数列及求和6大题型（大题专练）-2026年高考数学临考冲刺预测原卷版

专项02数列及求和

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【命题解码・定方向】命题趋势+2026年预测

【解题建模•通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

【实战刷题•冲高分】精选高考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分

PART01

命题解码•定方向

根据近五年全国卷考情，等差数列、等比数列与数列求和是必考主干，分值约10-22分.

命题趋势：

解答题：稳定考查数列（常为第15题或16题），通常情况下与解三角形解答题二选一，一般考查内容

是等差等比数列性质的简单应用，求和部分一般主要考查错位相减求和，裂项求和以及奇偶项讨论分组

求和，随着新课程改革，数列新定义问题也会作为压轴题的形式出现，主要考查学生对与新概念的认识

以及自主学习能力问题.

2026年预测：解答题极可能仍为数列常规题.

备考核心：熟记等差（等比）数列的通项公式、求和公式和性质，解答题强化“求数列通项及求和”综

合训练，小题提升转化与化归能力.

PART02

解题建模•通技法

》题型01数列通项及分组求和

A析典例•建模型I

1.（2026・陕西商洛•二模）已知等差数列也｝满足4=3,4=4.

⑴求数列｛/｝的通项公式；

（2）若数列｛〃"+2｝是首项为2,公比为3的等比数列，求数列｛d｝的前〃项和.

A研考点•通技法

:通项求解：优先观察型（等差、等比、周期）：递推型用累加法、累乘法、构造法（如期+尸pan+q）;

=1,

：由与an混用必用cC勿忘验证首项.

j]s-2,

\分组求和：识别通项可拆为等差、等比、常数、奇偶项等结构，按类型拆分数列.分别对各组用对应求

;和公式（等差、等比求和），再合并结果。注意项数统计、下标换算与符号，尤其奇偶分组时项数要准

i确.

\核心：先拆通项结构，再分组套公式，严谨核对项数与首末项.

A破类题•提能力

1.（25-26高三下•上海・月考）已知数列应｝满足％=1M,=34T+4（〃22,〃WN）.

⑴求证：数列总+2｝是等比数列;

（2）若2=凡+2〃,求数歹U｛4｝的前〃项和S”.

2.（2026•湖南邵阳•二模）已知数列｛q｝是等差数列，且4=1：2/=久+3,数列也｝满足力=3,

加=32十%.

⑴求｛q｝的通项公式，并证明数列也+〃｝是等比数列；

（2）若数列｛6｝满足%=4+〃，求｛cn｝的前〃项和Tn.

》题型02数列通项及裂项求和

a析典例•建模型I

1.（25-26高三上•河北石家庄•期末）在正项数列｛q｝中，4=4,qm-q=4m+4.

（1）证明：数列｛m｝是等差数列；

（2）记”=~4,设数列｛"｝的前n项和为工，求满足品的最小整数

%121

2.（2026•河北保定•一模）已如数列｛〃“｝的前〃项和为S“，且4=1,耳—=：

n+ln2

⑴求工

（2）若a=（t）”——■，求数列｛a｝的前〃项和.

凡WAI

A研考点•通技法・

I-----------------------------------------------------------------------------------

\i般地，如果一个数列的通项公式是分式形式，那么往往可灵活运用“裂项”求和技巧简捷求解该数列的

j前n项和.常见的“裂项”结论有：

j⑴〃（〃+1）=/一^7T（2〃-1）（2〃十1）-5（2〃一1一2〃+1,五f+五二标讦一6（〃£%）

卜“形如丘_£，，”_］）（"-22）

j当让2时，易知g烂_厂£（力-七）

⑶形如

当时，易知厂J~”」,\=-7^—；----^-―

awN",("I+以9优+44+b优+b

aeN\a>2)

当awN*。22时,

⑴形如普(―

心2时,易知备的二小_品尸

当aeN*，

A破类题•提能力＜

1.(2026•辽宁抚顺•一模)已知数列｛q｝前〃项的积为＜=3门.

