2026北师大数学八年级下册一课一练：因式分解（课时练习试卷）附答案

4.1因式分解分层练习（学生版）

基础过关练

题型一判断是否是因式分解

1.下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是（）

甲：4x3（x2+y）=4x5+4x3y.

乙：4X2-8X+4=4X（X-2）+4.

A.甲是整式的乘法，乙是因式分解B.甲是因式分解，乙是整式的乘法

C.甲、乙均为因式分解D.甲、乙均不是因式分解

2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A.x2+x+l=x(x+l)+lB.(x+5)2=x2+10A+25C.+1=x3x+-D.X2-16=(X+4)U-4)

3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是()

A.A2+2x+1=x(x+1)+1B.a(2a-4b)=2a2-4cib

C.x(x+2y)=x2+2xyD.X2-X-2=(X-2)(X+1)

4.下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是（）

A.a2-4=(a+2)(a-2)B.4^(rt+2/>)=4a2+Sab

C.x2-3x+2=x(x-3)+2D.a1-b~+1=(a+h)(a-h)+\

5.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是_______.(填序号)

(T)x(x-3)=x2-3x；@x2-5x+6=x(x-5)+6；@x2+3x+2=(x+l)(x+2)；(4)x2+x=x2^l+—.

6.在下列等式中：①/一从=(。一力)(a-力):②(p-2)(p+5)=//+3〃-10；③工2-工一12二(工一4)(工+3).其

中属于因式分解的是，属于整式乘法的是.（填序号）

7.有下列变形：©(X-1)(X+2)=X2+X-2；(2).r-7x+6=(x-l)(x-6)；(3)x2-2x-10=x(x-2)-10.其

中是整式乘法的有,是因式分解的有.

能力提升练

题型一已知因式分解的结果求参数

1.若多项式可分解为（x-2）（x-»,则a+力的值为（）

A.2B.1C.-2D.-1

2.已知关于x的整式/+m+6=（》+4）（工+与，其中。、为整数，能使这个因式分解过程成立的机

的值共有（）个.

A.5B.4C.3D.2

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4.1因式分解分层练习(学生版)

3.因式分解/+如一12=(X+〃)卜+夕)，其中〃7、P、夕都为整数，则这样的〃7的最大值是()

A.1B.4C.11D.12

4.已知多项式2/+法+c分解因式为2(x+l)(x-2),则人。的值分别是()

A.2,-4B.-2,4C.-2,-4D.3,-I

5.若2/+仆_4能因式分解为(工一4)(2X+1),贝I)。的值为()

A.-7B.-5C.5D.7

6.多项式2/-3x+k分解因式后有一个因式是xT,则左等于()

A.1B.-1C.5D.7

7.已知关于x的二次三项式/T+O能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是

(x-3),则另一个一次多项式是()

A.x+2B.x-2C.x-4D.无法确定

8.若多项式--ax+12可分解为(人-3)(八十小)，则”+b的值为.

9.已知整式力=》(x+3)+5,整式8=权-1,若4+8可以分解为(》一1)(》-4),求a.

题型二由因式分解错值求参数

1.四式分解+b时，甲看错了。的值，分解的结果是M+6)(x-1),乙看错了力的值，分解的结

果是［x-2)(x+l),那么/+由+力因式分解的正确结果为()

A.(x+2)(x-3)B.(x-2)(x+l)C.(x+6)(x-l)D.(^-2)(x-l)

2.甲、乙两个同学因式分解工2+公+/)时，甲看错了人分解结果为(x+4)(x+8),乙看错了心分解

结果为。-2)(1+6),则a>b=

题型三与因式分解有关的材料阅读题

1.仔细阅读下面例题，回答问题:

例题：己知二次三项式X2-4X+M有一个因式是X+3,求另一个因式以及〃的值.

解：设另一个因式为x+〃，得戈2-4x+〃?=(x+3)(x+〃)，则/一4刀+〃?=/+(〃+3.+3〃,

解得.

，另一个因式为x-7,加的值为-21.

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4.1因式分解分层练习(学生版)

仿照以上方法解答下面问题：

(1)已知二次三项式2/+3X-A有一个因式是2x-5,求另一个因式以及〃的值.

(2)已知多项式/+4/+〃、+加中含有一个因式./+工-2,试求加，〃的值.

2.自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中

实现自我价值.通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成

长.洌：已知二次三项式分解因式后，有一个因式(x+2),求另一个因式及的值.

解：设另一个因式为(%+〃),得--3x+/〃=(x+2)(x+〃)，

则_3x+m=x2+(n+2)x+2n,

/.n+2=-3,In-m,解得"？=一10,〃=一5,

，另一个因式为(x-5),加的值为TO.

