江苏镇江市扬中市某中学2025-2026学年高一年级下册数学周练3

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练3

姓名__________

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中,只有一项是符合

题目要求的.

1.己知sin(a一夕)=§,tana=2tan/，则sin(a+/?)=()

A.2C.1DT

|2

2.已知sin(a十/7)=一,sin(a-〃)三.，则)

33

A.tancr-3tan/?=0B.tan«+3tanp-0

C.3tana-tan^=0D.3tana+tan夕=0

C7r

3.已知cos(ez——)+sin(7F—cc)———>则cos(w-a)的值()

653

x/31D,3

AB.一一

555

4.如图，半圆的直径人8=6,。为圆心，C为半圆上不同于A、"的任意一点，若P为

半径OC上的动点，则（而十方）定的最小值为

（）

9

A.B.9D.-9

2

己知工是单位向量，且,-4二#,

5.Z+工在工上的投影向量为5工，则Z与工的夹角为)

兀2兀

A.BD.—

6-53

6.如图，已知正方形A8CO的边长为4,若动点P在以为直径的半圆上（正方形A8CO内

部，含边界），则正.丽的取值范围为()

A.(0,16)B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

7.已知。是A48C的重心，=+R),若/A=120°,而丞=-2,

|^|的最小值是

则)

V32

A.B.—C.一D.

33

8.如图，已知DE分别是△ABC边AB,AC上的点，且满足而而，

2

AC=4AE，RE与CD交干O,连接人。并延长交干尸点.^AO-AOF-则

实数2的值为)

74

A.-B.-D.2

33仁1

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全

部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得。分.

9.已知向量之石满足同=3,B=2,则下列结论正确的有()

A.侬+3丹_1侬-33B.若G.B=6,则五〃5

C.1在5方向上的投影向量为g仅石快D.若忖+2可=>/万，则1与5的夹角为与

-y|,tanman/?=|>则下列结论正确的是

10.已知0<a</?<],cos(a+/)=

A••々亚5

A.sin6zsinp=B.cos(a一,卜41

7c1

C.tana+tan^=—D.tana-tanp=--

11.如图，设。九。》是平面内相交成0（"；）角的两条数轴，分别是与犬，）'轴正方向

同向的单位向量，则称平面坐标系/O），为。斜坐标系，若两=厅1+），贰，则把有序数

对（x,y）叫做向量曲的斜坐标，记为两=（x,y）在。=]的斜坐标系中，

2=（—1,1）3=（1,1）,则下列结论正确的是（）

A.Z—6=（—2,0）B.同=2&

C.aLbD.0-b与B的夹角为二-

三、填空题：本题共3小题，每小题5分,共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题卡相应位置上.

2sin81°-cos51°

12.--------------=_________________.

cos39°

13.若向量Q=（2,—l）,B=（—3"）的夹角为钝角，则实数，的取值范围为.

14.如图所示，在口A8C中，点。为8C边上一点，且玩5=2/元，过点。的直线E尸与

直线48相交于E点，与直线AC相交于厂点（E,“啰点变合）.若

AD=mAB+nAC则机〃=若荏=4而，AF=pAC,则义+〃的最小

值为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤.

.,7137[兀.（乃、2\/2小3

15.已知一<a<—,0<p<—,sina—=---,cos（cf+p）=——.

4444j35

(1)求sina的值;

’TiA

(2)求cos/7+-的值.

I4j

2

16.如图，在A48c41,/B4C=120°,A3=l,AC=3,点D在线段6C_L，且一。C.

2

(I)求AD的长；(2)求cos/DAC的值.

17.化简求值

sin12°(2cos212。-1)

V3-tanir

(2)己知tana=Lsin/?=^^，a，求a+2£.

7"10I2；

3

18.如图，在矩形A8CZ）中，已知48=3,族=2而，M是线段CE上的一动点；

（1）当M是线段CE的中点时，

①若丽=加而+〃而，求机+〃的值；

②过点七作直线/垂直于48,在/上任取一点F,证明标.而为常数，并求该常数;

（2）当瓦•《五二7时，求（而+2标）•祝的最小值.

