2026年中考数学一轮复习：勾股定理的应用

2026年中考数学一轮复习：勾股定理的应用

一、单选题

I.如图，大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2,连接小正方形的三个顶

点，得到△4BC,则△ABC的面积为（）

A.4B.6C.8D.10

2.如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表l（X）m,以点。为原点，过数轴上的每一刻

度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分.一艘海洋科考船在点0处用雷达发现4,B

两处鱼群，那么4,B两处鱼群的距离是（）

北

南

A.5mB.400mC.500mD.300m

3.如图，圆柱的底面半径为3。〃，高为4兀c〃?，一只蚂蚊从A点沿着圆柱的侧面爬行到与点

A相对的B点，则最短路线长为（）

A.（6+4/r）（?〃？B.2的+/cmC.ITTcmD.5兀cm

4.如图，在Rtz2\A6c中，ZC=90°两直角边AC=6cm,6c=8cm,现将AC沿AD折

叠，使点C落在斜边A4上的点E处，则C。长为（）

C.5cmD.6cm

5.如图，长方体的长为3,宽为2,高为4,点B离点C的距离为1,一只蚂蚁如果要沿着

长方体的表面从点A爬到点4,需要爬行的最短路程是（）

A.721B.5C.V29D.历

6.一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外

面的长度为加m,则/?的取值范围是（）

A.5<h<6B.6<〃W7C.5</?<6D.5W〃<6

7.如图，有一张长方形纸片ABC。，AB=8cm,3C=10cm,点石为CO上一点，将纸片

沿AE折叠，3c的对应边9C恰好经过点。，则线段CE的长为（）cm

试卷第2页，共6页

B'

A.3B.4C.5D.6

8.如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯中，筷子

露在杯子外面的长度为（）

C.7cmD.15cm

二、填空题

9.如图，要将楼梯铺上地毯，则需要米的地毯.

4米

10.如图，在中，乙4=90。，AB=\2,AC=5,点E在A5上，将4c4E沿CE折

叠，使点A落在斜边8c上的点W处，则AE的长为.

C

H.如图，在正方形网格中，若每个小方格的边长都为1,则的面积为

12.如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=12cm,8C=16cm,D、E分别是边8C、A8上的

任意一点，把△A8C沿着直线OE折叠，顶点B的对应点是夕，如果点夕和顶点A重合，

则CD=cm.

13.加图所示，在心△A8C中，AB=5,AC=4,点。在山8C匕把△A8C沿着直线A。

折叠，使48恰好落在直线AC上，则△AQC的面积是—.

14.如图，在直角三角形ABC中，A8=3,4C=4,点。在AC边上，将△O8C沿着直线

4。对折，使得点C刚好落在直线A4上的点七处，则AD=_.

三、解答题

15.森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应

用飞机洒水的方式扑灭火源.如图，有一台救火飞机沿东西方向48,由点4飞向点8,已

知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A,B的距离分别为600m和800m,

又AB=1000m,飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响.

试卷第4页，共6页

（1）着火点。受洒水影响吗？为什么？

（2）若飞机的速度为10m/s,要想扑灭着火点。估计需要13秒，请你通过计算判断着火

点C能否被扑灭？

16.如图，已知2x3的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）,每两条线的交点称为格

点.

（1）用直尺画出一个格点VA8C（即顶点在格点上）使边=BC=2&，CA=7i0；

（保留画图痕迹）

（2）试判断（1）中所画出的格点VA8C的形状，并求其面积.

17.1.数学兴趣小组学习了《勾股定理》后，利用所学数学知识来解决实际问题，实践报

告如下:

活动课

风筝离地面垂直高度探究

题

风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今己2000多年，相传墨相

问题背

以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源.兴趣小组在放风

景

筝时想测量风筝离地面的垂直高度.

测量数小组成员测量了相关数据，并画出了如图所示的示意图，测得水平距离BC的

据抽象长为12米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线48的长为20米，牵线放风

模型筝的手到地面的距离为1.6米.即CO=1.6米.

4D

经过讨论，兴趣小组得出以下问题：

（1）运用所学勾股定理相关知识，根据测量所得数据，计算出风筝离地面的

问题产

垂直高度AD.

生

（2）如果想要风筝沿4。方向下降7米，且8c长度不变，则他应该回收多少

米线？

问题解

...

决

该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题.

18.如图，每个小正方形的边长都为1,4、B、C、。均在网格格点上.

C

⑴求四边形A8CO的面枳;

⑵求证：ZBCD=90°.

试卷第6页，共6页

参考答案

题号12345678

答案BCDABCAC

I.B

【分析】根据题意可得5皿.=5方方簿暇?1-5小n一5&口-5%",代入求解即可.

