与球有关的切、接问题的4大核心题型（压轴题专练）-2026年高考数学临考冲刺押题预测解析版

压轴13与球有关的切、接问题的4大核心题型

空间几何体的外接球、内切球是高中数学的重点、难点，也是高考命题的热点，一般是通过对几何体

的割补或寻找几何体外接球的球心求解外接球问题，利用等体积法求内切球半径等，•般出现在压轴小题

位置

A题型01空间几何体的外接球

技法指导

（1）求几何体外接球半径的方法

①补体法：把几何体补成长方体、正方体、正吗面体，再利用它们的外接球半径公式求解；②性质法：

球心与截面圆心的连线与截面垂直，球心与弦中点的连线与弦垂直.

（2）确定球心的常用结论

①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心

连线的中点；③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；④正棱锥的外接球的球

心在其高上，具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.

1.（2022・新高考全国II卷•高考真题）已知正三楼台的高为1,二、下底面边长分别为3百和46，其顶点

都在同一球面上，则该球的表面积为（）

A.100兀B.128兀C.14471D.192K

【答案】A

【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径小所以〃=上邑,26=2-，即彳=3e=4,设球心

sin60'sin60

到上下底面的距离分别为4,心，球的半径为七所以4H，4=JR2_I6,故|4-4|=1或4+%=1，

即卜］或反右=解得欠2=25符合题意.所以球的表面枳为

S=4TTR2=100兀.

故选：A.

2.已知三棱锥尸—ABC的四个顶点均在球。上，/BAC==,NAC8=3AC=J5,P8_L平面48c.若

26

tanNP"=2jL则球0的体积为（）

16nc32兀647r

A—B-VC.—D.——

•333

【答案】C

【解析】在V44C中，N8AC=2,NAC8=¥,4C=G,

26

所以A8=AClan4=l,所以8C=2.

因为PB_L平面ABC,AB,BCu平面ABC,

所以PB上AB,PBJ,8C.

乂tanZPAB=2,所以夕4=ABtanZPAZ?=2x/5.

如图将三棱锥P-ABC,补形为长方体,

S'------

则三棱锥尸-ABC的外接球就是长方体的外接球，

长方体的体对角线PC是长方体的外接球的宜径，球心为PC的中点.

又PC2=PB2+BC2=16,即PC=4,所以球。的半径为2,

故球。的体积丫=：兀x2，=?.故选C.

3.已知四面体A8c。的4个面为全等的等腰三角形，且CA=C8=2AA=4,A,B,C,。四点在同一个球面

上，则该球的表面积等于（）

A.8KB.127tC.18KD.24n

【答案】C

【解析】依题意可知7M=C8=O8=AC=4,DC=AB=2.

如图，将四面体八BCO放入长方体中，

设长方体的共顶点的三条棱的长分别为x,y,z,将四面体补形为长方体模型，

/+),2=4,

则J+z2=16,解得，=5/2,

)，2+Z2=16.=714.

四面体/WCQ的外接球也就是该长方体的外接球，其半径为R,地,

22

故所求表面积为S=4兀2=4兀x（乎）=18兀，故选C.

4.（2023•全国乙卷T16）已知点S，A,B,C均在半径为2的球面上，VA4。是边长为3的等边三角形，SA_L平

面ABC,则S4=.

【答案】2

【解析】如图，将三棱锥S-A5C转化为正三棱柱SMN・ABC,

设VA8C的外接圆圆心为。「半径为「，

2r=———=义=2加一厂

则sinZ.ACB石，可得厂=6，

T

设三棱锥S—ABC的外接球球心为。，连接OAOQ,则。4=2,O«=gsA,

因为。*=00：+«4,即4=3+：S*,解得幺=2.

A题型02空间几何体的内切球

技法指导

空间几何体的内切球问题，一是找球心，球心到切点的距离相等且为球的半径，作出截面，在截面中求

半径；二是利用等体积法直接求内切球的半径.

