江苏省连云港市两校2025-2026学年高二年级上册12月联考数学试题+答案

高二年级12月联考试题数学

（满分：150分考试时长：120分钟）

一、单项选择题

1.过抛物线）'="的焦点且垂直于4轴的弦长度为2,则正数。的值为（）

A.IB.2C.4D.8

【答案】B

【解析】

【分析［抛物线方程求得弦长，进而可求正数。的值.

【详解】由抛物线），2=办可得焦点坐标为（?,（）），

当上十时，）'=?，所以M/，

又因为过抛物线V=小的焦点且垂直于工轴的弦长度为2,所以2x微=2,

所以。=2.

故选:B.

2.若VA8C的三个顶点为4（1,3）,8（3,0）,。（1,一2）,则8C边上的高所在直线的方程为（）

A.x+y-4=0B.x-y+2=0

C.2x+y-5=0D.x+2y-7=0

【答案】A

【解析】

【分析】利用两点间斜率公式及直线垂直的充要条件结合点斜式计算即可.

【详解】由题意可知直线BC的斜率为原c=±g=L则边上的高所在直线的斜率为-1,

1-3

所以该高线的方程为）=3=-1（3一1）,整理得x+y-4=0.

故选：A

3.在数列｛q｝中，”｛〃”｝为等差数列”是“24=4.+4+2（〃之3,〃wN"）”的（）

A充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分必要条件的概念以及等差数列的性质即可判断.

【详解】若｛〃“｝为等差数列，则由〃一2+〃+2=2〃可得2q=a〃_2+4+2(〃之3,〃EN"),故充分性成

立；

若2%=4-2+4+2(〃N3,〃£N),则｛可｝的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，不能说明｛%｝是

等差数列，

例如数列｛4｝为1,2,4,5,7,8……，故必要性不成立，所以“｛4｝为等差数列”是

“lan=an_2+an+223,〃£N)”的充分条件.

故选：A

4.已知直线y=+〃(〃为实数)为曲线y=/(x)的一条切线，则()

A./(x)=—+1R./(x)=2+sinx

C./(x)=ln(2-x)D./(x)=e-2r

【答案】B

【解析】

【分析】利用导数的几何意义及导数的运算法则一一判定选项即可.

【详解】对于A,易知/，(")=-4<0,则y=/(x)上不存在某点处的切线斜率为

JC

故A错误：

对于B,易知ra)=COS%w[-U],可知玉o使得/'(%)=7,故B正确;

乙

对于C,易知r(x)=—^<0,(xv2),则y=/(x)上不存在某点处的切线斜率为:，

x—2

故c错误；

对于D,易知r(x)=-2e2<0,则y=/(x)上不存在某点处的切线斜率为

故D错误

故选：B

22

5.若双曲线C:二一二二1(。>0,力>0)的一条渐近线被圆(x—2『+y2=4所截得的弦长为2&,则

优b~

C的离心率为()

A.2B.73C.72D.空

3

【答案】C

【解析】

【分析】=4,进而计算可求得。的离心率.

22I

由双曲线。：[一与可得渐近线)工，即法士二。，

【详解】=±2ay

crb-a

因为双曲线的渐近线被圆(X—2)2+)，2=4所截得的弦长为20，

所以|L]+(J^)=4»所以一g--=2>所以2c『+26=4〃2，

｛y/a2+b2)'7cr+b-

所以/=从，所以储=/一",所以所以。的离心率为£=J5.

a

故选:C.

6.已知等比数列｛q｝的前〃项和为5“同=6冏2=42,则与二()

A.I62B.96C.90D.48

【答案】C

【解析】

【分析】利用等比数列的基本量的计算可求得S16.

【详解】设等比数列的公比为当时，所以

｛q｝4,4=1SI2=3S4,X54=6,si2=42,gwl,

4。一力=6

尸，所以1"=7(1-力,

由题意可得〈

"(~)=42

i-q

所以(1—夕4)(1+/+^)=7(1—夕4),所以/+.一6=0,

所以(二+3)(/-2)=。，解得r=2或/=一3(舍去)，所以言二一6,

所以$6=q(：-g)="',-2)=_6x0_]6)=90・

故选:c.

