高考数学 复数及其运算（附解析）

需考照考

复数及其运算

［课标要求］1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的

代数表示法及其几何意义3会进行兔数代数形式的四则运算，了解复数代数形式

的加、减运算的几何意义.

4知识梳理，

I.复数的有关概念

(1)复数的概念：形如。+加的数叫做复数,其中Q为实部,b为虚

部，i是一虚数单位,且满足i2=-1,全体灯数组成的集合C叫做复数

(2)复数的分类：

①a+6i(q,为实数Qb=0；

②a+bi(a,〃£10为虚数0b丰0:

③a+6i(m分£R)为纯虚数oa=0,且方氏0.

(3)复数相等的充要条件：

a+/)i=e+Qi<=>a=c且b=d(a,b,c>d£R).

特别地，a+b\=0^>a=b=O(a,8£R).

2.复数的几何意义

⑴复平而建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，一轴叫做实

轴，y轴叫做虚轴.

(2)复数N=a+bi(a,力ER)与复平面上的点Z(a,I)及平面向量应=①，

b)_是---对应关系.

复数a+b\

〃\

点Z(a./»)=?：向量该

(3)复数的模对应复数Z的向量扇勺模叫做更数z=a+bi的模，记作|z|或|a+

|z|=|a+〃|=」孕士单

3.共姬复数

(1)定义：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为

共辄复数，复数Z的共规复数用_z_表示.

(2)代数形式：a+6i与a—历互为共扼复数(a,6WR),即2=。+历=2=_a

-bi.

(3)几何意义：非零复数引，Z2互为共挽匆:数O它们的对应点Z|,Z2(或向量

苏，宓)关于实轴.对称.

需考照考

4.复数的运算

(I)运算法则：设Z]=a+加,Z2=c+di(a,b,c,4£R).

运算运算法则

z\±Z2=(a+〃i)±(c+4i)

加减法

=(a±c)+(b±")i

Z\Z=(a+bi)(e+di)

乘法2

=(QC-bd}+(ad+—i_

z[a+/ac+bdbe—ad

除法•

⑵复数加、减法的几何意义

①复数加法的几何意义

若复数引，为对应的向量防，宓不共线，则复数Z1+Z2是以应1，宓为两邻

边的平行四边形的」±鱼纹髭_所对应的复数.

②复数减法的几何意义

复数Z1一Z2是连接苏，.的终点所对应的向量，并指向被减数Zj所对

应的点4所对应的笈数.

③复平面内的两点间的距离公式d=]ZI-Z2L.

其中引，Z2是复平面内的两点Z1和Z2所对应的复数，d为点4与Z2的距

离.

知识拓展

复数的三角形式

(1)任何一个复数z=a+Ai(a,8ER)都可以表示成z=r(cos夕+isin9)的形式,

其中岸+凡cos。=:，sin0=-,tan6=-(aW0),我们把z=r(cos夕+isin

rra

〃)叫复数的三角形式.

(2)复数乘、除运算的三角表示：

已知复数Z]=Q(COS-+isin-),Z2=/*2(cos-+isin&),则Z[Z2=r"，2[cos(仇

Z12J

+%)+isin(4+%)]，F=：[COS(4一%)+isin(仇一分)]•

B热身练习.

1.(教材母题必修7.1.2练习T2)复数z=-2+i所对应的点位于复平面的()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：Bz=-2+i的实部为一2、虚部为1,在复平面上对应点的坐标为(一2,

1),位于第二象限.故选B.

2.(教材母题必修习题7.1T2)已知〃?£R,若复数2=而+用一2一(加一1)迫为

虚数单位)是纯虚数，则〃?=()

A.1B.-2

虎考**

C.1或一2D.2

解析：B已知复数Z=〃?2+〃L2一(加一l)i是他虚数，则2=0且/〃

-1*0,得〃?=一2.故选B.

3.(2023•新课标II卷)已知z=—l—i,则团=()

A.0B.1

C.也D.2

解析：C若N=-1—i,则团=«(—1)2+(—1)2=也故选C.

4.(2023•全国甲卷)设a£R,(a+i)(l—洲=2,则。=()

A.-IB.0

C.1D.2

解析：C因为m+i)(l-ai)=4-a2i+i+4=〃+(l-〃2)i=2,所以Error!解

得。=1.故选C.

5.(2023•新课标I卷)若二一=l+i,则z=()

z—\

A.-1-iB.-1+i

C.l-iD.1+i

2z—14-111

解析：C因为——=-------=1+——=l+i,所以2=1+-=1一1故选©.

z—1z—1z—1i

探究点1复数的概念

【例1】（1）已知a£R,若复数z=〃2—l+（〃-l）i为纯虚数，则复数。一i在

复平面内对应的点所在的象限为（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

（2）（2024•江苏苏州模拟预测）设2=。+历（a,6£R）（i为虚数单位）为复数，则

下列说法正确的是（）

A.若z是纯虚数，则。=0或。W0

B.复数z模长的平方值等于复数z的平方值

C.若z的模长为1,则|z+i|的最大值为2

D.若|7一1|=1,则0v|z|W2

解析：⑴D因为2=（浮一1）+3+｝为纯虚数，

所以E/T”,解得。=1,

所以复数a-i=l—i,其在复平面内对应的点（1,一1）在第四象限，故选D.

