2026高三数学复习讲义：平面向量的概念及线性运算

第五章平面向量、复数

5.1平面向量的概念及线性运算

2.理解平面向量的概念和两个向量相等的含义.

3.理解平面向量的几何表示.

4.掌握平面向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握平面向量数乘的运算及其几何意义，理解两个平面向量共线的含义.

6.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义.

陞备知识回顾自主学习•基&何扣「

教材回扣

1.向量的有关概念

名称定义说明

向量既有大小又有方向的量叫做向量平面向量是自由向量

有向具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有有向线段包含三个要素：起

线段向线段表示，也可以用字母〃，b,C,…表示点、方向、长度

向量施的大称为向量感的长度（或称模），记

向量

向量的模是数量

的模

作1四

零向量长度为止的向量叫做零向量，记作0零向量的方向是任意的

单位“是非零向量，则士二是单位

长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量同

向量

向量

平行向

方向相同或相反的非零向量•叫做平行向曷,平

量（共线规定：零向量与任意向量平行

行向量也叫做共线向量

向量）

相等两向量可以相等也可以不相

长度相等且方向电且的向量叫做相等向量

向量等，但不能比较大小

相反与向量“JL皮相等，方向担反的向量，叫做a

0的相反向量仍是0

向量的相反向量，记作一a

2.向量的线性运算

运算定义法则（或几何意义）运算律（性质）

交换律：a+b=b+。，

并规定：。+()=()+〃

*=4：

结合律：a+S+c)=

求两个。a4

三角形法则m+b)+c；

加法向量和bc

^j|0+”近⑷+回，当且

的运算

仅当m力中有一个是

AaB

零向量或a,力是方.向

平行四边形法则

相同的非零向量时等

号成立

A

求两个

减法向量差。/b'Ba-b—a-\-(-b)

的运算

儿何意义

求实数2二。是一个向量，其长度：。1=1朴10；设九蚱R,则如)

与向量其方向：拉0时，与。方向血同；k()时，与

数乘

。的积a方向相反:+na；

的运算2=0时，〃=0Ah

3.共线向量基本定理

向量〃(“#0)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数心使

4.向量三角不等式

阿一网可〃土b|W|0+M两向量不共线时，可由“三角形中任意两边之和大于第三边，任

意两边之差小于第三边”知“V”成立；两向量共线时，可得出“=”成立(分同向、反向两种

不同情形).

1ET教材拓展

1.首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量,

即小42+力乂3+/34+…+•7了=414(〃22,〃£1\*),特别地，一个封闭图形首尾顺次连接

而成的向量和为零向量.

2.若夕为线段43的中点，。为平面内任一点，则必=；(万1+为)；若G为△/IS。的

重心，则由+dt=o.

3.若5=2为+〃次(九4为实数)，且协，历不共线，则点4B,C共线的充要条件

是2+"=I.

B"IDn

4.如图，△力BC中，BD=m,CD=n,则而="AB+AC,特别地，D为BC

加一〃〃?+〃

的中点时（〃?=〃），疝=；崩+；元.

基础检测,,

------------------Q------

1.判断（正确的画“，”，错误的画“X”）

（1）同与网是否相等和跖b的方向无关.（J）

（2）两个向量相加，结果有可能是个数量.（X）

（3）向量/与向量也是共线向量，则力，B,C,。四点在一条直线上.（X）

（4）当两个非零向量”，力共线时，一定有6=脑，反之也成立.（V）

2.（人教A版必修第二册P5T3改编）以下命题中正确的个数是（B）

①两个相等向量的模相等；

②若"和b都是单位向量，则”=b；

③相等的两个向量一定是共线向量；

④零向量是唯•没有方向的向量.

A.1B.2

C.3D.4

解析：对于①，两个相等向量的模相等，且它们的方向也相同，故①正确；对于②，若

“和。都是单位向量，当它们的方向不同时，“=〃不成立，故②错误；对于③，相等的两个

向量方向相同，所以它们一定是共线向量，故③正确；对于④，任何向量都有大小以及方向，

零向量也是向量，只不过零向量是方向任意的向量，故④错误.故正确的有①③，共2个.故

选B.

