2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末必刷常考题之函数

2025-2026学年上学期高一数学北师大)期末必刷常考题之函数

一.选择题(共6小题)

1

I.已知函数y=loga(3.V-8)+27(。>0,的图像恒过定点P,尸在幕函数/(x)图象上，则/弓)

的值为()

11

A.8B.4C.-D.一

R4

2.若函数歹=/G)的定义域是[0,4],则函数gCv)=4学的定义域是()

人JL

A.[0,2]B.[0,2)C.[0,1)U(1,2]D.[0,4]

3.函数y=/g(IOA-.?)的单调递增区间是()

A.(0,5)B.5)C.(5,10)D.(5,+«>)

4.已知函数/(%)=(：01)x4-4a,"〈I满足：对任意jq,RWR，当XIXX2时，都有(xi)-/(X2)]

-ax+6,x>1

(XI-X2)>0成立，则实数a的取值范围是()

A.(卜1]B.④2]C.[2,+8)D.[1,2]

5.设偶函数/(x)的定义域为R,当工10,+8)时，/(x)是增函数，则/(-2),/(IT),/(-3)的

大小关系是()

A./(-2)</(n)</(-3)B./(IT)</(-2)</(-3)

C./(-2)</(-3)</(n)D./(-3)</(-2)</(n)

6.函数/(x)为定义在R上的偶函数，在[0,+8)上单调递增，则不等式八、・2)>/(3)的解集为()

A.(-1,5)B.(-5,1)

C.(-8,-5)U(1,+8)D.(-8,-1)U(5,+8)

二.多选题(共3小题)

(多选)7.下列函数中，在区巨(-8，2)上单调递减的是()

A./(x)=|x-2|B.9(%)=-总

C.h(x)=e〔2D.<p(x)=//.'(2-x)

(多选)8.已知定义在R上的函数/(x)满足对任意的x,y,均有/(x+y)=/(x)4/3-1,且当x

>0时，/(x)>1,则下列结论正确的是()

A./(0)=1

B.若/(4)=5,则/(I)=2

1

C./(x)是火上的减函数

D.若/(4)=9,则不等式/(/-2)<f(3x)+4的解集是(-1,4)

(多选)9.已知基函数/(x)的图象经过点(27,3百)，则()

A.f(x)的定义域为［(),+8)

B./(x)的值域为［0,+8)

C./(x)是偶函数

D.f(x)的单调增区间为［0,+8)

三,填空题(共4小题)

10.给定函数/(x)=x+4,g(x)=x2-2x,VxGR,用〃？(x)表示/(x),g(x)中的最小者，记为〃?

(x)=min{f(x),g(x)},当xW(-2,2)时，〃？(x)的最大值为.

11.若/(%)='a'是在R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为_____________.

(l+5X)x+a,x<1.

12.若函数/(%)=3%-等整在区间［-2025,2025］上的最小值为-3,则最大值为.

13.已知哥函数/(x)=(nr-2m+2)过点(2,/)，则机+〃=.

四.解答题(共2小题)

14.已知哥函数y=/(x)的图象过点(2,i).

(1)求/(x)的表达式，并写出其单调区间：

(2)若0V/(a+l)W/(4-2a),求实数a的取值范围.

15.已知函数/(x)是定义在［-3,3］上的奇函数，当0VxW3时，/(x)=i%2+x+1.

(1)求函数/(x)的解析式.

(2)若/(a+1)4/(2。-1)>0,求实数a的取值范围.

2

2025-2026学年上学期高一数学北师大版(2019)期末必刷常考题之函数

参考答案与试题解析

一.选择题(共6小题)

题号123456

答案CCAACD

二.多选题(共3小题)

题号789

答案ADABDABD

选择题(共6小题)

1.已知函数J，=loga(3X-8)+27(a>0,*1)的图像恒过定点P,。在寤函数/«)图象上，则/•(鼻

的值为()

11

A.8B.4C.-D.-

84

【考点】求呆函数的解析式；对数函数图象特征与底数的关系.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】C

【分析】根据对数函数和察函数的图象特点和定义求解即可.

