2026年中考数学一模提升卷（二）含答案（全国）

2026年中考数学第一次模拟考试：一模提分卷02

（全国通用）

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.2026的相反数是（）

A.2026B,-2026C.嬴D.一在

2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录.下列剪纸图案中，既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（）

3.2023年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程・川渝天然气基地”又获重大突破.中

国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气426600立方米页岩气流,

该井埋深超4000米.数据426600用科学记数法表示为4.266x10",则几的值为（）

A.3B.4C.5D.6

4.发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略F技术领先、全球领跑的龙头

企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2）,其示意

图的主视图是（）

5.下列计算正确的是()

A.a3-a2=a6B.(2a)3=8a3

C.a®+02=/D.(a2)3=as

6.已知点42,3）在反比例函数y二勺结象上，则k的值为（）

A.5B.7C.6D.9

7.某特色美食街的商户七月份的营业额为300万元，九月份的营业额为432万元，若月均增长率为％,则根

据题意可列方程为（）.

A.300(1+%)=432B.300+300(14x)=432

C.300(1+x)2=432D.300(1+2x)=432

8.如图，在正方形4BCD中，尸为对角线BC上一点，连接力?并延长交CD于点E,若E/=EC,则NECF的度

数为（）

A.36°B.32°C.30°D.28°

9.已知二次函数y=—%2+2%+3,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）

A.图象的开口向上B.图象的顶点坐标是（1,2）

C.当％VI时，y随汇的增大而减小D.函数y有最大值为4

10.如图，在中，zc=90°,LA=45°,且48=4,点0、£分别是线段AC、8C的中点，则△COE

面积是（）

A.2&B.472C.1D.2

第II卷

二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）

H.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是—•

12.分解因式：3x2—6%+3=

13.为培养学生运用Al的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光豆包”和“干问”四个主

题.若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示,则这两个班选择同一主题的概率是—.

14.在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度.在同一时刻，该游客测得自己的影

长为1米，熊猫雕塑的影长为7.5米，若该游客的身高为1.6米，则熊猫雕塑的高度是一米.

15.如图，在中，4力=90。，D,E分别是AB,AC上的点，将△48C沿着DE折置，使点A落在BC

边的中点（记为4）处.若力B=8,8c=12,则4）的长为

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（8分）计算：

2

（1）-停026+|-2|-V4+（1-V2）0（2尸：：1+（x-x）

17.（8分）如图,已知△48C.

B

（1）请用尺规作图法，在边8C上求作一点D,使N4D8=24C.（保留作图痕迹，不写作法）

(2)求证：/-ADD=2Z.C.

18.（8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎.在航

天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月2天问探火…北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选

择一个主题进行介绍.下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，其余

完全相同.将这4张卡片背面向上，洗匀，放好.

（1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到天问探火”的概率是：

（2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡

片中随机摸出•张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主

题相同的概率（卡片名称用/，B,C,。表示即可）.

19.(10分)如图，四边形ABC。的顶点4,B,。在。。上，z.BAO=^BCO,直径BE与弦4c相交于点R

点D是EB延长线上的一点且乙8C。=g乙408.

(1)求证：C。是。。的切线；

(2)若四边形4BC。是平行四边形，EF=3.求CD的长.

20.（10分）【问题背景】第十五届全国运动会首次由粤港澳三地联合举办，多座城市携手承办赛事，留下

了许多精彩的瞬间，也掀起全民健身热潮.某校以“迎全运，展风采”为主题，举办校园篮球联赛.

素材1学校组织九年级5个班级进行篮球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间比赛1场）.

如图所示，某次比赛中某同学初次投篮时的起跳点。为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为

y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.

“c\/

riMr

素材2

oD\Bx

篮球（P）出手时离地面的高度为2.2米，篮筐中心离

地面的高度48=3米（国际标准高度为3.05米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中

心的水平距离。8=6米，篮球距地面的最大高度C。=4米，此时离篮球出手位置的水平距离

OD=3米.

投篮后，当篮球（尸）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点力时，我们称此次进

球为“空心球”.

已知篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度

素材3

（〃米）满足2.954/W3.10时，篮球即可命中篮筐.