请你根据上述信息，解答下列问题：

(1)若/+以+c=(x-2)(x+l),则/)=,°=.

(2)已知二次三项式3/+2x-A分解因式后，有一个因式(3x7),求另一个因式以及％的值.

(3)若(%+。)(工+b)=x2-3.V-1,贝!|a+8+ah=.

(4)当多项式--机+〃(”，〃是常数)分解因式后，有一个因式是('-2)时，直接写出代数式?

的值.

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4.1因式分解分层练习(学生版)

3.阅读材料，并解决问题.

己知关于X的整式/+9x7〃可以写成两个因式的积，其中一个因式是入，2.求另一个因式和〃7的

值.

解：设另一个因式是则丁+9x-〃?=(4-2)(x+a).

可得：x1+9x-m=x2+(a-2)x-2a.

所以什2=9，,解得产；

[-2a=-/〃.[m=22.

所以另一个因式是x+ll,〃7的值是22.

请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式〃状2+]()》_8可以写成两个因式

的积，其中一个因式是舞-2.求另一个因式和〃7的值.

4.课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我书可以发现，

如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0,商式则是这个整式

的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式.下面请先阅读课本上的材

料并解决下列问题.

整式除以整式——长除法

类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算.其步骤是：

(1)把被除式和除式按同一字母降暴排列(若有缺项用零补齐)；

(2)用竖式进行运算；

(3)当余式的次数低干除式的次数时,运算终止,得到商式和余式.

例如，求(5/+3/+2.J4卜(/+|)的商式和余式，可以计算：

5f+3x-5

x2+0x+1)sM+Bx'+Of+ZrN-

5小+0小+5¥_______

3X3-5X2+2X

-5X2-X-4

-5」2-0--5

T+l

因此,商式是5丁+3万-5,余式是r式.

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4.1因式分解分层练习（学生版）

（1）小明在对2d+6/+--7.”2进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式（》・2）中的符号被

墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？

（2）已知整式3/+9/+4/_9/-15.10有一个因式是（-+X+1）,请试着运用长除法将整式

3x5+9X4+4A-3-9.r2-15x-10进行因式分解.

（3）①已知2/+5--5★有一个因式是（x-1）,请问★处的数字应该是几？

（4）②已知整式5/+4./-3/+阴2+”+/〃有一个因式是（x+i）,求乙J之间存在的关系.

5.阅读材料，完成下列问题.

材料一：已知多项式+〃?有一个因式是2x+l,求加的值.

解：设29-X2+M=〃（2X+1）为整式）；

由于上式为恒等式，为方便计算取x=-g,2XH）3_（_0+"=0,故

材料二：已知多项式+加除以2》+1所得的余数为3,求加的值.

解：设“一42+/〃=力.（2%+1）+3（4为整式）；

由于上式为恒等式，为方便计算取工==，2x（-]/-1+6=3,故，〃=；.

2{2）\2）2

（1）已知多项式-3/一心+]有一个因式是x-l,则〃?的值为:

（2）已知多项式+有两个因式分别是（工-1）和（X-2）,求加和”的值；

（3）已知多项式1+米2+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少11,求人的值.

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4.1因式分解分层练习（学生版）

6.因为犬+2》-3=（戈+3）。-1）,这说明多项式/+2*-3有一个因式为工-1,我们把x=l代入此多项式

发现％=1能使多项式/+2.3的值为0.

利用上述阅读材料求解：

（1）若》-4是多项式Y+Ax+8£勺一个因式，求〃的值；

（2）若（x+2）和（x-3）是多项式/+心、6x+〃的两个因式，试求力，〃的值;

（3）若x=-3能使多项式d+-x-3的值0,请将多项式/+3』_工一3进行因式分解.

拓展培优练

题型一因式分解的综合运用

1.关于工的三次三项式力=5》3-6/+10=〃（》-1）3+8（x-lf+Zx-lHd（其中Q,b,c,d均为常数）,

关于x的二次三项式8=/+"+//均为非零常数），下列说法有几个正确（）

①当4+8的结果为关于x的三次三项式时，则/=-10；

②若二次三项式8=/+”+/•能分解成（X—3）（X+5）,则4=-30；

③当多项式4与8的乘积中不含/项时，贝卜=6；

④a-6+c=-2.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.某水果店售卖力,B,C,。四种水果套餐，其中4,8两种水果的单价相同，。种水果的单价

是。种水果单价的7倍，第一天，A,。两种水果的销量相同，3种水果的销量是。种水果销量的

7倍，结果第一天4B两种水果的总销售额比C、。两种水果的总销售额多126元，且四种水果

第一天的单价与销量均为正整数，到了第二天的时候，由于。种水果不易保存，摊主便将。种水

果打八折售卖，其他三种水果单价不变，结果第二天除了B种水果销量下降了20%,其他几种水

果的销量跟第一天一样，若4种水果与C种水果的单价之差超过6元但不超过13元，8种水果和

D种水果第一天的单价之和不超过35元，则第二天四种水果总销售额最多为元.