【解答】解：令3x-8=l,即x=3时y=27,点尸的坐标为(3,27).

设/(x)=巴

则3a=27,所以a=3,所以/(x)=x3.

所以错)=(1)3=1-

故选：C.

【点评】本题主要考查了对数函数及幕函数性质的应用，属于基础题.

2.若函数)，=/(')的定义域是[0,4],则函数g(x)=4孕的定义域是()

人JL

A.[0,2]B.[0,2)C.[0,1)U(1,2]D.[0,4]

【考点】函数的定义域及其求法.

3

【专题】函数思想：定义法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】函数g(x)=4字有意义，只需0W2xW4,且X-1NO,解不等式即可得到所求定义域.

【解答】解：由函数y=/(x)的定义域是[0,4],

可得函数g(x)=勺部意义，

只需0W2xW4,且1W0,

解得0WxW2且xrl.

故选：C.

【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意定义域的含义和分式的分母不为0,考查运算能力，属于

基础题.

3.函数y=/g(10A-.V2)的单调递增区间是()

A.(0,5)B.(・8,5)C.(5,10)D.(5,+~)

【考点】复合函数的单调性.

【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】先利用对数函数的定义域得到0〈xV10,再结合复合函数的性质求解单调区间即可.

【解答】解：根据题意，函数y=/g(lOx-M),设f=Ox-f,则y=。”，

由lOx-x2〉。,解得OVxVIO,即函数的定义域为(0,10),

由二次函数性质得卜=101-/在(0,5)上单调递增，在(5,10)上单调递减，

由对数函数性质得y=/gx在(0,+8)上单调递增，

则y=/g(lOx-x2)的单调递增区间是(0,5).

故选：A.

【点评】本题考查复合函数的单调性，涉及对数函数的性质，属于基础题.

4.已知函数/(x)=+满足：对任意XI，X2WR,当X1#X2时，都有[/,(XI)-y(X2)]

-ax+6,x>1

(A-1-X2)>0成立，则实数a的取值范围是()

A.弓，1]B.4，2]C.[2,+8)D.[1,2]

【考点】由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

4

【答案】A

【分析】根据给定条件，确定函数/(X)的单调性，再利用分段函数单调性列式求解.

【解答】解：已知函数/(%)=但"1b+4%'<1满足：对任意制「2尔当不外2时，都有［/«】)

—QX+6,X>1

-f(X2)］(XI-X2)>0成立，

得函数/(X)在R上单调递增，

3a-1>0

1<1，

(7a-1<7-a

解得:<a<1,

J

所以实数。的取值范围是G,1］.

故选：A.

【点评】本题考查了分段函数的单调性，属中档题.

5.设偶函数/(x)的定义域为R,当工日0,+8)时，/(x)是增函数，则/(・2),/(n),/(-3)的

大小关系是()

A./(-2)</(ir)</(-3)B./(1T)</(-2)</(-3)

C./(-2)</(-3)</(ir)D./(-3)</(-2)</(n)

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用.

【答案】C

【分析】先利用偶函数的性质，将函数值转化到单调区间［0.+8)然后利用函数的单调性比较大

小关系.

【解答】解：・・・/(x)是定义域为R的偶函数，

.*./(-3)=/(3),/(-2)=/(2).

•・•函数/(工)在［0,+8)上是增函数，

-V(K)>/(3)>/(2),

>/(-3)>/(-2),

故选：C.

【点评】本题考查了偶函数的性质，以及函数的单调性的应用，一般将函数值转化到同一单调区间上再

比较大小.

5

6.函数/(x)为定义在R上的偶函数，在［0,+8)上单调递增，则不等式/•(》・2)>/(3)的解集为()

A.(-1,5)B.(-5,1)

C.(-8,-5)U(1,+8)D.(-8,-］)U(5,+8)

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】。

【分析】结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式.

【解答】解：函数/(x)为定义在R上的偶函数，在［0,+8)上单调递增，

所以/G)在(・8,0)上单调递减，

则不等式/(X-2)>/(3)可得卜-2|>3,

解得x>5或xV-I.

故选：D.