篮球运动轨迹抛物线的开11大小由投篮方向和出手速度决定，某同学在投篮过程中始终保持投篮

方向和出手速度不变.

【问题解决】

（1）九年级篮球联赛共需比赛场；

（2）该同学初次投篮时能否命中篮箧，请说明理由；

（3）该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了d米后再次

投篮，发现此次正好投进一个‘、空心球"，求d的值（保留根号）.

21.（10分）综合与实践

【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国占代用于测量太阳影子长度的天文仪器

圭表.

【项目准备】

①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测日影的标杆，叫作表；正南正北方向平

放的测定表影长度的刻板，叫作圭.通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的

变化.夏至口影子最短，冬至口影子最长.

②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值.

③如图2,48为同学们制作的表，AB1BC,48的长度为33.5cm,BC为圭.经查阅资料，夏至时太阳

光线与水平地面的夹角为73.4。（乙40B=73.4°）,冬至时太阳光线AE与水平地面的夹角为26.6°

（乙4E8=26.6°）.

参考数据:sin26.6°«0.45,cos26.6°«0.89,tan26.6°»0.50,sin73.4°«0.96,cos73.4°«0.29,

tan73.4°«3.35.

【项目任务】

任务一：（1）求。E的长度.

任务二：（2）求秋分时，表的影子B尸的长度.

任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为19.25m,求旗杆的长

度.

22.（10分）综合与实践

【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进

行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的

基础图形进行了汇总，如表：

13

线段垂直平分线定垂径定理切线长定理

角平分线定理

理

CA=CB,CA=CB,PC=PD,OC=OD

0A=OB,PA=PB

DA=AD=BD

【归纳总结】

(1)小明发现这四个图中都有•个非常类似的四边形，经过查找资料•，知道了它们都可叫作筝形.我

们规定：如图，四边形/BCD中，若=CB=CD,则称四边形48co为筝形.

他类比研究特殊四边形(平行四边形、矩形、菱形、正方形)的方法，进一步得到了筝形的相关性质,

请聪明的你也总结两条筝形的性质(可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理)：

①;②;

【知识迁移】

(2)李老师引导小明深入思考,如图1,将正方形/4c。绕点力逆时针旋转，得到正方形A8C7A两

个正方形的边BC与CO交于点求证：四边形4?方。是筝形；

(3)将(2)中的条件“正方形MCQ”改为“菱形458”,其他条件不变，如图2,(1)中的结论是否

仍成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形4方£。的正确结论；

【拓展延伸】

(4)在图1中，连接力E,交于点O,请在图3上画出符合条件的图形，若正方形力8。力的边长为

6,求CO的最小值.

23.(11分)如图(1),在△/BC中，44=30。，点尸从点力出发以2cm/s的速度沿路线运动，点

。从点力出发以Icm/s的速度沿运动.P,。两点同时出发，当某一点运动到点8时，两点同时停止

运动.以4Q,PQ为边在力8的上方作平行四边形ADPQ,设运动时间为£s,平行四边形ADPQ的面积为Scm?

(当点力，P,。重合或在一条直线上时，不妨设S=0).探究S与/的关系.

初步感知

(1)当点P由点力运动到点C时，

①若£=1,5=；

②S关于/的函数解析式为.

深入探究

(2)当点。由点C运动到点4时，经探究发现S关于/的函数解析式为S=Q£2+A(4<t<10),其

图象如图(2)所示.

①m的值为：

②求S关于，的函数解析式.

延伸探究

(3)当点尸在AC上运动时记为Pi，运动时间记为G，平行四边形4DPQ的面枳记为Si：当点。在BC上

运动时记为P2,运动时间记为匕，平行四边形40PQ的面积记为$2,P,P2//AB.

①求ti与以的数量关系；

②当G+£2=9时，S2-Si的值为.

2026年中考数学第一次模拟考试：一模提分卷02

（全国通用）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项:

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷

一'选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.2026的相反数是（）

A.2026B.-2026C・六―2026

【答案】B

【分析】本题主要考查相反数的定义，根据相反数的概念直接求解即可.

【详解】解：•・•只有符号不同的两个数互为相反数,

・・・2026的相反数是一2026,

故选:B.