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4.1因式分解分层练习(学生版)

3.方法探究：

己知二次多项式/一叔-21,我们把工=-3代入多项式，发现4-21=0,由此可以推断多项式中

有因式(x+3).设另一个因式为(x+左)，多项式可以表示成一-4x-2l=(x+3)(x+&),则有

4X-21=X2+(〃+3)X+3A,因为对应项的系数是对应相等的,即％+3=-4,解得々=-7,因此多项

式分解因式得：X2-4.”21=(X+3)(X-7).我们把以上分解因式的方法叫“试根法”.

问题解决：

(1)对于二次多项式》2-4,我们把工=代入该式，会发现/-4=0成立；

(2)对于三次多项式丁-/_3工+3,我们把x=l代入多项式，发现/_/一3》+3=0,由此可以推

断多项式中有因式(x-1),设另一个因式为(/+Qx+b),多项式可以表示成

x3-x2-3x+3=(x-l)(x2+ax+b),试求出题目中〃，6的值；

(3)对于多项式尸+4.丫2—3工-18,用“试根法”分解因式.

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4.1因式分解分层练习(解析版)

基础过关练

题型一判断是否是因式分解

1.下列关于甲、乙两名同学自左向右的两个变形，说法正确的是()

甲：4x3(x2+y)=4x5+4x3y.

乙：4X2-8X+4=4X(X-2)+4.

A.甲是整式的乘法，乙是因式分解B.甲是因式分解，乙是整式的乘法

C.甲、乙均为因式分解D.甲、乙均不是因式分解

【答案】D

【分析】本题主要考查了整式的乘法和因式分解，根据因式分解的定义，因式分解是将多项式分解

为几个整式的乘积的形式..

甲的变形是将乘积展开为多项式，属于整式的乘法；乙的变形结果不是乘积形式，因比不是因式分

解.

【详解】解：•••因式分解需满足结果为整式的乘积，

甲：4/仁+力=4/+4。，左边为乘积，右边为多项式，

・•・甲是整式的乘法，不是因式分解；

乙：4/_"+4=4工卜-2)+4,右边为和的形式，不是乘积，

，乙不是因式分解.

.•・甲、乙均不是因式分解.

故选：D.

2.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是()

A.V+x+l=x(x+l)+lB.(-v+5)2=x2+10x+25C.3./+1=x3x+‘1D.x2-16=(J+4)(X-4)

【答案】D

【分析】本题考查因式分解的概念.根据因式分解的定义.判断等式右边是否为整式的积的形式.

即可

【详解】解：因式分解是将多项式化为整式的积的形式，

A、右边为x(x+D+l,不是积的形式，不是因式分解；

B、是整式的乘法运算，不是因式分解.；

C、右边含有分式不是整式，不是因式分解；

X

D、?-16=(x+4)(x-4),是因式分解,

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4.1因式分解分层练习(解析版)

故选D

3.下列各式从左到右的变形是因式分解的是()

A.x2+2x+\=x(x+1)+1B.a(2a-4b)=2a2-4ab

C.x(x+2y)=x2+2xyD.x2-x-2=(x-2)(x+l)

【答案】D

【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键.

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，

据此进行判断即可.

【详解】解：/+2x+l=x(x+l)-l中等号右边不是积的形式，则A不符合题意，

a(2~4b)=2/-4"是乘法运算，则B不符合题意，

MX+2J，)=/+2个是乘法运算，则C不符合题意，

/一尸2=(》-2)"+1)符合因式分解的定义，则D符合题意，

故选：D.

4.下列由左边到右边的式子变形是因式分解的是()

A.片-4=(q+2)(q-2)B.4a(a+2b)=4a2+Sab

C.A2-3x+2=x(x-3)+2D.a2-b2+\=(a+b)(a-b)+\

【答案】A

【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分.根

据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后利用排除法

求解.

【详解】解：A.左边是多项式，右边是两个多项式的乘积形式，故是因式分解，故本选项符合题意;

B.左边是整式的乘积形式，右边是多项式，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项不符合题意;

C.右边不是整式乘积的形式，故不是因式分解，故本选项不符合题意；

D.原式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意.