19.如图，在梯形ABCQ中，AB//CD,且A8=2CQ,设而=d，BC=b-

（1）试用。和B表示AC'

一3一

（2）若点P满足AP=—2+/U?,且A,D,P三点共线，求实数4的值.

4

（3）若4。=2，48=4,ZDAB=60°＞且点E是线段AC上的动点，求瓦.屁的最小值.

4

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学周练3

姓名_______

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.己知5出(2一夕)=5筮11]2=2(2。£,则sin(a+/?)=(C)

A.2C.1DT

【详解】sin(a—/7)=sinacos/7-sin/7cosa=g,tana=2tar)P,即

sina_sin/,sinacosp=2sin夕cosa,所以2sin/7cosa-sin^cosa=,，即sin/?cosa=-,

-------=2---------

COSOCOSp

故sin(a+/?)=sin«cos/?+sin/?cosa=3sin/?coscr=1.故选：C

\2

2.已知sin(a+/?)=§,sin(a-/7)=-,则(B)

A.tana-3tan/?=()B.tana+3tan4=0

C.3tana-tan/=0D.3tancr+tan//=0

[2

【详解】由sin(a+/?)=sinacosp+cosarsing=-,sin(«-/?)=sinacosp-cosasin/?=—,

所以sinacos£=，,cosasin/7=--,则3,=史学=_3,故tana+3tan〃=0.故选：B

26cosasinptanp

c万

3.己知cos(a—三)+sin(jT—a)=----，则cos(q-a)的值(C)

653

A411D.近

B.——C.一

555

4.如图，半圆的直径AB=6,。为圆心，。为半圆上不同于A、8的任意一点,若尸

为半径上的动点，则（再+而）定的最小值为

OCC）

9「I

A.-B.9D.-9

2

所以

【详解】试题分析：由题意设方+而二尸21（一1＜，＜0）,则正=IQC^tHOC

2

(PA+~PB)iPC=t-2OC^°C+^OC=(2/+2f)|0C|12=18[(f+一;1，当/二一3时有最小值一g

考点：向量的运算.

卜-4=6,£+2在工上的投影向量为;e,则工与工的夹角为

5.已知工是单位向量，且卜-(D)

7Cn271

B.-c.一D.——

43

1_（a+eYe一

:e,由H=l,则有R+e)・e=g,即a--2

【详解】若2+工在工上的投影向量为7e,即"■e+e

2H2

可得a・e=一—♦又由卜—N=则有(e-a)=e-2e-a+a=1+1+4=3»解可得："=1,

设£与"的夹角为。，则8$夕=葡=-5,又由0W0W兀，则。=与；故选：D

6.如图，已知正方形A8CO的边长为4,若动点P在以48为直径的半圆上（正方形ABC。内"

部，含边界），则正•丽的取值范围为(B)

A.(0J6)B.[0,16]C.(0,4)D.[0,4]

7.已知。是A48C的重心，=+R),若NA=120°,ABAC=-2,

则/初的最小值是C)

A石2

A.-----R.—C.-D.

33

8.如图，已知。,E分别是△4灰?边A8,AC上的点，且满足而=?而，

2

AC=44E,BE与CQ交于。，连接A。并延长交8c于F点.若彳万=2而，则

实数2的值为A)

745

A.一B.-C.一D.2

332

B

__________2___

【详解】由DO,C共线，则方0=k反=A（团一丽）二人（衣一一而），keR,

3

所以豆=而+而=一通+而二一而+A（衣一一丽）二一（1一口而+女衣①，

3333

由民。,后共线，则丽丽=〃（芯+互）=〃（衣—而声）=〃（,急一而），〃eR,

44

所以血=丽+丽=而+〃（，而一而）=（1—〃）而+幺/②，

44

k=—

3，则＜10,故而=?而+，恁,

由①©知：，

A=幺2510

4

_______尤+]___4+1（3而+，衣）二

由AO=4O尸，则Ab二1-AO=

A~51054102

7

由B,F,C共线,则=1,可得力二一.故选：A

5/110/13

_________2____»__1_________

【点睛】关键点点睛：令而=kDC=k(AC--AB).Bd=/JBE=/v(-AC-AB),利用不同参数及AC

表示巴而为关键.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合耍求.全

部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.