【点评】本题主要考瓷了函数单调性及奇偶性的应用，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.下列函数中，在区间(・8,2)上单调递减的是()

A.f(x)=|x-2|B.g(%)二一同

C.h(x)=eY*2D.<p(x)=b:(2-x)

【考点】复:合函数的单调性；函数图象的简单变换；函数的单调性与函数图象的特征.

【专题】计算题：方程思想；转化思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】AD

【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断86；去掉绝对值符号后可判断彳的正误.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

一'所以/(x)在(・8,2)上单调谟减，故.4正确：

x—2,x>2,

对于8,函数三，由函数)，=-：向右平移2个单位得到，

故g(x)在(・8,2)上单调递增，故8错误；

对于C,函数y=x-2在(-00,2)上单调递增，函数y=/在R上单调递增，

所以函数/?(x)=e12在(-8,2)上单调递增，故。错误；

对于。，函数y=2-x在(-R,2)上单调递减，函数-在(()，+°°)上单调递增，

6

所以函数叩(x)=ln(2-x)在(・8,2)上单调递减，故。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查函数单调性的判断，注意函数单调性的判断方法，属于基础题.

(多选)8.已知定义在R上的函数/(x)满足对任意的x,y,均有/(x+y)=f(x)+f(y)-l,且当x

>0时，/(x)>l,则下列结论正确的是()

A./(0)=I

B.若/(4)=5,则/(I)=2

C./(x)是R上的减函数

D.若/(4)=9,则不等式/(x2-2)</(3x)+4的解集是(-1,4)

【考点】抽象函数的奇偶性：定义法求解函数的单调性.

【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用：运算求解.

【答案】ABD

【分析】通过对x,歹合理赋值求解.

【解答】解：已知定义在R上的函数/(x)满足对任意的x,)，，均有/(x+y)=/(x)-I,且

当x>0时，/(x)>1,

对于从令x=y=O,则/(0)=/(0)4/(0)-1,解得/(0)=1,力正确：

对于8：令x=y=2,则/(4)=/(2)4/(2)-1=5,解得/(2)=3,

再令x=y=1,则/(2)=f(】)4/(1)-1=3,解得/(1)=2,B正确：

对于C：Vxi,JQWR，且XIVJQ,则工2・工1>0，令x=xi，y=X2-x\,

则/(X2)=/(xi)+f(X2-xi)-1»即/(X2)-f(xi)=f(X2-xi)-1,

因为X2-》l>()，所以/(X2-KI)>1，所以/(X2)-/(XI)>0,即/'(X2)>/(xj)»

所以/(x)在R上是增函数，C错误：

对于。：令x=)，=2,则/(4〕=/(2)4/(2)-1=9,解得/(2)=5,

所以/(3x)14=/(3x)1/(2)-l=/(3xi2),

因为/(工)在R上是增函数，且/(f-2)</(3x+2),

所以f-2V3x+2,即，-3尸4<0,解得-1VXV4,

即不等式/(/-2)</(3x)+4的解集是(-1,4),。正魂.

故选：ABD.

【点评】本题考查抽象函数单调性，奇偶性相关知识，属于中档题.

(多选)9.已知幕函数/(不)的图象经过点(27,3b)，则()

7

A./(x)的定义域为［0,+8)

B.f(x)的值域为［0,+8)

C./(x)是偶函数

D./(x)的单调增区间为［0,+8)

【考点】求累函数的解析式.

【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用待定系数法求出转函数的解析式，再判断选项中的命题是否正确.

【解答】解：设基函数)，=/(x)=巴图象过点(27,3V3),得27a=3百，

解得。=点所以/(x)=以，其定义域为［0,+8),选项力正确；f(x)的值域为［0,+8),选项4正

确；

/(X)是北奇北偶函数，选项C错误；

/(x)的单调递增区间为［(),+8),选项。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了累函数的定义与性质，是基础题.

三.填空题(共4小题)

10.给定函数/(X)=x+4,g(x)=x2-2x,VxGR,用〃？(x)表示/(》)，g(x)中的最小者，记为〃?

(x)=min{f(x),g(x)},当xW(・2,2)时，/〃(x)的最大值为3.

【考点】求函数的最值；分段函数的应用.