故选：A.

5.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是_________.(填序号)

(1)x(x-3)=x2-3x；-5x+6=x(x-5)+6；@x2+3x+2=(x+l)(x+2)；(4)x2+x=x2^l.

【答案】③

【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键.

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4.1因式分解分层练习(解析版)

根据因式分解的概念:将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案.

【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解；

选项②右边不是积的形式，不是因式分解；

选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解；

选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解；

故答案为③.

6.在下列等式中:①/一/=(白-〃)("〃)；②(p-2)(p+5)=p2+3p-10；(3)x2-x-12=(A-4)(X+3).

中属于因式分解的是，属于整式乘法的是.(填序号)

【答案】①③②

【分析】本题主要考查了因式分解的定义和多项式乘以多项式，因式分解是将多项式化为几个整式

的积的形式，整式乘法是将整式的积展开为多项式形式，根据等式左右形式判断即可.

【详解】解：①/-〃=("与(4-力)是因式分解；

②(p-2)(p+5)=p2+3p-10这是整式乘法，不是因式分解；

③x—12=(x—4)(x+3)是因式分解；

故答案为：①③；②.

7.有下列变形：①(x—1)(X+2)=X2+X_2；@X2-7X+6=(X-1)(X-6)；(3)x2-2.r-10=x(x-2)-10.其

中是整式乘法的有,是因式分解的有.

【答案】①②

【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多

个整式相乘得到一个多项式：因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断

即可.

【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式,属于整式乘法；

变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解；

变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解；

故整式乘法的有①，因式分解的有②，

故答案为：①；②.

能力提升练

题型一已知因式分解的结果求参数

1.若多项式公一办一1可分解为(x-2)(x-b),则4+力的值为()

A.2B.1C.—2D.—1

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4.1因式分解分层练习(解析版)

【答案】B

【分析】本题考查了已知因式分解的结果求参数，熟练掌握运算法则是解题的关键.

通过展开因式分解形式并比较系数，求出。和6的值，再计算

【详解】展开5-2)。-6)=--侬+2)4+23与原多项式》2一依_1比较系数，得：-伍+2)=-〃，且

2b=-1,

13

解得：/?=--,a=b+2=-,

故选：B.

2.己知关于工的整式一+"~+6=(》+〃)。+6),其中人人为整数，能使这个因式分解过程成立的机

的值共有()个.

A.5B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键.

由因式分解形式可得。和b是整数且就=6,列出所有整数因子对，计算每对的”+人直，得到不同

的〃?值个数.

【详解】解：+wx+6=(x+t/)(x+Z))=x2+(a-\-h)x+ab,

则=6,a+b=m,

由于4、6为整数，

则所有整数因子对(。㈤满足〃=6有:(1,6)、(2,3)、(3,2)、(6,1)、(-1,-6),(-2,-3)、(-3,-2),(-6,-1),

当a=1、b=6,/〃=a+〃=I+6=7,

当。=2、/?=3,a+b=2+3=5,

当a=3、6=2,a+b=3+2=5,

当。=6、b=I,a+b=6+\=7,

当,/=一1、b=-6fa+b=-\+(-6)=-7,

当〃=-2、力=-3,a+b=-2+(-3)=-5,

当〃=-3、h=-2fa+b=-3+(-2)=-5,

当。=-6、/>=-!,a+b=-6+[-])=-7,

则不同的"?值为5、7、-5、-7,共4个,

故选：B.

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4.1因式分解分层练习(解析版)

3.因式分解/+如一12=(X+〃)卜+夕)，其中〃7、P、夕都为整数，则这样的〃7的最大值是()

A.1B.4C.11D.12

【答案】C

【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得,+</=，〃且%=-12,其中

P、«为整数.列举所有满足收=T2,计算〃?=p+q,并找出最大值.

22

【详解】解：Vx+nix-\2=(x+p)(x+q)=x+(p+c/)x+pc/f

/{PH；；,且〃?、〃、夕为整数，

pg=-12

•••pq=-12,

当〃=1,g=-12时，w=p4-^=l+(-12)=—11；

当p=-l,q=12时，w=p+^=-l+12=ll；

当〃=2,g=-6时，m=p+q=2+(-6)=-4；

当p=-2,1=6时，6=p+q=-2+6=4；

当p=3,g=-4时，w=p+g=3+(-4)=-l;

当p=-3,1=4时，/n=p+(?=-3+4=1；

••・掰的可能值为-1111,-4,4,-1,1,其中最大值为11.

故选：C.