(1)判断是否成等差数列，并给出证明；

J%1一%H%

⑵令”=「匕一匕’求数列｛〃，｝的前〃项和3,

2.(2026・辽宁抚顺•一模)已知数列｛凡｝满足4=3吗=8,且对任意的正整数〃，当〃22时，都有

%+%=2a“+2.

(1)证明：数列｛。“-〃2｝是等差数列；

(2)设"=——，求数列出｝的前〃项和S”.

44,1

3.（2026•云南•模拟预测）己知函数=1（〃>0且〃工1）的图象经过点（1,2）,记数列｛《,｝的前〃

项和为S“，且S”=/（〃）.

⑴求数列乩｝的通项公式；

3'"11

（2）设数列出｝的前〃项和为小求证：-<7；,<-.

Iq十1JI6什1十।JZ11Z

》题型03数列通项及错位相减求和

a析典例•建模型・

・・••・♦・♦•«•・・・・♦・・・・・•・・•・・•・・・・・♦・・・・・♦•・•・♦♦・

1.（25-26高三上・吉林・期中）已知数列｛七｝的前〃项和S“,S”-2+q数列｛〃｝满足

2=2"

⑴求证：数列｛"｝是等差数列，并求数列｛q｝的通项公式;

⑵求数列｛SJ的前〃项和I.

〉研考点•通技法

・,•«・・・・•«・・・・•・・・・・♦・••■・♦・•・・・♦・•・・・♦・•・・・♦・

设｛4｝是等差数列，｛4｝是公比4Hl的等比数列，则数列｛““•”｝的前〃项和s”的常规求法是错位相减

法，取巧可这样做：设/=（4〃+8）/（#1）,则S„=（xn+y）qn-y,其中x=--^~,

1一夕

半+%].推导过程请参考视频，x、y的计算公式可不记，记住S”的形式，取加和S2用待定

1一八1一夕）

\系数法来算就可•以了.

A破类题•提能力・

1.（2026•吉林通化•模拟预测）已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且S6=4SJ,4=24+l.

（1）求数列乩｝的通项公式；

/1

（2）数列同满足以=用,求数列｛。也｝的前〃项和I.

2.（2026•河南•模拟预测）已知数列｛〃,｝的前〃项和为S,rM”+2=2a,向-a“,〃wN\且$6=4邑,

%“=2%+1.

（1）求数列乩｝的通项公式；

（2）数列｛“｝满足bn=，求数列M的前〃项和/.

》题型04数列通项及奇偶项讨论问题

a析典例•建模型I

1.（2026•黑龙江•一模）数列｛《,｝是各项均为正数的等比数列，其前〃项和为S“，满足.数列也｝满

足4=2,且（心「包应,=«…从下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中.

①4=2,S3—14；

②4=2,q+1,4,%-3成等差数列；

③其=14,$6=126；

⑴分别求出数列｛q,｝与也｝的通项公式；

⑵若数列｛q｝满足q尸鬻:，求数列｛%｝的前10项和八

（注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）

A研考点•通技法•

核心思路：分奇偶讨论、分别构造通项、合并结果，3步速解：

1.拆分奇偶项：按下标n分奇数项与偶数项分组，单独分析递推关系、公差或公比.

2.求分段通项：奇数项、偶数项分别套用等差或等比公式，写出对应k的表达式.

3.验证合并：核对边界项•致性，整理成分段函数形式：求和时同理，奇项和、偶项和分开计算再累加.

A破类题•提能力/

1.（2026•内蒙古鄂尔多斯一模）已知等差数列｛4｝满足《+%=6,%生=3.数列出｝的各项均为正数，

4=2,且2”一〃力皿+24-/＞皿=0.

⑴求数列｛4｝,优｝的通项公式；

b”,〃为奇数

（2）设,求数列｛%｝的前2〃项和匕.

—!—，〃为偶数

2.（25-26高三下•天津河西•开学考试）已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S,，｛"｝是公比大于。的等比数

列，叼=3,S、=2S”b\=2,且%,。6,4成等差数列.

⑴求数列｛q｝与也｝的通项公式;

i=2I2n+1

⑵设q,二〈（6凡-7）"〃二2£（“可），求

（247）（2*7）'一

a,〃=2’，

⑶设4=«；k（eN）,求Z4.