【专题】整体思想：综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】3.

【分析】作出函数〃？(x)图象，数形结合即可解题.

【解答】解：令x+4Wf-2x,

即x2-3x-420,

解得xW-1或工24,

令x2-2x<x+4,

解得-1VxV4,

x+4,x<-1>4

所以7n(x)=

,x2-2x,-l<x<4

8

故函数(X)的图象如图所示:

数形结合可知，当(-2,2)时，m(x)m(ix=ni(-1)=3.

故答案为：3.

【点评】本题考查了分段函数的应用，重点考查了数形结合的思想，属中档题.

X2,X>1,

11.若/•(%)=,Q、是在R上的单调递增函数，则实数”的取值范围为(-2,0]

(1+z)X+Q，X<1.

【考点】由函数的单调性求解函数或参数.

【专题】对应思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解.

【答案】(-2,0].

【分析】根据分段函数在R上递增，列出关于a的不等式组，可解得”的取值范围.

a

+-■>o

2

【解答】解：因为/«)是在R上的单调递增函数，所以Q2解得-2Va<0,

+-+a<1

2-

故。的取值范围为(・2,0].

故答案为：(-2,01.

【点评】本题主要考查由函数单调性求参数取值范围，属于基础题.

12,若函数/a)=3x—§貂乃在区间[-2025,2025]上的最小值为-3,则最大值为-1

【考点】由函数的最值求解函数或参数.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】-1.

【分析】结合函数的奇偶性及对称轴即可求解.

【解答】解：令9(%)二3%一羲4Y丁包-2025,2025],则fQx)=g(x)-2,

因为g(-%)=-3x-浸芯]=-3x+=-9(%)，

所以函数g(x)为奇函数.因为奇函数的图象关于原点对称，

9

所以g(x)在［-2025,2025］上的最大值和最小值之和为0,

&Pg(X)rnax+g(X)min=0，

则/(X)max+f(X)min=g(X)max^g(X)min-4=-4,

因为/(X),„m=-3,

故/(X)max=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主:要考查了函数奇偶性在最值求解中的应用，属于基础题.

13.已知嘉函数/G)=(m2-2//I+2)过点(2,J),则♦+〃=-1.

【考点】求塞函数的解析式.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】7.

【分析】结合骞函数定义可求〃［，结合已知点的坐标可求〃，即可求解.

【解答】解：因为辕函数/(x)=(〃/2-2〃什2)・x〃过点(2,1),

所以加2・26+2=1,解得〃I=1,/(x)=巴则2〃=",

所以〃=・2,〃?+〃=-1.

故答案为：-1.

【点评】本题主要考查了幕函数定义的应用，属于基础题.

四.解答题(共2小题)

14.已知哥函数y=/(x)的图象过点(2,1).

(1)求/(x)的表达式，并写出其单调区间；

(2)若0</(a+l)</(4-2a),求实数a的取值范围.

【考点】求辕函数的解析式；由'幕函数的单调性求解参数.

【专题】转化思想：待定系数法；函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)(-8,0),(0,+8);

(2)⑷，V2}.

【分析】(1)用待定系数法求基函数的解析式，再写出单调区间：

(2)由/(x)的单调性，把不等式0V/(a+l)W/(4-28转化求解即可.

【解答】解：⑴设辕函数尸/(X)="图象过点(2,-),得2a=4，

10

解得a=・l，所以/'(x)=x'1,其单调减区间为(・8,0),(0,+8)：

(2)由/(x)在(0,+8)上单调递减知，不等式OV/la+1)W/(4-2a)可化为。此一2a

解得lWaV2,所以。的取值范围是{a|lW〃V2}.

【点评】本题考查了函数与不等式的应用，是基础题.

15.已知函数/(X)是定义在［-3,3］上的奇函数，当0VxW3时，/(x)=1x2+x+l.

(1)求函数/G)的解析式.

(2)若/(a+1)4/(2a-1)X),求实数a的取值范围.

【考点】奇偶性与单调性的综合.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象.

92+%+1,o<x<3

0,x=0

(-1x24-x-1,-3<x<0

(2){a|0V〃W2}.