5.（2025•吉林长春•模拟预测）所有棱长都是2的正四棱锥的内切球半径为（）

A拒ox/3「R-&瓜+&

A.----o.----------------nU.------------

3324

【答案】C

【解析】依题意，所有棱长都是2的正四棱锥的高〃="、（我了=夜,

体积V=-x22x&=4。，表面现S=4x^-x2?+22=4（64-1），

334

设该棱锥的内切球半径为「，则=V,即r=--=一=~~~~，故选C

3S4（6+1）2

6.（2025•江西南昌•模拟预测）已知正三棱锥P-A3c的体积为3m3,侧面积为2m2,底面积等于Inf,则这

个正三棱锥内切球的体积为（）

A.36nm'B.1271m*C.108TIm?D.—itm'

3

【答案】A

【解析】因为三棱锥P—A5c的体积：V=；S",

J

其中S为三棱锥P-ABC的表面积，「为其内切球的半径.

所以3=；x（2+l）.r=>r=3.

44

所以这个三棱锥内切球的体积为：5M3=§7cx3,=36几（„?），故选A

7.某圆台的下底面半径是上底面半径的3倍，一个半径为3的球与该圆台的两个底面和侧面均用切，则这个

圆台的体枳为（）

A.39兀B.60兀C.78nD.117立

【答案】C

【解析】如图，作圆台的轴截面：

设HD=r,则抬=3r，过。作0M工于M,则AA/=2厂，

又AD=AE+DE=AF+DH=4『,DM=GF=6,

在Rt.AMD中，AD2=AM2+DM2=>16r2=4r2+62=>r2=3.

所以圆台的体积为：V=^[r2+（3r）2+r-3r].HG=787r.

故选：C

8.12025新高考II卷T14）一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内

有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为cm.

【答案】|

2

【解析】圆柱的底面半径为4cm,设铁球的半径为r,且r<4,

由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2r>+(9-2r)2,

即4/一68r+145=(2r-5)(2r—29)=0,r<4,：.r=-.

峥题型03空间几何体的棱切球

技法指导

解决棱切球问题的常用方法

(1)外形：转化为内切球求解；

(2)找切点=定球心=构造直角三角形求解.

9.(2026•江西南昌•期末)正三棱维P-A8C的底面边长为26，侧棱长为2&，若球〃与正三棱锥所有的

棱都相切，则这个球的表面积为()

179

A.w乃B.(44—16>/6)^C.-7TD.32不

【答案】B

【解析】设底面ABC的外接圆的圆心为0,连接PO,A。，延长4。交于N,

球H与棱尸ABC分别切于M,N,设球，的半径为「，

则4。=旦26=2,ON=®26-2=1,

32

而PO_L底面A6C,所以PO_LAO,可得qO=二Z=2，

在直角三角形OM/中，OH=G-1，1<厂<2&，

在直角三角形中，PM=MH=r,PH=Cr,

所以PO=PH+OH,即有2=J5r+/7=L解得「=2&—6，

则这个球的表面积为4万产=4万x(2a-G『=(44-16")乃.

故选：B

M

7fR

10.（2026•山东蒲泽二模）已知正三棱柱A4C-A4G的体积为18,若存在球。与三棱柱ABC-A4G的各

棱均相切，则球。的表面积为（）

A.8万B.12万C.16乃D.18”

【答案】C

【解析】设正三棱柱A4C-A4a的底面边长为〃，高为b,上底面中心为下底面中心为G,

连接则球。的球心。在QG的中点上，设球。切棱4A于/，切棱BC于E，

则F、E分别为所在棱的中点，

由题意匕g4叼=¥//，=18,①

因为°尸=46=/4=9",GE且

2sin—6

又OG=《,所以OE=SG、GE2=旧+匕,

2V412

所以去=存口解得。=〃，②

联立①②可得〃=〃=2行，

所以球。的半径为/?=冬=2,

所以球O的表面积为S=4;Z7?2=4办22=16乃，故选C.

A题型04与球切、接有关的最值问题

技法指导

求解与球切、接有关的最值问题的策略

(1)转化为函数最值问题：通过引入线参数或角参数，建立关于这些参变量的函数关系，转化为函数的

最值问题来解决；

(2)转化为平面几何问题；根据题目的特征，字我或确定一个数量关系比较集中的平面，将题目的其他

条件逐步向该平面转移，然后利用几何方法或三角方法来解决；

(3)利用基本不等式：可通过引入多个变量建立数学模型，然后利用基本不等式求其最值.