》题型05数列证明类问题

a析典例•建模型

1.（2026・山西运城•一模）设正项数列｛4｝的前几项和为S”，且2s“=〃；+&.

⑴求｛«,｝的通项公式;

⑵若包二不匕，记数列出｝的前〃项和为，，证明：4<2-

2.（25-26高三上•河北秦皇岛•期末）已知数列｛4｝满足4=：,（。角+1）（。”+1）=2%+1,〃eN'.

⑴求数列｛q｝的通项公式；

(2)证明:对VnGN*,4〃必+。必4++4名+必4.2<•

24

A研考点•通技法4

核心是抓定义、用递推、巧放缩，分三类突破：

1.等差等比证明：紧扣定义，证相邻项差或比为常数，或用中项性质，优先化简递推式.

2.通项与求和证明：利用累加法、累乘法、Sn与an关系推导，代入验证等式成立.

3.不等式证明：常用放缩法(裂项、等比放缩)、数学归纳法、函数单调性，先放缩再求和.

关键步骤：先梳理递推关系，再选对应方法，严谨书写推理过程，注意n的取值范围.

A破类题•提能力<

1.(25-26高三下•重庆•月考)已知数列的｝满足1>0q=j3《i+4(〃22”N*).

(1)数列M能否是常数列，若能，求出其通项公式；若不能，请说明理由；

(2)证明：卜”一41Kgi%-4|.

2.(2026•内蒙古呼和浩特•一模)已知数列｛q｝满足a“+j=4+l+cos(〃+l)-cos〃，且q=l+cosl.

⑴求勺；

(2)若。2"+1一〃2“-1<2,求证：|sin/?-cos«|<l；

(3)求2sin2+4sin4+6sin6+•••+180sin180的值.

》题型06数列型定义问题

a析典例•建模型

aa

.(2026•北京平谷•一模)设数阵4=w\i其中41,出,%，％2e{l，2,，6}.设5={"2,同£

{1,2,,6),其中2V<ei,ie^Ri<6.定义变换外为“对于数阵的每一行，若其中有2或

-k,则将这一行中每个数都乘以-1；若其中没有k且没有则这一行中所有数均保持不变

(2—).弘(4)表示“将4经过痣变换得到A，再将A经过外变换得到4,.•.，以此类推,

最后将A-.经过外变换得到4”,记数阵儿中四个数的和为£(A).

(\八

⑴若4=【35’写出4经过的变换后得到的数阵4；

⑵若4产{124},求"(A)的值;

⑶对任意确定的一个数阵4,证明：对所有可能的非空子集S,对应的，(A)的值的总和不超过

-4.

A研考点•通技法，

・・・,・・・・・■・・・■・■・■■・■・■・・・■・・・■・・・・・・・■・・・・・・・・・■・■・■■・■・■・■■・■・■・・・・・■・・・■・・•・・■・■・・・・・・・・・・・・・■・・・・・■・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・•・・■・■・・•■■・■・■・・•・・・・■・■・■・・

定义问题的求解过程可以模型化，一般解题步骤如下：

第一步：提取信息一对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号，

第二步：加工信息一细细品味新定义的概念、法则，对所提取的信息进行加工，探求解决方法，有时

可以用学过的或熟悉的相近知识进行类比，明确它们的共同点和不同点.

第三步：迁移转化一如果是新定义的运算法则，直接按照运算法则计算即可，如果是新定义的性质，

一般需要理解和转化性质的含义，得到性质的等价条件（如等量关系、图形的位置关系等）.

第四步：计算，得结论一结合题意进行严密的逻辑推理、计算，得结论.

A破类题•提能力

1.（2026•辽宁辽阳•一模）在数列｛qj中，记若｛4/“｝为等差数列，则称｛%｝为二阶等差

数歹U.

⑴若q=4〃2—5〃+3,判断｛q｝是否为二阶等差数列？并说明理由;

⑵已知二阶等差数列｛q｝满足4=。，出=1,%=3.

①求数列｛叫的通项公式；

n

②若不等式an<k-2-'对N恒成立，求实数k的取值范围.

