8年级数学专项作业17 二元一次方程与一次函数（巩固培优）解析版

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作业17二元一次方程与一次函数

积累运用

一、一次函数与一元一次方程

任何一个一元一次方程都可化简为区+40（上b为常数,且厚0）的形式.

（1）一元一次方程履+6=0（上0）是一次函数尸质+员仁0）的函数值为0时的特殊情形.

（2）直线尸依+伙后0）与x轴交点的横坐标就是一元一次方程匕-力=0（后0）的解，即尸-%

二、一次函数与二元一次方程（组）的关系

1.一次函数与二元一次方程的关系

一般地，一次函数严区+6的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程区一户7尸0的解；以二元一次方程

kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数尸无什力的图象上.

2.一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）.

二元一次方程组P""：时的解为两直线产4胡+仇；和产。的交点坐标；反过来，两直线7=。|%+济，和

尸。22的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解.

（1）两直线平行（无交点），方程组无解仇彳力2）；

（2）两直线交于一点，方程组有唯一解；

（3）两直线重合，方程组有无数组解⑷=%，b}=b2）.

三、二元一次方程组的图象解法

1.二元一次方程组的图象解法的含义

用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法.

2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤

（1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：yi=k}x+b^y2=k2x+b2.

（2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象.

（3；求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x

的值，纵坐标是y的值.

培优训练

三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型

1巩固提升练

1/13

题型一由直线与坐标轴交点求一元一次方程的解

1.若直线产0¥+力(g0)与x轴交点的横坐标为1,则关于x的方程ax=3a-2b的解为()

A.x=5B.x=-5C.x=-2D.x=-3

【答案】A

【解析】解：:直线产or+方(存0)与x轴交点的横坐标为1，

0=6?+/),

h=—(i,

将b=-a代入ax=3a-2b中，得：ax=3a-2(-a'),

/.ax=5a,

•・20,

/..v=5>

故选：A.

题型二由一元次方程的解判断直线经过的点

2.若尸2是关于x的方程用x+〃=0(m#),心0)的解，则一次函数尸的图象与x轴的交点坐标是()

A.(2,0)B.(3,0)C.(0,2)D.(0,3)

【答案】B

【解析】解：•・•方程的解为-2,

:.当x=2时mx+n=0；

•••一次函数产利叶〃的图象与x轴的交点为(2,0),

，一次函数尸-"次-〃的图象与x轴的交点为(2,0),

•・•一次函数产•〃小〃的图象向右平移一个单位得到(x-l).〃，

・•・一次函数尸(x-l)-〃的图象与入•轴的交点坐标是(3,0),

故选：B.

题型三利用图象法求一元一次方程的解

3.如图，直线/［：尸近与直线，2：产%2/5相交于点尸，则方程外-〃2尸5的解为

【答案】x=\

2/13

［解析】解：直线/［：V=后1戈与直线/2丁=左2工+5相交于点P，

・"(1,2),

,.Z］X-42X=5变形得鬲-%23+5，即为士,

；・方程Aix-k2x=5的解为x=I

故答案为：X=1.

题型四两直线的交点与二元一次方程组的解

4.通过课本数学活动一一二元一次方程的“图象”的探究，我们学习到：一般的，以一个二元一次方程的解为

坐标的点的全体叫作这个方程的图象，二元一次方程的图象是直线，根据以上信息，解决如下问题：在平

面直角坐标系中，关于.3的二元一次方程ax+b^c的图象和关于xj的二元一次方程mx—〃尸的图象的交

点坐标为(-2,3),则关于xj，的方程组｛黑器)的解为()

(x=8C(x=-8-(x=-4n(x=-4

A.)二B.｛-C.｛D.1o

(y=3(y=-3(y=a3\y=-2

【答案】B

【解析】解：由题意，方程组｛；：器的解为：烂了，

(ax-4by>=4c

m---n-(二>')=/

(ax-^by^=4c

v+4〃jk4/

|，〃.一厂3

故选B.

题型五利用图象法求二元一次方程组的解

5.如图，一次函数尸k+〃与尸r+5的图象相交于点则关于x、歹的二元一次方程组｛产的解

I—KX-D

是______.

y=fo+l)

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【答案】。：

【解析】解：•・•点P3,1)在产r+5的图象上，

，当时，l=-x+5,

解得尸4,

工点尸(4,1),

:一次函数y=kx+b与尸r+5的图象相交于点玖4/)，

•••美于x、y的二元一次方程组的解是｛1：，

故答案为：｛1：.