4.已知多项式2/+加+。分解因式为2(x+l)(x-2),则力，c的值分别是()

A.2f—4B.—2,4C.—2,—4D.3,—1

【答案】C

【分析】本题考查了由己知因式分解的结果求参数，将因式分解形式展开，与原始多项式比较系数,

即可求出力和c的值，正确利用公式计算是解题的关键.

【详解】解：由2(X+1)(X—2)=2(F+.L2X—2)=2——2X—4,

*•*2x2-2x-4=2x2+队+c,

.•・力=-2,c=-4,

故选：C.

5.若2一+仆一4能因式分解为(>4)(2X+1),贝伊的值为()

A.-7B.-5C.5D.7

【答案】A

【分析】本题考查了多项式乘以多项式法则和分解因式，熟练掌握运算法则是解题关键；将给定的

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4.1因式分解分层练习(解析版)

因式分解形式展开，与原多项式比较对应项的系数，从而求出参数。的值.

【详解】解:V(X-4)(2X+1)=2^+X-8X-4=2X2-7X-4,

XV2/+公一4能因式分解为(工一4)(2工+1),

/.a=-7,

故选:A.

6.多项式2x、3x+4分解因式后有一个因式是x-l,则左等于()

A.1B.-1C.5D.7

【答案】A

【分析】本题考查了多项式乘以多项式，设2/-3》+左=(x-l)(2x+0,结合多项式乘以多项式的运

算法则将右边展开，对应相等，计算即可得出结果，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解此

题的关键.

【详解】解：•・,多项式2——3x+左分解因式后有一个因式是.”1,

.,.设2x?-3x+左=(x-l)(2x+a),

*.•(x-l)(2x+«)=2x2+ax-2x-a=2x2+(a-2)x-a,

.fj-2=-3

^[-a=k'

.%=_]

,%=1，

故选：A.

7.已知关于x的二次三项式能分解因式成两个一次多项式的积，其中一个一次多项式是

(x-3),则另一个一次多项式是()

A.x+2B.x-2C.x-4D.无法确定

【答案】A

【分析】本题考查了因式分解与多项式的乘积的关系，设另一个一次多项式为x+b,根据因式分

解后与原式系数对应关系求解.

【详解】解：设另一个一次多项式为x+b,

V(x-3)(x+Z>)=x2+(Z)-3)x-3b,

且/一x+a=『+(Z)-3卜-36,

：.b-3=-\f

*.b=2i

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4.1因式分解分层练习(解析版)

・，.另一个一次多项式为x+2,

故选A

8.若多项式一一奴十12可分解为(x-3)(x+6),则o+b的值为.

【答案】3

【分析】本题主要考查因式分解,熟练掌握因式分解是解题的关键;通过整式的乘法展开(x-3)(x+3),

并比较系数，求出。和力的值，再求和即可.

【详解】解:由(x-3)(x+b)得/+9-3)与多项式偏--+12比较系数,得：

b-3=-a、-3b=12,

解得：/)=-4,a=7,

・・,》=7+(Y)=3；

故答案为3.

9.己知整式力=八(八十3)十5,整式6=1,若/+6可以分解为(一1)(54),求a.

【答案】。=-8

【分析】本题考查了多项式的乘法，整式的加减，因式分解.

分别计算4+8和(x-l)(x-4)的值，进而作答即可.

【详解】解：4+B

=+3)+5+ax-1

=x2+(3+a)x+4,

(x-l)(x-4)

=x2-4x-x+4

=/-5x+4,

•・・4+4可以分解为(1-1)(工一4),

:.3+a=-5,

解得：a=-8.

题型二由因式分解错值求参数

1.因式分解一+5+力时，甲看错了。的值，分解的结果是(x+6)(x-1),乙看错了6的值，分解的结

果是(x-2)(x+l),那么/+"+力因式分解的正确结果为()

A.(x+2)(."3)B.(x-2)(x+l)C.(x+6)(x-l)D.(x-2)(x-l)

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4.1因式分解分层练习(解析版)

【答案】A

【分析】本题考查了因式分解，需从错误结果中提取正确参数是解题的关键.甲看错了。，但人正

确；乙看错了好但“正确，从甲的分解结果求出方的值，从乙的分解结果求出〃的值，得到正确多

项式后再因式分解即可.

【详解】解：•••甲看错了。的值，分解的结果是a+6)(x-i),

正确,h=6x(-l)=-6,

・「乙看错了力的值，分解的结果是(x-2)(x+l),

正确，f?=l+(-2)=-l,

二•正确多项式为

因式分解得/-工-6=卜+2)[-3).

故选:A.