【详解】如图所示,

•・•大正方形是由4个小正方形组成，小正方形的边长为2,

二・由题意可得，

SABC=S正方淤DEFA—S/\Z)C-S&CEB-S4ABF

=AD.DE-L・AD.CD-L・CE・BE-L・AF・BF

222

=4x4——x4x2——x2x2--x4x2

222

=16-4-2-4

=6

故选:B.

【点睛】此题考查了割补法求三角形面积，解题的关键是根据题意正确得到8c=5勿形

DEFA—SAADC-S&CEB一S&BF•

2.C

【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关健是熟练掌握勾股定理.

根据题意得出NAOH=90c及Q4、08后即可根据勾股定理求解.

【详解】解：如图，连接A8,数轴交点为。，

答案第1页，共12页

北

由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为360。+12乂3=90。，

.,.Z4O8=90。，

又I个单位长度代表l(X)m,

/.OA=300m,OB=400m,

・•・根据勾股定理可得，

二.R心AO8中，AB=ylo/r+OB2=5(X)m.

故选：C.

3.D

【分析】要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点间线段最短，再利用勾股定理

求解即可.

【详解】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A,3的最短距离为线段4B的长，

HC-\Ttcm,AC为底面半圆弧长，AC=3*7r=37r,

所以AB=«3兀+(4〃尸=5乃(cm).

故选：D.

【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，勾股定理等知识，将立体图形化为平面图形

是解题的关键.

4.A

【分析】先根据勾股定理求得A8的长，再根据折叠的性质求得AE,8E的长，从而利用勾

答案笫2页，共12页

股定理可求得co的长.

【详解】解：V4C=6cm,8C=8cm,ZC=90°,

^AB=ylAC2+BC2=10(cm),

由折叠的性质得：AE=AC=6cn\,NAE/)=NC=90。，

10cm-6cm=4cm,Z^EZ)=90°,

设CO=x,则BD=BC-CD=S~x,

在朋△DEB中,BE^DE^BD2,

即42+f=(8—x)2,

解得：X=3,

.*.CD=3cni,

故选：A.

【点睛】本题考查/折叠的性质，勾股定理等知识；熟id折叠性质并表不出即的三

边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键.

5.B

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后

利用两点之间线段最短解答.

【详解】解：把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图I：

•・•长方体的宽为2,高为4,点8离点。的距离是1,

•\AB=742+32=5：

把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2：

答案第3页，共12页

:长方体的宽为2,高为4,点3离点C的距离是1,

，AB=722+52=V29：

把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3：

B_C

图3c

•・•长方体的宽为2,高为4,点B离点C的距离是1,

：.AB=762+12=V37;

V5<V29<737,

・••蚂蚊爬行的最短距离是5.

故选：B.

【点睛】本题考查的是平面展开一最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据

勾股定理求解是解答此题的关键.

6.C

【分析】根据杯子内牙刷长度的取值范围得出杯子外面长度的取值范围，即可得出答案.

【详解】解：,・,将一根长为18cm的牙刷,置于底面直径为5cm,高为12cm的圆柱形水杯

中，

•••仕杯于中牙刷最短是等于杯子的高，最长是等于牙刷斜边长度，

答案笫4页，共12贝

・••当杯子中牙刷最短是等于杯子的高时，x=12,

最长时等于牙刷斜边长度是：X==

，〃的取值范围是：8T2,

即

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内牙刷的取值范围是解决问题的关

键.

7.A

【分析】由折叠的性质可得4B=A"=8cm,BC=/TC=10cm,CE=CE,由勾股定理可

求一D的长，由勾股定理可求解.

【详解】解：7将纸片沿A石折叠，BC的对应边方。恰好经过点。，

AB=AB1=&力?,BC=B'C=l(k?n,CE=CE,

：.B'D="00-64=6cm，

;.CD=B'C'—HD=4cm,

DE2=CD2+CE2,

.-.DE2=16+(8-DE)2,

二.DE=5an,

CE=3cm

故选：A.

【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质是解决本题的

关键.

8.C

【分析】根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案.

【详解】解：由题意可得：

杯子内的筷子长度为：6+122=i3cm,

则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20-13=7(cm).

故选：C.

【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键.

9.7

答案第5页，共12页

【分析】本题考查了勾股定理的应用：先分析，得地毯的长度等于两个直角边之和，故根据

勾股定理求出另一直角边为3,即可作答.

【详解】解：根据勾股定理，另一直角边=6二7=3（米），

.♦.3+4=7（米），

则需要7米的地毯

故答案为：7

10.^/31

33

【分析】先利用勾股定理求出8C,再根据折叠的性质可得C4=Cr,AE=AN,NC4，E=NC4E,

设AE=x,最后利用勾股定理列出方程即可求出AE的长.

【详解】解:由勾股定理，得BC=JAC+AB）=13.

由折香可知CA=CA',AE=A'E,ZCA'E=ZCAE=90°.

