2016-2025年安徽数学中考试题汇编：矩形、菱形与正方形 第3课时 正方形

5.2矩形、菱形与正方形

第3课时正方形

一、与正方形有关的推理及计算

1.（2023安徽中考笫8题）如图，点石在正方形A3CO的对角线AC上，EFLAB于点F,连接OE并延

长，交边BC于点M,交边A8的延长线于点G.若A/=2,FB=1,则MG=（）

A.2y/3B.垣C.V5+1D.M

2

2.（2022安徽中考第14题）如匡，四边形A3C。是正方形，点£在边AO上，△出亦是以£为直角顶点的

等腰直角三角形，EF,8F分别交CD于点M,N,过点“作AD的垂线交AQ的延长线于点G.连接。F,

请完成下列问题：

（1）NFDG=°；

（2）若。石=1,DF=2近,则的V=.

3.12024安徽中考第14题）如图，现有正方形纸片A8CD,点E,尸分别在边48,BC上，沿垂直于E9的直

线折叠得到折痕MN,点8,C分别落在正方形所在平面内的点8',U处，然后还原.

（1）若点N在边CO上，且N8/泞=a,则乙C'NM=（用含a的式子表示）;

(2)再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH,点G,“分别在边CD,4。上，点。落在正方形所在平面内的

点D'处，然后还原.若点D'在线段B'C'上，旦四边形EFGH是正方形，AE=4,=8,MN与GH的交点为

P,则PH的长为

4.(2025安徽中考第22题)已知点4在正方形ABC。内，点£在边AD上，BE是线段4r的垂直平分线，连

接4E,A'B.

DC

E

A

图3

(I)如图I,若的延长线经过点/),AE=1,求力8的长;

(2)如图2,点尸是44,的延长线与CD的交点，连接C4.

①求证：Z-CA'F=45°；

②如图3,设AF,BE相交于点G,连接CG,DG,DA'.若CG=CB,判断AADG的形状，并说明理由.

参考答案与解析

一、与正方形有关的推理及计算

1.(2023安徽中考第8题)如图，点E在正方形A8C£＞的对角线AC上，EF工AB于点、尸,连接OE并延

长，交边BC于点交边A8的延长线于点G.若A/=2,FB=1,则MG=()

A.26B.吧C.石+1D.VlO

2

【答案】B

【详解】解：•・•四边形力8co是正方形，AF=2,FB=1,

：.AD=BC=AB=AF+FG=2+1=3,AD\\CB.AD1AB,CB±AB,

*：EFLAB,

：.AD\\EF\\BC

・・.箸=字=2,〉ADE八CME,

EMFB

,AD_DE_

**'CM~'EM~'

则。M=^AD=1.

：,MB=3-CM=-,

2

•.•BQHO,

:.kGMB~△GDA>

.BGMB11

..——==—=-

AGDA32

：,BG=AB=3,

在RtaBGM中，MG=>/MB2+BG2=J(|)2+32=

故选：B.

2.(2022安徽中考第14题)如图，四边形人8CO是正方形，点E在边人£＞上，4BEr是以E为直角顶点的

等腰直角三角形，EF,BF分别交CD于点M,N,过点尸作4Q的垂线交4。的延长线于点G.连接。尺

请完成下列问题：

(1)ZFDG=°；

(2)若DE=1,DF=2&，则MN=.

【答案】45

【详解】(1)•・•四功形A8C。是正方形，・・・NA=900,AB=AD,：.ZABE+ZAEB=9()\

VFG14G,；・NG=N4=90。，

•••△BE尸是等腰直角三角形，，班＞/芯N8EF=90°,

/.NAEB+ZFEG=90。，：.ZFEG=ZEBA,

乙4=LG

在ZiABE^LGE尸中，乙ABE=LGEF，:AABE%AGEF(AAS),

BE=EF

：.AE-FG,AB-GE,

•••在正方形ABC力中，AB=AD,'.AD=GE

f：AD=AE+DE,EG=DE+DG,:・AE=DG=FG,：.ZFDG=ZDFG=45°.

故填：45°.

(2)如图，作FH上CD于H,

・•・NF”庆90°

又ZG=ZGDH=9()°，，四边形DGFH是矩形,

又•：DG=FG,工四边形。GFH是正方形，:.DH=FH=DG=2,

•,"GIIFH,・••警=器，・・・DM《，

rriMrio，

作MP_LO产于尸，•；NMDP=NDMP=45。,:.DP=MP,

•・•。产+”产=。”2,：.DP=MP=—,Z.PF=—

33

NMFP+NMFH=NMFH+NNFH=45。,，NMFP=NNFH,

•：NMPF=NNHF=90。,:•丛MPFs/\NHF,

、历s近

：.—=—,即工=工，：.NH=~,

NHHFNH25

，MN=MH+NHQA^.