2.剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录.下列剪纸图案中，既是

轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.C.D.

【答案】C

【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心

对称图形的概念.

根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称

图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形能

与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可.

【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意；

B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意；

C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意；

D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意.

故选：C.

3.2023年4月7日，记者从中国石化新闻办获悉，中国石化“深地工程•川渝天然气基地''又获重大突破.中

国石化表示该公司部署在四川省达州市的页岩气专探井雷页1井，试获日产气426600立方米页岩气流,

该井埋深超4000米.数据426600用科学记数法表示为4.266X10%则"的值为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查科学记数法的表示方法，关键是掌握科学汜数法中。与n的确定规则：Q需满足

1<|a|<10,九为整数，当原数绝对值>10时，九等于原数的整数位数减1,也等于将原数化为a时小数

点向左移动的位数.

【详解】解：科学记数法的表示形式为axKT的形式，其中lW|a|vlO,n为整数.

将426600转变为4.266.小数点向左移动了5位，因此，=5.

故选：C.

4.发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头

企业.如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2）,其示意

图的主视图是（）

【答案】C

【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关

键.根据主视图的定义解答即可得.

【详解】

解:正六棱柱的主视图是I」______U,

故选：c.

5.下列计算正确的是()

A.a3-a2=a6B.(2a)3=8a3

C.a8a2=a4D.(a2)3=a5

【答案】B

【分析】本题考查了同底数累相乘，同底数塞相除，积的乘方，幕的乘方等知识.根据同底数幕相乘,

同底数塞相除，积的乘方，塞的乘方等知识逐项判断解答即可.

【详解】解.：A、a^a2=a5^a6,故该选项不符合题意；

B、(2a)3=8a3,故该选项符合题意；

C、a8^a2=a6^a4,故该选项不符合题意：

D、(Q2)3=Q6HQ5,故该选项不符合题意；

故选：B.

6.已知点4(2,3)在反比例函数y图象上，则k的值为()

A.5B.7C.6D.9

【答案】C

【分析】本题考查反比例函数图象上*的坐标特征，将点42,3)代入反比例函数丫=:中，进行•求解即可.

【详解】解：把力5(2,3)代入反比例函数y=p得k=2X3=6：

故选C.

7.某特色美食街的商户七月份的营业额为300万元，九月份的营业额为432万元，若月均增长率为心则根

据题意可列方程为().

A.300(1+%)=432B.300+300(1+%)=432

C.300(1+x)2=432D.300(1+2x)=432

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键.

根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程.

【详解】解：•・•七月份的营业额为300万元，月均增长率为居

・•・八月份的营业额为300(1+乃万元，九月份的营业额为300(1+%)2万元，

，方程为300(1+L)2=432.

故选：C.

8.如图，在正方形力中，尸为对角线80上一点，连接4F并延长交CD于点E,若EF=EC,贝lj4ECF的度

数为()

A.36°B.32°C.30°D.28°

【答案】C

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，利用正方形的性

质可讦△ADF=△CDF(SAS).得到ND”=乙ECF,再根据等腰三角形及三角形外角性质可得

^AED=乙ECF+乙EFC=2"CF,进而得到"EC尸=90°,即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：•・•四边形ABCD是正方形，8。是对角线，

・・・4ADE=90。，AD=CD,^.ADF=Z.CDF=45°,

•：DF=DF,

/.△4DF三△COF(SAS),

：,/.DAF=Z.DCF,

KPzD/IF=乙ECF,

,:EF=EC,

"ECF=£EFC,

：./-AED=Z.ECF+乙EFC=2LECF,

•：/.DAF+^AED=90°,

・・・3NECF=90°,

：.£.ECF=30°,

故选：c.

9.已知二次函数y=—/+2%+3,则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是()

A.图象的开口向上B.图象的顶点坐标是(1,2)

C.当％<1时，y随工的增大而减小D.函数y有最大值为4

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质.

将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值.

【详解】解：,：y=—x2+2x+3=—(x—I)2+4,—1<0,

・•・抛物线开II向3顶点坐标为(1,4),当不<1时，y随汇的增大而增大，函数最大值为4；

故D正确.

故选：D.

