2025-2026学年高二数学下学期第一次月考（人教A版选择性必修第二册全部数列+导数高效培优强化卷）（全解全析）

高二数学下学期第一次月考卷（人教A版）

强化卷-全解全析

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如雷改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版选择性必修第二册全部。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若在等差数列｛4｝中，q+%+/=21，a+%+4=39.则｛%｝的公差为（）

A.1B.2C.3D.6

【答案】B

（36+3d=21[a=5

【详解】因为……=21必—9,所以M+W=39,解得d=2

故选：B

2.已知数列｛%｝满足q=1,若一^一L=4"（〃WN）,则叫5=（

)

A,吐4

B.

33,5-1

【答案】C

11

【详解】由题知,4",且q=1,y=1,

叫，

所以4=六，当〃=1时同样满足,

4—1

所以％=高・

故选:C

3.若/(c')=x+l,则函数/(x)的图象在点(L/⑴)处的切线方程为()

A.y=sB.,v=ev+lC.y=xD.y=x+\

【答案】c

【详解】设f=e*(f>0),则x=ln/,所以/⑺=lnr+l,即/(x)=lnx+l,

所以/(1)=1.又八x)=L所以/⑴二1,

X

则函数f(x)的图象在点(1,/(1))处的切线方程为尸1=X-1,即….

故选:C.

4.在等比数列｛%｝中，6，《0是方程,/+6工+2=0的两个实数根，则6的值为()

A.2B.—2C.y/2,D.—y/2,

【答案】D

【详解】设等比数列｛«”｝的公比为的<7*0,

因为4，即)是方程/+6x+2=0的两个实数根，

所以&回0=2，且。6+"=-6，所以《<°，4o<°，

又数列｛%｝为等比数列，所以由等比数列性质可得d二44。，所以4=-疯=

故选：D.

5.在正项等比数列｛4｝中，/4/=512,%=64,若当xwN时，24-8〃-/20恒成立，则实数/的取值

范围为()

A.(一8,16]B.(-oo,-16]C.(F-20]D.(一8,20]

【答案】B

【详解】设等比数列｛%｝公比为9,•.・%%%=4=512,/.%=8.

n

<%=%/=64,=8,解得<7=2,/.an=a^~*=2"、

由2a“一8〃一，N0得，K2an—8〃,即f<2"—8〃.

记b„=2”-8〃，则&=2"，J即-8-(2"-8〃)=2”-8,

当界>3时,bn+i>bn,〃<3时，"+i<”,

因此…“>b5>b4=b3<b2<b}

故A=4时，。，取到得最小值是一16..」工-16,即实数，的取值范围为(TO,-16],

故选:B.

6.已知函数/(x)的定义域为R,且/(》)的图象是一条连续不断的曲线，/(x)的导函数为了'(X),若函数

g(x)=(x+2)/”(x)的图象如图所示，则()

A./(X)的单调递减区间是(-空0)

B./(X)的单调递增区间是(fl),(2,+。)

C.当工=2时，/")有极值

D.当x=l时，/'(切<0

【答案】A

【详解】根据图象可知当x<-2时,g(x)=(x+2)/(x)>0,可得解(x)<0；

当-2<x<()时，g(x)=(x+2)./"(x)<0,可得/'(x)<0；

结合/(x)的图象是一条连续不断的曲线,可知xe(-%。)时，“X)单调递减;

当工20时,g(x)=(x+2)r(x)N0,仅当x=0,2时取等号,可得/心)20,

对于AB,4《(y,0)时,/(x)单调递减，当工£((),+8)时，r(x)>0,此时/(“单调递增,

因此〃力的单调递减区间是(-8,o)j(x)的单调递增区间是(0,+8),即A正确，B错误;

对于C,易知当0<xv2时，/。)>0,当x>2时，r(x)>0,

即在x=2处左右函数/(x)的单调性不改变，因此C错误;

对于D,因为0<xv2时,g(x)=(x+2)/<x)>0,由x+2>0,可得/'(x)>0,

因此/即D错误.

故选:A.

7.已知函数/(力的导函数/'(X)满足:对任意的xeR都有x>/'(x),若/(l+A)-/(l-k)W2Z,则实数

上的取值范围是()

1

A.(-℃,0]B.faC.D.[0,+oo)

【答案】D

【详解】令g(x)=/(x)-gx2,则g'(x)=/'(x)—x,因为对任意的xeR都有

所以g[x)<0,所以g(x)在R上单调递减,

不等式〃1+肚)一/(1一£)《22等价于/(1+&)*(1+右在/(1-左)-；(1—4)2,

即g(l+k)Wg(l-A),所以1+—%,解得攵20,

故选：D.