3515

故填一.

3.12024安徽中考第14题）如图，现有正方形纸片ABC。，点£,产分别在边48,8。上，沿垂直于"的直

线折叠得到折痕MN,点丛C分别落在正方形所在平面内的点夕，C'处,然后还原.

（1）若点N在边CO上，且，9E"=a,则/C，NM=（用含"的式子表示）；

（2）再沿垂直于MN的直线折叠得到折痕GH,点G,”分别在边CD,4。上，点。落在正方形所在平面内的

点。'处，然后还原.若点。'在线段夕C'上，且四边形E/GH是正方形，AE=4,EB=8,MN与G”的交点为

P,则PH的长为.

【答案】90°-a/-a+90°375

【详解】解：①连接CC',由题意得NC'NM=44,MN1CC,

•；MN1EF,

：.CCIIFE,

Azi=Z.2,

•・•四边形48CD是正方形,

:.LB=乙BCD=90°,

/.Z3+Z4=Z34-Z2=90°,zl+乙BEF=90°,

Az2=z4,zl=90°-a,

Az4=90°-a

•LC'NM=90。-a,

故答案为：90。—a；

②记HG与NC'交于点K,如图：

•・•西边形力BCD是正方形，四边形E/GH是正方形，

：,LA=NB=NC==90°,HE=FE,乙HEF=90°,

.*.z5+z6=z74-z6=90°»

Az5=上7,

A△AEH"BFE,

同理可证：＞AEH三ABFENADHG三ACGF,

：,AE=CG=DH=4,DG=BE=8,

在RtA，DG中，由勾股定理得"G=7DH2+DG?=4遥,

由题意得：Z-NC'B'=^NCB=90°,z8=z9,乙D=LGD'H=90°,NC=NC',GD=GD,=8,

・・・MIIG»,

LNKG=Z9,

Az8=Z.NKG,

：,NG=NK,

：.NC-NG=NC1-NK,

即KC'=GC=4,

\'NCrIIG»,

:MHC'KfHD'G,

：.HK=-HG,

2

：.HK=KG,

由题意得MNJ.”G,而NG=NK,

：.PK=PG,

：.PH=-HG=3V5,

4

故答案为：3V5.

4.(2025安徽中考第22撅)已知点片在正方形力BCD内，点石在动AD上，BE是•线段44'的垂直平分线，连

接4'E,A'B.

sHaC

B

图1图2图3

(1)如图1,若84的延长线经过点。，AE=1,求48的长；

(2)如图2,点尸是44'的延长线与CD的交点,连接C4.

①求证:“47=45。；

②如图3,设AF,8E相交于点G,连接CG,DG,DAr.若CG=CB,判断AADG的形状，并说明理由.

【答案】(1)1+企

(2)①详见解析；②△ADG为等腰直角三角形，理由见解析

【详解】(1)解：•・•四边形/BC0是正方形，B/T的延长线经过点。，

：.LADB=45°,AD=AB,Z,DAB=90%

由垂直平分线的性质知，ArE=AE,BA1=BA,

又BE=BE,

••AEA'B-△EAB»

：.LEA'B=Z.EAB=90°.

又4ADB=45°,

•••Z.4DE是等腰直角三角形，

：.A'E=AE=1,

：.DE=42A'E=yf2,

：.AB=AD=AE+DE=l+\[2.

(2)解：①证明：由题意知，BA=BA1=BC,

：.LBAA!=LBAlA,乙BCA'=^BA'C.

・•・/"(=NA4B+NC4B

11

=-(180°-4ABA)+-(180°-LCBA')

1

=180°--^ABA'+NCBA')

=180°-45°

=135°,

：.LCA'F=180°-LAA'C=45°.

②解：aADG是等腰直角三角形.

理由如F：

（方法一）作CN1BG交BG于点M,交AB于点N.

•:CG=CB,

・・・M为8G的中点.

5LAA'1BE,

：.CN\\AF,

.BNBM.

••一==1，

ANGM

・・.N是AB的中点，

・・・MN是△48G的中位线，BN=\AB.

'：LABE=90°-乙CBG=LBCN,Z.BAE=乙CBN=90°,且A8=BC,

:.公ABE三ABCN,

：.AE=BN=-AB=-AD,

2