2026年初中数学中考复习：菱形问题（含解析）

菱形问题

一阶方法突破练

I.在如图所示的正方形网格中，有格点A,B,确定两组格点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是

菱形，请通过作图找出符合要求的点C,D.

2.如图，在平面直角坐标系中点A(-4,0),B((),3),点M为x轴上一动点，点N为平面内一动点.若以A,B,M,N

为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点N的坐标.

3.如图，抛物线y=-X2+2%+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.若点D是x轴上的动点，在平面直

角坐标系中，存在点E,使得以点A,C,D,E为顶点的四边形是菱形，求点E的坐标.

第3题困

二阶设问进阶练

例如图，抛物线y=--£x-4与x轴交于B,C两点，与y轴交于点A.

(1)若抛物线上存在一点P,点H是平面内任意一点，使得四边形BPOH是菱形.求点P的坐标;

例题图①

(2)若点D为y轴上一点,K为平面内任意一点，当以B,C,D,K为顶点的四边形是以BC为边的菱形时，

求点D的坐标；

例题图②

(3)若点M为抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在点N,使得以A,B,M,N为顶点的四边形是菱

形?•若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

例题图③

(4)如图④，连接AB,交抛物线对称轴于点F,点G为x轴上一动点，在平面内是否存在点Q,使得以A,

F,G,Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

例题图④

⑸如图⑤，将原抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点P是新抛物线的顶点，点K是平面内一点，点H

为x轴上一点.是否存在点K,使得以点C,P,H,K为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点K的坐标；若不

存在，请说明理由.

例题图⑤

三阶综合强化练

1.如图，已知抛物线y二炉一2%-3与x轴交于A,D两点，与y轴交于点C,点B为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的对称轴及点B的坐标；

(2谄抛物线上存在一点E，使得SEA。=Sc.。,求点E的坐标；

(3)(任意一点+抛物线上的动点)若平面直角坐标系内存在动点P,抛物线上是否存在点Q,使得以A,C,P,

Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图①

2.如图，抛物线y=ax2+bx+6(a*0)与x轴交于A.B(3,0)两点与y轴交于点C,顶点为D,且点D的横坐标

为L

⑴求抛物线的解析式；

(2谄在线段BC上存在一点M,使得.乙BM。=45。,，求点M的坐标；

(3)(y轴上的动点+对称轴上的动点)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,Q,

使得以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图①

备用图②

3.如图①，在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a*0)与x轴交于A,B两点(点B在点A右

侧］),力8=4,与y轴交于点C,直线y=-gx+2经过点B,C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图②，点P为BC上方抛物线上一点，过点P作PE||x轴交直线BC于点E,作PF||y轴交直线BC于点F,求

△PEF周长的最大值；

(3)(x轴上的动点十任意一点)在⑵的条件下,若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S,

Q,使得以S,Q,E,F为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图

一阶方法突破练

1解：格点c,D的位置如解图所示借案不唯一).

第1期解图

2.解:・.•A(-4,0),B(0,3)-AB=5.

/WB

①当AB为菱形的边时，

gA。标

a.若AB与AM为邻边，如解图①，以点A为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点M,

第2题解图①

•.BNIIAM,且BN=AM=AB=5,

.•山式-5,3)02(5,3);

b.若AB与BM为邻边，如解图②以点B为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点M,

此时ON3=OB=3「N3(0,-3);

②当AB为菱形的对角线时，如解图③，作AB的垂直平分线交x轴于点M,

•••BN411AM而设NKn,3),

:.BM4-AM4—BN4=-n,:.0M4=4+n,

在RfBOM,中，由勾股定理得，

n2-(4+n)2=9,解得n=一字二M(—今3).

综上所述，点N的坐标为(-5,3)或(5,3)或(0,-3)或(-泉3).

3.解::抛物线y=2x+3与x轴交于A,B两点，与y监交于点C,

.•.A(-L0),B(3,0),C(0,3),分三种情况讨论：

①如解图①，当AD为菱形的对角线时,则AD与CE互相垂直平分，.北(0,-3);

②如解图②③，当CD为菱形的对角线时，

第3题解图①

图②图③

第3题解图④

由CZ)2=子得d?+32=5+1)匕解得d=4,

.-.CE=AD=CD=5,/.E(-5f3).

综上所述，点E的坐标为(0,-3)或((同，3)或(-旧，3)或(-5,3).

二阶设问进阶练

例解：(1)二•抛物线与x轴交于B,C两点，

.•.B(-6,0),C(・L0),

•・四边形BPOH是菱形，.二线段0B的垂直平分线与抛物线的交点即为点P.

•••0B=6〃•点P的横坐标为-3.

将x=-3代入抛物线解析式得y=4.