（2）C对于A,若z是纯虚数，则。=0且8手0,A错误；

对于B,取z=l+i,则因2=I+I=2,z2=（l+i）2=2i,则02=#z2,B错误;

对于C,因为|z|=l,则|z+i|W|z|+|i|=2,当且仅当z=i时，等号成立,即匕+

i|的最大值为2,C正确；

对于D,因为匕-11=1,设z—l=cos9+isin9,则z=l+cos0+isin.所

以|z|=d（+cosSV+siM8=\「2+2cos8M[0,2],D错误.故选C.

与技巧

（1）本题主要考查了复数的实部、虚部，复数的模，共朝复数等概念，考查了

复数的基本运算.

需考照名

(2)处理复数的基本概念问题，常常要结合复数的运算把复数化为a+bi的形

式，然后从定义出发，把复数问题转化为实数问题来处理.

(3)判断一个与复数有关的命题为真，需要利用复数相关的知识进行证明，而

要判断为假时，只需要举出反例即可.

变式探究

I.」知复数N=(a-3i)(3+2i)SER)的实部与虚部的和为7,则实数。的值为

()

A.1B.0

C.2D.-2

解柝Cz=(4-3i)(3+2i)=3a+2ai-9i-6i2=3a+6+(2a-9)i,所以复数z

的实部与虚部分别为3Q+6,2a-9,于是3〃+6+2〃-9=7,解得。=2,故选C.

2.设2(z+芸)+3(z—R=4+6i,贝Uz=()

A.l-2iB.l+2i

C.l+iD.l-i

解析：C设z=〃+bi,则2=〃一历，

则2(z+z)+3(z—))=4q+6/)i=4+6i,

所以£疗0〃解得〃=。=1,因此z=l+i.故选C

3.(2024•湖南衙阳三模)已知1—2i是关于x的方程N+px+q=0(其中p,q

为实数)的一个根，则p—q的值为.

解析：一7(方法1)由已知可得(l-2i)2+p(l—2i)+q=0,即(p+q—3)—(4+

2〃)i=0,

所以Error!解懦Error!所以p—q=-7.

(方法2)因为l—2i是关于x的方程x2+px+q=0(其中p,g为实数)的一个根,

所以l+2i也是该方程的一个根，

由韦达定理得Error/

解得E/ro打所以p-q=-7.

探究点2复数的四则运算

3Icii

[例2](1)(2024•江西赣州一模)已知i为虚数单位，:"一出=2+》伍，be

1—i

R),则|〃+*|=()

A.1B.记

C.2D.4

(2)(2025•广东茂名期中)己知匆:数z满足z(l—$i)=2,则团-2=()

11

V3万A/-3

-民2T

AC.22

+-松

一1

1T

」V3-.

-222

2D.

6I5j

(3)若复数z=----则z+z2+z3+・・・+z"=()

5—6i

需考照考

A.-1B.1

C.-1+iD.1—i

3+苗

解析：(1)B由----=2+〃i可得3+4i=(2+5i)(l-i)=(2+6)+S-2)i,

1—i

则历「。打解得叫ro/7

则|a+〃i|=|一1+i尸位.故选B.

(2)C因为复数z满足z(l-v5i)=2,

22(1+\N3)i)1y/3..

所以z=-------=----------------------------------=—F—i,所以|z|

1—\,3i(1一\广⑶i)(1+\/⑶D22

2))?+(\》(\/(3),2)y=1,z=~^i,则|z|•z=；—?i.故选C.

6+5i(6+5i)(5+6i)

(3)A因为二—5一61(5-6i)(5+6i)

_30+36i+25i+30i2

25+36

5li+i2+i3+i4=0,

所以z+z2+z3+…+产

=i+i2+i34-i4+-4-i934-i944-i95+i964-i974-i98+i"

=(i+i2+P+i4)-|--+(i93+i944-i95+i96)4-i97+i98+i99

=j97,|_j98,|_j99

=i+i2+/=-1.故选A.

圆鬻身瑟画

(I)复数的四则运算的解题策略

①复数的加减乘法可类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母

的共舸复数.

②熨数的乘、除运算可以互相转化，运算时，要根据题目特点合理转化.

(2)几个常用结论

在进行复数的运算时，掌握以下结论，可提高计算速度.

1+iI-i

®(l±i)2=±2i；--;=i,—=-i-

l—il+i

②i(a+Z)i)=-b+ai.