22

7.已知过点r（2,i）的直线/与椭圆会+£=i相交于A,8两点，且有+/=o,则/的方程为

（）

A.2x-3y-\=0B.3x-2y-4=0

C.2x+3y—5=0D.3元+2y-8=O

【答案】D

【解析】

【分析】设点4（%,乂）,a（看,为），代入椭圆方程，利用点差法即可求解.

【详解】设点A（x，y）,g（x2，）'2），由行+新";。，所以7为A8的中点,

玉+工2=2x2=4

所以《

』+），2=2x1=2

^+i=1

又」6口，两式相减得与+-=。=21二&・江&=12_3

--

x；），；1612氏一&$+/164

+-1

[1612

y,—y,233

又联8=""，所以阳8、公二一7,即心二一3，

内一工2442

3

所以y—1=-]（x-2）=3x+2y—8=0,

故选：D.

8.如图，圆C与工轴相切于点（1,0）,与丁轴正半轴交于两点A，B（8在4的上方），且|A4=2.过点

A且倾斜角为6（）。的直线与圆O:Y+y2=i相交于M,N两点，则（）

【答案】c

【解析】

【分析】由题意可求得圆。的方程，可求得A8的坐标，进而利用阿波罗尼斯圆，逐项计算可判断每个选

项的正误.

【详解】由圆C与x轴相切于点(1,0),所以设圆的圆心为(1M),圆的半径为

因为|A3|=2,所以/+12=/,解得〃二拒，

所以圆C的方程为(x—1『+｝一&)2=2,

令上=(),得》=>/^±1,所以4(0,—J5+1),

由炉+),2=],可得圆。与y轴正半釉交于点P(0,l),

所以,8=2—血,忸P|二0

2

+y2L

设平面内一点G(x,y),且惧二夜一1,所以J」(夜"--------=V2-1,

♦

化简整理得x2+y2=\,所以点G的凯迹方程为x2+y2=\；

又囚为M,N为圆O：Y十)#=1上的点，所以揣一0一1,瑞|-V2-1,

所以需看3端

所以用十篇=血+"血一仁2&'故A‘B错误,

所以需圈373=2,

故C正确，D错误.

故选:C.

二、多项选择题

9.一质点的运动方程为S（f）=3*+10（位移单位：m,时间单位：S）,则（）

A.1在［1,4］内质点的平均速度为15m/s

B.f=5s时质点的瞬时速度为40m/s

C.质点运动的速度为丫（。=3，

D.质点运动的加速度为6m/s?

【答案】AD

【解析】

【分析】根据平均变化率得平均速度即可判断A；根据导数的概念求解f=5s时质点的瞬时速度，与质点运

动的速度，即可判断B,C；根据速度与时间的关系求加速度即可判断D.

阎1,4］内质点的平均速度为S（4）-S⑴3x4?+10-（3x12+10）

【详解】对于A,=15m/s,故A

4-13

正确；

对干B,f=5s时质点的瞬时速度为

22

3X（5+A/）+10-3X5-103（）加+

=lim=lim

'7ZrOZA/->0△t&->o△t

=lim（30+3Az）=30m/s,故B错误;

对于C,质点运动速度为V⑺='二lim二lim3"+加）+l°—3厂7°

''A/->0加A/TO△/&->0△/

lim6,也+3（4）=⑹+3加户6t

Hm故c错误:

*>0△A/tA,>0、7

对于D,质点运动的加速度为1而叱=lim6"+4）—6z_iim四一6m/s2,故D正确.

A/f）ZAr-»OAfA/-＞0Z

故选:AD.

2

10.已知双曲线C：工-），2=1,则（）

4

A.双曲线。的实轴长为4

B.双曲线C的焦点到渐近线的距离为1

C.若直线》=履+1与C没有公共点，则网

D.存在过点P（2,l）的直线与C相交于A3,且点/，为4B的口点

【答案】ABC

【解析】

【分析】A由实轴的定义计算：B利用点到直线的距离公式“算；C联立方程组根据△＜（）判断；D设直线

方程，根据韦达定理计算.

