处理奇偶数列的四大类型-2026高考数学一轮常考题

50.处理奇偶项数列的四大类型

类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列

类型2.邻项等差（等比）

类型3.摆动数列

类型4.含三角式的数列

★类型1.相邻项和（积）为等差（等比）数列

1.在等差数列中，有一类比较特殊的递推类型，即。用+〃”=A〃+3,它可以得到两个子

数列分别是公差为攵的等差数列.

若an+=A"+8,A/0,则当几.2时，+an-4〃-1）+3,两式相减得

=4,即数列｛%,-｝与数列｛a2n｝均是公差为A的等差数列.

2.在等比数列中，有一类比较特殊的递推类型，即•”“二〃♦/,它可以得到两个子数

列分别是公差为9的等比数列.

若％。向二〃夕”，〃工0,"0,则。e为+2=旬向，两式相除得与色二q,即数列｝与

数列｛a2n｝均是公比为q的等比数列.

3.通项公式：

AAi，

——〃+%,H=2K-1

22

(1)若a〃+q,+i=A〃+B,AwO则/=«,keN*

A

一〃+4,一A,〃=2k

12-

a,-q2,n=2k-l

(2)pq"，l)H0,q于°,则/=,1",kwN+

n।

2

a2-qyn=2k

4.前n项和

方法1.由3解得通项后并项求和（具体见案例）

方法2.对于隔项等差的前n项和，可直接由相邻两项的关系解得，即由。“+%“=B,

若〃为偶数：S”=（4+〃2）+（。3+。4）+…+〃〃）

1

若〃为奇数：s“=4+（出+/）+（4+%）+…+（a,i+a〃）

例1已知数列｛可｝满足4=2,。田+〃“=4〃+3,求数列｛可｝的通项公式.

解析：由题意可得。”+]+&=4〃+3,。〃+|+。“+2=4〃+7,两式相减可得。“+2-。〃=4.

所以，数列｛4｝的奇数项和偶数项分别构成公差为4的等差数列，且的=5.当〃为奇数时,

%=2+（空—1）乂4=2〃；当〃为偶数时,q=5+1]—l）x4=2〃+l.

因+51+（—1）”].

例2.已知数列｛q｝的前〃项和为S”，且4=4,q+az=4〃+2（〃eN’），则使得5“>2023

成立的〃的最小值为（）

A.32B.33C.44D.45

解析：。”+凡+1=4〃+2①，当〃22时，4一]+勺=4（〃一1：|+2②，两式相减得。=4,

当〃为奇数时，｛q｝为等差数列，首项为%公差为4,所以为=4+4（?）=2〃+2,

%+%+】=4〃+2中，令〃=1得6+%=6,故％=6-4=2.

故当〃为偶数时，｛凡｝为等差数列，首项为2,公差为4,所以4=2+4（g-l]=2〃-2,

IZz

所以当〃为奇数时，

—（4+2H+2）+—（2+2n-4）

S“=（4+%++q）+（%+/++）=-----------------1-----------------=/+〃+2，

当，，为偶数时，S,=（w.+e（…+心止”）+产2-）-

当〃为奇数时,令n2+n+2>2023,解得〃245,当〃为偶数时,令n2+n>2023,解得〃246,

所以S”>2023成立的〃的最小值为45.故选：D

例3.若数列｛4｝的前〃项和为S”,且满足％=1,%”+a“=3x2",贝心；=（）

A.61B.253C.1021D.4092

解析：由题意，〃eV,在数列｛氏｝中，前〃项和为S.,%=1,勺川+q=3、2”，

・・・%+/=2x2"+2"=2用+2”,即——2向=—（4—2"）,・•・数列｛q—2〃｝是首项为

2

4—2=—I,公比为-1的等比数列，・・・可一2"=-以(一1尸即为=2"+(-1)”(〃£1<),

227：2X2

・・・S7=4+W+O7=2+(-1)'+2+(-1)++2+(-l)=^---1X4+1X3=253>

故选：B.