11.(2022•全国乙卷•高考真题)已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面

上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()

A.-B.；C.无D.也

3232

【答案】C

【解析】设该四棱锥底面为四边形A8CD,四边形A8C。所在小圆半径为八

设四边形ABCO对角线夹角为。，

八T.nr>CD222

(当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立)

即当四棱锥的顶点。到底面43CD所在小圆距离一定时，底面A4CO面积最大值为2/

又设四棱锥的高为〃，则/+/=7,

„Ir,,夜I,&](r2+r2+2/i2Y4G

ynI«rn=--2r•/1=—J厂广•2万K—J----------=—

L33♦3出3J27

当且仅当尸=2川即人乎时等号成立，故选：C

【利用导数求最值】

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为，，则r=

所以该四棱锥的高人=「^，，令/=«0<，<2),V=l^2-Z,设/«)=产则

0<r<pr«)>0,单调递增，1</<2,7(,)<0,单调递减，

所以当r=g时，V最大，此时当.故选：c.

12.（2025.山东.模拟预测）一个轴截面是边长为的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球。2后,

还可以放入一个半径为1的小球。|,则小球。2的体积与容器体积之比的最大值为（）

A.-B.-C.—D.—

2432438181

【答案】A

【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径/•=6,高a=3.

因为边长为2G的正三角形的内切圆半径乙=；x2&x年=1，

所以轴截面是边长为26的正三角形的圆锥的内切球半径为1,

所以小球Oi与容器的侧面，底面均相切.

要使小球。?的体积与容器体积之比最大，则小球。2的半径G最大，所以只需小球0?与小球。

圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时钎乂2昌咚-21二：,

3273

4,

产4

所以小球。2的体积与容器体积之比的最大值为f-=—，故选A.

-nrh243

1.（2025・广东中山・二模）如图，在圆柱内有一个球O,该球与圆柱的上，下底面及母线均相切.若0。=2,

则圆柱的表面积为（）

A.4nB.57rC.6兀D.7九

【答案】C

【解析】由题意知，圆柱。。2底面半径—=华=1，母线长/=«。2=2,

所以圆柱。。2的表面积S=2n/+2兀/7=2兀+4兀=67r.

故选:C

2.（2025・河南・三模）已知圆锥的母线长为侧面展开图的面积为2后兀，则该圆锥的外接球的表面积为

（）.

A.25兀B.10兀C.97rD.4兀

【答案】A

【解析】若圆锥底面半径为「，则6”=2疗加，可得r=2,故圆锥的高力=

若圆锥外接球的半径为A,则球心到圆锥底面距离”=1R-川，

所以/即R2_2R+5=&,可得R=1,

故外接球的表面积为47次2=25冗，故选A

3.（2025・甘肃白银•三模）如图，在三棱锥尸—ABC中，43_1_4。,/%_1平面48（?,P4=3,AB=1,4C=2,

。，E,〃分别是棱03,PC,AC的中点，则三棱锥A-OE尸的外接球的表面积为（）

【答案】B

设棱AB,AC.PA的中点分别为H,必,G,连接HF,MF,DG,EG、DH,EM,

构造长方体DGEN-HAMF,则长方体/XJEN-"AM/外接球的表面积

即为三棱锥A—。£尸外接球的表面积.依题意，HD=l，HF=LHA=^f

22

147

设长方体/)GEV-"外接球竹半径为R,则(2/?f=(-)2+12+=

~4~2

所以其外接球的表面枳S=4兀肥=.

故选：B

4.(2025•江西•二模)在三棱锥尸-A4C中，平面八BCJ•平面B4C,PAA.PC,AC1AB,=AC=\0,

若点。、A、B、C均在球。的表面上，则球。的体积为()

A.20()71B.200缶C.幽叵D.1000夜冗

3

【答案】C

【解析】因为平面ABCJ■平面B4C,平面ABC】平面PAC=AC,ABJ.AC,

ABu平面RW，所以AB_L平面PAC，

因为尸Cu平面PAC,所以A8_LPC,

因为P4J.PC,PAAB=A,PA.A8u平面RW,所以PC_L平面Q4B,

因为PBu平面力W,所以PCJLPB,

取线段8C的中点O,连接OP、OA,则OP=O4=g8C=O8=OC,

故BC为球。的直径，故球0的半径/?=生=如已1巫=5逝，

22

所以球o的体积为v=—=1(X)()^.

33

故选：C.

