2026年中考九年级数学下册复习：二次函数

专题08二次函数

阅读与思考

二次函数是初中代数的重要内容，既有着应用非常广泛的丰富性质，又是进一步学习的基础，主

要知识与方法有：

1.二次函数解析式y=or?+Zu+c的系数符号，确定图象的大致位置.

2.二次函数的图象是一条抛物线，抛物线的形状仅仅与。有关，-包与（-2,4ac~b~）决定抛

2a2a4a

物线对称轴与顶点的位置.

3.二次函数的解析式通常有下列三种形式：

①一般式：y=ax2+bx+c；

②顶点式y=a（x-m）1+〃：；

③交点式：了二。（工一七）（工一/），其中X］，£为方程ad+&+c=0的两个实根.

用待定系数法求二次函数解析式，根据不同条件采用不同的设法，可使解题过程简捷.

例题与求解

【例1】二次函数y=ar?+Z?x+c的图象如图所示，现有以下结论：①abc>0；®b<a+c；③

4a+2b+c>0；④2c<36；⑤a+b>+工1）.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

（天津市中考试题）

解题思路：由抛物线的位置确定a,b,。的符号，解题关键是对相关代数式的意义从函数常度理解并

能综合推理.

【例2】若二次函数歹=奴2+队+。（。工0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0,1）和（一1,0）,

则S=a+6+c的值的变化范围是（）

A.0VSV1B.0<5<2C.1<5<2D.-1<S<1

（陕西省竞赛试题）

解题思路：设法将S表示为只含一个字母的代数式，求出相应字母的取值范围，进而确定S的值的变化

范围.

【例3】某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的

坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.

2

在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最窗处距水面10—米，入水处距池边的距离

3

为4米，同时，运动员在距水面高度5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就

会失误.

（1）求这条抛物线的解析式；

;2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿

势时，距池边的水平距离为3,米.此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.（河北省中考试题）

3

解题思路：对于（2）,判断此次跳水会不会失误，关键时求出距池边的水平距离为3-米时，该运动员

5

与跳台的垂直距离.

【例4】如图，在直角坐标xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（4,-V3）,且在x轴上截得的线

段力8的长为6.

（1）求二次函数的解析式；

12）在y轴上求作一点夕（不写作法），使以+尸。最小，并求产点坐标；

（3）在x轴的上方的抛物线上，是否存在点Q,使得以Q,4〃三点为顶点的三角形与△/I4C相似？

如果存在，求出点。的坐标；如果不存在，请说明理由.（泰州市中考试题）

解题思路：对于（I）、（2）,运用对称方法求出/,B,2点坐标；对于（3）,由于未指明对应关系，需

分类讨论.

【例5】如图，己知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形46C0E,其中力尸一2,万产一1.试在46

上求一点P，使矩形尸M）“有最大面枳.（辽宁省中考试题）

解题思路：设DN=PM=x,矩形产的面积为N，建立y与x的函数关系式.解题的关键是：最

值点不一定是抛物线的顶点，应注意自变量的取值范围.

【例6】将抛物线.：乂二-岳？+百沿不轴翻折，得抛物线Q,如图所示.

U）请直接写出抛物线02的表达式.

12）现将抛物线6向左,移〃7个单位长度，平移后得到的新他物线的顶点为马工轴的交点从左到

右依次为48；将抛物线j向右也平移移加个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为N,与x轴

的交点从左到右依次为。，E.

①当从。是线段力E的三等分点时，求机的值；

②在平移过程中，是否存在以点力，N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求巴此时机的

值；若不存在，请说明理由.（江西省中考试题）

解题思路：把相应点的坐标用，"的代数式表示，由图形性质建立，〃的方程.因〃7值不确定，故解题的

关键是分类讨论.

能力训练

4级

1.已知抛物线y=x2-（a+2）x+9的顶点在坐标轴上，则a的值为

2.已知抛物线y=/+云+。与y轴交于点力，与x轴正半轴交于氏C两点，且8c=2,SMBC=3,

则b=.（四川省中考试题）

3.已知二次函数y=ad+bx+c的图象如图所示.

