北师大版八年级数学下册 图形的旋转（第1课时 旋转的定义及性质）导学案

3.2图形的旋转导学案

第1课时旋转的定义及性质

01学习目标

i.通过具体实例认识平面图形的旋转。

2.探索图形旋转的基本性质。

3.会进行简单的旋转画图。

学习重点：旋转概念及三要素的确定；旋转全等性质的发现与应用。

学习难点：旋转概念及三要素的确定；旋转全等性质的发现与应用。

学习过程

第一环节自主学习

创设情景，引入新课

问题情境：

回1.知识回顾

①一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的.

②设(x,y)是原图上一点，当它沿x轴方向平移a(a>0)个单位长度，沿y轴方向平移b(b>0)个单位长度后,

这个点与其对应点的坐标之间有如下关系：

平移方向和距离(。>0，b>0)对应点的坐标

向右平移〃个单位，向上平移b个单位长度(x+a,

向右平移〃个单位，向下平移b个单位长度(x+a,y-b)

向左平移〃个单位，向上平移b个单位长度(x-a,y+b)

向左平移。个单位，向下平移b个单位长度(x-a,y-b)

团2.情景引入

观察下面图片，在日常生活物体运动的一些场景，在运动过程中有什么共同的特点？

以上都属于旋转现象，你还能举出一些类似的例子吗？

新知自研：自研课本第90-91页的内容.

【学法指导】

自研课本P90-9I页例题上面的内容，思考：

•探究一：旋转的相关概念

团1.思考交流

（1）以上物体的运动有什么特点？

解：（1）绕着一个定点转动；

（2）沿某个方向转动；

（3）转动一个角度.

（2）怎样来定义这种图形旋转变换？

团2.知识归纳

旋转的定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转敌一个角度，这样的图形运动称为旋转.这

个定点称为旋转中心,转动的角称为旋转角.

转动的方向分为顺时针与逆时针.

注意：旋转不改变图形的形状和大小.

团3.新知探究

如图，4ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度，得到^DEF,点A,B,C分别旋转到了点D,E,F.

①点A与点口是一组对应点；

②线段AB与线段D2是组对应线段，乙BAC与江皿是组对应角；

③在这一旋转过程中，点O是旋转中心，ZAOD,ZBOE,/COF都是旋转角.

说一说其它的对应点、对应线段和对应角.

团4.练一练

①下列运动属于旋转的是（）

A.火箭升空的运动

B.月球在草地上滚动

C.大风车运动的过程

D.传输带运输的东西

解：C.

②如图所示，4ABC是等边三角形,D是BC边的中点,AABD逆时针旋转后到达aACE的位置，那么：

(1)旋转中心是点；

(2)点B,D的对应点分别是点;

(3)线段AB,BD,DA的对应线段分别是;

(4)2B的对应角是;

(5)旋转的角度为.

解：A;C,E;线段AC,CE,EA;4ACE;60°

团5.知识归纳

旋转三要素：确定一次图形的旋转时，必须明确：旋转中心，旋转角,旋转方向

注意：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向,旋转角度”称之为旋转的三要素;

②旋转变换同样属于全笠变换.

•探究二：旋转的性质

团L操作思考

如图①，两张透明纸上的四边形ABCD和四边形EFGH完仝重合,在纸上选取旋转中心O,并将其固定.把其

中一张纸片绕点O旋转一定角度(如图②).

(1)观察图②中的两个四边形，你能发现哪些相等的线段和相等的角？

解：相等的线段:

AB=EF,BC=FG,CD=GH,AD=EH.

相等的角：

z.A=z.E,z.B=z.F,z.C=zG,z.D=z.H.

(2)连接AO.BO,CO,DO.EO,FO,GO,HO,你又能发现哪些相等的线段和相等的角？

OA=OE,OB=OF,OC=OG,OD=OH.

相等的角：

zAOE=zBOF=zCOG=zDOH.

(3)在图中再取一些对应点,画出它们与旋转中心所连成的线段，你又能发现什么？

改变透明纸上.所画图形的形状，再试一试.

解：相等的线段：AO=A'O,BO=B'O,CO=C'O.

相等的角：ZAOA'=ZBOB'=ZCOC.