题型六直线围成的图象面积

6.如图，已知直线/[:产|x与直线，2：尸质+1(后0)在笫一象限交于点P(〃?,3),直线为与x轴交于点彳，则

l\AOP的面积为()

【答案】B

【解析】解：••,尸(7%3)在直线/]:尸“上，.••3=：〃?，，〃?=2,，尸。,?),

将P(2,3)代入b:尸匕+1,

得3=2R+1,解得A=l,故/2：产x+1，

直线4与x轴交于点.4,0=v+l»

・••尸T,

A/f(-l,0),：,OA=\,.,.5A^OP=JX|X3=|.

故选：B.

2能力培优练

4/13

1.若方程组忆吃无解，则一=履+3图象不经过第三象限.

【答案】三

【解析】解：•・•方程组片纥2、4无解，

U，=（3A+1}x+2

:.直线y=kx+3与y=（3什1）x+2平行，

：・k=3k+l,

解得T，

在直线厂一%+3中，V-y<0,3>（）,

，直线产-g+3经过第一、二、四象限，不经过第三象限.

故答案为三.

2.一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中工的值对应为点的横坐标，），的值对应为点的纵

坐标，如二元一次方程x-2），=0的解修:和仁；可以转化为点的坐标力（0,0）和4（2,1）.以方程x

-2v=0的解为坐标的点的全体叫做方程x-2y=0的图象.

（1）写出二元一次方程x-2y=0的任意一组解_修二;_,并把它转化为点。的坐标（-2,-

（2）在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线，如方程x-2p=0的图象是由

该方程所有的解转化成的点组成，在图中描出点力、点8和点C,观察它们是否在同一直线上；

（3）取满足二元一次方程xty=3的两个解，并把它们转化成点的坐标，画出二元一次方程,巾=3的图

象；

（4）根据图象，写出二元一次方程x-27=0的图象和二元一次方程x+y=3的图象的交点坐标」2i_

1）_，由此可得二元一次方程组{:窝。的解是一$二；一.

y/K

i-4-4

i-4-

_：_：_：_-----=-----

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）二元一次方程x-2y=0的解可为［二;把它转化为点C的坐标为（-2,-1）,

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(2)如图，点4、点8和点C同一直线上:

(4)根据图象，二元一次方程x-2y=()的图象和二元一次方程x+y=3的图象的交点坐标为(2,1),

3.(1)请在如图的直角坐标系中作出y=2x+l,y=3x的图象;

(2)利用你所画的图象，直接写出方程组夕=7+1的解.

【解析】解：(1)函数y=2x+l经过点(0,1)>(-1,0)；

函数y=3x经过点(0,0),(I,3).

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4.在直角坐标系中，直线。的解析式为y=2x-1,直线£2过原点且上与直线£1交于点。（-2,a）.

（1）试求。的值；

（2）试问（-2,a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；

（3）设直线与x轴交于点儿你能求出△/IPO的面积吗？试试看；

（4）在直线心上是否存在点M,使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在,

说明理由.

y个

【答案】见试题解答内容

【解析】解:（1）把（-2,q）代入y=2x-1,得：-4-1=〃,

解得。=-5.

（2）由（1）知：点尸（-2,-5）；

则直线上的解析式是产全；

y=2x~1

因此（-2,可以看作二元一次方程组5的解.

1.y=2x

7/13

（3）直线心与x轴交于点力g0）,

所以S△死尸Jx；x5=东

（4）存在点使得点M到工轴和y轴的距离相等.

设点M的坐标为（a,b）;

①当〃=分时，点〃的坐标为（a,a）；代入y=2x-1得：2a-I=a,a=l；即点〃的坐标为（1,1）；

②当。=-力时，点M的坐标为（a,-a）；代入y=2x-1得：2a-\=-a,a=y即点M的坐标为（；,

综上所述，存在符合条件的点例坐标为（1,1）或（g,-1）.

5.在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+6的图象过点〃（-I,；）,与x轴交于点/（4,0）,与y轴交

于点C,与直线交于点P,且PO=PA,

（1）求a+b的值.

