北师大版八年级数学下册《线段的垂直平分线》同步练习题及答案

北师大版八年级数学下册《1.4线段的垂直平分线》同步练习题及答案

知识点

(1)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.

(2)到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

⑶三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.

练习题

第1课时线段垂直平分线的性质与判定

1.如图，在RtAABC中ZACB=90°,DE垂直平分AB交BC于点D,若4ACD的周长为50cm,则

AC+BC=()

A.25cmB.45cmC.50cmD.55cm

2.如图，在AABC中AB=AC,ZA=40°,DE是AB的垂直平分线，分别交AB,AC十点D,E,则NEBC的度

数为()

A.40°B.35°C.320D.30°

3.如图，在4ABC中AB的垂直平分线交BC于点D,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于点F,交AC

于点G,连接AD,AF.若BC=6,BD=2,NDAF=90°,则DF的长为.

4.如图，在4ABC中AB的垂直平分线EF交BC于点E,交AB于点F,点D为线段CE的中点,BE=AC.

⑴求证:AD_LBC.

(2)若NB=35。，求NC的度数.

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5.如图,AC=AD,BC=BD,则()

C

D

A.AB与CD互相垂直平分B.CD垂直平分AB

C.AB垂直平分CDD.以上答案都不对

6.如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD,BC=BD+AD,贝I」点D线段AC的垂直平分线上的点.（填“是”

或“不是”）

4

7.如图,AD与BC相交于点O,OA=OC,NA=NC,BE=DE.求证:0E垂直平分BD.

AC

E

如图,y轴垂直平分线段AR,C为y轴正半轴上一点J）是线段OC上一点，且ADIRD,若C（（l,4）,AC=5jlJ

阴影部分的面积是（）

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9.如图，在△ABC中ZACB=90°,DE是AB的垂直平分线，交AB于D,交BC于E,ZAEC=30°,BC=2,

那么AC的长为.

10.如图，在△ABC中边AC,BC的垂直平分线相交于点P.若NC=110°,则NAPB=

11.如图，在AABC中AB=BC=AC=12cm,点M,N分别从点A,B同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点M

的速度为4cm/s,点N的速度为6cm/s,当点M,N第一次相遇时停止运动.设点M,N的运动时间为t(00)秒,

当线段MN的垂直平分线经过△ABC的某一顶点时,t的值为.

12.如图，在AARC中AR=AC,过点R作AB的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点P,作直线AP.

(1)求证:AP垂直平分BC.

(2)若AP=5,AB=4,求BC的长.

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13.【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相

等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？

【自主研究】

⑴如图1,直线1是线段AB的垂直平分线，点P在直线I的左侧，经测量TAVPB,请证明这个结论.

【迁移研究】

⑵如图2,直线I是线段AB的垂直平分线，点C在直线1外,且与点A在直线1的同侧，点D是直线I上的任

意一点，连接AD,CD,BC,试判断BC和AD+CD之间的大小关系,并说明理由.

第2课时尺规作线段的垂线及三角形三边的垂直平分线

1.如图，在4ABC中AB=AC,分另IJ以点A和点B为圆心次于|AB的长为半径作弧，两弧相交于M,N两

点,作直线MN交BC于点D,连接AD,若NB=5Q°,则NDAC=()

A.20°B.50°C.30°D.80°

2.如图布八ARC中/RAC=90°,/R=30°,AC=4.以点A为圆心,AC的长为半径作弧，交BC于点I),再

分别以点C和点D为圆心，大于"C的长为半径作弧,两弧相交于点E,作射线AE交BC于点F,则BF的长

为()

A.5B.6C.7D.8

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3.如图，已知直线1和1外一点A,请用尺规作一个等腰直角△ABC,使得顶点B和顶点C都在直线1上.(作出

符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹，不写作法)

4

4.如图，某居民小区在三栋住宅楼A,B,C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭

P.若点P到点A,B,C的距离相等，则点P是4ABC的()

A.三条角平分线的交点B.三条高的交点

C.三边垂直平分线的交点D.三条中线的交点

5.如图，将AABC放在每个小正方形边长均为1的网格中点A,B,C均落在格点上，若点B的坐标为(3,⑴,

点C的坐标为(2,2),则到4ABC三个顶点距离相等的点的坐标为.

6.如图，在aABC中AB边的垂直平分线li交BC于点D,AC边的垂直平分线12交BC于点E上与b相交

于点P,连接AD,AE,PB,PC

(1间断点P是否在BC的垂直平分线上,并说明理由.