5.(2025・河南鹤壁•二模)如图，在三棱锥A-BCD中，VA4C和△及»均为边长为行的等边三角形，若

二面角A-4C-。的大小为9()，则三棱锥A-ACD外接球的表面积为()

A

A.5兀B.8兀

C.6nD.9兀

【答案】A

【解析】设E是8。中点，连接AEOE,设VAAC的外心为。…△8CO的外心为R,

。是四面体外接球球心，

由于VABC和△BCD都是边长为"的正三角形，

^AFIRC4FDF丘f⑹3

期以A&_L4C,_L4C,AE=。&=--y=—»

目.a,2分别在DE,AE靠近七的三等分点处.

根据二面角A-BC-O的大小为90,及球的性质可知：

0G■!•平•面BCD,00!•平面ABC,所以0。、1DE,OO1AE,

22

由于aE=aEAE_L/）E,所以四边形。。E。2是正方形,

EO.=EO,=-DE=~,O.D=-DE=\,

,232'3

设四面体外接球的半径为R，则汽=

所以外接球的表面积为4成』吟以

6.（2025・四川德阳•三模）六氟化疏分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形）.若•正八面

s

体的内切球表面积为s,外接球衣面积为S2,则U的值为（）

A.—B.-C.3D.4

32

【答案】C

【解析】如图正八面体，连接AC和4。交于点0,

因为E4=EC,ED=E8，所以EO_LAC,EO工BD,

又ACu平面43cO,A力（-平面A8C£）,ACBD=O,

所以E0_L平面八BC。，

设正八面体的外接球的半径为R,内切球半径为「，

假设正八面体的棱长为2,

则EB=EC=BC=2,OB=OC=41，EO=1EB?-OB?=叵，

S/iE8C=fx2’=6，S^OBC=^-x2xl=l,

42

因OS=OC=QE=VI，则R=且0为正八面体的中心，

则点。到平面BEC的距离为内切球半径，•，

因为^F.-OHCBP-xSAOBCXEO=-XS△即cxr,

即」xIx^2=-xV3xr所以，邛,

33

7.（多选）（2025•甘肃金昌•二模）如图，在圆柱G0中，轴截面48CD是边长为2的正方形，M是以A。?

为直径2的圆上一动点（异于点A,。2），AM与圆柱的底面圆交于点N,则（）

A.MO2〃平面N8a

B.平面■平面AN。1

C.直线N8与直线AQ有可能垂直

D.三棱锥M-Aqo?的外接球体积为定值

【答案】ABD

【解析】对于A,因为M,N都是对应圆周上的点，4。2,48是相应的圆的直径，

所以QM14M,N8_LAN,所以MO?〃NB,

因为MQa平面N8Q1,N8u平面NB。，所以“Q〃平面N8O1，A项正确：

对于B,因为002工4汽,。02cM4=。2,所以4V工平面MOR,

因为ANu平面AN。，所以平面MOQ?JL平面AN«,B项正确；

对于C,若NB1AQ,因为NB1AN,4VAQ=A,AN,AQu平面AN。，

所以NB工平面ANOi，NBA.NO1,则。乃=标百方M>«N,

因为«Q，平面A8Ma。2=2,8。2=NQ=1,所以QN=。/=VF7F=亚，

这与。矛盾，故直线N8与直线4a不可能垂直，C项错误；

对于D,因为4人“«,14。2a均是以斗。为斜边的直角三角形，

所以三棱锥M-AOR的外接球的球心为的中点，由于4a=J?：F=石，

故三棱锥M-AOQ?的外接球体积为定值，D项正确.