【分析】(1)设-3«0,利用/'(%)=-7'(-乃=-4%2+%-1,可得解析式；

(2)利用函数的奇偶性，根据单调性可去掉符号再考虑到定义域即可求出。的范围.

【解答】解：(1)因为/G)为奇函数，/(0)=0,

设-3WxV0,则0V-xW3,

11

则/(-X)=7(-x)2+(-x)+1=7x2-X+1,

因为/(十)为奇函数，则/(%)=-/(-%)=-*/+%-1,

#+x+l,0<x<3

0,x=0.

(-4好+工―1,-3<xVO

(2)当0VxW3时,/(幻=方+人+1=P%+1)2+打单调递增函数,

乙乙乙

由奇函数可知/(x)是定义在［-3,3］上的增函数，

又:/(a+l)+f(2a-\)X),：.f(tf+1)>-f(2a-1)=/(1-2a),

-3<Q+1<3(-4WaW2

-3<2a-l<3,则有］—1WaW2,解得：ov〃W2

Q+1>1-2Q(a>0

所以实I数。取值范围是：{a|0VqW2}.

11

【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用及抽象不等式的求解，属于中档题.

12

考点卡片

1.函数的定义域及其求法

【知识点的认识】函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围.

求解函数定义域的常规方法：①分母不等于零；

②根式（开偶次方）被开方式20；

③对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1：

④指数为零时，底数不为零.

⑤实际问题中函数的定义域；

【解题方法点拨】

求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组.（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析

式有意义的自变量的取值集合.（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意

义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）.（3）若一函数解析式是由几个

函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集.若函数定义域为

空集，则函数不存在.（4）抽象函数的定义域：①对在同一对应法则/下的量“x”“x+a”“x-a”所要满

足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x,所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围.

【命题方向】高考会考中多以小题形式出现，也可以是大题中的一小题.

2.函数图象的简单变换

【知识点的认识】

图象变换

（I）平移变换：

y=f（x）。>0,右移a个单位（a<0,左移|a|个单位）=>y=f（x-a）；

y=f（A）b>0,上移8个单位（bVO,下移同个单位）=>y=f（x）+6.

（2）伸缩变换：

OVXl，伸长为原来功倍、

y=f（x）93缩短为原来可一L（s）；

y=f（x）A>\,伸为原来的力倍（0V力VI,缩为原来的4倍）=y="（x）.

（3）对称变换：

y=f（x）关于x轴对称=y=-/1x）；

y=f（x）关于y轴对称=y=/（-x）；

13

y=f（x）关于原点对称=y=-f（-x）.

（4）翻折变换：

y=f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边=y=/（凶）；

y=f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y=l/（x）|.

【解题方法点拨】

画函数图象的一般方法

（I）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中热悉的曲线时，可根

据这些函数或曲线的特征直接作出.

（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作

出，但要注意变换顺序，对不能宜接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变

换单位及解析式的影响.

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法.为了通过描少量点，就能得到比较准确的图

象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论.

【命题方向】

图象变换中的易错点

在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x.y变换”的原则，写出每一次的变换所

得图象对应的解析式，这样才能避免出错•.

正确作出函数图象的三个关键点

为r正确地作出函数图象，必须做到以下三点：

①正确求出函数的定义域；

②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、累函数、形如y=x+

的函数；

③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过

程.

将函数y=2（x-1）2+3的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位长度，所得的函数图象对应的解

析式为（）

解：函数y=2（x-1）2+3的图象向左平移1个单位得到y=2?+3,

再句下平移3个单位长度得到

14

3.函数的单调性与函数图象的特征

【知识点的认识】

一般地，设函数/（X）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI，X2，

当X1VX2时，都有/（XI）<fg,那么就说函数/（x）在区间。上是增函数：当X1VX2时，都有/（XI）

>/（X2）,那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫做y=/（x）的单调区间.

函数的单调性反映了函数在某一区间内的增减情况，图象可以直观展示这种单调性.

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法：基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

-通过图象观察函数在各区间的增减情况.

■分析函数在各单调区间的行为，并确定单调区间的边界点.