注：当递推关系。,川+%=。必'1时，求其通项公式可以利用分解变量构造等比数列，将已

知的递推关系+为闻…分离变量，得到。川一匕的”=一［4一八々7”一［(Z为常

数)，再利用等比数列｛%-上阳”］的通项公式求解.

★类型2.奇偶分段数列

类型1.。,用=4",keN\由于数列通项均已知，求和时只需分奇偶求和即

［g(n),n=2k-\

可.

类型2.4M=<J'":，,,keN：由于数列通项在奇数时为递推关系，所以需要先

g(an\n=2k-\

利用递推关系求得奇数时每项的特征，在求和时往往需将奇数项的计算转化为己知通项的

偶数项进行.

/(〃”),〃=2k

类型3“向八"、keN・

g(a“),〃=2Z-l

这一类问题需要先求出各段的通项，再分段求和，由于涉及奇偶讨论，所以去构造隔项之

间的递推关系从而求得具体通项形式.

/、2。“，〃=2%,

例4.设数列⑷满足：“；叱21(z小)、%是49的等比中项.

(1)求处的值：

(2)求数列｛《,｝的前20项的和.

解析：(1)由已知%=%+1，&=2%=24+2,

又4是4必的比例中项，所以姆=。冏3，即(4+1尸=%(2卬+2),显然。尸0且。尸T,故

解得4=1;

3

(2)〃是奇数时，an=2an_x=2(^.,+1)=2an_2+2,n>3,《,+2=2(*+2),而q+2=3,

所以数列4+2q+2,,%+2,是等比数列，

S］0=q+。2+%+。4++4|9+。20=4+（。1+1）++（%+1）+,,+419+（69+1）

=2［（弓+2）+（生+2）++（“9+2）］-30=2x主11_-30=6108.

1-2

例5.已知等差数列｛%｝中，4+/+/=9，4+处+/=27,数列也｝的前〃项和为S“，

且%=S“+1,"=1.

（1）求数列｛〃“｝,也｝的通项公式.

n，

（2）Cn=\~■一，旌N,7；为｛qj的前〃项和,若七+2〃2-〃+1。之效，恒成立，

求义的最大值.

解析：（1）因为｛叫为等差数列，所以4+4+%=3%=9,得%=3.

由4+4+4=3%=27,得%=9.所以数列｛4｝的公差〃=亭?=2,

5—2

所以=%+。?-2）"=3+（〃-2）x2=2/?-l.对于低｝,%=Sn+1①,当〃22时，

"=Si+®

①•②得%*,=S“-Si=%让2,即%=2不a2）,

由题意可得为二粒+1=4+1=2,所以b?=2b1,所以/储=2〃对任意成立，

所以｛2｝是首项为1、公比为2的等比数列，所以〃wN”.

（2）由（1）得=一（《+/+%+…+424-1）+（〃2+仇+%+•',+/%）

=一（1十5十9十…十4〃-3）十（2十23十2,十・••十22'"）

（1+4/2-3）/22（1-4"）c,2x4"-2

21-43

岂"+2〃2_〃+10之久恒成立，等价于生［^+］（）之”22恒成立，化简得竽探“恒

3nX/

成立，即E；：慧）＞A.设数列⑷的通项公式为4=2,/8=*2"+畀,

X、3*乙/m）m.JX/3、\7）

4

令4当2"-=4X14)>0,得让2,所以出</<4<…，又4=12,

4=1。，所以4>出，(4)*=10,所以％wio,所以入的最大值为io.

4

例6.已知数列｛q｝的前“项和为S"”T+%=2an(/?>2,/ZGN),且q=1,S§=15.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若“=［：：："为器'，求数列也｝的前2〃项和

Z9〃乃1内双

解析：(1)由=24(〃？2),得%-勺=。“-%(〃》2),所以数列｛q｝为等差数列.所

以S§=5x幺磬=5%=15,得%=3.所以公差"=与m=1.所以《,=〃.

23-1

(2)当〃为奇数时，hn=a„=n.当〃为偶数时a=2%=2"T.

