2026中考数学第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+专项演练）第5课时：一次方程（组）及应用（学生版）

2026年中考第一轮复习

（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）

第5课时一次方程（组）及应用

一、核心知识

1.一元一次方程

定义：只含有未知数，且未知数的次数是,等号两边都是整式的方

程，一般形式为（a/0,a、b为常数）。

解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的。

解法步骤：

去分母：方程两边同乘各分母的（不含分母的项也要乘）；

去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号（注意）；

移项，把含未知数的项移到方程边，常数项移到边（移项要）；

合并同类项：把方程化为（a^O）的形式；

系数化为1：方程两边同除以未知数的系数,得o

2.二元一次方程（组）

二元一次方程：含有未知数，且含未知数的项的次数都是，等号两边都

是整式的方程，一般形式为（我0,WO,.、b、c为常数）；其解有

组，且解满足方程。

二元一次方程组：由两个或两个以上二元一次方程组成的方程组，一般形式为：

其解是使方程组的未知数的道（唯一解、无解或无数解）。

解法：

代入消元法，将一个方程变形为用含，代入另一个方程一

个未知数，求解后求另一个未知数；

加减消元法：通过方程两边同乘适当的数，使两个方程中某一未知数的系数—或

,相加或相减该未知数，求解后回代求另一个未知数。

3.一次方程（组）的实际应用

核心步骤：审题与设未知数（直接设间接设）好找3列方程（组）

今解方程（组）-检验（是否符合实际意义）f作答。

常见题型：

行程问题：路程=：路程和=总路程；

追及问题：路程差=:

工程问题：工作量=工作效率x工作时间（总工作量常看作）;

利润问题：；

浓度问题：；

和差倍分问题：根据数量间的和、差、倍、分关系列方程。

二、核心能力

题型1:一元一次方程的解法

解题思路

严格遵循“去分母-去括号与移项3合并同类项3系数化为1〃的步骤，注意每一

步的符号变化和漏乘问题；含绝对值的一元一次方程，先去掉绝对值符号（分情况讨论）,

再按常规方法求解。

题型2：二元一次方程组的解法

解题思路

优先选择消元方法一一某一未知数系数为1或-1时，用代入消元法；系数成

倍数或互为相反数时，用加减消元法；消元后转化为一元一次方程求解，最后必须回代

检验。

题型3：一次方程（组）的实际应用

解题思路

关键是找准等量关系，可通过列表、画图梳理数量关系；设未知数时要明确单位，

列方程（组）时保证左右两边单位统一；求解后必须检验结果是否符合实际场景（如人

数、长度为正整数）。

题型4：含参数的一次方程（组）问题

解题思路

将参数看作常数，按常规方法解方程（组），再根据"方程有唯一解、无解、无数

解"或“解为正/负数、整数”等条件列关于参数的方程（组）或不等式，求解参数取

值范围。

题型5:一次方程（组）与图表结合问题

解题思路

先从表格、折线图、条形图中提取关键数据，分析数据间的数量关系，再根据关系

列方程（组）；注意图表中单位、横坐标和纵坐标的含义。

三、易错警示

一元一次方程解法错误

错误：去分母时漏乘常数项；移项不变号：

提醒：去分母时每一项都要乘最小公倍数，移项时“过桥变号〃，系数化为1时注意符

号（系数为负时，不等号方向不变，方程仍需变号）。

二元一次方程组消元错误

错误：加减消元时系数未统一就加减；代入消元时去括号漏变号；

提醒：消元前确保某一未知数系数相等或互为相反数，代入时括号前是负号需变号。

实际应用问题出错

错误：等量关系找错（如行程问题中相遇与追及混淆）；单位不统一（如速度单位km/h

与时间单位min未转化）；检验忽略实际意义（如解为负数或小数，不符合人数、件

数等整数要求）；

提醒：审题时圈画关键词，明确数量关系，设未知数后先验证等量关系是否成立，求解

后必检验实际合理性。

含参数问题考虑不全

错误：忽略参数的取值限制（如一元一次方程中未知数系数不能为0）;对“无数解”"无

解”条件理解不清（如ax如,a=0且b=0时无数解）；

提醒：含参数的一次方程，先保证未知数系数不为0（一元一次方程定义），再根据解

的情况列条件。

四、真题演练

（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

1.（24-25•河南模拟）下列方程中，与方程：+号=2的解相同的是（）

24

A.x+1=0B.2x=6C<x=1D.x—2=0

2.（24-25•四川中考）若（3x+2y-19）2+|2x+y-11|=0,则x+y的平方根是（）

A.8B.±8C.±2x/2D.2夜

3.（23-24•广东模拟）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x+：=2x+团电话询问

老师后知道：方程的解x=l且被墨水遮盖的是一个常数.则该常数是（）

4.（24・25•四川中考）学校准备添置一批课桌椅,原订购60套，每套100元.店方表示：

如果多购，可以优惠.结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利涧.求

每套课桌椅的成本.设每套课桌椅的成本为X元，则可列方程为（）

A.72(100-x)=60(100+3-x)B.60(100-x)=72(100-3-x)