2.甲、乙两个同学因式分解方时，甲看错了人分解结果为(x+4)(x+8),乙看错了“，分解

结果为(x—2)*+6),贝IJa=,b=

【答案】12-12

【分析】本题考查的是多项式的乘法运算与因式分解，甲看错了儿因此甲计算中的。值正确；乙

看错了。，因此乙计算中的力值正确.分别展开甲和乙的因式分解结果，得到。和b的值.

【详解】解：甲的结果为(、+4心+8)=9+12X+32,

.*.67=12;

乙的结果为(x-2)a+6)=/+4x-12,

：.b=-12f

故答案为：12,-12

题型三与因式分解有关的材料阅读题

1.仔细阅读下面例题，回答问题：

例题；已知二次三项式4x+用有一个因式是x+3,求另一个因式以及〃?的值.

解：设另­,个因式为工+〃,得-4x+〃i=(x+3)(x+〃)，贝lj/-4x+/〃=/+(〃+3)x+3〃,

〃+3=-4n=-1

解得

tn=3〃m=-21

・•・另一个因式为x-7,〃?的值为-21.

仿照以上方法解答下面问题:

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4.1因式分解分层练习(解析版)

(1)己知二次三项式2/+3X-A有一个因式是2x-5,求另一个因式以及A的值.

(2)已知多项式/+4/+以+小中含有一个因式/+x_2,试求机，〃的值.

【答案】(1)另一个因式为x+4,4的值为20

(2)m=-6,n=1

【分析】(1)由题意可以设另一个因式为x+。，然后根据多项式乘多项式的法则，把(2》-5加+〃)展

开、合并同类项，根据系数等量关系，求出。和火的值，进而就可以得到另一个因式.

(2)由题意可以设另一个因式为然后根据多项式乘多项式的法则，把#--2心+4)展开、

合并同类项，根据系数等量关系，求出。、〃?和〃的值，进而就可以得到另一个因式.

本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式相乘的法则是关键.

【详解】(1)(1)解：设另一个因式为X+。，得2/+3x-A=(2x-5)(x+0,贝lj

2x2+3x-a=2x2+(2a-5)x-5a,

.(2a-5=3

-1一5〃=一4

解得｛:=

，另一个因式为x+4,4的值为20.

故答案为：另一个因式为x+4,4的值为20.

(2)(2)解：设另一个因式为x+〃，得/+4/+内+m=(丁+》-2)(》+4)

/./+4/+nx+ni=x3+[+1卜？+9-2卜一2〃，

・・・。+1=4,a-2=11,m=-2a,

/.a=3,7?=1,m=-6.

故答案为：阳=-6,n=\.

2.自学能力是新时代个人发展的核心竞争力，它不仅关乎生存，更关乎如何在快速变化的世界中

实现自我价值.通过培养自学能力，人们能够更好地适应社会变革，提升个人竞争力，实现终身成

长.列：已知二次三项式V—3x+m分解因式后，有一个因式(x+2),求另一个因式及〃?的值.

解：设另一个因式为。+〃),得--3x+m=(x+2)(x+〃)，

则x2-3x+m=x2+(n+2)x+2n,

〃+2=-3,In=m,解得/〃=-10,〃=一5,

・•・另一个因式为a-5),加的值为-io.

请你根据上述信息，解答下列问题:

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4.1因式分解分层练习(解析版)

(1)若/+瓜+。=(x-2)(x+1),则6=,c=.

(2)已知二次三项式3/+2xT分解因式后，有一个因式(3工-1),求另一个因式以及女的值.

(3)若(x+4)(》+力)=F-3x—1,则。+人+ab=.

(4)当多项式/—心+〃(加，〃是常数)分解因式后，有一个因式是卜-2)时，直接写出代数式条

的值.

【答案】(1)-1,-2

(2)另一个因式为(x+1),%的值为1;

(3)-4

(4)16

【分析】本题考查了多项式的乘法，同底数事的除法，因式分解，解题的关键是掌握以上知识点.

(1)直接计算(x-2)(x+l)后作答即可；

(2)仿照题干作答即可；

(3)计算("。)。+与后求出友必的值，进而作答即可;

(4)设另一个因式为(X+。)，然后利用多项式乘多项式法则计算(、-2e+。)，根据计算结果用含。

的代数式表示出机，〃，再代入千，最后根据同底数窑的除法可得结论.

2

【详解】(DM：(x-2)(x+\)=x-x-2f

则x2+hx+c=x2-x-2,

/./?=-!,c=-2.