■总结函数在各区间的单调性，并结合解析式进行验证.

【命题方向】

题目包括通过图象判断函数的单调性，结合图象和解析式分析函数的单调性，并解决与单调性相关的实际

问题.根据下列函数y=/a）的图像（包括端，点），分别指出这两个函数的单调区间，以及在每一个单

调区间上函数的单调性.

解:（l）/（x）的增区间为：[・2,1],[2,3],减区间为：[-3,-2],[1,2]；

（2）f（x）的增区间为：[-n,-9百用,减区间为：[一方》

4.定义法求解函数的单调性

【知识点的认识】

一般地，设困数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量XI，X2,

15

当X1VX2时，都有了（戈I）＜/（A-2）,那么就说函数/（X）在区间。上是增函数；当X1VX2时，都有/（XI）

（X2），那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是增函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区间。

叫傲y=/（x）的单调区间.

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵

循“同增异减”：证明方法有定义法；导数法.

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“U”联

结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结.

设任意XI，X2G［a＞b］且X1、X2,那么

①f（%l）-f（%2）＞00/.（X）在口，仪上是增函数；

%1一%2

＜0号/'（%）在口，6］上是减函数.

②（X1-X2）/（XI）-/（X2）］＞0可（X）在［。，句上是增函数；

（xi-X2）［f（xi）-f（X2）］＜0«/（x）在［a,b］上是减函数.

【命题方向】

函数的单调性及单调区间.是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性

定义证明考查大题的可能性比较小.从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值

问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调

性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等

价转化、数形结合、分类讨论的思想方法.

己如函数“幻=^^且是奇函数.

＜I）求实数m的值;

（2）判断/（x）在区间（企，+8）上的单调性，并用定义法证明.

解：（1）因为/（x）是奇函数,即/（-x）=-/（x）.

X2+2X24-2

所以有-----=------,得・x+m=-x-m.

-x+mx+m

解得m=0.

16

（2）函数/（x）在区间（VL+8）上单调递增.

vZa.?7

证明：由于〃1=0,所以/(%)=手=%+1

设V”x26(V2»4-co),且xi〈X2,

22222（无2一打）_

则/（打）-依）=（修+石）-3+豆）=（力f）+（五=⑺72）+

xlx2

陪…2)・

由石，得工］>企，>

x26(V2,+co),X2V2,

所以XIX2>2,X\X2~2>0.

又由xi<x2>得xi-%2<0>

于是,"I"）（X［勺—2）<~0,即/（罔）</（X2）.

xlx2

所以函数/（X）在区间（企，+8）上单调递增.

5.由函数的单调性求解函数或参数

【知识点的认识】

一般地，设函数/（X）的定义域为/，如果对于定义域/内某个区间。上的任意两个自变量同，X2，

当XIVX2时，都有了（XI）Vf（X2）,那么就说函数/（X）在区间。上是增函数；当.口>工2时，都有/（XI）

</（X2）,那么就说函数/（X）在区间。上是减函数.

若函数/（X）在区间。上是漕函数或减函数，则称函数/（X）在这一区间具有（严格的）单调性，区

间。叫做y=/（x）的单调区间.

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论.

利用函数的导数证明函数单调性的步躲：

第一步：求函数的定义域.若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考

虑定义域.

第二步：求函数/（工）的导数/（x）,并令/（x）=0,求其根.

第三步：利用/（X）=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区诃，并列表.

第四步：由/（x）在小开区间内的正、负值判断/（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值.

第五步：将不等式恒成立问题转化为/G）matWa或/（x）而自,解不等式求参数的取值范围.

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

17

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选

择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，

主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思

想方法.预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取

值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力.

6.复合函数的单调性

【知识点的认识】

所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考

虑整体的单调性.平常常见的•般以两个函数的为主.

【解题方法点拨】

求复合函数丁=/（g（x））的单调区间的步骤：

（I）确定定义域；

（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；

（3）分别确定两基本初等函数的单调性；

（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间.

【命题方向】

理解复合函数的概念，会求夏令函数的区间并判断函数的单调性.

7.求函数的最值

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵

坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

【解题方法点拨】

-分析函数图象，找出函数的顶点、极值点等特征点.