3.（人教A版必修第二册P14例6改编）在△力8C中，彘=3而,则诙=（C）

A.AB-iACB.AB-\~[AC

33

C.XAB-ACD.XAB+AC

33

解析：*：AB=3Abf；・3=病一充=：为一病.故选C.

4.（人教A版必修第二册P16例8改编）已知向量a,6不共线，向量c=a+3b,d=2a

Ikb,且c〃"，则4=（D）

A.一3B.3

C.-6D.6

解析：设则加+A7>=2（〃+3））=2〃+3M,故7=2,&=32=6.故选D.

母键能力提升互动探究•考点精讲

考点1平面向量的概念

【例I】（1）（多选）下列命题正确的有（AD）

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.任意两个单位向量方向相同

C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D.“若4B,C,。是不共线的四点，且狗=虎”="四边形力8co是平行四边形”

【解析】方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，

故A正确；任意两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，故B错误：两个向量起点相同，

终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；A,

B,C,。是不共线的四点，且血=反，可得4B〃DC,且力B=DC,故四边形/8C。是平

行四边形，反之也成立，故D正确.故选AD.

(2)设m力都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(C)

\a\\b\

A.a=~bB.a//b

C.a=2hD.〃〃〃且同=|〃|

【解析】因为向量“的方向与向量〃方向相同，向量”的方向与向量方方向相同，且“

同网同

=b,所以向量〃与向量b方向相同，故可排除A,B,D.当”=2力时，0=2"=",故。

网⑷\2b\\b\

=26是"="成立的充分条件.故选C.

1«11例

规律总结

平面向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的

平移混淆.

(4)非零向量a与:的关系：°是与a同方向的单位向量.

⑷同

【对点训练1](1)如图，在正六边形力"CQE/中，点。为其中心，则下列判断错误的

是(D)

A.AB=OC

B.AB//DE

C.\AD\=\BE\

D.AD=FC

解析：由正六边形的性质可得四边形6M4C为平行四边形，故位?=元，故A正确.因

为AB"DE,^AB//DE,故B正确.由正六边形的性质可得力。=8£,故|疝|=|赤|,故C

正确.因为NO,FC交于O,故病=病不成立，故D错误.故选D.

（2）（多选）下列说法不正确的是（ACD）

A.若同=|例，则a=b或。=—〃

B.凝与就是平行向量

C.若a,b满足间＞冏且。与b同向,则心b

D.若“〃力，b//c,则。〃c

解析：同=向，但两向量的方向不确定，A错误；法与度是相反向量，所以是平行向量，

B正确；向量之间不能比较大小，只能比较向量模的大小，C错误；若〃〃力，b//c,当向量

〃=0时，。与c不一定平行，D错误.故选ACD.

考点2平面向量的线性运算

【例2】（1）（2024江苏南通模拟）在梯形4，。中，AB//CD,且44=2。，点M足

4C的中点，则疯=(D)

2X1-2f

A.AB-ADB.AB+AD

3223

3X

c.ABVADD.AB+AD

242

【解析】如图，连接4C,依题意可得病

222224

+1石=3叁+।弱.故选D.

242

（2）在△/〃€?中，D是CB延长线上一点，E是4D的中点.若逢=3而,/M^+/tiC=6B£,

则（A）

A.2=2〃B・A=-2/z

C.〃=2AD.〃=-2，

【解析】如图，因为E是4。的中点，盘=3而,所以嘉口位+1而=

22

；扇+；乂：无=一;益+：（盛一箱=一：为一:太，则6诙=-2^一元,又通+/庆

=6BE,所以人=一2,〃=一1,所以2=2".故选A.

A

T规律总结K

平面向量线性运算的常见类型及解题策略

(1)向量求利用平行四边形法则或三角形法则，求差用向量减法的几何意义.

(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.