10.如图，在RtZk4BC中，ZC=90°,24=45。，且48=4,点D、E分别是线段力C、BC的中点，则△CDE

面积是().

A.272B.472C.1D.2

【答案】C

【分析】本题主要考查等腰三用形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、三角形的面积等，熟练掌握

勾股定理解等腰直角三角形的解题的关键.

先证明RtaABC为等腰直角三角形，再结合AB=4运用勾股定理求出力。、BC,然后通过点。、E分别是

线段AC、的中点，得出OC、CE,最后根据•:角形的面积公式即可求解.

【详解】解：♦.•在Rt△力中，zC=90°,Z-A=45°,

ARt△ABC为等腰直角三角形，

：.AC=BC.

•・・Rt△力BC,4B=4,Z.C=90°,

・•・根据勾股定理：AC2+BC2=2AC2=AB2,即24c2=42,解得:4C=2及(负值舍去),

,'.AC=BC=2>[2.

•・•点D、E分别是线段力C、BC的中点,

：.DC=^AC=y/2,CE=；BC=&,

•一△COE=1OC-CF=1V2-V2=1.

故选：C.

第II卷

二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)

11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是—.

【答案】％之5

【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义

的条件，被开方数必须大于或等于零.

【详解】解：若在实数范围内有意义，

x—520,

解得，x>5,

故答案为：x>5.

12.分解因式：3x2—6%4-3=

【答案】3(x-I)2

【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键.

先提取公因式3,再应用完全平方公式进行因式分解即可.

【详解】解：3%2-6%+3=3(%2_2x+1)=3(%-I)2.

故答案为：3。一1)2.

13.为培养学生运用AI的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光"Kimi”“豆包”和吁问十个主

题.若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是—.

【答案】；

【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式

P=*进行计算即可.

【详解】解：依题意,把“灵光”“KimL豆包”和“千问”四个主题分别记为4B,C,D

列表如下：

ABCD

A(4Q(48)(4C)（4。）

B出力）(B,R)(SC)(B,D)

C(C/)(C,B)(&C)(C,D)

D(D,A)(D,B)(D,C)(D,D)

共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种，

・••这两个班选择同一主题的概率是2=；，

故答案为：

14.在成都仰天窝熊猫广场，某游客想利用影子测量熊猫雕塑的高度.在同一时刻，该游客测得自己的影

长为1米，熊猫雕塑的影长为7.5米，若该游客的身高为1.6米，则熊猫雕塑的高度是一米.

【答案】12

【分析】本题考杳相似三角形的实际应用，理解物体高度和影长的关系是关键.

利用相似三角形的性质，同一时刻物体高度与影长成正比，代入计算即可.

【详解】解：设熊猫雕塑的高度是工米，

•・•同一时刻物体高度与影长成正比，

.1.6x

••T=T?

Ax=1.6x7.5=12（米）

故答案为：12.

15.如图，在中，〃=90。，D,E分别是4B,AC上的点，将△ABC沿着DE折置，使点A落在BC

边的中点（记为4）处.若AB=8,8c=12,则AZ）的长为

【答案】4.54

【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似

三角形的判定与性质是截图关键.

连接4A交。E于点凡通过直角三角形的性质得4A=AB=6,结合折叠的性质证得△ADA〜△AAB,

可得力。=黑，即可求解.

Ao

【详解】解：如图，连接44咬DE于点F,

•••点4为8C的中点，FC=12,

：.A'B=A'C=^BC=6,

•••=90°,

AA'-A'B-6,

:.乙B=Z.BAA',

•・•将△48c沿着OE折叠，使点A落在BC边的中点4处,

AD=A'D,

Z.BAA'=Z.DA'A,

:•乙B=Z.DA'A,

ADA'-△AA'B,

.AD__AA'

“/一~AB"

••・4。=喏号=4.5.

故答案为：4.5.

三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（8分）计算：

（1）—12026+|―2|—"+（1—&）°⑵弋竽1+（工2—工）

【答案】（1）0

（2日

【分析】本题考查了有理数的乘方，化简绝对值，算术平方根，零指数幕，分式除法运算，正确掌握

相关性质内容是解题的关键.