团2.知识归纳

一个图形和它经过旋转所得的图形中：

①对应点到旋转中心的距离相等；

②任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋技第;

⑶对应线段相等,对应角相等.

注意：旋转中心是唯一不动的点;经过旋转，图形的形状和大小不变.

团3.练一练

如图，点A、B、C、D都在方格纸的格点上，若AAOB绕点0按逆时针方向旋转到ACOD的位置，则旋

转的角度为()

A.30°B.450

C.90°D.I35。

解：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、0D是对应边，4BOD是旋转角，所

以，旋转角为90。.故选C.

团4.观察思考

在下图中的(1)-(4)的四个三角形中，哪个不能由AABC经过平移或旋转得到？

【例题导析】

自研下面的例1和例2的内容，回答问题:

例I如图，四边形ABCD是边长为4的正方形且DE=1,ZkABF是4ADE旋转后的图形.

(I)旋转中心是点;

(2)旋转角是°；

(3)AF的长二；

(4)如果连接EF,那么ZiAEF是________三角形.

解：A;90;g;等腰直角

例2如图所示，将AAOB绕着点。旋转180。得到aDOC,过点。的一条直线分别交BA、CD的延长线于

【分析】先利用旋转的性质得OB=Q£,AB=CD/B=K,再证明^OBE三AOCF得到BE=CE从而可证得AE

=DF.

［证明］VAAOB绕着点O旋转180。得到aoc,

.-.OB=OC,AB=CD,ZB=ZC.

ffiAOBE和aOCF中，

zB=zC,OB=OC,ZBOE=ZCOF,

•••△OBE三△OCF(ASA),

•・BE=CF,

.•.BE-AB=CF-CD,即AE=DF.

第二环节合作探究

小组群学

在力组长斛领下：

A.探讨什么是图形的旋转以及旋转的性质是什么.

B.交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法.

C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

住巩固练习

1.如图所示，AABC为钝角三角形，将AABC绕点A逆时针旋转130。得到AABC,连接BB，，若ACIIBB，，

则,CAB，的度数为()

A.750B.850C.950D.105

A

2.如图所示，在RSABC中,Z.ACB=90°,AC=8,BC=15,将AABC绕点B顺时针旋转60。,得到ZiEBD,

连接DC交AB于点F,则z\ACF与ZkBDF的周长之和为（）

A.48B.50C.55D.60

C4

解：c

3.如图所示,4ABC的三个顶点都在方格纸的格点上淇中点A的坐标是（一1,0）.现将AABC绕点A顺时针旋

转90。,则旋转后点C的坐标是____.

4.如图所示，在4ABC中/CAB=65。,将"BC在平面内绕点A逆时针旋转到aABC的位置，使CCIIAB,则

旋转角的度数为一.

解：50°.

5.如图,ZkABD经旋转后到达4ACE的位置，点M是AC的中点.若BD=3cm,AB=8cnn则EC=,AM=,

解：3cm,4cm

6.AABD经过旋转后到aACE的位置.

（1）旋转中心是哪一点？

⑵旋转了多少度?顺时针还是逆时针？

(3)如果M是AB的中点，经过上述旋转后，点M转到什么位置?

解：⑴旋转中心是点A：

(2)旋转了60。，逆时包；

(3)点M转到了AC的中点上.

7.如图所示，在“BC中，已知4ABe=3()。,将^ABC绕点B逆时针旋转50。后得到MiBG，若4A=IOO。,求

证MiQIIBC.

证明:•.2ABC=30°/A=100°,

AZC=50°.

•••将AABC绕点B逆时针旋转50。后得到“iBG，

.­.zCBC1=50°xC1=^C=50°,

.,.乙CBG="i，

MjCJIBC.

8.如图所示，AABC是等边三角形，"BD按顺时针方向旋转后能与z\CBD唾合.

(1)旋转中心是旋转角是°；

(2)连接DD；求证:ZkBDD为等边三角形.

(2)证明:由旋转的性质，得BD=BD,

•••旋转角是60。，

.­.^DBD'=60°

.•.△BDD为等边三角形.

9.如图所示，在AABC中,AB=AC/BAC=40。,将AABC绕点A按逆时针方向旋转100。得到ZkADE,连接BD,CE

交于点F.