8.下列命题错误的个数是()

①用数学归纳法证明2”时，正整数〃的第一个取值是1.

I11+…+(之共由〃=左到〃=k+l时，不等式左边应添

②用数学归纳法证明--------1----------F------

/2+1〃+2〃+3

11

加的项是---------1----------

2kI12kI2

③设/'(X)是定义在正整数集上的函数，且/。)满足：“当成立时，总可推出/优+1)之(〃+1)2成

立"，若/⑺<49成立，则当AN8时，均有〃女)<公成立.

④对于不等式工?</7+1(/7wN+),用数学归纳法的证明过程如下:

(1)当〃=1时，左边="77,右边=1+1，不等式成立.

(2)假设当〃〃(左N1且左eN.)时，不等式成立，即“2+攵〈2+1，

那么当"=%+1时,

J(hl)，(k+l)=J〃2+3k+2＜小(/+3"+2)+4+2=J(A+2)2=(左+1)+1,

所以当〃=攵+1时，不等式成立.

综上+〃＜〃+1(〃£«).

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【详解】对于①，〃=1时，2、尸成立，而〃=2时,喜=.不满足题意，

根据数学归纳法证明的要求可知，正整数〃的第一个取值不是1，故①错误：

对于②，当〃=k时，左边的代数式为丁二十丁=+丁二+…+二，

当。="+1时，左边的代数式为l二+厂3+…+13+4，

A^+l+lR+1+2〃+l+A2k+2

故用〃=k+1时左边的代数式减去〃=k时左边的代数式的结果为：

k+\+k+2k+2~~kH=2k+\~2k+2*故②错误；

对于③，由题意，/⑺＜49无法推出时，均有〃〃)＜公成立，故③错误：

对干④，在〃=太+1时，没有用到〃=上的假设结论，故④错误.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数=则下列说法正确的是()

(1、

A.时，ha-+-＞h(a)B.〃(一2)是〃(x)的最大值

\4，

C.〃⑴是“X)的最小值D.-1＜小＜0时，〃(x)有三个零点

【答案】AC

【详解】由题设力'(》)=，+公2e=(》+2)(4-1把',

当iv—2或工＞1,则〃(x)＞0,当―2*],贝

所以“x)在(-oo,-2)、(1,+8)上单调递增，在(-2.1)上单调递减,

当］fy时/?(x)->-m,x-4+oo时〃(x)—+oo,—)2=乂一机，6(1)=-e-〃？，

e*

所以，在区间(YO,-2)上值域为(-叫导-⑼，在区间(-2,1)上值域为(-c-矶斗-加)，在区间(1,+8)上值域

e-e一

为(-e一九+00),

所以〃(工)有最小值Ml)=-c-〃?，无最大值，B错，C对，

当则/贝沙卜।：)>/?(〃)，A对，

当-1<机<0时，区间(-8,—2)上方(、)>0,即该区间上力(%)无零点，

且力(-2)>0>〃⑴，则力(x)在(-2,1)、(1,+8)各有一个零点,

所以此时力(x)共有2个零点，D借.

故选：AC

10.已知数列仇｝是等差数列,但｝是等比数列，且满足%+%=14,4-%=4；"=%，“=%，则下列说法

正确的是()

A.等差数列｛%｝的公差d=2

B.等差数列｛4｝的通项公式为。“=2〃+1

C.等比数列也｝的公比。=土石

D.等比数列也｝的前4项和为40或-20

【答案】AB

+4=。［+(6+44)=2。］+4d=14(a,=3

【详解】由题意可知'5；/',，解得］,，故A正确；

［g—%=(%+3d)-(q+")=2"=4［d=2

通项公式为4=4+(〃-1”=3+2(〃-1)=2〃+1,故B正确：

.•」"=%=：又因为"=6均。即13=5八，1=±叵，C选项错误；

也=4=於-5

,.他=*==4P=5q,设Sn为数歹ij｛4｝的前〃项和，

5(I

/.S4=bi+b-,+b3+b4=一■F5+5g+13=5q+—+18,

q\

118

武厂一后+18W-20,故D错误.

故选：AB.