【对点训练2](1)(2024•四川自贡一模)如图所示的△48C中，点D是线段BC上靠近

〃的三等分点，点E是线段的中点，则注=(B)

XX

A.—AB—ACB.-AB-AC

3663

c.-5AB-1ACD.-5AB^AC

6363

B.

(2)已知的重心为O,若向量&)=工林+)后，则x+y=(D)

解析：如图，设E是“。的中点，由于。是的重心，所以历=；匠=；义(而一标)

考点3共线向量基本定理及应用

【例3】(1)(2024•安徽马鞍山三模)己知平面向量以不共线，〃=(24—1)d+2«2,b

=ei—。2，且〃〃b,则左=(A)

A.-1B.0

2

3

C.1D.

2

【解析】因为“=(2左一1)C]+2c2,b=e\—e?且a”b,所以设a=即(2%—1)%+2«2

2k-\=t,

=t(e\—e2),又ei,e?不共线，所以

2=-/,

/=-2,

解得K〃・故选A.

2

(2)(2024•陕西西安一楼)在△川?。中，点。是线段4C上一点，点尸是线段8。上一点,

且丽=扇，AP=2XB+kAC,贝以=(A)

1>>.1....0，.

【解析】如图，因为CO=£M,所以力。=4C,即4C=24O,^AP=AB+

23

;JC,所以"=；施+2应)，因为点P是线段8。上一点，即8,P,。三点共线，所以

2+22=1,解得2=1.故选A.

36

T规律总结K

利用共线向量基本定理解题的策略

(1)“〃力=。=助(6*0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思懑的运

用.

(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即力，B,。三点共线=施，就共

线.

(3)若3与b不共线且〃=4。则;l="=0.

(4)万1=2为+"沆(九"为实数)，若力，B,C三点共线(。不在直线8C上)，则2+4=1.

【对点训练3](1)已知向量约，是平面上两个不共线的单位向量，且施=d+2«2,

8C=-3ei+2e2，。4=3的一6的，贝！J(C)

A.A,B,C三点共线B.4B,。三点共线

C.A,C,。三点共线D.B,C,。三点共线

解析：因为为=d+2c2,5C=-3ei+2e2,不存在实数2使得拔=2反；故/B,。三

点不共线，故A错误；因为前=约+262,法=3向一66，不存在实数2使得茄=2扇，故力，

a1»—►—1»，—►

丛。三点不共线，故B错洪；因为4C=48+8C=-2ei+4⑥，£M=3ei-6e2,则力。=一；。力,

故力，C,。三点共线，故C正确：因为正=一3为+2的，8D=-DA-AB=-3el+6e2-el

-2e2=-4ei+4e2,不存在实数储吏得证=7粉，故B,C,。三点不共线，故D错误.故选

C.

（2）（2024•福建福州模拟）已知白，及是两个不共线的向量，若2d+融2与21+及是共线向

量，则（D）

A.'=-2B.加=一2

C.2=2D.舞i=2

解析：依题意，设2妁+〃2=/（/©+的），又约，02是两个不共线的向量，所以/〃=2,2

=t,所以2"=2.故选D.

（3）已知点。是△48C的重心，过点。的直线与边/从4。分别交于M,N两点，D为

边的中点.若而=JJ/+y病(x,y£R),贝Ux+y=(A)

C.2D.

2

解析：如图所示，由三角形重心的性质，可得

力

0=2所以力。=力。,

AD~3"2

所以3n=1俞+）力力，即历=2k石/+2），病，因为M,O,N三点共线，可得々+2），

23333

=1,所以x+y*.故选A.

2

课时作业33

是基础巩固4

1.（5分）下列命题不正确的是（A）

A.赢十以=0

B.零向量的长度等于0

C.若m6都为非零向量，则使:+2=0成立的条件是。与6反向共线

同向

D.若a=b,b=c,则a=c

解析：44+历1=0,故A错误；由零向量的定义知，零向量的长度为0,故B正确；因

为"与"都是单位向量，所以只有当"与"是相反向量，即〃与力反向共线时"+"=0才成

同网同网同回

立，故C正确；由相等向量的定义知D正确.故选A.