确定函数的最值，并结合边界点进行验证.

-结合函数的解析式和图象，确定最值的准确性.

-一次函数由于一次函数y=or+5为单调函数，其最值在定义域的端点处取得.

-二次函数分析顶点处的值以及定义域的边界点，确定最大值或最小值.若函数在顶点处取得最小

值，若。＜0,函数在顶点处取得最大值.

【命题方向】

题目包括通过图象和解析式求解函数的最值，结合实际问题分析函数的最值及其应用.

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函数/(x)=余的最大值为.

解：・・・f+222,

所以函数/'（;＜）=xWR的最大值为5.

故答案为：

8.由函数的最值求解函数或参数

【知识点的认识】

函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵

坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得.

【解题方法点拨】

-分析已知最值和函数的形式，发定函数的表达式.

-利用最值条件，代入求解函数的解析式或参数.

-验证求解结果的正确性.

【命题方向】

题目包括通过最值反求函数或参数，考查学生对最值及函数关系的理解和应用能力.

已知函数/（%）=勺苧在［（）,1］上的最大值为3,则实数m的值为_____.

人IJL

解,-2（%+l）+m-2_m-2

解：八乃――有-—72+乔p

显然加£2,

当初＞2时，函数/（X）在［（）,1］上单调递减，则2+符=3.解得m=3；

当〃?V2时，函数/（X）在［0,1］上单调递增，则2+寄=3.解得m=4（舍）；

综上，〃?=3.

故答案为：3.

9.奇偶性与单调性的综合

【知识点的认识】

对于奇偶函数综合，其实也并谈不.上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关犍还是

要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用.在重复:一下它们的性质①奇函数

f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x,都有/（-X）=-/（x）,其图象特点是关于（0,

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0)对称.②偶函数/(X)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个X，都有/(・X)=/(x),其图

象特点是关于y轴对称.

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，芍：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用/(0)=0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用/(x)=-/(-》)解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用/«)=f(-x)这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

例题：如果/(x)=短为奇函数，那么。=—.

解：由题意可知，/(x)的定义域为R,

由奇函数的性质可知，/(X)=jrj]=T(_K)=>a=I

【命题方向】

奇偶性与单调性的综合.

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视

这一个知识点.

10.抽象函数的奇偶性

【知识点的认识】

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数

表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.

【解题方法点拨】

①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如/(x+y)=/(x)+f(y),它的原型就是y

=kx；

②可通过赋特殊值法使问题得以解决

例：/(xy)=f(x)+f(y),求记/(1)=/(-1)=0

令x=y=1,贝ij/(1)=2f(1)=>/(l)=0

令x=y=-1,同理可推出/(-1)=0

③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；

【命题方向】

抽象函数及其应用.

20

抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种.高考中一般以中档题

和小题为主，要引起重视.

11.求幕函数的解析式

【知识点的认识】

基函数的定义：一般地，函数叫做事函数，其中x是自变量，。是常数.对于密函数，我们只研究“

1

=1,2,3,・I时的图像与性质.

【解题方法点拨】

-根据已知条件设定幕函数的形式;，代人已知条件，求解指数a.

-写出塞函数的解析式，验证解析式的正确性.

【命题方向】

题目包括辨识基函数的形式，分析基函数的特征及应用题.

若察函数y=/(x)的图像过点(4，2),则函数y=/(x)的解析式为.

解：幕函数y=/(x)的图像过点(孝，2),

V2

，＜—)。=2,

解得a=-2,

则函数y=/(x)的解析式为/G)=x、.

故答案为：/(x)=”.

12.由幕函数的单调性求解参数

【知识点的认识】

通过已知事函数的单调性，反向求解函数的参数值，要求学生理解单调性与参数的关系.

五个常用幕函数的图象和性质

(I)y=xi(2)y=x2；(3)y=x3；(4)y=(5)y=x'1

尸Xy=^y=x31y=x1

y=

定义域RRR[0,+8){x|xW0}

值域R[0,+8)R[0,+8)丽0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

单调性增je[0,+8)时，增增xE(0,+oo)

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增