所以£”=(4+4++电-1)+他+仇+,+坛》)=。+3++2n-l)+(2+23++22")

3

例7.设数列｛q｝的前〃项和为S”，己知S"+l=24ReN)

(1)求｛q｝的通项公式；

(2)设2=J;］？亚且攵GN',求数列低｝的前〃项和为0.

解析：(1)当〃=1时，弓=1,当〃22时，J'..=>《,=2%,所以｛4｝是首项为

+1-2%

1,公比为2的等比数列，则〃“=2T

(2)由题设知："丘N,当〃为偶数时，

",〃=2k

22,l(n2)

m++〃1)+(仇+%++^)=(20+2++2"-)+(2+4++n)=^—l+'.

34

当〃为奇数时，4=他+优++2)+他+仇++/>„,,)=(2°+2:++2”T)+(2+4++〃-1)

5

综上，n+11,AwN，

2n+1-In2-\r,,

1-,n=2k-l

3---4

★类型3.含有(-1)”型摆动数列

例8.已知数列满足：％+(T)Z=3〃-l(〃wN)则｛q｝的前60项的和为()

A.1240B.1830C.2520D.2760

解析：由%•an-3n-1,故生一4=2,%+々=5,«4-a,=8,%+卬=11,....

故4+%=3,%+%=3,%+%=3,....

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于3；4+a=13,4+%=37,

4+4)=61,….从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以13为首项，以24为公

差的等差数列.

15x14

故S6O=3xl5+13xl5+^y^x24=2760.故选：D.

2

例9.设等比数列｛q｝的前“项和为S”，已知。川=2+1,〃eN..

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设2=(-1)”3+〃),求数列他｝的前2〃项和

解析:⑴设等比数列伍“｝的公比为9,<%=5“+1①，”eN；..当〃=1时，有叼=E+1=aq,

当〃22时，=②，由①-②得”,川-q=S0+1-(S.T+】)，即J-《,=%,•••乎=2,

u/l

n1

:.q=2,「.q=1,\an=2'；

2nl

(2)由(1)得an=2Al则bn=(-1)"(«„+〃)=(-1)"(2-'+n)t：.b2n=2~+2〃,%=-⑵…+2〃-1),

・•.am,

4r,_]

T2n=(4+仇)+(4+“)+…一(4”-i+4")=(l+4++4)+"=——+ZJ.

例10.(2014年湖南文科)已知数列｛凡｝的前〃项和5.二片±,nsN*.

(1)求数列｛凡｝的通项公式；

6

(2)设a=2%+(--4,求数列也｝的前2〃项和.

解析：(1)当〃=1时，4=S]=1；

当在2时，—“=『〃”(〃-忆〃,故数列｛，，”｝的通向公式为:

%=〃・

(2)由⑴知，，=2"+(-1)”明记数列｛2｝的前2〃项和为匕，则

&=⑵+2?+...+22W)-(-1+2-3+4-...+2%进一步,若记A=21+2?+...+2?〃,

8=-1+2-3+4-...+2〃，分别求和可得：

2(1-2?”)

A=-----------B—(—1+2)+(―3+4)+(2〃-1)+2川=nt

1-2

故数列｛"｝的前2〃项和为％“=A+B=22M+〃—2.

2〃iiH2k|

注：此处勿是一个分段形式：btl=\一"=一，kwNI分组求和是处理分段形式

2n+nji=2k

的数列求和的一把利器！

★类型4.含三角的通项

2〃江2里〃wN)则数列｛4｝

例11.设数列｛4｝满足4=1,%=2,an2=1+cos—%+sin~

+2

的前20项的和520=.

解析：由递推关系可知，若〃是正奇数，则4,+2=4+L｛&I｝是以q为首项,2为公差的

等差数列；若〃是正偶数，则勺+2=24,｛生人｝是以火为首项，2为公比的等比数列.所以，

k｝4

。2%_]=4+伏-1)x2=2&—1,a2k=a2l~=2,可得

c/\/\(1+10)x1020-叫

S2G=(《+《+•'+49)+(生+4++生。)=-----------+\o=2101.