【详解】由题意可知，。2=4,/=1,则G2="+/=5，

则实轴长为2。=4,故A正确；

渐近线方程为戈±2丁=0,焦点为卜行,0）,

由对称性可得双曲线。的焦点到渐近线的距离为I,故B正确；

联立《得（1-4公卜2-8丘-8=0,

y=kx+1'

因直线y二丘+1与C没有公共点，则△=64攵2+32（］-4炉）=320-2X）＜（）,

得同,,，故c正确；

若存在过点P（2,l）的直线与C相交于AB,且尸为A8的中点,

则该直线的斜率必然存在，故设直线方程为），=火（1-2）+1,

x—4y—4/

联立y_k[x2）+J得（IF卜2+弘（2攵—1）16/+16Z-8=0,

则由韦达定理可得，登竺R-4且4&2一1工0,此方程无解，

软2-1

故不存在过点P（2,l）的直线与C相交于AB,且点产为A8的中点，故D错误.

故选：ABC

11.设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S“，公差为d,且%=12,%>0,%<0,则（）

A.4>0

B.d的一个可能值为-3.5

C.若S”<0,则〃的最小值为13

（SS,

D.数列中最小项为‘

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知结合等差数列的性质可得4>°，q>o，d<o,可判断A,求得d的范围判断B；利用号2>o,

s

$3V。可判断C；利用等差数列的性质求得1的最小项判断D.

【详解】由题意可得。3=4+24=12,即4=12-2",

又九J2。；出）=6（4+%）>0,又生<。，

所以。6>0,则dvO,故A正确；

又因为4=4+5〃=12+3d>0,%=4+6。=12+4d<0,

24

所以4+%=2q+1Id=24+7d>。，解得一"-<d<-3,

-3.5<一一故d不可能值为-3.5,故B错误；

7

因为S[3==13%<0，

乂因为岳2>。，所以S〃<0,〃的最小值为13,故c正确；

由上可知，当〃S6时，%>。，当〃27时，Cin<0,

又当"二12时，>0,当及N13时，S〃<0,

Ss

令b“=」~,当7W〃K12时，—<0,

%4

又因为b—b=S"+i—&—。5+1_4?(S"+""+1)-(•〃+")S〃

aads

二因为，/<0,，>0,4<0,可川<0,所以2+「2>0,

S[cl5

所以」在[7,12]上为单调递增，所以数列中最小项为二，故D正确.

故选：ACD.

三、填空题

12.己知两点4(4,9)和3(6,3)则以AB为直径的圆的标准方程是,

【答案】(“—5)2+(y-6)2=10

【解析】

【分析】根据A3的中点是圆心，幽是半径，即可写出圆的标准方程.

2

【详解】因为A(4,9)和8(6,3),故可得A5中点为(5,6),

又欠到=](6-4『+(3-9『=2屈,故所求圆半径为JIU，

则所求圆的标准方程是：(x-5)2+(y-6『=10.

故答案为：(X-5)2+()，-6『二10.

13.已知函数/'(x)=tan(-2x),则/'(1的值为.

【答案】-8

【解析】

【分析】根据正切函数的性质与切化弦公式化简函数，根据导数除法运算公式与复合函数求导，从而可得所

求.

C1110v-

【详解】因为/(x)=tan(-2x)=-tan2x=------,

cos2x

2cos2x-cos2x-(-2sin2x)sin2x2

贝三

cos2lxcos22x

71

所以,-2—8

22兀-1"

cos~——

34

故答案为：一8.

2r2

14.已知双曲线c：》v—2=1（〃>0力>0）的上、下焦点为人,工，过居的直线与X轴相交于点4,与

双曲线C的上支交于点且8耳_1），轴，MK|=6,当过（2,0）和（-4,-〃）的直线的斜率取最大值

时，双曲线C的渐近线方程为

【答案】y=±-x

2

【解析】

【分析】求出点8的坐标，进而根据双曲线的定义得出忸身，再根据。是£鸟的中点得出忸闾=2|A段,

即可化简得出从=124-24，再结合基本不等式求出斜率的最值，得到取等条件即可求出渐近线方程.

【详解】令。2=/+/1>0,则£（0,C、），6（0,Y）,

令y=j则工2=4

cr

不妨设点8在第一象限，因8耳_1>轴，则3

则由双曲线的定义可得忸段=|班|+2a=贵+2a，

因。是"鸟的中点，则0A是的中位线，则忸曰=2|A用,

因|人鸟|=6,则—F2ci=12,b~~12ci—2,cr»

b112a-2a277

则过（2,0）和（一〃,一/）的直线的斜率为=-2(。+2)--------+2()

4+24+2'7〃+2

=4+2+金|+20<-4J(f/+2)-^^+20=4,

。+2,

等号成立时。+2=一且即。=2,

a+2

故当过(2,0)和(一4一〃)的直线的斜率取最大值时。=2,〃=4,

则双曲线C的渐近线方程为y=±gx.