⑴求证:△ABDEAACE;

(2)求心ACE的度数.

解：(1)证明:由旋转的性质得

ZBAD=ZCAE,AB=AD,AC=AE.

又・.AB=AC,

.-.AB=AC=AD=AE,

.-.△ABD^AACE.

(2)-.zCAE=100°,AC=AE,

.­.ZACE=zAEC=1x(|8O°-ZCAE)

=1x(180°-100°)

-40°.

04提升专练

题型一：旋转中的相关概念

1.图中的底底是杭州第19届亚运会的吉祥物，将它顺时针旋转90。后的图形是()

第

A.

【分析】根据旋转的定义进行判断即可.

【解答】解：将它顺时针旋转90c后，只有8选项符合题意.

故选：B.

【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象，解题的关键是熟练掌握旋转的定义.

2.如图是一个钟表，将其旋转180度，根据时针和分针的位置，钟表中的时间可以是（

【分析】将钟表旋转180。后,即可得到，钟表中的时间为8：30,

【解答】解：将钟表旋转180。后，如图所示，

钟表中的时间为8：30,

故选：A.

【点评】本题考查了镜面对称，将钟表旋转180。是解题的关键.

3.下列运动属于旋转的是（）

A.滚动过程中的篮球的滚动

B.钟摆的摆动

C.一个图形沿某直线对折过程

D.气球升空的运动

【分析】根据旋转的定义分别判断得出即可.

【解答】解：A、滚动过程中的篮球的滚动，也有平移，故此选项不符合题意:

8、钟摆的摆动，属于旋转，故此选项符合题意；

。、一个图形沿某直线对折过程，是轴对称，故此选项不符合题意：

。、气球升空的运动，也有平移，故此选项不符合题意.

故选：B.

【点评】此题主要考查了旋转的定义，正确把握旋转的定义是解题关键.

4.如图，AABC旋转后与4AED重合，且AABE为等边三角形那么：

(1)旋转中心是________点；

(2)旋转方向是_________；

(3)旋转角是_____________；

(4)AC的对应线段是_______.BC的对应线段是_______.4ABe的对应角是_______；

(5)连接CD,判断AACD的形状是.

【分析】^ABC旋转后与AAED重合，两个三角形有公共点A,则旋转中心是点AUABC旋转到ZkAED

时，AC与AD完全重合，4ABe与4AED完全重合.有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

【解答】解：(I)旋转中心是点A；

故答案为：点A；

(2)旋转方向是顺时针；

故答案为：顺时针，

(3)旋转角是乙CAD或乙BAE；

故答案为：4CAD或4BAE；

(4)AC的对应线段是AD,BC的对应线段是ED,ZABC的对应角是/AED；

故答案为：AD,ED,ZAED；

(5)aACD是等边三角形.理由如下：连接CD,如图所示：

连接CD,如图所示：

•••△ABE为等边三角形,

.-.zBAE=60°.

,.,ZBAC=Z.EAD,

.-.zCAD=zBAE=60°.

vAC=AD,

••.△ACD是等边三角形.

故答案为：等边三角形.

【点评】本题考查的是旋转的性质、旋转的定义，①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心

所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等.

题型二旋转的性质

5.正六边形是旋转对称图形，它绕其旋转中心旋转一定的角度，能和自身重合，则这个角度至少为（）

A.30。B.60°C.120°D.180。

【分析】求出正六边形的中心角的度数即可.

【解答】解：如图，•••正六边形ABCQEF内接于

:,UOB=cBOC=cCOD=CDOE=LEOA=犁^=60°,

o

••・绕着点。顺时针或逆时针至少旋转60。才能与原正六边形重合，

故选:B.

FE

工BC

【点评】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，求出正六边形中心角的度数是正确解答的关键.

6.如图，中，A3=AC,点。是边的延长线上一点，连接4D,逆时针旋转线段A。得到

AE，且/DAE=4C43,连接则下列结论一定正确的是（）

【分析】由旋转得，AE=AD,证明△ACOWAABE,可得乙4。。二乙4EB,进而可得4D4E=4EB。，则乙。B

=LEBD.

【解答】解：由旋转得，AE=ADr

Z-DAE=Z-CAB,

^£DAC+Z.CAE=^BAE+Z-CAE,

•\cDAC=^BAE.