2.（25-26高三下•重庆•月考）设有穷数列｛4｝：4，生必，（〃之2”河）满足为《=（）且

1-1

之同=中>0）,则称其为，阶-T数列”.

r=l

⑴若“8阶——4数列”：知。2，&，…，出是递增的等差数列，求％；

⑵设“〃阶―一数列〃满足4Nag%之之外.

。）记该“〃阶一，数列”的前厂项和为，（14-4〃）.证明：数列｛叼:5㈤㈤，・总不是"〃阶-T数

列”；

(ii)证明：n{a}-a„)>2t.

PART

实战刷题•冲高分

（建议用时：60分钟）

》刷模拟汨

1.（25・26高三上•山东临沂•期末）已知等比数列｛%｝的公比为q（g>0且4制）,等差数列｛我｝的公差为

d,满足条件：4=4=1,%=瓦,4=".

⑴求数列应｝和也｝的通项公式；

（2）设G=a,-bn,求数列｛%｝的前〃项和Tn.

2.（25-26高三上•河南信阳•期末）设数列｛q｝是等差数列，也｝是等比数列.已知4=2q=2,

b2=a2+2,by=2%+2.

⑴求｛q｝和他｝的通项公式；

（2）设q=Iog2%-14,求数列｛|c„||的前〃项的和Tn.

3.（2026•云南昭通•模拟预测）已知各项递增的等比数列｛%｝,等差数列｛"｝其前〃项和分别为5”，

满足丛=4=6,S4=30,7；=20.

⑴求｛见｝,也｝的通项公式：

⑵将数列｛%｝与也｝中的项按从小到大依次排列构成一个新数列仁｝，求数列k｝的前50项和H50.

4.(2026•河北保定•一模)已知等差数列｛/｝满足。“+。,川=2〃+1.

⑴求｛q｝的通项公式；

(2)设数歹地｝满足"=(-1)"叱+2》,求低｝的前2〃项和&及其最小值.

5.(25-26高三上•费州黔南•期末)已知数列加“｝的首项％=2,且满足可讨二言］，

(1)证明数列，J，是等差数列，并求数列｛q｝的通项公式；

⑵若记数列色｝的前几项和为S”，证明：s“<2.

6.(2026•山西晋中•模拟预测)已知数列｛q｝的前〃项和为3,且2S“-3q,=4〃-3.

⑴证明：｛q一2｝是等比数歹IJ；

(2)设2=〃(q-2),求数列｛bn｝的前八项和Tn.

7.（2026・河南开封•模拟预测）已知函数/（x）=2~2x.

（1）若数列为=/（〃），求数列｛4｝的前〃项和S“：

⑵已知函数/（x）在x=n（n€N*）处的切线为直线。，直线C在y轴上的截距为bn,求数列低｝的前〃

项和

8.（2026•湖北孝感•二模）已知数列同｝的前〃项和为力若对任意〃向量%=（4,-2-1）,

%=（s.q），有p.q=i•数列也｝满足2=｛工；蓝数，其前〃项和为小

⑴求数列｛q｝的通项公式；

（2）若（-s”＞而对任意〃eN,恒成立，求实数义的取值范围.

9.（2026.陕西•模拟预测）已知函数/（X）定义在区间（T1）内，时，恒有

一+，（加佣

⑴证明：/（一为奇函数;

⑵若数列应｝满足0<4<1,4=；,凡+L号;

2以〃十,

(i)证明：数列｛/5,)｝为等比数列，并求出数列｛/(4)｝的通项公式;

,234〃+1

⑴设八而+河+河—祈若(-1)"仇+6”<4对v〃eN'恒成立，求4的取值

范围.

10.(25-26高三下•北京•开学考试)已知〃M为正整数，〃之4,若数列为,当，，王同时满足:

①对任意均有RE｛1,2,,攵｝;

②对任意2</<〃一1,均有(为_1一七)(为一七+1)(3+1-x-)手。;

③对任意IWav〃vcvd，均有(乙一年1+(七一/丫0°，

则称该数列为〃㊉A数列.

(1)若数列1,2,3,〃,〃是5㊉4数列，直接写出〃一。的所有可能值；

(2)若数列％,S，*x“是〃①4数列