.•点P的坐标为(34);

(2；由⑴可知,B(・6Q),C(-L0)〃.BC=5,

•••3C为菱形的一四，BC二CD.

设D(O,n),.CD2=12+n2,

贝！J1?+712=5弓解彳导八=±2乃.

•・•点D的坐标为(0,2遍)或。-2V6);

⑶存在.

抛物线的解析式为y=一92一日“一%令x=0,得y=-4,.-.A(0,-4).

«JJ

..._A=__2_=_Z

2a2x(4)2，

.•・设点M的坐标为(-gm).

①当AB为菱形对角线时，如解图①，连接AB,取AB的中点H,过点H作AB的垂线与抛物线对称轴交于

点Mi,过点A作BM]的平行线，过点B作AM1的平行线，两平行线交于点N】，

•.A(0,-4),B(-6,0),.Z|

所在直线的解析式为；

.•.H(-3,-2).ABy=-x-4.於树悭

设MN1所在直线的解析式为y="+h/肃手年.

将H(-3,-2)代入得分=例题解图①

・•.MiN】所在直线的解析式为y=|x+1,

将％=-彳弋入，得y=一芳—Mi_/).

••,H为MM的中点M

②当AB为菱形的边时,

222

•.A(0,-4),B(-6,0)r-.AB=6+4=52.

a知解图②，当AM=AB时厕.AM^=力8御(一3+[m_(_4)]2=52,解得巾=一4士萼,二

“2(一,-4+等),M3W).

•・根据平移性质可得外(-/萼),怡(一日-等)；

b.如解图③，当BM=AB时，则.BM2=AB2,

即［-^-（-6）］2+*=52解得m=土等:.等），也（-”等）.

根据平移性质可得M乎-4）,N$G）——4）.

综上所述，点N的坐标为（-1»-g或（-p或（-三一当2）或自当^-4）或修）--4）;

⑷存在.

由13）得AB所在直线的解析式为y=-彳X-4；.•点F为线段AB与抛物线对称轴的交点，

«5

•・•点G在x轴上，

设点G的坐标为（g,0）.

①如解图④，当AF为菱形对角线时，

设线段AF的中点为I,则/（一：，一9

设G】Q】所在直线的解析式为y=1x+d2将/（-/一卷）代入，解得d2=-/

G&所在直线的解析式为y=|%-白令*0,解得％Gi仁，0）,

上OO\OQ/

丁点/（一：，—总）是QiGi的中点，

•.《（-导-9

②当AF为菱形的边时，

••♦4（0,-4）,尸（一!一^，二4/2二答

a.如解图⑤，当AG=AF时厕AG2=AF2,

即g2+（—4）2=^，解得g=±亨，

,•♦。2（-等，。）&（等。）.

二根据平移性质可得Q2（-『V），Q3（"以9；

即（一＞丁+卜丁二篝，

解得g=W±等

••£（_；一等，0）£（_*啜0）.

二根据平移性质得Q4（等，9，QS（等；）•

综±所述,点Q的坐标为（-詈或（-管4）或（等4）或（-等T）或（等

⑸存在.

原抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线X=-P（甘倒,••・8=

分以下情况讨论：

①如解图⑦，当CH是菱形的对角线时，由菱形的性质得点P与点K］关于x轴对称,

②如解图⑦，当CK为菱形的对角线时,由菱形的性质得，CH=PK=CP=^f：•

O

%（等-道）阳（-等-避），

③如解图⑧，当CP为菱形的对角线时，由菱形性质得，PC垂直且平分HK,

--•PC中点的坐标为（一彳，工），

・•・直线PC的解析式为y=-gx-?，

「•设直线KH的解析式为y=力+的,将（-：噜）代入，得d3=黑

••・直线KH的解析式为y=力+翳

・•・PKIIHC,

•・•点K的纵坐标为学代入直线KH,得％=翳K’（署噜）,

例题解图⑧

综上所述，点K的坐标为（号,臂）或（等咛）9或（-等-连）或（署5）.

三阶综合强化练

1.解:Q）BQ,-4）;

（2；【思路点拨】由题意知,AEAD与ACAD有公共底AD,若想使两三角形面积相等，则高相等即可，设出点

E的坐标，由高相等,列方程求解即可.

如解图①，设“2-2x-3）,

.•点C为抛物线与y轴的交点.•（（（）,-3）,

V"EAD与&CAD有共同的底边AD,且S.=SCAD，

••・点E到x轴的距离等于点C到x轴的距离,

•t.\x2—2x-3|=3,

解得2,X

Xi=2=0,x3=V7+l,x4=-V7+1,

一第()一夕+，)

•••J(2,3),0,-3),E3(V7+V3,%(13,

.•点E的坐标为(2,-3威(0,-3)或((夕+1，3)或(-V7+1，3);

（3；【思路点拨】因为AC为菱形的对角线，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，可知菱形对角线过点O,

可求出菱形另一条对角线所在的直线解析式，将其与抛物线解析式联立求解即可.