11.对于三次函数/("=渥+加+s+d(awO),给出定义：/'")是函数y=/(x)的导数，/(%)是函数

/”)的导数，若方程/"(力=0有实数解%,则称(.%,/(%))为函数y=〃x)的“拐点”.某同学经探究发现:

任何一个三次函数都有“拐点''；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数

249

/(X-)=^X3-.X2-12X+-^,则下列说法正确的是()

36

1?7

A./(》)的极大值点为一

6

B./(力有且仅有3个零点

C.点2)是函数/(x)的对称中心

D.募M康卜/(盛卜…《黑)=4048

【答案】BCD

【详解】A选项，由函数/(x)=&3-x2_]2x+当，可得_/"(x)=2x、2x—12=2(x-3)(x+2),

36

令r(x)>0,解得x<—2或x>3；令/'(x)<0,解得—2<x<3,

所以函数/(力在(-8,-2)上单调递增，在(-2,3)上单调递减，在(3,+8)单调递增，

117

当1=-2时，/(力取得极大值，极大值为/(-2)=丁，所以极大值点为-2,故A错误;

6

B选项，由A知，当x=3时，/(x)取得极小值，

极小值/(3)=189—36+?=-1产<0,且当Xi-时，

66

1

当…内时，/(x)f+3,/(-2)=q->0,所以函数/'(X)有3个零点，故B正确；

C选项,由/'(力=2/-2x72,可得/"(x)=4x-2,

令(可得乂由£1149

(x)=0,x=\,-12x1+—=2

\乙)<226

1

所以点-，2I勺对称中心，故C正确:

\/

D选项，因为I勺对称中心，所以/(x)+/'("x)=4,

1'2、3、‘2024

令S=/+/

2025<2025>2025;<2025

2024、2023f2022

可得S=/+/+/

2025>2025<20252025

20242、20232022

所以2S=/+f+/+f

卜(志20252025>202520252025

+•••+/+f4x2024,

<2025,

3

所以S=4048,即/=4048,所以D正确.

,2025M募M12025J

故选：BCD.

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.己知/(x)=xe、+L+金，g(x'|=-x-2x-l+iz,若存在.±eR,x2G(-1,-KO),使得/(占)<g%?)成立,

c

则实数。的取值范围是.

【答案】(金,+8)

【详解】依题意，r(x)=Cv+l)e\

由/'(x)<0,得X<-1,所以/(”在(-8,-1)是单调递减；

由广(戈)>()，得X>—1,所以/(工)在(7,+8)是单调递增；

所以当x=-l时，/(X)取得极小值/(—1)=—eT+L』=e2,跳最小值：

C

因为函数g(x)=rJ2x-l+a在(-1,+句上单调递减，所以g(1)<g(-1)=。：

因为存在X[€R,x2e(-l,+oo),使得/(xjvg(x2)成立,

所以原命题等价于存在凡«-1，+力)，/(再)*<g(#2)，

2

即存在w(T,+e),g(x2)>e,又g(s)<a，所以心ez.

故答案为：仁2,+少).

13.已知数列｛叫通项公式。3'〃器，则数列｛叫的前9项和为.

N，**zJIP3at

【答案】205

...⑵【-3,〃为奇数

【详解】为偶数，

•••数列｛q｝的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列.

则的〃_1=2(2〃-1)-3二4〃-5,%.=22M=gx4".

贝IJ数歹1」｛4｝的前9项和(《+%+-+%)+(2+(+-+4)

=型四+型心=35+加2。5・

24-1

故答案为：205.

14.设定义在。上的函数y=M”在点。(为,〃(.％))处的切线方程为/：V=g(x),当X。天时,若

幺与⑴>0在。内恒成立，则称P点为函数了=岫)的“类对称中心点“，则函数/")二鸟+21g的“类

X-XQe

对称中心点''的坐标是.

【答案】(e,3)

【详解】设“类对称中心”的坐标为(・%，/(%))，

2

由〃x)=「+21nx,x>0,

e-

z,、2x2

得/(Xo)=Tv+21nx0,/'。)=二+1

eeA

则切线斜率为/'(Xo)=争+j，

eAn

切线方程为J-^-+21nx0=^y-+—(x-x0),

(e-Jiexj

即y=g(力=坐+—(x-x0)+^-+21nx0,

iexn)e

设尸(x)=/(x)-g(x)=*+21nx-+(x-x0)+-^-+21nx0

ee-xje-

则尸(%)=0,

尸'(x)=/'(x)-g'(x)=12/1+3=生四+生口1=2(；1f

e-xIc-xje-%rx(e~.%

令尸(x)=0,解得$=."或X2=一,

%

(

当O<Xo<e时，x]<x2,F(x)在x0,上单调递减,

(C2],、、、

即当xeXQ,——,F(x)=f(x)-g(x)<F(x0)=0,

\xoJ

即"g(")<0,

・1/

当%＞e时，X]＞x2,"（x）在（£,.%上单调递减,

即当xeJ,与]时，F(x)=/(x)-g(x)>F(x0)=0,

\xo)