（1）先运算有理数的乘方，化简绝对值，算术平方根，零指数豪，再运算加减法，即可作答.

（2）先把以式枢理为（芋x£,再把N一工因式分解，约分化简，即可作答.

【详解】(1)解：一12°26+|一2|—迎+(1—际。

=-14-2-2+1

=0；

(2)解：+(%2_%)

("1)21

=------X—----

x-1x2-x

_(1)21

x-1Xx(x-1)

=一1.

X9

17.(8分)如图，已知△4BC.

（1）请用尺规作图法，在边8C上求作一点。，使乙498=24C.（保留作图痕迹，不写作法）

（2）求证：/-ADB=2Z.C.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性

质，掌握垂直平分线的作法和性质是解题关键.

（1）作AC的垂直平分线与BC的交点即为点D；

（2）由垂直平分线的性质可得4。=。。，从而得到NZX4c=",再根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】（1）解：如图，点。即为所求作：

（2）证明：由垂直平分线的性质可得4D=CD,

•••Z.DAC=Z.C

又是△4CD的•个外角,

Z.ADB=Z.DAC+Z-C=2zC.

18.（8分）中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升级的重要引擎.在航

天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探火皿北斗组网”“神舟匕天”这四个航天工程中，随机选

择一个主题进行介绍.下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卜片，卡片除正面图案和文字外，其余

完全相同.将这4张卡片背面向上，洗匀，放好.

（1）小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“8.天问探火”的概率是:

（2）若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，洗匀，小天再从这些卡

片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主

题相同的概率（卡片名称用/，B,C,。表示即可）.

【答案】（1*

初

【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键；

（1）根据概率公式可进行求解；

（2）由题意可进行列表，然后问题可求解.

【详解】（1）解：由题意得：小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到•方.天间探火”的概率是右

故答案为右

（2）解；由题意可列表如下；

ABCD

AAAABACAD

BBABBBCBD

CCACBCCCD

DDADBDCDD

由表可知总共有16种等可能的情况，其中两人介绍的航天工程主题相同的有4种等可能的情况，所以他

们两人介绍的航天工程主题相同的概率为P=白=；.

1DQ

19.（1（）分）如图，四边形4BC。的顶点B,。在。。上，LBAO=^BCO,直径BE与弦4c相交于点R

点D是延长线上的一点且乙8。。="AOB.

⑴求证：是。。的切线；

（2）若四边形4RC。是平行四边形./?*=3.求「。的长.

【答案】（1）见解析

（2）273

【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握切线的判定方法，圆

周角定理，是解题的关键.

（1）连接AE,根据圆周角定理得到NE=、40B,推出NBC。=NE,根据等边对等角，推出

^OAE=LBCD,根据直径得到NBAE=90。，进而得至1叱88。+ZEA。=90°,继而得到

乙员?。+乙凤，）=90。，即。C_LDC,即可得证；

（2）由平行四边形的性质得到。r=3。8,根据O/+OE=EF=3,OB=OE,得到;OB+OB=3,求

出OB的长，证明CL4BC。是菱形，得到aBOC为等边三角形，进而得到48。（7=60。，解RtAODC,求

；|£0的长即可.

【详解】（1）证明：如图1,连接AE,

Z.BCD=Z.E.

•••OA=OE,

•••Z.OAE=Z.F,

•••Z-OAE=乙BCD.

•••BE是。。的直径，

Z-BAE=90。，同］，840+LOAE=90°.

v/.BAO=乙BCO,

Z.BCO+乙BCD=90°,旦［JOC1DC.

•••oc为。。的半径，

•••CD是O。的切线.

图2•••四边形4BC。是平行四边形，

...。/=/反

又0F+0E=EF=3QB=0E,

《08+08=3,

•••0B=2.

•••0A=0C,

.RABCO是菱形，

BC=0C=OB=2.

••.△8。。为等边三角形，

・"80C=60。.

•••在Rt△00C中，DC=OC-tanz.DOC=2xtan60°=2y［3.

20.（10分）【问题背景】第卜五届全国运动会首次由粤港澳三地联合举办，多座城市携手承办赛事，留下

了许多精彩的瞬间，也掀起全民健身热潮.某校以“迎全运，展风采”为主题，举办校园篮球联赛.