2.（5分）下列命题中，正确的是（C）

A.若向=向，则a=h

B.若同习例,则心力

C.若°=4则"〃力

D.若小b均为非零向量,则|〃+臼=回+同

解析：若|。|=网，则。，6只是大小相同，并不能说方向相同，A错误：向量不能比较大

小，B错误；若0=速则%b共线,C正确；|〃+6区间+固,D错误.故选C.

3.（5分）在四边形力5C0中，若彳力=一心，^\AB+Ab\=\AB-AD\,则四边形血纥。

为（C）

A.梯形B.菱形

C.矩形D.正方形

解析：因为战=一而，所以族=庆，所以四边形48CQ为平行四边形，因为|病+花|

=而一疝|,所以|布=|历即平行四边形力8。。的对角线相等，所以四边形力8C。为矩

形.故选C.

4.（5分）已知在梯形44CQ中，44〃CO且满足族=2反，石为力C中点，F为线没力B

上靠近点4的三等分点，没赢=a,AD=b,则E/=(C)

a」b3L

AB.a-b

-31246

1L

Ca-bD.a-b

-121226

—»一.—>一.I""»1'"»""»"

解析：如图所示，由题意可得力。=力。+。。=<。+44=6+〃，而EF=EA+AF=

22

1P+M,2511修厂

步+河-I2J+a=a—力.故选C.

2?3122

5.（5分）（2024•陕西榆林三模）在△力8c中，E在边BC上，且EC=3BE,。是边,48上

任意一点，AE与CD交于点、P,若多则3x+4y=（C）

A.3B.A

44

C.3D.-3

解析：VJ,P,E三点共线，・••设力(0W/W1),如1CP=CE+EP=CB+iE/l=

4

3不+庐H矶宓+『%

,又•・•力=xB+y无，/.x=Z,卜=3—3/,即3x+4y=

444

3.故选C.

6.（5分）约，。2是平面内不共线的两个向量，已知施=约一履2,昂=2肉+«2，CD=3e\

一及，若A,B,。三点共线，则k的值是（A）

A.2B.—3

C.-2D.3

解析：BD=Cb-CB=e\-2ei,由4B,。三点共线，故存在实数2,使诵=i说,即

7=I,z=1,

e\—kei=k（e\—2e：）,即解得，故选A.

k=2A,Uc=2.

7.（5分）在。中，若3由）=2无一22，则点以A）

A.在直线43上B.在直线4C上

C.在直线8c上D.为△力4。的外心

解析：因为3而=2a—2芭I,所以3砺=2①一2B=2（为一8）=2蕊，所以防和施

共线，因为防和施有公共端点8,所以力，B,。三点共线，所以点。在直线上.故选

A.

8.（5分）在△力8c中，AM=3AB+XAC,GV=1CT+1C^,4W与CN交于点P,且万=

4422

xAB-\-yAC（x,y£R）,则x+y=（B）

A.2B.4

77

C.6D.1

7

.1.1»—>一.,"»—♦

解析：因为CN=；C'8+；。!，则N为44的中点，可得/1P=.M4+J%C=2X/1N+JMC,注

意到C,P,N三点共线，可得2x+p=l,又因为力，P,M三点共线，则万〃万/,则存在

_3k

A-4，

实数尤使得苏=%俞，即x打+）坛=左（；施+；农）=:益+械，则［=4可得x

4,

“-7’

2x+y=1,A

=3），.综上所述，：=、解得I可得x+y=故选B.

l'=r，7

9.（8分）（多选）设〃”是两个非零向量，且|。+臼〈同+向，则下列结论中正确的是（AD）

A.|o-b|W同+网

B.\a-b\<\a~^-b\

C.a,5的夹角为钝角

D.若存在实数/使得“=动成立，则人为负数

解析：当明方不共线时，根据向量减法的三角形法则知|。一力|<同+|力|,当明b反向共

线时，I“一力|=|口|+网，故旧一回或回+网，故A正确；若。_!_〃，则以%b为邻边的平行四边

形为矩形，且|“+"和|〃一/>|是这个矩形的两条对角线长，则|〃+"=|“一"，故B错误；若明

[o711

力的夹角范围为I'21根据向量加法的平行四边形法则知|〃+"<闷+网，故C错误；若存在

实数i使得”=助成立，则明〃共线，由于|“+力|<同+|例，则明力反向共线，所以i为负数，

故D正确.故选AD.