故答案为：y=±-x.

2

四、解答题

15.已知函数/(x)=V—arloeR,且/'(1)=1.

(1)求。的值及曲线y=/(x)在点(一1,/(一。)处的切线方程；

(2)若“X)的图象上存在两点43,使得/(x)的图象在点A,3处的切线都与直线x+(y=0垂直，求

非零实数/的取值范围.

【答案】(1)a=\,5x-y+3-O

(2)t>—，且/w0.

3

【解析】

【分析】(1)由/'(1)=1可求得。的值，进而利用导数的几何意义可求得曲线y=/(力在点(一1,7(一1))

处的切线方程；

(2)由题意可得3/-2X一/二0有两个解，进而可求解.

【小问1详解】

因为/'(同=3/一2依，所以/'(1)=3-2〃=1,得4=1.

所以=/'(X)=3X2-2X.

所以/(_1)=_]_1=_2,1)=3+2=5.

所以切线方程为y+2=5（x+l）,即5x-），+3=0.

【小问2详解】

因为/（x）的图象在点A8处的切线都与直线工+）二。垂直，

所以/（同在点AB处的切线的斜率为八

则r（x）=3f—2x=f有两个不同的解.

所以，3X2—2工一/=0，得4+12，>0，又

所以，t>—,且，工0.

3

16.在等差数列｛q｝中，%=1°，为=28.等比数列出｝的前〃项和为S〃，S6=953,且

b5-b2—14,

（1）求可和4；

⑵记cn=a“xb”,求数列｛5｝的前〃项的和7；,并求数列需｝的最小项.

【答案】（1）4=3"+1,bn=2"-,

（2）<=（3〃-2）x2〃+2,最小项为4

【解析】

【分析】（1）根据分别列出4和d,々和夕的方程组，然后根据等差数列，等比数列的通项公式即可求解;

（2）利用错位相减求和，然后再根据数列的单调性即可求解.

【小问1详解】

4+2d=10,

设等差数列｛。〃｝的公差为d,那么，解得a\=4,d=3,

q+8d=28,

所以，an=3n+l.

设等比数列也｝的公比为小且“wl,

那么，\-q~\-q'解得么=1，q=2,

A

bxq-b^q=14,

所以，2二2"，

［小问2详解】

由（1）知C〃=（3〃+1）X2"T.

所以7；=4x2。+7x2l+10x22+…+（3〃+l）x2"T,①

所以27；=4x2i+7x22+...+（3〃一2）x2”T+（3〃+l）x2”,②

由①-②得,—7；=4+3（21+22+23+...+2"）（3〃+1*2〃=4+3*2（；-：）一（3〃+1）一

2〃=-2-（3〃-2卜2”,

所以，7；=（3，L2）X2〃+2,

此时，小一（=（3〃+4）2”>0,

所以，数列｛7；｝为递增数列，可得刀=4为最小项.

22

17.将椭圆££+£=1（4>〃>0）上各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到圆/+）F=8.

（1）求椭圆E的方程;

（2）过A（2,l）且倾斜角互补的两直线分别交椭圆£于点BC（不同于点A）,且AB=2AC,求直线

的方程.

【答案】（1）—+^-=1

82

（2）3x-2y-4=0或工一6>+4=0

【解析】

【分析】⑴设圆上一点P'（H）/）,则其对应椭圆上一点为P（x,y）,可得V=x,y'=2y,计算可求椭

圆的方程;

（2）设直线A8:y-l=Mx—2）,与椭圆方程联立，利用弦长公式可求得卜川=4/可记\蛤*,同

理求得H。，结合已知可得攵的方程，进而可求得直线A8的方程.

【小问I详解】

设圆上一点尸（Hy‘），则其对应椭圆上一点为P（x,y）,

则f=x,y'=2y,所以丁+49=8,

即椭圆E的方程为土十上~一1.

82

【小问2详解】

设直线AB:yT=%(x-2),

代入椭圆方程：f+4),2-8二0

得/+4[&(工-2)+1了-8=0,

即(x—2)[(x+2)+4攵2(/_2)+8打=0.

822-82-2

所以，x八=2或4二

4二+]

所以，阳=贿海-2|二2]陛亨-2卜4gx翱.