故答案为：-1>-2;

(2)解：设另一个因式为(x+2)，得3x2+2x-4=(3x-l)(x+p)

则3/+2x—女+，

/.3p-1=2,-p=-k,

解得p=l,*=l,

二.另一个因式为(x+1)，4的值为1；

(3)解：(x+«)(.r+/))=x2+(a+h)x+ab,

则x2^-(a+b)x+ah=x2-3x-l,

/.。斗力=-3,ah=-\,

/.67+/)+cr/?=-3+(-1)=-4,

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4.1因式分解分层练习(解析版)

故答案为：-4；

(4)解：设另一个因式为(工+因,得/一机x+〃=(x-2)(x+a)

则x2-mx+n=x2+(a-2)x-h,

/.-m=a-2,n=-2a,

解得：〃1=2-a,n=-la,

2m-n=2(2-«)-(-2a)=4

"y=-^=^r=2=2=16'

・••代数式色的值为16.

3.阅读材料，并解决问题.

已知关于X的整式/+9x7"可以写成两个因式的积，其中一个因式是X-2.求另一个因式和加的

值.

解：设另一个因式是x+a,贝lj/+9x-/〃=(x-2)(x+。).

可得：x2+9x-m=x2+(a-2)x-2a,

。-2=9,

所以

-2a=-m.

a=ll,

解得

m=22.

所以另一个因式是工+11,〃?的值是22.

请你理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：已知关于x的整式〃E+IOX-8可以写成两个因式

的积，其中一个因式是3》-2.求另一个因式和〃?的值.

【答案】另一个因式是x+4,〃?=3

【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握题中所给解题思路，知道因式分解与整式乘法是

相反方向的变形，即互逆运算是解题的关键.

按题目中所给解题思路，按步骤求解即可.

【详解】解：设另一个因式是底+方，则M2+10X-8=(3X-2)(G+/»,

可得，〃苏+10%一8二(31一2)(0¥+9=3口/.36—28x-2l,

3a=ma=1

3/)-2。=10,解得〃=4,

-2b=-Sm-3

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4.1因式分解分层练习（解析版）

，另一个因式是X+4,"7的值是3.

4.课本上在面对整式除法的时候告诉了我们长除法的方法，根据因式分解的定义我书可以发现，

如果我们知道一个整式其中的一个因式，那么通过长除法得到的余式一定是0,商式则是这个整式

的另一个因式，所以现在我们也可以利用长除法帮助我们一起分解因式.下面请先阅读课本上的材

料并解决下列问题.

整式除以整式——长除法

类比于两数相除可以用竖式运算，整式除以整式也可以用竖式运算.其步骤是：

（1）把被除式和除式按同一字母降毒排列（若有缺项用零补齐）；

（2）用竖式进行运算；

（3）当余式的次数低于除式的次数时，运算终止，得到商式和余式.

例如，求（5/+3/+2.・4）+（/+1）的商式和余式，可以计算：

5f+3x-5

x2+0x+1J

5yl+0^+5%2_______

3X3-5X2+2X

3-+0犬2+3工

-5X2-X-4

______-5f+0x-5

—x+1

因此，商式是5/+3x-5,余式是r+l.

（1）小明在对2/+6/+/-7%-2进行因式分解后检查答案，答案中有一个因式。・2）中的符号被

墨水遮挡看不清了，请使用长除法来帮助小明判断这个因式是什么？

（2）已知整式3丁+9/+41-99-15》-10有一个因式是，+工+1）,请试着运用长除法将整式

3x5+9x4+4--9/一15x-10进行因式分解.

（3）①已知2/+5--5%-★有一个因式是（工-1）,请问★处的数字应该是几？

（4）②已知整式5/+41-3/+32+/+也有一个因式是（.丫+1）,求，，9,/〃之间存在的关系.

【答案】（1）1+2,长除法见解析

（2）3x5+9x4+4x3-9x2-15.r-10=（3x3+6x2-5x-10）（x2+x+l）,见解析

（3）2

（4）q-p-2=m

【分析】本题考查了多项式除以多项式，掌握多项式的乘法是解题的关键.

（1）分别根据例题列竖式进行多项式的除法计算，看余式是否为0即可：

（2）根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可；

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4.1因式分解分层练习(解析版)

(3)根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0,即可求得★的值;

(4)根据例题列竖式进行多项式的除法计算即可，然后根据整除，余式为0,即可求得答案.

【详解】(1)解：若因式为(x+2),那么用长除法操作如下：

2X\2X2-3X-\

x+2)2X4+6?+X-7X-2

_______

-2?^

2X3+4X2

-3f-7x

-3X2-6X

-x-2

-x-2

0

若因式为(x-2),用长除法操作如下：

2X34-10X2+21X-F35

x-2)2x4+6小-7x-2

_________

10x3+x2

10小_20?