9.已知向量满足同=3,B=2,则下列结论正确的有(ABD)

A.（2"3%侬-3可B.若3万=6，则a

,在B方向上的投影向量为g伍D.若卜+2$卜内，则a与5的夹角为日

C.

10.已知0<a</?</,cos（a+Q）=-；K，tanaian〃='|，则下列结论正确的是

(BC)

2

0

A.sinasin£=-^B.cos(<z-^)=

2

7

C.tancr+tan/?=—D.tana-tan/?=,i

2

也

cosacos/3-sinasin0=

1°,所以cosacos/?=乎,sinasin/二吟,

【详解】由题意可得《

sin«sinft3

cosacosp2

对于A,sincrsinp=~~f故A错误；对于B,cos(cr-/?)=cos<7cos/7+sincrsinp=也+双L也,

7、伤

故B正确；对于C,因为0<a+4〈兀，所以sin(a+£)="1—cos?(a+夕)=

10

sin(«+/?)/、tancr+tany9tana+tan/?7

m1、1---;------r=tan(a+P)=-----------==-7ntana+ta叨=],故c正确;

所以cos(cr+/)l-tanoftan^3

2

对于D,因为0<a</?<m，/.一^<0一/<0，所以sin(a一。)=Jl-cos?(a_/?)=,所以

~22

邛&tan(f)……n.=tana-tan/=-l=>lan«+tan/?=-1

cos(a一1)1+tancrtan/?1+t故D错误；故选：BC

11.如图，设。见Oy是平面内相交成。("号角的两条数轴，或£分别是与x，y轴正方

向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为。斜坐标系，若两=+则把有

序数对。，)，)叫做向量曲的斜坐标，记为而二(x,y)在夕=方的斜坐标系中，A/

==则下列结论正确的是(ACD)

A.a-b=(-2,0)B.同=2血

STT

C.aA.bD.a_b与B的夹角为二一

o

一21，所以Z—B=(—2,0),故A正确;

[解析]A：a=-e]+e2,b=ef+e2,

B：1=同同cosg=；,则2一

qa="z+目=行+e,2q.&=1,故B错误:

C：4B=(-q+/)•(4+/)=-6+e2=0,所以aJ,B，故C正确;

*卜2+

i)：=-2et-2et-e2=-3,a-h\2,

|"W_3_百

2+T+21W=G，则COS(a-B,B)

b=a-bb2xV32

又w[0,兀],所以«-a5)=2,故D正确.故选:ACD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答

题卡相应位置上.

3

…2sin810-cos510t

12.—-\/3•

cos39°

【详解】

2sin81°-cos51°_2sin81°-cos5112sin(5「+30)-cos51°_6sin510+cos51°-cos51°

cos39sin51sin510sin51

故答案为：*

13.若向量彳=（2,-1）,B=（—3,1）的夹角为钝角，则实数f的取值范围为6,|）U3

—,+co

12

14.如图所示，在口48。中，点。为8。边上一点，且丽=2皮，过点。的直线后”与直线相交于七点，与

2

直线AC相交于尸点（E,F交两点不重合）.若而=小而+〃沅，贝=A

9__»AE=AB>

25/2

AF=yAC.贝IJ4+,的最小值为_]+

3

____—2一

【解析】在2\"。中，而=而+而，BD=2DC，则8O=§8C,

tt^4D=AB+BD=ZB+|BC=AB+|(AC-AB)=^B-|AB+|^C=|AB+|^C,

I22__»J___2_______

故=3；又而而而衣=2而，诉=〃衣,

JJJJJ

——I-------।——12

所以/W=；AE,AC=-AF',则A£>=—AE+——AF,

%〃323〃

又D,E,尸三点共线,所以]+二=1,结合已知可知入〃>。，

3z3//

故4+〃=(2+〃)jj+g2A।2日

，+入―空川+2=1+,

k"3〃J33343〃3〃3

,1+V2

当且仅当东票结合导新它…），即.3时，取等号;