即"g（"）＜0,

所以/（X）在（0，e）U（e,+oo）上无“类对称中心”点;

2(xII

当％=e时,F(x)=-(x-x0)---NO恒成立,尸(力在(0,+8)上单调递增,

xkexoJ

即当x＞Xo时，F（x）=/（x）-g（x）＞F（xo）=O,/（止g（x）＞0,

AX。

当工＜x°时，F（x）=/（x）-g（x）＜F（xo）=0,f（x）_g（"＞（）,

x-Xo

此时函数/（X）有“类对称中心”点,为（e/（e））,

即(e,3),

故答案为：（e,3）.

四,解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

已知函数/(x)=2.?-3ar2,g(x)=x2+7x+6.

⑴若函数/(x)是定义在(7,1)上的奇函数，解关于X的不等式“2x-l)+/(x-l)«0；

⑵若函数/W的图象关于点(1,/(1))对称，求〃的值；

⑶若曲线)，=/(》)在点(T/(T))处的切线也是曲线y=g(x)的切线，求〃的值.

(2~

【答案】(1)o,-.

\

(2"=2

la=±4

【详解】(1)f(x)=2x3-3ax2是定义在(-1/)上的奇函数，

所以/(T)=-/(x)对xe(-l,l)均成立，

即2(—x丫-3«(-x)2=—2/+3ad对x£(-1,1)均成立，

即6ad=()对xc(-1,1)均成立，所以a=0.

所以/(x)=2/,/(》)在上单调递增，

E|3/(2X-1)+/(X-1)<0,可得/(2X7)—)=

2x-l<-x+l

2

所以-解得0<戈巧，

-1<x-l<1

(21

所以不等式/(2x-l)+/(Al)W0的解集为0,-；

(2)因为/")的图象关于点(1J0))对称，所以/(27)+/(》)=2/⑴，

所以2(2—X)3—3”(2—X『+2/一%./=2[2*13-34.12]对1¥£1<恒成立，

所以2(2x)33a(2x)2l2x33ax2=2[2xl33a]

所以(12-6a)x?+(-24+12a)x+(16-12a)=4-6tz,

12-6«=0

所以一24+12a=0,解得。=2,所以a的值为2；

16—12a=4-6a

(3)因为/(x)=2F—3ad,所以/'(x)=6/—6ax,所以/'(-1)=6+6%

又/(—1)=一2—3%所以/(%)在x=-l处的切线方程为y+2+3a=(6+6o)(x+l),即切线方程:

y=(6a+6)x+(4+3。)，

因为曲线y=/(x)在点(T/(T))处的切线也是曲线y=g(#的切线，

所以Y+7x+6=(6a+6)x+(4+3a)有唯一解，

即i+(l-6a)x+(2-3a)=0有唯一解，

所以A=(l—6〃『—4(2—3a)=0,所以a=±立，

6

所以。的值土也.

6

16.(15分)

在等差数列｛〃"｝中，《=22,%为由与%+1的等差中项.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(2)记数列｛4｝的前〃项和为S”，判断23是不是数列亍的项，若是，是第几项若不是，请说明理由;

(3)若求数列也｝的前〃项和小

【答案】⑴为=23-〃

(2)23不是［手，的项，理由见解析

---/22+-n,n<23

22

⑶厂1,45

—n'---n+506,n>24

122

【详解】(1)设卜/“｝的公差为小则%=22+(〃-1”，

所以％=22+4d,a2=22+</,%=22+8d,

因为％为生与。9+1的等差中项，所以2(22+4d)=22+d+22+8d+l,

解得4=-1,所以％,=23-〃.

(2)由(1)知1,所以2=叫+%二。"=22”吐L竺匕厂

"1222

所以2g，

n2

令一^—=23,解得〃=-1.

因为"是正整数，所以23不是」的项.

?!

(3)由(1)知"=|23

当〃W23时，an>Otb„=an.当心24时,%<0,bn=-ant

所以当〃K23时，7；=S”J5…2,

fifi2

当24时，T”=%+a2+--+a2y-au----%

=2(a,+fl2+.--+a23)-(a,+«,+-••+«„)

45〃一/厂145

=-S„=506--------=—n2----n+506.

“"222

45

--n2■!---〃,〃<23

22

所以q=<I45

—n2---n+506,n>24

122

17.(15分)

OV

已知函数/(x)=ln(x+l)-1工(a>0).