故选：ABD

8.（多选）（2025•四川自贡•三模）如图1,在VA8C中，AC±BC,=&AB=8,D、E分别在/W,

ACL,且4。石=3BC.将VADE1沿。石翻折得到图2,其中〃’1位.记三棱锥A-BCD外接球球心为。1，

球。I表面积为S、,三棱锥A-EC/）外接球球心为。门球。?表面积为邑，则在图2中，下列说法正确的有（）

AA

图1图2

A.BD工AD

B.直线A3与DE所成角的正弦值为®

5

C.0。//平面BCDE

D.£+$2=78万

【答案】AC

【解析】选项A：由图1,在直角VA3c中，BC=ABcos-=4,AC=A^-sin-=4>/5,

33

3•3

因为OE=?8C,所以且力石=?8c=3,

44

AE=-AC=3y/3,CE=-AC=43.AD=-AB=6,BD=-AB=2,

4444

由图2,在直角△AKC中，AC=>JAE2-CE2=2^>

因为DE〃BC,且ACJLBC,所以Z)E_LEC,

所以在直角LOEC中，DC=\lDE2+EC2=2>/3,又人。=6,

所以AC?+。。2=A£>2,所以4cle7),

又因为47_L四，CDCE=C,。2。£匚平面8。£1。，所以4。_1平面8(7瓦)，

乂BDu'『面BCED,所以AC/BO；

在,BDC中，BD=2,7X7=26，BC=4,所以BD?+OC?=吕。?，

即B£)J_CZ),又ACCD=C,八。,。。匚平面人。。，所以NO上平面AOC,故A正确：

选项B：因为BC//DE,所以N43C即为所求，

因为人CL平面BCE。，BCu平面BCEO,所以AC_L4C,

所以在直角VABC中，48=4AC?+BC，=J(2府+4?=2Msin4BC=益=亲=号,故B不正

确；

选项C：由上可知8D工平面AOC,BD上AD，则A8的中点到A,a。距离相等,

因为4CJL平面8DC,BDA.CD,则AB的中点到A8,C距离相等，所以01为A8的中点，

同理可知。2为AO的中点，所以01。2〃4。，。2（X平面/3CQE,3Ou平面BCDE,所以。02〃平面5CQE，

故C正确；

选项D：由选项c可知：球。1的半径飞二—二-二Ji6,球。2的半径鸟=—1=3,

所以1+52=4兀（/?：+8）=76冗，故D不正确.

故选：AC.

9.（2025・陕西西安•模拟预测）已知圆台的高为3,上、下底面圆的半径分别为1和2,它的两个底面的圆

周在同一个球的球面上，则该球的表面积为.

【答案】2071

【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图.

易得球心。在圆台内部,设球心到上底面圆的距离为“,

则球心到下底面圆的距离为3-工，由勾股定理得丁+12=（3-力，+2?,解得x=2,

则外接球的半径/<=77/=石，表面积为20%.

10.（2024.河南新乡•二模）在直三楂柱A4G-A4c中，A8_L6CAG=2AA=4,则该三棱柱的体积的最

大值为.

【答案】6

【解析】如图，AG=4,44=2,则AG=26，

由A4_L4C,则AB2+8C2=12224BBC，当A6=8C0寸，等号成立，即A98C的最大值为6,

此时三棱柱的体积最大，最大体积为jARBCA4,=-x6x2=6.

11.（2025,上海徐汇•一模）如图，在VA8C中，4C3=90,ZABC=30%BC=0在三角形内挖去一

个半圆，圆心。在边3c上，半圆与4cA8分别相切于点C,M,与4c交于另一点N,将VA3c绕直线8C

旋转一周得到一个旋转体.

（1）求该旋转体中间空心球的表面积的大小；

（2）求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积.

【解】（1）连接OM,钻为半圆的切线，.•.OW_L48,

设。M=〃，则O8=V5-r,

750/，44

...s\nZMBO=，解得:r=——，「•5球面=4万尸=7

3

（2）=44。4=90，N4BC=30"，BC=6：.AC=\,

将阴影部分绕直线3c旋转一周得到一个圆锥，里面挖去一个内切球,

241

二•所求体积V=%1m-%=^7rxACxRC-—7ir=—7TX

333927

12.（2025♦四川成都•模拟）已知球内接正四棱锥尸-ABC。的高为3,AC、8。相交于。，球的表面积为熠,

若E为PC中点.

p

⑴求证：。石〃平面A4。；

（2）求三棱锥C-EOB的体积.

【解】（1）依题意底面43CQ为正方形，AC.80相交「。，

所以。为AC的中点，又E为PC中点，

所以OE//AP,

又。平面尸A。，APu平面尸A。，

所以0£7/平面P4）.

⑵设球的半径为R，由球的表面积公式5=4兀/?2=等，

解得R=913（负值舍去），

6

设球心为。I，在正四棱锥P—A8CO中，高为P0,则。|必在P。上，

13513

连接A。，则。/二二，OO=OP-OP=~,AO=—,

6ll6t6

rsf/]it

则在Rt^QQl,则0。：+。42=。/:即-+0A1=\—,

⑹k6J

解得Q4=2（负值舍去），

则OB=OC=3=2,所以&—=；x2x2=2,