C.60(100+x)=72(100-3+x)D.-^^=100-3-x

60

5.(24-25•湖南模拟)观察下表可知关于x,的解为

()

ajx+bjy=m的解a2x+b2y=n的解

X-i01•••X-1i5•••

y642•♦•y320•••

6.（23-24•江苏模拟）若|3x-5|=x+2,则x的值为（）

A.g或一=B.一D.'或'

7.（24-25•江苏中考）（3分）《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至

北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭.所提问题即

“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？"）如果设经过X天能够相

遇，根据题意，得（）

A.-x+-x=1B.-x--x=1C.7x4-9x=1D.9x-7x=1

7979

8.(24-25•河北期中)若关于x的方程kx+b=0的解是x=—l,则直线y=kx+2b—

定经过点()

A.(—2,0)B.(0,-l)C.(l,0)D.(0,-2)

9.⑵磔.江苏模拟）已知：:;是方程组腰曹二的解，则9-3a+3b的值是

()

A.3BTC.OD,6

10.（24-25•河北模拟）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修

工人可装修5间房，结果还剩3m2未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房

以外，还可以多装修5mL若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修3m2,设每个房

间地面面积xm2,一名初级工人每天装修ym2,下列方程中正确的有（）

@^2=学+3；7x+5_3.③4(y+3)+3_6y_5④4(y+3)-3_6y+5

A.①③B.②④C.①④D.②③

11.（23-24•甘肃模拟）已知x,y满足方程组,则无论m取何值，X）y恒

有关系式是（）

A.4x-3y=5B.2x+y=5C.x—y=1D.x+3y=5

12.（23-24•山东模拟）如图，一次函数y=+；的图像与丫=kx+b的图像相交于点

P（-2,n）,则关于x,y的方程组「算:北设。。,的解是（）

13.（24-25•河北模拟）如图，直线h：y=2x+2交x轴、y釉于A,C两点，直线匕：y=+2

交x轴、y轴于B,C两点，点P（m,1）是aABC内部（不包括边界）的一点，则整数m可能

是（）

A.3B.-lC.2D.O

14.（25-26•广东复习）如图，一次函数y=ax+2与y=2x-l的图象相交于点P,则

关于x的方程ax+2=2x-1的解是（）

A.x=3B.x=4C.x=5D.x=7

15.（25-26•湖北模拟）甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走

过的距离（单位：m）利时间（单位：s）的关系如下表所示：

时间/S0.535.58

甲走过的距离/m5305580

乙走过的距离/m1.251541.2580

则第2秒甲、乙两车间的距离d满足（）

A.20<d<21B.21<d<22C.22<d<23D.23<d<24

（二）填空题演练（2023・2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25•四川中考）已知x=2是方程3a-2x=2的解，则a=.

17.（24-25•江苏模拟）已知｛，二:是方程4乂一6丫-5=0的一个解，则2m-3n的值

是.

18.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有醉酒

一斗，值钱五十：行酒一斗，值钱一十.今将钱三十，得酒二斗.问醇酒、行酒各得几

何？”其意思是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱：行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；

现有30钱，买得2斗酒.问可以买斗醇酒和—斗行酒.

19.（24-25•全国同步）已知y=1是方程2-家m-y）=2y的解，求关于x的方程m（x+

4）=m（2x+4）的解是.

20.（23-24•河北模拟）如图所示，某工厂生产镂空的铝板雕花造型，造型由A（绣球花）、

B（祥云）两种图案组合而成，因制作工艺不同，A、B两种图案成本不同，厂家提供了

如下几种设计造型，造型1的成本64元，造型2的成本42元，则造型3的成本为

元；若王先生选定了一个造型1作为中心图形，6个造型2分别位于中心图形

的四周，其余部分用n个造型3填补空缺，若整个画面3图案B个数不多于图案A数的2

倍，且王先生的整体设十费用不超过500元，写出一个满足条件的n值.