2+V2

3

即义+〃的最小值为1+也，故答案为：1+2V2

393

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

一「兀3兀八八兀.兀卜半,COS(Cf+Z?)=-|.

15.已知一va<—,0<Z7<—，sina——

444I4

(1)求sina的值；

/\

(2)求cos/3+-的值.

I4J

713兀

15.解：(1),.*•一<a<—，

44

兀2

又Lcos21a——1+si.n

I

711

：,cosa——

I4

714+6

...sina=sin+cosa——

I4

4

7T37r7T

(2)'：—<a<——0<//<-^,A(7+/?G(^,71i,

444

sin2(a+y9)+cos2(«+/7)=1»cos(«+/?)=一一,

4

/.sin(a+/7)=—,

5

c兀［z兀

；・cos夕+—=cos(cr+p)-a—

I4；I4

=c0s(a+/)CQSa一4+sin(a+/?)sina71---

4J4J

3142V2872-3

=­x—+—x---=-----

535315

16.如图，在A48C中，N84C=120°,A3=l,4C=3,点。在线段3C上，且

2

(1)求人力的长；(2)求cos/DAC的值.

16.解：⑴/.BD=-AC,

23

一•.9.I11t■-1.■•2.I.

・•.AD=AB+BD=AB+^BC=AB+-(AC-AB)=-AB+-AC

3333

.•网=轲轲声冠4

(|AB+|AC)AC

cosZ.DAC=1&1=22V7

HIM=77~•

17.化简求值

sinir(2cos2ir-i)

(1)-----3-----------L

V3-tanlT

(2)已知tana='，sinB=——»。，Pe0,—,求a+2〃.

71()I2)

sin12(2cos?12-1)_®［才cos24°

17.解：(1)V3-tanl20百_sinl2°

cos12C

_sin12,cos12'cos24'_dsin48_j

V3cosir-sinl2°-2sin(60c-12°)-8

(2)因为lana=‘，a是锐角，所以0<1<4，

74

因为sin尸=巫，夕为锐角，所以0<a+2万<七,

1044

rn»1.cx/lO肝［、［n3\/r0nI

因为sin£=----，所以cos£=-----，tan=-,

10*103

5

2a”_H

t3

则tan2p=

1-tan2/7]4,

<3>

13

一十一

阿e闭二言鬻喘

7〔4=],故a+2〃==.

1.L34

74

18.如图，在矩形ABC。中，已知48二3,通=2丽，M是线段CE上的一动点:

(1)当M是线段CE的中点时，

①若丽=加而+，而，求机+〃的值；

②过点£作直线/垂直于A/工在/上任取一点凡证明赤.诙为常数，并求该常数；

(2)当次.k=7时，求(而+2丽)•前的最小值.

18.解：(1)①依题意，

荷=，证+函=1(而+而)+工.2丽=3而+，而，

222362

_____514

而A8,A£>不共线，则=不，所以"，+〃=；.

623

,,,・，・・・•I，■•,,।,■—，—・,,■・I,一・I・•・•

②依题意，MF=ME+EF=—CE+EF=—(CB+BE)+EF=—CB+—BE+EF,

2222

由得而.丽=0，由48_LBC,

得丽.屁=0,由荏=2而，得I而|二；|而|=1,

因此赤星=(g互+g诙+而)・诟=g诙2=

所以赤•丽为常数，该常数为

.■■—•■I..，­・II—•■一，I■

(2)依题意，CA=CB+BA,CE=CB+—BA,则CA・CE=(CB