存在，如解图②，

V四边形是以AC为对角线的菱形，

山菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点Qi,Q2,

2

令X—2x—3=0彳导x2=-l,x2=3,

••・A(3.0),

/.0A=0C=3,

/.AC的垂直平分线过点O,

设AC的中点为点F,

，尸G，一|)，.直线Q】Q2的解析式为y=-x,

联立

(y=-x

(X=->/1-3-+1(|X=-V1-3-+1

解得2I2

脚府V13+1|旧-1'

[y=­[y=—

・••Qi(年写),Q2(乎乎).

2.解：(1)抛物线的解析式为y=-2M+4x+6;

(2；【思路点拨】可作MN±y轴,OH_LOM交CB的延长线于点H,作HK_Ly轴，构造△OMN?HOK得到对应

边相等，求得点M的坐标.

由⑴得，点C(0,6),

・「直线BC经过点B(3,0),C(0,6),

二直线BC的解析式为y=-2x+6,

设点M的坐标为(m,-2m+6)(0<m<3),

如解图①，过点M作MN±y轴于点N,过点O作OH1_OM交CB的延长线于点H,过点H作HK±y轴于点

K,则NMNO=/MOH=/HKO=90。，

•NOMB=45°f.-.OM=OH.

易知/MON=/OHK,

.“OMN要AHOK(AAS),

.-.MN=OK/ON=HK.

..H(-2m+6,-m),

「.-2(-2m+6)+6=-m,解得m=-2m+6=当

第2题解图①

・・•点M的坐标为第)；

(3)存在.

易知，点D的坐标为Q,8),

•.以点P,Q,C,D为顶点的四边形是菱形，

•••分两种情况讨论：

①当CD为菱形的边时，如解图②，

,.,C(0,6),D(l,8),..%CD=

:.DQ=CD=

•••点Q的坐标为((L8-6)或(1，84-V5);

②当CD为菱形对角线时，如解图③，设点Q(l,m),P(O,n),

■.C(0,6),D(l,8),/.m+n=6+8=14z

.,.n=14-m,/.P(0,14-m),

/.PC=14-m-6=8-m,

22

•••CQ=yjl+(m-6)tPC=CQ,

8-m=J/+(m-6/,解得m

•・•点Q的坐标为(13)，

综上所述，点Q的坐标为((1，8-花)或(1，8+西)或(1弓)・

第2题解图

3.解：(1)抛物线的解析式为y=-|/+(%+2;

(2；【思路点拨】设出点P的坐标，由平行线的性质得到点E的横坐标,通过函数解析式得到点E,F的坐

标，表示出PE,PF的长，由勾股定理得到EF的长，进而表示出三角形的周长，利用二次函数的性质即可求得W

EF周长的最大值.

设点P的坐标为(m，-刎2+扣+2)(0<m<3),

PElix轴,PFIIy轴,

22

-^m++2=—^xE+2,解得xE=m-2m,

E(m2-2m，-!7n2++2^,F(m>-刎+2),

PE=m—(m2—2m)=3m,

PF=—^TH2+gm+2-(-§m+2)=-刎2+2m,

:.EF=1(—m2+3m)2十(一jm?十2m)

Jm4—6m3+9m2+4-4m2

J亭M一争九3+13m2

—(m4—6m3+9m2)

=^l^2-3?n|,

v0<m<3,EF=乎(3m-in2),

22

:.CPEF=-m+3m+(一|病+2m)+孚(3m-m)

<0,

.•.当m=弼,OPEF存在最大值最大值为史誓

【一题多解】设点P的坐标为（m，-刎2+刎+2）（0<m<3）「「PFlly轴,.•.F（ni>--m+2\,zOCB=zEFP,

222

VZEPF=ZBOC=90V^EPF-ABOC/.-.1=知•：PF=-1m+2-+2)=EF=VPE+PF=

2

m—3m\,.%0<m<:.EF=■白扁通用2%9(222

CPEF=—m+37n4-(--m+2m)+—(3m-7n)=

Vl-T~m2+2m,-------="r-»,/.PE=-m2+3m

S+V13(3\215+3日/23

手<0,.当m=，时,OPEF存任最大值，最大值为竺了.

324

⑶存在.

由⑵知,m=l

cc3/n

a（-淖，呜1），EF=—4—,

分以下三种情况:

①浅段EF为菱形的边，且EF与ES为邻边，如解图①，以点E为圆心，EF长为半径作圆,交x轴于点S4?,连

接ES】,ES2,过点S】S作EF的平行线，过点F作ESlrES2的平行线，两平行线分别交于点Q1，Q?,：，EF=ES1=