(1)当"=3时，求曲线y=/(x)在点(OJ(O))处的切线方程:

(2)若/(x)在［0,+8)上单调递增，求。的取值范围；

(3)若/(X)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求。的取值范围.

【答案】(1)尸$

⑵|2,+句

(3)[0』).

【详解】(1)由/(x)=ln(x+l)-工=ln(x+l)—2+-^-,

x+ax+a

得/")=士-高，

当a=3时，/'⑼=1一5=；,/⑼=0,

所以曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y-0=；(x-0),即y=3.

（2）因为/（X）在［0,+8）上单调递增，所以心£［0,+8）/（力".

j、12ax2+a2-2a、八

由（1）知/（'）=-----------五=;-由---32。，

x+\（x+a）（x+l）（x+a）

因为x+l>0,（x+a）2>0,J9ry,x2+672-2tz>0,即/一2"之一/在［0,+8）上恒成立，

所以/-2。之0，又。>0,所以。22,

即”的取值范围为［2,xo）.

⑶①当“22时，/'（x）20在（-1,+8）上恒成立，所以/（x）在（-1,内）上单调递增,

所以/W不存在极值，不合题意；

V*—1V—1

②当。=1时，/'（、）=仆+1）（1+］）2=不文所以当T<x<l时，/（“）<°：当X>1时，/'3>°，所

以/（X）在上单调递减,在（I，+8）上单调递增，

所以/"）无极大值，不合题意；

③当1<〃<2时，/卜）的定义域为（T+3）,2a-/w（01），

令r（x）=0,得X］=-4-/,/二也”/,当xw（-l,xjU（x”+8）时，r（x）>0,当时，

rw<o,所以/（力在（-口）网,2）上单调递增,在（再用）上单调递减，

所以/（工）的极大值为/（2），极小值为/（占），且/。）>/（马），不合题意；

。当0<4<1时,/（X）的定义域为（一1,一。）5一“，+8），2。一。2€（（）」），且，2叱°2,

1

令r（x）=。，得X［=-y/2a-a~,x2=yjla-a，且-1<*<一〃,

当xe（TxJ时,ff（x）>0-当工«演,一々）时，/，（x）vO；当工«-々,七）时，/'（x）v0；

当ie(.%+<»)时，/'(x)>0,

所以/（“在（-l,xj上单调递增，在（和-a）上单调递减，在（-。、々）上单调递减，在（和+8）上单调递增,

所以/（n）的极大值为/（$），极小值为/（0），且/（%）=皿3+1）-2+一二一,

.X।।C1

2a

/(x2)=ln(x2+l)-2+

x2+a

二］］产+32a(白一2)

/(Xl)-/(X2)=ln(^l+1)-,n(X2+I)+

x2+1(X)+t/)(x2+a)'

因为七<一。<々,所以In士］<02"（：2'J<0,所以/（石）一，

x2+1（内+4）（与+4）

即/（占）</（占），符合题意.

综上所述，。的取值范围为（0,1）.

18.（17分）

在数列｛叫中，％=［，4%+［=3%-g.

（I）求｛4｝的通项公式；

⑵求数列｛|*｝的前〃项和S”.

(3)证明：1++++…+〃之2且〃£'+.

2-23-24-2n-22

【答案】⑴/=0)1一(；

11

8+20X(3"+〃-40X(2)6

-------------------^-、〃>7

5

Q)S.=〈

20-20x(3)”-〃

---------------.n<6

5

⑶证明见解析.

【详解】（1）在数列｛%｝中，q=g,4q,“=3（—则4+广|4一点，

即%+1+：=］（？+：），而q+：=l,

因此数列0+3是首项为1,公比为I的等比数列，%+;二（｝"“，

所以｛4｝的通项公式为%=g）"T-g.

⑵由（1）得叫尸一方=（'-（［严=［•（］严<（）,

4,454444

即爆.<%，则｛牝｝为单调递减数列，而4=（/一（="^一（>0，

317291

%二（了）6-一1<0,即当〃<7时，an>0■当〃之7时，an<0,

4540965

记｛/｝的前〃项和为4,则北=3-!〃=4-4x(：)”-3〃

I--

4

3

、忆/人..i.20—20x(一)#—n

当〃W6时，__4

Jcn_1T_----------------------

“nM5

当界27时,S”=q+〃2+…+4一。7----=24一看

4424

40-40X(-)6-1220-20x(-)fl-n8+20x(-)n+n-40x(-)*345*

44=44，

55~5