设AE二％,则A'E=x,BE=12-x,84=13-5=8.

在中，BE2=A'E2+I3A'2

：.（12-x）2=/+82,

解得户?，

即AE的长为g

故答案为:y.

【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知折叠的性质及勾股定理的特点列

方程求解.

II.13

【分析】根据网格的特点和勾股定理求得AC根据勾股定理的逆定理判定V4BC为

直角三角形，进而根据直角三角形的面积公式求解.

【详解】•.AC2=22+32=13,AB2=62+42=52,fiC=82+l2=65,

/.AC2+AB2=BC2AC=4i3,AB=452=2瓦,

・•.V48C为直角三角形，

S^ABC=^AC-AB=^x>J\3x2\l\3=13.

故答案为：13.

答案第6页，共12页

【点睛】本题考查了网格与勾股定理以及勾股定理的逆定理，掌握勾股定理是解题的关键.

12.-

2

【分析】设则(16-x)cm；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即

可解决问题.

【详解】解：设力，则8D=(16-x)cm,

由折叠得：AO=6£)=16-x,

在RMACO中，由勾股定理得：CZ)2+AC2=A》，

・3+122=(16-x)2,

7

解得：x=-f

即C7)=Z(cm).

2

故答案为：y.

【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图

形中隐含的等量关系：借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答.

【分析】由折叠可知，BD=BD,A8=A8=5,设则CO=3-x,在心△BY?。中，

S48

由勾股定理可得/=(3-x)2+1,解得x=1,所以CZ)=、，则△ADC的面积=w即为所

JJJ

求.

【详解】解：由折叠可知，BD=B，D,AB=AB',

VAB=5,

：,AB,=5,

-：AC=4,

A5'C=1,

•・•心AABC中，48=5,AC=4,

,BC=y]AB2-AC2=Ji-42=3，

设8Q=x,则CD=3-x,

在RmBCD中，BD2=BC2+CD2,

即/=(3-x)2+l,

答案第7页，共12页

解得X=1，

J

4

：,CD=~,

|48

•••△AQC的面积=；；x二x4二；,

233

故答案为g.

【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键.

.4.之

2

【分析］由勾股定理求出BC=5,由折叠的性质得出CD=ED,BOBE,设AD=x,则CD=DE=

4-x,得出Y+2?=（4-if,解方程可求出答案.

【详解】•・•直角三角形ABC中,AB=3,AC=4,

•••BC=NAB?+BC?=6+干=5，

,••将△DBC沿着直线BD对折，使得点C刚好落在直线AB上的点E处，

/.CD=ED,BC=BE,

AE=BE-AB=5-3=2,

设AD=x,则CD=DE=4-x,

AD2+AE2=DE2

/.X2+22=（4-X）2,

3

解得：x得.

AD=—.

2

3

故答案为：j.

【点睛】本题考查了图形的折叠以及勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

15.（1）着火点C受洒水影响，理由见解析；（2）能，理由见解析

【分析】（1）过点C作CO_LAB,垂足为。，勾股定理的逆定理证明VA8C是直角三角形，

进而等面积法求得长度，与500进行比较即可求得答案；

（2）以点。为圆心，500m为半径作圆，交于点£尸，勾股定理求得£。，进而求得石尸

的长，根据飞机的速度得到飞行时间，再根据题意求得灭火时间，即可解决问题.

【详解】（1）着火点C受洒水影响，理由如下，

答案第8页,共12页

如图，过点C作CO_L48,垂足为O,

AC=600,BC=800,AB=10(X)

AC2+BC2=\0002，AB2=1000;

/.AC2+BC2=AB2

.•一•八4c是直角三角形

：.—xACxBC=—xABxCD

22

AC^C600X800

:.CD===48()

AB1000

.480<5(X)

着火点C受洒水影响

(2)如图，以点。为圆心，500m为半径作圆，交AB于点E,F

A

则CE=Cr=5(X)

：CD1AB

：.ED=DF=-EF

2

在R"DE中,ED=>JCE2-CD2=V5OO2-4802=140

/.£F=2ED=280

280+10=28

.28>13

「•着火点C能被扑灭.

答案第9页，共12页

【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意作

空图形是解题的关键.

16.（1）见解析：（2）直角三角形，2

【分析】（1）根据勾股定理，立=彳乔，20=历万，七=，（&『+（2夜y,得到

三条边的长度，连成三角形即可；

（2）屈=/用+R&y由勾股定理逆定理即可判断是直角三角形,然后求解面积即可.

【详解】解：（1）如图（4个中任意I个即可），

（2）QAB=e，8c=2&，CA=V10,

AB2+BC2=（V2）2+（2立尸=10,

TCA2=10,/,AB2+BC2=CA2,

.二ABC是直角三角形，

/.