八年级数学寒假作业07 二次根式的乘除（巩固培优）原卷版

限时练习：40min完成时间：一月一日天气：-J-

作业07二次根式的乘除

积累运用

一、二次根式的乘法

1.二次根式的乘法法则

两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，即4•£=%(/(),怔0)・

例如：丑.心=42X32=项=8•

2.二次根式的乘法法则的拓展

(1)二次根式的乘法公式可推广到多个二次根式相乘的运算，即筋•式=妖(介0,/；>0,c>0).

(2)当二次根式前面有系数时，类比单项式乘法，将根号前的系数相乘，作为积的系数，即

m^b=mn^ab(a>0,力20)♦

二、积的算术平方根

1.积的算术平方根等于积中各个因式算术平方根的积，即砧方，(e0,/)>0).

运用此公式时，被开方数必须能写成乘积的形式.

2.该法则可以推广到多个非负数的枳的算术平方根的运算，即d/,>0,c>0).

3.应用：化简二次根式，先将被开方数进行因数分解或因式分解，再利用心=式修(/0,桓0)和分=以色0)，

将能开得尽方的因数或因式开到根号外.

三、二次根式的除法

1.二次根式的除法法则

两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根，即a=1(生0,加0).

2.二次根式的除法公式可以推广到多个二次根式相除的运算，琢，1m,b>。，c>0).

3.二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式相除的法则，把系数和被开方数分别相除作为积的因式，

即机%+〃*-(/〃+〃)•匕工•

四、商的算术平方根

商的算术平方根等于商中各个因式算术平方根的商，即R表

>o,b>oy

五、最简二次根式

i.被开方数不含分母，并且被开方数中不含能开得尽方的因数(或因式)，分母中不含根号，这样的二次根

式称为最简二次根式.

2.化为最简二次根式的步骤

（1）把根号卜的带分数化为假分数，把绝对值小于1的小数化为分数，被开方数是多项式时，先因式分解;

（2）将被开方数中能开尽的因数（或因式）进行开方；

（3）利用《a之o,h>oy使被开方数中不含分母;

（4）分母有理化，化去分母中的根号；

（5）约分化简，整理成最简二次根式.

培优训练

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

题型一二次根式乘除成立的条件

1.能使等式£=强成立的条件是（）

A•.吟0B>x>3C.》>3D.x>3或x<0

题型二最简二次根式

2.若最简二次根式叫6M与最简二次根式相等，则〃=___.,

题型三根号内、外的因式互移

3.把（］_J根号外面的因式移到根号里面化简的结果是

题型四分母有理化

4.对于任意不相等的两个正实数mh,定义一种运算“※”如下：Q/尸疝，例如：54=^=3-

a-b5-4

(1)

(2)

题型五分子有理化

5.阅读下述材料：

我们在学习二次根式时，学习了分母有理化以及应用.其实，有一个类似的方法叫作“分子有理化“；与分母

有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：

石怎哼笋=六，

/bV7+V6V7+V6

分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题.例如：

比较百.兀和兀一盘的大小•可以先将它们分子有理化如下：

因为£+0怎行，£.怎火

再例如：求严丘_布的最大值.做法如下：

解：由x+2KT》-2之0可知走2，而丁=@^-@^="^^7福，

当户2时，分母G+G有最小值2,所以y的最大值是2・

解决下述问题：

⑴354=督—--------；

(2)比较4_不和总.土的大小；

⑶求产质工_£工的最大值・

题型六二次根式的乘除运算

6.计算：

⑴(3份+怎场xQ

(2)；心(一：a)4护

(3)已知力=5石R,8=3TLC=/lOx+3y»A、8为最简二次根式，且力+8=0求石学•

题型七二次根式的化简求值

7.先化简，再求值：⑸□&（&/），其中实数…满足产心+码+2・

题型八实数范围内分解因式

8.在实数范围内分解因式：.

题型九二次根式乘除的应用

9.高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.据研究，高空抛物下落的时间，（单位：s）和高度h（单

位：m）近似满足公式片/（不考虑风速的影响）.设从〃⑴］）高空抛物到落地所需时间为⑴从2〃（m）高空抛

物到落地所需时间为〃则△的值为（）

12H

A.&B.石C.正D.透

2能力培优练

1.阅读下列解题过程：

2^5=^?XV^=V22X0.5=^

利用上述解法化简卜.列各式

①际;

2.观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题:

0Ai=\

。42=/]2+]2=£;5,=2X1X1=2

5

1

0A3=，2+/=石；52-22

53A

1

oAjj3+]2=a:-22

（1）推算出；

OA5=

（2）若一个三角形的面积是3,则它是第几个三角形？

（3）用含〃（〃是正整数）的等式表达上述面积变化规律，即S”=

222的值

（4）求出。?3+□□1

S200

3.（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“>"、"V”或“="，并完成后面的问题.

^XV16-------4⑹幅乐--------

„—幅於口

用式，“，立表示上述规律为：

（2）利用（1）中的结论，求总R的值

（3）设口口，上痣试用含x,y的式子表示士.

4.已知：x-六’&=六.

求（I）X|+.¥?=?,内・刈=?

⑵/阳及+/的值•

5.阅读题目：计算出乂论，

小明同学是这样计算的，立=V^=，3x3x2=6x£=3"

小刚同学是这样计算的丘x五=4x^3X2=^3X^3x6=35

问题填空：

(1)两位同学做法正确的是

A.小明正确B.小刚正确

C.小明、小刚都正确D.小明、小刚都不正确

(2)小明同学在计算时用到了公式

©(色0,怔0)；②^7=(«>0)

小刚同学在计算时运用了公式

(e0,b>0)；②2=(色0)

6已知：旧"爱’且,是偶数’求：代数式<、+”旧的值•

7.细心观察，认真分析，然后解答问题：

(A)2+l=2,$=?；(6+1=3,S2=f；

乙4

(^3)2+l=4,S3=f;□

(1)用含〃(〃是正整数)的等式表示上述变化规律

(2)。&0的长:

(3)求出帝忌+承匚+相°的值.

8.设长方形的面积是5,相邻两边的长分别是a,b.

2

(1)若S=16cm,a=\Qcm,求b；

(2)若S=V^c/%2,,求。.

9.化简:

(1)V(-8)Q(-25);(2)等⑶

(4)(5)Lzz/d,瓜；(6)~^=

'lOabcJc572c3al?

10.比较下列各组值的大小：(在横线上填“〉"V"或“=”)

4+3------2x^x1；3+；------2x005+5-------2xQW；…

通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明你所写式子的正确性.

11.计算：

⑴-^3*V(-l6)x(-36);

⑵一芯;

Jl^D2^3D(-2^io):

12.已知x为奇数,求'1+2x+f+后7的值.

3创新题型练

1.观察下列各式及其验证过程:

（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并