素学校组织九年级5个班级进行篮球联赛，采用单循环赛制（每两个班级之间比赛1场）.

如图所示，某次比赛中某同学初次投篮时的起跳点。为坐标原点，水平方向为X轴，竖直方向为歹轴

建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.

oD\BX

篮球（P）出手时离地面的高度为2.2米，篮筐中心离地面的

高度48=3米（国际标准高度为3.05米，为了计算方便取3米），篮球出手位置与篮筐中心的水平距

离。8=6米，篮球距地面的最大高度CD=4米，此时离篮球出手位置的水平距离。。=3米.

投篮后，当篮球（尸）不接触篮板、篮筐，且运动轨迹恰好经过篮筐中心点力时，我们称此次进球为“空

心球”.

歙

已知篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（〃米）

才

满足2.95WnW3.10时,篮球即可命中篮筐.

,篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，某同学在投篮过程中始终保持投篮方向

和出手速度不变.

【问题解决】

（1）九年级篮球联赛共需比赛场；

（2）该同学初次投篮时能否命中篮筐，请说明理由;

（3）该班数学兴趣小组同学对该同学的初次投篮数据进行研究后，让该同学在原来位置向前走了△米后再次

投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求d的值（保留根号）.

【答案】（1）10

（2）该同学初次投篮时不能命中篮筐.理由见解析

（3）d的值为3—遍.

【分析】本题考查二次函数的应用.

（1）易得点P和顶点C的坐标，用顶点式表示出函数解析式，把点。的坐标代入可得二次项系数的值；

（2）把％=6代入（1）中得到的函数解析式，求得y的值，看是否在2.95和3.10之间即可判断能否命中篮

筐；

（3）判断出平移后的解析式，把（6,3）代入后求得合适的d的值即可.

【详解】(1)解：•・•每个球队都要和其他球队赛--场，一共有5个球队，

，每个球队都要和其他球队赛4场，

・•・九年级篮球联赛共需比赛竽=10(场)，

故答案为：10；

(2)解：该同学初次投篮时不能命中篮筐.

理由：由题意得：点尸(0,2.2),抛物线顶点C(3,4),

设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4,

，2.2=a(0-3)2+4,

解得：a=-0.2,

.-.>■=-0.2(x-3)2+4,

当x=6时，y—2.2,

:2.95W几三3.10时，篮球可命中篮筐，

・•・该同学初次投篮时不能命中篮筐；

(3)解:新的抛物线解析式为：y=-0.2(x-3-d)2+4,

;过(6,3),

/.3=-0.2(6-3-d)24-4,

解得d=3-遍或d=3+V5,

当d=3+V^时，抛物线的顶点坐标为(6+a4),此时6+遍>6,不符合题意，舍去,

答：d的值为3—访.

21.(10分)综合与实践

【项目主题】某数学兴趣小组的同学们准备研究并制作中国古代用于测量太阳影子长度的天文仪器

圭表.

图1图2

【项目准备】

①小组内同学协同制作了如图1所示的圭表，直立于平地上测口影的标杆，叫作表；正南正北方向平

放的测定表影长度的刻板，叫作圭.通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节和节气的

变化.夏至日影子最短，冬至日影子最长.

②秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值.

③如图2,为同学们制作的表，AB1BC,力B的长度为33.5cm,BC为圭.经查阅资料，夏至时太阳

光线AD与水平地面的夹角为73.4。（乙力08=73.4°）,冬至时太阳光线4E与水平地面的夹角为26.6。

（Z.AEB=26.6°）.

参考数据:sin26.6°«0.45,cos26.6°«0.89,tan26.6°«0.50,sin73.4°«0.96,cos73.4°«0.29,

tan73.4°x3.35.

【项目任务】

任务一：（1）求DE的长度.

任务二：（2）求秋分时，表的影子BF的长度.

任务三：（3）秋分正午时，该小组的同学测得旗杆的影子在水平地面上的长度为19.25m,求旗杆的长

度.

【答案】(1)57cm；(2)38.5cm；(3)16.75m

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，平行投影，熟知相关知识是解题的关键.

