PB|=24=8①，又/人『

1216

一|力寸=16,即（|PE|+|PE2|）・（|PE|-|PB|）=16,所以I尸FI|一|PB|=2②，由①②解得|PQ|=

5.

14.（6分）（2024•山东济南三•模）己知Q,尸2分别是椭圆£十丫=13乂>0）的左、右焦

a-b-

点，点P为椭圆上一点，。为坐标原点，△POB为正三角形，则该椭圆的离心率为匕L.

解析：依题意|PO|=|P"2|=|Op2|=e,不妨设点。在第一象限，则点叱'2J,易知|PQ|

pchr3巾

[2J+12J=3c由椭圆的定义知|PQ|+|P尸2|=2%所以3c+c=2a,所以e=，'=

是素养提升■

15.（7分）已知。是椭圆M：：+，=1（0幼<3）上的动点，若动点。到定点尸（2,0）的

距离|尸。|的最小值为1,则椭圆切的离心率的取值范围是（D）

2.11fo,6

C.|_2JD.I3」

解析：由题意可设。(女osO,bsin0),0,j\PQ^—(3cos0-2)2+A2sin2^=(3cos/9—2)24-h2(