（2）求一的值.

（3）。为尸。上一点，轴于点E交OP于点E,若DE=2EF,求。点坐标.

VA

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）根据题意得：昼一"上

_I

解方程组得：a=~2,

-h=2

.*.«+/>=-i+2=即a+b=^；

（2）设尸（x,y）,则点P即在一次函数y=ar+方上，又在直线），=去上,

由（1）得：一次函数y=av+〃的解析式是尸-;x+2,

又•：PO=PA,

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x2+/=(4-r)2+/

y=kx

x=2

尸1

（弓

:.k的值是J：

1

\\

-XJo>

2Zz

,:DE=2EF,

:.-ix+2-yX=2XJX,

乙乙乙

解得：x=\,

II7

则-尹+2=-x1+2=q

3

：.D（1,

2

6.用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示）,

【答案】见试题解答内容

【解析】解：设过点（1,1）和（0,-1）的直线解析式为了=履+6,

则｛k+b=l，解得瞎,

b=-\

所以过点（1,1）和（0,-1）的直线解析式为y=2x・1；

设过点（1,1）和（0,2）的直线解析式为y=s+〃，

则｛鬻I即得忆■一

所以过点（1,1）和（0,2）的直线解析式为y=-x+2,

所以所解的二元一次方程组为［二二；.

9/13

7.若方程组［二；二。的解中，x是正数，y是非正数.

(1)求A-的正整数解；

(2)在(1)的条件下求一次函数产心-，与坐标轴I制成的面积.

【答案】见试题解答内容

A+1

(v-A1

因为x是正数，y是非正数，

解>0

可得：高，

解得：-1<k<\，

因为左取正整数,

所以％=1；

(2)把k=l代入尸丘-，中，可得y=x-1.5,

1349

所以与坐标轴的面枳为7乂？；=丁

2228

8.如图，直线人过点力(8,0)、4(0,-5),直线/2过点。(0，-1)，八、A相交于点。，且的

面积等于8.

(1)求点。的坐标；

(2)点。的坐标是哪个二元一次方程组的解.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：3)设直线/1的解析式为丁=6+方,

根据题意得：｛:"/0，

(,_5

解得:『,

b=~5

，直线人的解析式为尸37，

•••8(0,-5),

：・OB=5,

:点。(0,-1),

10/13

:.oc=\,

:.BC=5-1=4,

设。（x,y）,则△QC8的面积=；X4X|X|=8,

解得：x=±4（负值舍去），

；・x=4,代入产标-5得：

oZ

D（4,-

（2）设直线/2的解析式为y=G+c,

根据题意得：卜"5一9,

KC=-1

解得：卜=?

U=-1

:.直线11的解析式为-I,

•31、/2相交于点。，

・••点。的坐标是方程组「8；的解.

上一旷1

3创新题型练

I.在平面直角坐标系.vOv中，对于点Z（a,b）和“（a,b'）,若"-f'62,则称点"（a,b'）是点

Ub,a<2

A（a,b）的“相伴点”.请你解决下列问题：

（1）点（3,-2）的“相伴点”是一（3,-2），点（VI-1）的“相伴点”是（3,1）.

（2）已知点C在函数y=・x+2的图象上，

①已知点C在函数y=-x+2（.x<-I）的图象上，则点C的“相伴点”C在函数y=U_的图象上；

②已知点C在函数y=-x+2（-2人〃?，〃?>-2）的图象上，则点C的“相伴点”C的纵坐标c'满足-4土K

・1,求机的取值范围.

【答案】见试题解答内容

【解析】解：（1）点（3,-2）的“相伴点”是点（3,-2）,点（或，-1）的“相伴点”是（V2,1）.

（2）①•・•函数y=-x+2（烂-1）,

，点。的“相伴点”。在函数-j=-x+2,即尸x-2上：

②•・•点C的"相伴点”C的纵坐标"满足-4<c*<-1,

・•・当点C的“相伴点”C的横坐标为3<m<6；

当点C的“相伴点”。'的横坐标为-2<但.

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故答案为：（3,-2）,（V2,1）；x-2.

2.一般地，二元一次方程的解可以转化为点的坐标，其中x的值对应为点的横坐标，y的值对应为点的纵

坐标，如二元一次方程x・2y=0的