21X2-7X

21f-42x

35x-2

_________35x-70

68

故该因式为(x+2)：

(2)解：用长除法操作如下：

3X3+6X2-5X~10

f+x+1居5+9/4+4十3一9十2-15x-10

3f+3f+3d___________

6X4+X3-9X2

6f+6/+6/________

-15X3-15X2-15X

______-5-3-5-2-5工______

-10x2-10x-10

-10x2-10x-10

6-

s432322

i^3x+9x+4x-9x-I5x-10=(3x+6x-5x-10)(x+A-+l);

(3)解：用长除法操作如下：

第20页共27页

4.1因式分解分层练习（解析版）

2X3+7X2+7X+2

J2/+5工3+0f-5口一

2/-2?_________

7X3+0X2

长-长

7X2-5X

7f-7x

2xf

_________2x-2

一★+2

那么-★+2=0,

・•・★为2；

(4)解：用长除法操作如下：

5x,-f-2x~+(p+2)x+(q-p-2)

x+lj5x5+4f-3不加工2+/+以

5f+5d_________________

-X4-3X3

-x。/

-2x+px

-2?一2?____________

(p+2)x2+qx

______(p+2)x+(p+2)r________

(q-p-2)x^-m

_______(q一p~2)x+(夕一夕—2)

m-(q-p-2)

刃R么b一(q-p-2)=0,

q-p-2=m.

5.阅读材料，完成下列问题.

材料一：已知多项式2/--+加有一个因式是2x+l,求〃?的值.

解：设2/一丁+加=出(2.丫+1)(力为整式)；

由于上式为恒等式，为方便计算取2x，；j-，9，=O，故〃?=；.

材料二：已知多项式2./_/+机除以2x+l所得的余数为3,求机的值.

解：设29*+用=/0+1）+3（4为整式）;

由于上式为恒等式，为方便计算取

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4.1因式分解分层练习(解析版)

(1)己知多项式1有一个因式是x—l,则〃?的值为;

(2)已知多项式X，-〃7+2〃1-16有两个因式分别是(、-1)和(x-2),求〃7和〃的值；

(3)已知多项式/+代+3除以x+2所得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少11,求A的值.

【答案】(1)-2

m=5

⑵m

〃=10

(3)k=6

【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，因式分解的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握

相关的运算法则.

(1)根据题干提供的方法，求解即可；

(2)®X4-^32//X-16=J(X-1)(X-2),分别令X=1,X=2,得出方程组、"八，解方程组即

+X/H—4〃=()

可；

(3)令/+h2+3=(工+2)卜2+0¥+6)+〃?，再分别令》=_2,x=-3,结合多项式/+小+3除以x+2所

得的余数，比该多项式除以x+3所得的余数少11,列出关于左的方程(%-24)-(4"5卜11,解方程

即可.

【详解】(1)解：设-3/一心+1=小。-1)(/为整式)；

由于上式为恒等式，为方便计算取x-1,-3xP-rn+l=0,

解得：〃[=-2.

(2)解：]§：x4-mx3+2HX-16=A(x-l)(x-2),

令x=1,则1一机+2〃-16=0,

令x=2,则16—令+4/2-16=0,

\m-2n=-\5

即，

8加—4〃=0

m=5

解得:"=10；

(3)解：令/+小+3=(x+2)卜2+ox+〃)+机,

x3+kx2+3=(x+3)(x2+cx+d^+n,

令x=-2,则-8+4〃+3=〃7；

令x=-3,则一27+9%+3=〃；

第22页共27页

4.1因式分解分层练习(解析版)

•・•多项式m+h2+3除以工+2所得的余数，比该多项式除以工+3所得的余数少11,

.♦.(9"24)-(4%-5)=11,

.•.%-24-4〃+5=11,

「.5左=30,

：.k=6.

6.因为』+2X_3=(X+3)(X-1),这说明多项式/+2.X-3有一个因式为x-l,我们把x=l代入此多项式

发现x=l能使多项式/+2.3的，直为0.

利用上述阅读材料求解：

(1)若工-4是多项式/+6+8的一个因式，求A的值；

(2)若U+2)和(工一3)是多项式^+如二一6x+〃的两个因式，试求〃7,〃的值；

(3)若彳=-3能使多项式丁+3/-“-3的值0,请将多项式./+3/_工_3进行因式分解.

【答案】(1)k=-6

(2)ni=-1,//=0

(3)(x+3)(x-l)(x+l)

【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键.

(1)根据材料把、=4代入多