21.（23-24•湖南模拟）明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问

题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托.”译文为：

“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳

比竿短5尺，那么竿长尺.（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托=5

尺）

22.（24-25•山西模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线丫=-3+3分别与*轴、丫轴

交于点A,B,以AB为边作菱形ABCD,其中点D在x轴的正半轴.匕点C在第一象限内，则

点C的坐标为.

23.（24-25•江苏模拟）如图，已知直线y=一8x+3与x轴交于点A,点B与点A关于y轴

对称.M是直线上的动点，将0M绕点0顺时针旋转60。得ON.连接BN,则线段BN的最

小值为.

24.（25-26•广西模拟）如图，直线k：y=2x+4与直线k：y=kx+b相交于点

则方程组"方二:的解为--------------.

25.（23-24•山东模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线k：y=六+1与直线k：y=信

交于点A1，过A］作x轴的垂线，垂足为B1，过B1作k的平行线交11于A2,过A2作x轴的垂

线，垂足为B2,过B2作k的平行线交k于A3,过A3作x轴的垂线，垂足为B3…按此规律，

则点A2023的纵坐标为.

（三）解答题演练（2023・2025年中考真题/模拟题）

26.（24-25•湖南模拟）解方程：］+平=:一鬻.

27.（23-24•江苏中考）解方程组：虎H二二

/xjyJ

28.（24-25•河北模拟）定义新运算：对于任意a,b都有a#b=a（a-b）,等式右边是通

常的减法及乘法运算，例如；2#1=2x（2-1）=2.

（1）计算（m+n）#2n；

（2）若2#5x的值是0,求x的值.

29.（24-25•河北中考）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称

为线膨胀.在0〜100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为1m的铜棒、铁棒受

热后，伸长星y（m）与温度的增加星xCC）之间的关系均为丫=uix,其中u为常数，称为

该金属的线膨胀系数.已知铜的线膨胀系数aL0U=1.7X10-5（单位：/℃）；原长为2.5m

的铁棒从20°C加热到80℃伸长了1.8x10-3m.

（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高5（TC,求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）.

（2）求铁的线膨胀系数a皿；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8X10-dm,求该铁棒温

Fe

度的增加量.

（3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的

温度比铜棒的高20黑，求该铁棒温度的增加量.

30.（24-25•江苏中考）如图，制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方

形两种硬纸片，旦长方形的宽与正方形的边长相等.

（1）现用200张正方形硬纸片和400张长方形硬纸片，恰好能制作甲、乙两种纸盒各多

少个？

（2）如果需要制作100个长方体纸盒，要求乙种纸盒数量不低于甲种纸盒数量的一半,

那么至少需要多少张正方形硬纸片？

31.（24-25•广西模拟）甘肃地震牵动着全国人民的心，某地区开展了“一方有难，八

方支援"抢险救灾活动，准备组织400名志愿者参加救灾.现需租用若干辆大、小客车

将志愿者送往灾区，已知租用的大、小客车满员时载客情况如表格所示：

小客车（辆）大客车（辆）合计载客量（人）

31105

12110

（1）求满员载客时每辆小客车与每辆大客车分别能坐多少名忐愿者?

（2）若计划租用小客车m辆，大客车n辆，大小客车都要有，一次全送完，且每辆车都

坐满；

①请你设计出所有的租车方案：

②若小客车每辆租金1000元，大客车每辆租金1900元，请选出最省钱的租车方案，并

求出最少租金.

x+3v=11・・・（T）

32.（25-26•江西模拟）解方程组y二，下面是两同学的解答过程：

2x-y=1…②

小敏：解：把方程2x—y=l变形为y=2x-l,

再将y=2x-1代入方程①得x+3（2x-1）=11-.

小川：解：将方程2x-y=1的两边乘以3得6x-3y=3,再将两个方程相加,得到7x=

14….

（1）小敏的解法依据是，运用的方法是;

小川的解法依据是,运用的方法是:

①整式的运算性质；②等式的性质；③加法的结合律；④代入消元法；⑤加减消元法.

（2）请直接写出原方程组的解.

33.（25-26•河北期中）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并

完成填空.

主题探究月历与幻方的奥秘

活动图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数.

（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，贝Ua是—5—,

b是_11_____：

（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是_0土

1____,d是n+7；

（注：用含n的代数式表示c和d.）

星期HV.IDJH期星期三乜期收V.IOJk星期六

123456

7