10.（8分）（多选）在平行四边形48CQ中，。是对角线4C8。的交点，N是线段。。的

中点，/N的延长线与CO交于点E,则下列说法正确的是（AC）

A.AN={AB+3AD

44

B.AN=XAB-3AD

44

C.AO=[AB-\-XAb

22

D.A£=5AB-\-AD

3

解析：如图，由DE〃AB,可将ADENsABAN,

DE

一.一.一——>1一.

又08=0。，N是线段的中点，:・DE=；AB,：,AE=AD+DE=AD+^AB,，D错

误；•・•历=；充=；为+；历，・・・C正确；•・•病=历+丽=；（凝+病）+；（病一范）=：范+

3而，・・・A正确，B错误.故选AC.

4

11.（8分）（多选）（2024・辽宁大连二模）△力5c的重心为点G,点O,尸是^力^。所在平面

内两个不同的点，满足励+拉?，则（AC）

A.O,P,G三点共线

B.OP=2OG

C.2OP=AP+BP^-&

D.点尸在△4?C的内部

解析：OP=OA+OB^dc=6G+GA+OG-\-GB^-0G+GC=3OG+GA+GB+GCf因

为点、G为AABC的重心,所以游+壶+就=0,所以。>=3加，所以O,P,G三点共线，

故A正确，B错误；^+BP+&=AO+dP+Bd-hOP+cd+OP=（Ad+Bd+cb）+3OP,

因为亦=己+而+次，所以（M>+历+&））+3而=一而+3赤=2方，2OP=AP+BP

4-CP,故C正确；因为5>=3次;，所以点P的位置随着点O位置的变化而变化，故点。不

一定在的内部，故D错误.故选AC.

12.（7分）（2024•辽宁盘锦模拟）已知向量〃i,〃不共线，a=/.m-\-n,b={k—\）m—2n,若

a//h,则2='.

3

解析：由。〃b,mt〃不共线，故存在实数ZW0,使@=人力即有痴+〃=他一1）〃】一2%〃,

1=k[2—1）,

即有解得”,

1=一2七k=—

2

13.（7分）在平行四边形片8c。中，G为ZX8CO的重心，AG=xAB+yAD,贝IJ3x+p=:.

解析：如图，设/C与4。相交于点O,又G为△8C。的重心，所以O为BD的中点,

CG=2GO,则前=n+济=历+1历=4历=4乂1（而+石）=2前+2必则工=卜=2

3332333

故3x+y=；

14.（7分）在△4?。中，M,N分别为边NC,43上的点，AN=NB,AM=3MC,BM与

CN交于点尸，设筋=〃，AC=b,则万=5+*.（用mb表示）

解析：如图，在△H6C中，依题意，CN=AN-AC=Xa-h,BM=AM~AB=3b~a=~

24

q.f.>>

a+'b,因AU与CN交于点P,则C尸〃CN,于是将CP=iCN=a一必,t^R,AP=AC+CP

42

1+（1一/）dBP=AP-AB=X2~I“+（1—/）①因而//前f,而a与力不共线，从而本21

-1

1~t2-*13

=q,解得/=,所以/PM〃+/J.

1555

4

要素养提升.

15.（5分）如图，在。中，。为8c的中点，AE=2EC,4D与BE交于点、F,若筋=

a,AC=b,则赤=（A）

A

E

A.~3a+2bB.2a-3b

5555

23

C.~~a~bD.2)

55

解析：设寿=.\说