在A4c。和AABE中,

AD=AE

Z.DAC=z_EAB,

AC=AB

.-.△ACD=AABE(SAS)，

：.Z-ADC=Z-AEB.

设AE与8。相交于点O

贝|J"OO=4BOE.

-^AOD+^ADO+^DAE=\SO0,N80E+〃E8+NEBQ=180°,

:•乙DAE=^EBD,

:•乙CAB=LEBD.

故选：B.

【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定与性质

是解答本题的关键.

7.如图，"BC中，4B=15。，ZACB=25°,AB=4cm,A48C逆时针旋转一定角度后与MOE重合，且点

。恰好成为4。的中点.

（1）指出旋转中心，并求出旋转的度数：

（2）求出乙物七的度数和AE的长.

R

【分析】（1）先利用三角形内角和计算出484。=140。，然后根据旋转的定义求解；

（2）根据旋转的性质得乙以。=/小。=140。，AE=AC,AD=AB=4,则可利用周角定义可计算出zB/1E=

80°,然后计算出AC,从而得到4E的长.

【解答】解：（1）MAC=1800-M-"C8=180°-15°-25°=140°,

即ZBA£>=14O。,

所以旋转中心为点A,旋转的度数为140。；

（2）•.♦△A8C逆时针旋转一定角度后与AAQE重合,

.-.ZMD=Z^C=14O°,AE=AC,AD=A13=4

••2BAE=360。-140°-i40°=80°,

•・•点C恰好成为AO的中点，

1

.-.AC=尹7)=2,

.-.AE=2.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角：旋转前、后的图形全等.

8.如图所示，MBC直角三角形，延长"到。，使BD=BC,在BC上取BE=A8,连接。£ZkABC顺时

针旋转后能与△EBZ）重合，那么：

（1）旋转中心是哪一点？旋转角是多少度？

（2）AC与OE的关系怎样？请说明理由.

【分析】（1）由条件易得BC和BO,R4和BE为对应边，而△八8C旋转后能与重合，于是可判断旋

转中心为点8；根据旋转的性质得乙48E等于旋转角，从而得到旋转角度；

（2）根据旋转的性质即可判断AC=OE,AC1DE.

【脩答】解：（|）：BC=BD,BA=BE,

.•.8C和BD,B4和8E为对应边，

•••△ABC旋转后能与△仍£＞重合，

.•施转中心为点B;

・"BC=90。，

而44XC旋转后能与重合，

；."BE等于旋转角，

・•・旋转角是90度；

（2）AC=DE,ACLDE.理由如下：

••・△43C绕点B顺时针旋转90。后能与△E8。重合,

.-.DE=AC,OE与AC成90。的角,BPAC1DE.

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋

转角；旋转前、后的图形全等.

题型三求旋转图形中相关角度的大小

9.如图，边长为1的正方形A8C。绕点A逆时针旋转45。后，得到正方形49C。，边夕。与OC交于点

0,则乙。09的度数为（）

A.125°B.130°C.135°D.140°

【分析】由旋转的性质可得Z8=乙8=90。，乙D48=45。，由四边形内角和定理可求解.

【解答】解：•••边长为1的正方形人8c。绕点A逆时针旋转45。后，得到正方形人9C。，

••2B'=N8=90。，ZO4B'=45。，

••/DOB'=360°-4。-48・乙。49=135°,

故选：C.

【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

10.如图，教室内地面有个倾斜的畚箕，箕面48与水平地面的夹角乙。8为61。，小明将它扶起（将畚箕

绕点A顺时针旋转）后平放在地面，箕面A8绕点A旋转的度数为（）

【分析】根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解.

【解答】解：•••A3与地面的夹角NCAB为61。,

.•.48A8'=180°-4CA8=180°-61°=119°,

即旋转角为119%

・•・箕面AB绕点A旋转的度数为119。.

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，解决本题的关键是由角的和差关系得到人夕的度数.解题时注意：对应

点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.

11.如图，在“8。中，484c=130。，将A48C绕点。逆时针旋转得到△DEC,点A,8的对应点分别为。，

£,连接4Q.当点4，D,E在同一条直线上时，则NA4。的大小是（）

B\

Lc

A.80°B.70°C.60°D.50°

【分析】由旋转的性质可得AC=CD,乙ZMC=4COK=130。，由等腰二角形的性质可求4COA=zlCAO=50。，

即可求解.