Z1—Z

三.习题演练

1.已知数列｛为｝满足4=1。,“。"二2"(〃£^),凡是数列｛4｝的前八项和，贝"*二()

A.22023-1B.2m3_3C.3X21O,3-1D.3X22(>23-2

7

解析：由题设在4=叼=2,且%-2%尸24,所以此।2向=2,即誓=2,

当〃=2"1且壮N•时，也｝是首项为1,公比为2的等比数列，则出1=户；

当〃=2攵且丘N”时，&｝是首项为2,公比为2的等比数列，则阳=2。

1_71012_?101八

S,(P3=(%+“3+...+。皿3)+(。，+。4+…=----=-----F—----二---=2""3一3.故选：B

1-21-2

2.已知S“是数列｛4｝的前〃项和，q=l,+cos(7?7u)=sinmt-->则SJO22=()

2)

B.2C.-3D.3

71

解析：由a“Ve+cos（M）=sin〃兀一5可得。”・①〃兀——-cos(nTi),

2

当〃为奇数时，，,/*=1+1=2；当〃为偶数时，。"*=-1=-2.

故当〃为奇数时，。必+]=1+1=2,%+必“+2=2,贝汁口11一一1

当〃为偶数时，4%”〃向4.2=2,则**=-1.故对任意的〃wN",萨=7

所以，数列也｝中的奇数项成以-1为公比的等比数列，偶数项也成以-1公比的等比数列,

2

因为4=1,贝lj生=7=2,所以,

a\

附-㈠)“5

=3.故选：D.

2L1—(7)+1一（一1）2

3.在数列｛q｝中，已知4=1且J+%=2〃，则其前29项和SI的值为（）

A.56B.365C.421D.666

解析：§29=4++。4+•,•+427+〃28+。29

=4+3+6)+(。4+6)+…+(。++%)+(q8+%)=1+2x2+2x4+…+2x26+2x28

=1+2(2+4+6…+26+28)=421.故选：C

凡+1,〃为奇数,

4.（2021年新高考I卷）已知数列｛/｝满足q=l,。小=

为+2,〃为偶数

（1）记"=生〃，写出4,%并求数列｛4｝的通项公式;

（2）求｛%｝的前20项和.

8

解析：(1)由题设可得4=。2=4+1=2,仇=4=。3+1=/+2+1=5

aaa

又2k+2~2k+\+1,2k+]~。2人+2，故^2*+2=X+3即%=么+3即包+]-2=3

所以也｝为等差数列，故2=2+(〃-l)x3=3〃-l.

(2)设｛《,｝的前2()项和为S20，则520=4+42+/++%0，因为

-10

ax=a2-\,a3=a4-\,,«19=6f20-1,所以=2(&+&++«18+«2o)

苧、3-*3肛

=2(々+仇+4-Z?9+/?10)—10=2x10x2+

。一6,〃为奇数

5.(2023年新高考2卷)2｛4｝为等差数列，b"=,为偶数,记".分别为数

列｛4｝,也｝的前〃项和,§4=32,4=16.

(1)求｛q｝的通项公式;

(2)证明：当〃>5时，Tn>SH.

解析：(1)设等差数列｛q｝的公差为d,而勿=,［工，晨工,

则a=q-6,b7=2al=2〃i+2dh=4-6=4+2d-6,

S,—4a.+6d—32

于是g4q+4d-12=16'解得4=51=2,…+-3,

所以数列｛%｝的通项公式是%=2〃+3.

/、_*_•、4_!_/、­c〃(5+2〃+3),2〃-3,〃=2攵-1

(2)方法1：由(1)知，S=----------=〃2~+4〃,b=〈，火wN,

2n4〃+6,〃=24

当〃为偶数时，〃1+a=2(〃_1)_3+4〃+6=6〃+1,萼=13+(丁+1)卜二|〃2+,〃

37I

当及〉5时，(一，=(”2+〃)_(/+4〃)=〃(〃-1)>0,因此7>S”，

乙乙乙