（1）解直角三角形求出BD,8E的长，则可求出DE的长；

（2）根据秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值求解即可：

（3）根据同一时刻，同一地方物长与影长的比值一定列出比例式求解即可.

【详解】解：（1）

・••乙48。=90。,

在Rt△48。中，AB=33.5cm,Z.ADB=73.4°,

AB33.5

:・BD=«10cm,

tan/ADBtan73.4°

在ABE中,AB=33.5cm,Z.AEB=26.6°,

AB33.5

:.BE=«67cm

tan乙4EBtan26.6

'.DE=BE-BD=57cm；

（2）•・•秋分时，表的影子的长度等于夏至和冬至影子的长度的平均值.

BD+BE10+67

：.BF==38.5(cm)；

22

（3）设旗杆的长度为xm,

由题意得，备=森，

解得％=16.75,

答：旗杆的长度为16.75m.

22.（10分）综合与实践

【问题背景】小明同学是个善于思考、善于总结的孩子，他总能把一些相关联的数学现象放在一起进

行对比分析，总结提炼，他将学过的角平分线定理、线段垂直平分线定理、垂径定理、切线长定理的

基础图形进行了汇总，如表:

C

。等

DD

线段垂直平分线定垂径定理切线长定理

角平分线定理

理

CA=CB,CA=CB,PC=PD,OC=OD

0A=OB,PA=PB

DA=DBAD=BD

【归纳总结】

（1）小明发现这四个图中都有一个非常类似的四边形，经过查找资料，知道了它们都可叫作筝形.我

们规定：如图，四边形"CO中，若{8={0,CB=CDt则称四边形A8CD为筝形.

('

他类比研究特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）的方法，进一步得到了筝形的相关性质,

请聪明的你也总结两条筝形的性质（可从边、角、对角线、对称性、面积等方面考虑，不用说理）：

①:②;

【知识迁移】

（2）李老师引导小明深入思考，如图1,将正方形48CO绕点彳逆时针旋转，得到正方形力所。。，两

个正方形的边8工，与交于点E,求证：四边形是筝形：

（3）将（2）中的条件“正方形48CZT改为“菱形48CD”，其他条件不变，如图2,（1）中的结论是否

仍成7?若成立，请说明理由；若不成立，请写出关于四边形AB'E。的正确结论；

【拓展延伸】

（4）在图1中，连接力E,BD交于点O,请在图3上画出符合条件的图形，若正方形/8CO的边长为

6,求CO的最小值.

由见解析；（4）3V5-3

【分析】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，

本题是新定义型，正确理解相对应的规定并熟练应用是解题的关键.

（1）利用筝形的定义解答即可；

（2）连接4E,利用正方形的性质得到4。=4方,一。="=90。,利用全等三角形的判定与性质得到

ED=EB=依据筝形的定义解答即可；

（3）连接83,由旋转知力8'=Z.AB,E=Z-ADE,得乙48'。=乙EDB'=cEB'D、进而得

ED=EB1,故可得结论；

（4）利用筝形的性质和圆的有关性质得到点。在以4D为直径的半圆上运动，力。的中点”为该半圆的

圆心，连接M。，结合图形得到当点O,C三点在一条直线上时，。。取得最小值，最小值为

CM-0M.利用正方形的性质和勾股定理解答即可得出结论.

【详解】（1）解：由筝形的定义可得：本题答案不唯一，只要正确即可，如：①筝形的一条对角线垂

直平分另一条对角线；②筝形的面枳等于对角线乘积的一半；③筝形是轴对称图形等:

故答案为：筝形的面积等于对角线乘积的一半，筝形是轴对称图形等;

（2）证明：如图1,连接AE,

由旋转知四边形ABCD和四边形480为全等的正方形,

AB'=AD,乙B'=Z.D=90°,

vAE=AE,

Kt△AB'E^Rt△AOE(HL),

AED=EB',

・•・四边形/⑶ED是筝形;

（3）解：四边形力用是筝形;

理由：如图2,连接用D,

图2

由旋转知四边形ABC。和四边形力8CD为全等的菱股

•••AB'=AD,Z-AB'E=Z.ADE,

•••乙AB'D=乙？1。8',

**-