同理可得，的=4M:万哥^=4中飘.

E瑞。4mx飘.

因为|人同=2|47],所以4

化简、整理得，|2%+1|=2|2%-1|,

所以，攵二3三或二1.

26

3I

所以，直线A8的方程为y-l=；；(x-2)或y-l=二(x-2),

26

即3工一2y-4=0或/-6》+4=0.

18.已知数列｛q｝的前〃项和为S“，且凡+I=2S”+2,q=2.求证:

(1)数列｛q｝为等比数列;

3”

(2)数列《2fJ＞前〃项和

【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

【解析】

【分析】⑴利用凡,2的关系可得凡7=3凡，进而则可证结论;

（2）rtl（1）可求得S.=3〃-l,利用裂项相消法可求得7；,干算可证结论.

【小问1详解】

当〃22时，由。“+]=2S〃+2,①

得an=2S”_[+2，②

由①-②得,4+|-q=2（Sn—Sr_｝）=2an,所以%+i=3%.

又％=2,且生=2《+2=6,所以。〃＞。，且”=3.

所以，,二3（〃£N"）.

所以，数列｛《,｝为以2为首项，3为公比的等比数列.

【小问2详解】

由（1）得数列｛4｝为以2为首项，3为公比的等比数列，

所以凡=2X3”T,所以。*=2X3",所以s=2。-3"）=3〃_],

“1-3

1

所以3"-5%1

S“xSn+lSnxS〃+12s〃xSn+|2、SnSn+l

又白＞°，所以,（＜：・

J—14

19.已知动点M（R,y）到点尸（2,0）的距离与点M到直线x+2=0的距离相等，过点F的直线/交点M

的轨迹于点A8,点A关于x轴的对称点为A,其中直线/与“轴不垂直.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）求证：直线A'B过定点，并求出定点的坐标；

（3）线段A8的垂直平分线交点M的轨迹于C,D,若以CQ为直径的圆的圆心N的横坐标为19,求

直线A3和圆N的方程.

【答案】（1）/=8x

（2）证明见解析，（-2,0）

（3）x士岛-2=0,（x-19）：+（y±2）2=185

【解析】

【分析】（1）由题意可得M的轨迹为抛物线，进而得4=2,可求抛物线方程；

（2）设直线AB的方程为x=m）：+2,A（x，x）,3（w，%），与勉物线联立方程，利用根与系数的关系求得

直线48的方程，进而求得定点坐标；

（3）法一：结合（2）可求得CO:y-4，筋1=总工（x-4m2—2）,进而结合已知求得〃?，可求得

直线A8，CD的方程，进而计算可求圆N的方程.法二：设A（2『,4。，求得8俏,一；）大（2广叫，

进而直线CZ）的方程为y+4攵=4卜一4公+2）,联立方程组，结合根与系数的关系求得k,分类讨论求得

直线A8和圆N的方程.

【小问1详解】

由已知条件知，点M到点尸的距离与到直线工=-2的距离相等，由抛物线的定义可知点M的轨迹为以

点尸为焦点，l二一2为准线的抛物线.

设抛物线的方程为）？=2*（〃>0）,则］=2,得〃=4,所以点M的轨迹方程y2=8x.

【小问2详解】

设直线AB的方程为x=，欧+2,,x）,3（工2,%），则4（玉,一y）.

fy2=g丫

由<,"消去x得），2-8〃Z）=16二0,

<x=tny+2

由韦达定理得y\y2=T6,y+y2=8〃？.

直线A3的方程为y+乂="2tx（"一项），

化简、整理得（必一y）y+y%-y；+8再=8%.

又y：=8x，所以直线AB的方程为（%-yJy=16+8x=8（x+2）.

所以直线经过定点（-2,0）.

【小问3详解】

（法一）

由⑵知：5（小）’2O+2）一（加y.+2=）加（-y+y）

2

且.力一）'i=±J（M+）j-4.»必=±8,加+1-

当％=8，加2+1时,kA.B=-j==,直线AB：）'=j；Jx+2）.

设线段A!B的中点为石（毛,%），则为=+%）=4,疗+1.

2

所以x（）=\Jm+1-y0-2=4〃/+2，所以E^nr+2,4J疗+1）.

从而CD:y-4\/m2+1=-J〃F+1（x-4m2-2）,

即y=-\l