（1）这个二次函数的解析式是y=：

12）当x=时，y=3；

13）根据图象回答，当x时，_v>0.（常州市中考试题）

4.已知二次函数的图象经过原点及点（-,，-1），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该

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二次函数的解析式为.（安徽省中考试题）

5.二次函数y=ad+公与一次函数歹=〃、+《在同一坐标系中的图象大致是（）

6,由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：己知二次函数y=/+云+c,的图象过点（1,0）

求证：这个二次函数的图象关于直线x=2对称，根据现有信息，题中的二次函数图象不具有的性质是

•）

A.过点（3,0）B.顶点是（2,-2）

C.在x轴上截得的线段长度是2D.与y轴的交点是（0,3）

（盐城市中考试题）

7.如图，抛物线y=云+c•与两坐标轴的交点分别是/,B,E,且是等腰直角三角形，AE

=BE,则下列关系式不能总成立的是（）（大连市中考试题）

2

A.1)=0B.S...RF=cC.ac=~\D.a+c=0

第8题图

工如图，某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米处高各有

一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度

忽略不计）（）

A.9.2米B.9.1米C.9米D.5.1米

（吉林省中考试题）

9.如图，是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图.在地面O,4两个观测点测得空

935

中固定目标C的仰角分别为a和尸，04=1千米，3?。=一，如7万二一，位于。点正上方一千米。

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点处的直升机向目标。发射防空导弹，该导弹运行到达距地面最大高度3T米时，相应的水平距离为4

千米（即图中E点）.

（1）若导弹运行为一抛物线，求抛物线的解析式；

（2）说明按（1）中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.

（河北省中考试题）

10.如图，已知△48C为正三角形，D,E分别是边力C、8c上的点（不在顶点），/BDE=60；

-1）求证：ADECsABDA；

12）若正三角形48。的边长为6,并设QC=x,BE=y,试求出y与x的函数关系式，并求4£最短

时，△8OE的面枳.

II.如图，在平面直角坐标系中，04且08=204,点力的坐标是（-1,2）.

（1）求点B的坐标；

（2）求过点力,。，8的抛物线的解析式；

13）连结力8,在（2）中的抛物线上求出点P,使S\®二5,\斯）・（陕西省中考试题）

12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/+〃?》+〃经过点力（3,0）,B（0,—3）两点，点?是

直线上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M.设点P的横坐标为/；（I）分别求直线和

这条抛物线的解析式；

（2）若点夕在第四象限，连结8”,AM,当线段PM最长时，求△力8M的面积：

（3）是否存在这样的点尸，使得以点P,A/B,。为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写

出点夕的横坐标；若不存在，请说明理由.（南宁市中考试题）

B级

1.已知二次函数y=一61+。的图象顶点与坐标原点的距离为5,则c=_

2.如图，四边形/8C力是矩形，A,〃两点在x的正半轴上，C,。两点在抛物线y=-/+6x上.设

OA的长为〃7（0<m<3）.矩形/18CO的周长为/，则/与加的函数解析式为.

（昆明市中考试题）

第2题图第3题图第4题图

3.如图，在。。的内接△力台。中，AB+AC=\2,ADVBC,垂足为。（点。在边8C上），且力。=3,

当月8的长等于时，。。的面积最大，最大面积为__________.

4.如图，已知二次函数%以+c（4W0）与一次函数为=米+“（々/0）的图象相交于点4（-

2.4）,B（8,2）,则能使必>为成立的％的取值范围时.（杭州市中考试题）

5.已知函数y=ad+b%+c的图象如下图所示，则函数y=ax+c的图象只可能是（）

（重庆市中考试题）

ABCD

6.已知二次函数y=+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab,ac,a+b+c,a-b-\-c,

2a+b,中，其值为止的式子个数为（）

A.2个B.3个C.4个D.4个以上

（全国初中数学联赛试题）

7.已知抛物线y=ax2+bx+c（aWO）的对称轴是x=2，且经过点P（3,0）则a+b+c的值为（）

A.-1B.0C.ID.2

8.已知二次函数y=ax?+以+。（Q>0）的对称轴是x=2,且当匹=&,£=乃,工3=0时，二次

函数歹的值分别时乂,必，歹3,那么必，丁2，卜3的大小关系是（）

c

A.yi>y2>nBy,<丁2<，3-乃<乂<%D.y2>yt>y3

,4

9.已知抛物线>=〃a2-（3〃7+§口+4与工轴交于两点4,B,与y轴交于。点，若△48C是等腰三角

形，求抛物线的解析式.（“新世纪杯”初中数学竞赛试题）

10.如图，已知点M,N的坐标分别为（0,1）,（0,一1）,点P是抛物线>=；/上的一个动点.

（1）判断以点尸为