【解答】解：•••将AABC绕点。逆时针旋转得到

MC=CD,z.BAC=£CDE=\30°t

.­.zCDA=zC4D=50°,

••zBAZ）=80°,

故选：A.

【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键.

12.如图在△A8C中，zC=90°,“BC=40。，将ZkABC绕点8逆时针旋转得到“方。，点C的对称点C恰

好落在变AB上，连接AV,则4CAH度数是（）

A.50°B.70°C.110°D.120°

【分析】先根据三角形内角和定理求出4c48的度数，再根据旋转的性质得出BA=BA',乙48C=乙484=

40°,得出NB/14的度数即可求解.

【解答］解：在"BC中，zC=90°,^4BC=40°,

."48=50°,

•.•将绕点B逆时针旋转得到

:.BA=BA',zABC=^ABAf=40o,

1800-40°

^BA'A=^AA'=2=70°.

：.£.CAA'=/.CAB+Z.BAA'=50o+70°=120°,

故选：D.

【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键.

题型四求旋转图形中线段的长度

13.如图，在RSABC中,乙4cB=90。，乙4=60。，18=4,将△人BC绕点C按逆时针方向旋转得到zUEC,

此时点A恰好落在AB边上，则点方与点B之间的距离为（）

【分析】先由旋转性质得4c=AC,BC=BC,匕夕C8=4VCA,再证明△ACT、△班:9是等边三角形，得到

89=BC,再根据含30度角的直角三角形的性质求解BC即可.

【解答】解：由旋转性质得4C=A，C,BC=B'C,乙BC8="，CA,

••,zA=60o,

••・△4CA是等边一角形，

.•.ZA'C4=6O°,则48'CB=60°,

.•.△BC9是等边三角形，

在RtaABC中，乙4C8=90°,NA=60°,AB=4,

••AC=248=2,

:.BC=山1勿一心=2百，即88'=2V3,

故选：B.

【点评】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟

练掌握旋转的性质和等边三角形的性质是解答的关键.

14.如图，在正方形AAC7）中，将边绕点8逆时针旋转至BC,连接CC,DC,若乙CCO=90。，CD=

【分析】过点8作3ALec于点E,证明△BCE三△COC（A4S）,由全等三角形的性质得出CE=C。，由旋

转的性质及等腰三角形的性质求出CC=4,由勾股定理可得出答案.

【解答】解：过点B作BE1CC于点E,

•••四边形48C。是正方形,

..BC=CD,乙BCD=90°,

.--z^CE+zCCD=90°,

•:乙BCE+乙CBE=9。。,

:,乙CCD=cCBE,

又•.Z4EC=4CC。，

.•.△KC£^AC79C(AAS),

:.CE=CD,

•••将边BC绕点、B逆时针旋转至BC,

:.BC=BC,

又.BE1CC,

:・CE=CE=CD=2,

.-.CC=4,

•.CD=VCC，2+CD2=V42+22=2V5,

:.BC=2瓜

故选:D.

【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

熟练掌握正方形的性质是解题的关键.

15.如图，在四边形ABC。中，将边A8逆时针旋转90。交CO于点E.若AQII8C,zC=45°,AO=3,则

【分析】过A点作ARU。交C。延长线于点八连接8。，先证明4尸=八。，再证明三△AEF,即可得

BD=FE,N8DC=90。，即有ABC。为等腰直角三角形，即可得E/=C。，进一步解答即可.

【解答】解：如图，过A点作AFJLA。交CO延长线于点凡连接8D,

根据旋转有：48AE=90°,AB=AE,

••"=45。，ADWC,

"£>F=45。，

即“。C=1800-ZFDA=18O0-45°=135°,

,.'AF1AD,

•ZDA/=90。，

：.Z.AFD=£ADF=45\

^.AF=AD=3,

即DF=yjAF2^-AD2=V32+32=3A/2,

•••△84E=90°,NO4尸=90°,

:.乙BAD=^EAF,

乂

-.^ABD^^AEF(SAS),

.•Z8OA="F£=45°,BD=FE,

.•.2/3O