(2)若/RAC=1。。。，求/DAE的度数.

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7.如图，在△ABC中边AB,AC的垂直平分线交于点P,连接BP,CP,若NA=75°，则NBPC的度数为

()

A.15O0B.140C.1300D.120

8.如图，在4ABC中AB=AC,NA=90°,分另IJ以点B,C为圆心，大于/c的长为半径作弧，两弧交于E,F两

点,再以点A为圆心,AB的长为半径作弧,交直线EF于点P,连接BP,则NBPA的度数是,

9.设计院按实际情况构建平面直角坐标系，并标注A,B,C三镇的坐标,数据如图所示(单位:km入有一条笔直

的河流经过A,B两镇，现计划修建一条从C镇到河流的最短公路1,并在I上建一个通讯站D,使通讯站D到

B,C两镇的距离相等，则通讯站D的坐标为.

10.如图，已知线段a.

(1)求作等腰三角形ABC,使其底边BC的长为a,底边上的高为2a.(尺规作图,不写作法，保留作图痕迹)

⑵如果a=2,求⑴中等腰三角形ABC的腰长.

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n•利用垂直平分线将三角形分割出等腰三角形.

⑴如图1,在AABC中AB<BC,AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,那么图1中出现的等腰三角形

是_______.

图J

⑵如图2,在4ABC中ZBAC=90°,AC的垂直平分线交BC于点D,连接AD,那么图2中出现的等腰三

角形是______.

⑶请利用上述方法，用尺规将图3中的直角三角形分割成三个等腰三角形,并说明理由.

答案

第1课时线段垂直平分线的性质与判定

1.C

2.D

3.2.5

4.⑴证明:如图，连接AE

TEF垂直平分AB

ABE=AE.

VAC=BE

AAC=AE.

•・•点D为线段CE的中点

/.AD±BC.

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A

(2)VBE=AE,.\ZB=ZBAE=35°

/.ZAEC=2ZB=70°

VAE=AC

・・・/C=NAEC=70°.

5.C

6.四

7.证明ffiAAOB与△COD中

ZA=ZC,OA=OC,ZAOB=ZCOD

:.△AOB^ACOD(ASA)

/.OB=OD

・••点O在线段BD的垂直平分线上

VBE=DE

・・・点E在线段BD的垂直平分线上

/.0E垂直平分BD.

8.D

9.4-2V3

10.140

「6T12fl8T24

ll・g或T或g或g

12(1)证明：・・m_1_人^](3_14©

.,.ZABP=ZACP=90°.

在RtAABP和RtAACP中AP=AP,AB=AC

/.RtAABP^RtAACP(HL)

ABP=CP

・••点P在BC的垂直平分线上

VAB=AC

・••点A在BC的垂直平分线上

・,・AP垂直平分BC.

(2)VAP=5,AB=4,ZABP=90°

.\PB=jAP2-AB2=3

由11)知RtAABP^RtAACP

SAABP=SAACP

・•・西边形ABPC的面积=2SA\BP

A；AP-BC=2X|AB・BP

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.'.-X5BC=4X3

13.(1)证明:如图1,连接PA,PB,设PB交直线I于点M,连接

AMJ・,直线1是线段AB的垂直平分线

AAM=BM

:.PB=PM+MB=PM+AM

VPM+AM>PA

APA<PB.

图1

(2)AD+CD^BC

理由:如图2,当点D不在线段BC上时，连接BD,

・・,直线1是线段AB的垂直平分线

AAD=BD

VBD+CD>BC,

AAD+CD>BC.

当点D在线段BC上时,AD+CD=BD+CD二BC.

综上,AD+CD2BC.

图2

第2课时尺规作线段的垂线及三角形三边的垂直平分线

1.C

2.B

3.如图,AABC即为所求作的三角形.(答案不唯一)

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A

5.(1,0)

6.(1)点P在BC的垂直平分线上，理由:如图，连接AP

4

P

•・」是AB边的垂直平分线

APA=PB

・・飞是AC边的垂直平分线

APA=PC

APB=PC

・••点P在BC的垂直平分线上.

(2)VZBAC=100°

AZABC+ZACB=1800-ZBAC=180°-100°=80°

Vh是AB边的垂直平分线比是AC边的垂直平分线

/.DA=DB,EA=EC

:.ZBAD=ZABC,ZEAC=ZACB

AZ