③i2=-l,i4"=l,i4”+l=i,i4〃+2=_],j4/3=_i,+i4n+2,|_(4„4-3=()<

〃£N*.

变式探究

4.已知i为虚数单位，复数z满足(3+4i)z=25,则z在复平面内对应的点位

「()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析：D已知(3+4i)z=25,

2525(3-4i)

则z=--------=------------------=3-4i.

3+4i(3+4i)(3-4i)

故z在复平面内对应的点为(3,-4),位于第四象限，故选D.

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5.已知复数z满足(z+i)(l+i)=2—i,其中i为虚数单位，则2=,团=

“15侬(2-i)(1-i)1315

解析5下V由题意得i=------i—j=--i

1+i2-------2222

________________________[QZ

所以|z|=d(\f(1：2))2+(—\f⑸2))2=1.

6.(2024•广东广州模拟)已知(l+i)z=4i,z是关于x的实系数方程模+妹+

〃=0(其中m,n为实数)的一个根，则mn=.

解析：-32由题意得

工*(1「)

z=2-2i.

1+i(1+i)(1-i)'

(方法1)将z代入方程有(2+2评+〃1(2+2。+〃=0,化简得2〃?+〃+(8+2〃?)i=

0.

所以Error!解得Error!所以〃?〃=—32.

(方法2)因为z,5都是方程的根，由韦达定理有〃i=-(z+5)=-4,n=zz

=8,

所以-32.

探究点3复数的几何意义

【例3】(1)复平面内A,B,C三点所对应的复数分别为1-i,2-i,3+i,

若四边形力8CQ为平行四边形，则点。对应的复数为()

A.2B.2+i

C.ID.1+i

(2)设复数Zi，Z2满足%|=%|=2,Ni+z2=\Q+i,则匕1一Z21=.

(3)(多选)己知复数Z1对应的向量为宓，复数Z2对应的向量为港，则()

A.若[Z]+z2|=,l—Zzl，则/1，02

B.若(宓+宓)_L(法一宓),则团尸㈤

C.若ZI与Z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则2m=匕修2|

D.若目|=㈤，则z?=z2

解析：(1)B由题意知力，B,C三点的坐标为力(1,-1),4(2,-1),C(3,

I),设复平面内点y),则6=(1,0),江一(3—x,\~y),又四边形力〃CO

是复平面内的平行四边形，则/科=。仁则Error!解得Error!则。(2,1).故选B.

(2)2小设zi,与在复平面内对应的向量分别为扇，石.

由题意知|O2|=|ON|=2,|ON+O22|=|V^+i|=2,

则以02,为邻边的平行四边形为菱形，艮乙=120。，如图所示,

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则向一Z2|=10Z>—0Z|=25/3.

(3)ABC因为|z,+z2|=|z,-z2|,

所I易+石|=易一石I，

则107)+ON|2=ION—ON|2,

—>—>—>•->

即402・02=0,则ONJLOZ2,A正确：

因为(OZ1+OZ^\±(OZ,-O22),

所以(淡+必.(易一易=0,

即⑷=必,fli]|z||=|z2|,B正确;

设zi=a+历(a,6WR),

因为zi与Z2在复平面上对应的点关于实轴对称，则Z2=a一历(%〃£R),

所以2修2=4+护，匕隆2|=。2+力2,则2展2=»阂,C正确；

设Z|=l+i,Z2=l-i满足比|=防|,而》手Z2,D错误.

(1)复平面内的点、向量与复数之间可以建立一一对应关系，这是复数的几何

意义.

(2)复数加、减法的几何意义就是对应的向量加、减法的平行四边形法贝ij(或三

角形法则).在解题时，要充分理解几何意义的本质，明确向量对应的复数与某一点

对应的复数的异同.

变式探究

[A/3

7.设复数Z1，Z2满足%|=%|=1，Z\—Z2=~—\~\,则|Z|+Z2|=()

乙乙

1

A.1B.-

2

V3后

C.-D.43

2

解析：D由题设，％—Z2|2=(Z]—Z2)・(5，2)=Z|2]—Z25]—Z|)2+z2

=1,

X|Z1|=|Z2|=I,所以Z25i+Zi-2=1,

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而|ZI+Z2|2=(ZI+Z2)(±1+±2)=Z151+Z2±i+ZiZ2+Z2^2,所以阮+生|2=3,

故|Z]+z2|=\「a故选D.

8.已知Z],Z2-C,且|zi|=l,若Z]+&=2i,则同一Z2I的最大值是()

A.6B.5

C.4D.3

解析：C设zi=a+6i(a,Z)GR),|Zl|=l,

故/+方=],zi+z2=2i,则Z2=—a+(2—b)i,

|z|—z2|=|2a+(25—2)i|

=J(26—2)2+(2a)2

=\'4Z>2—8Z>+4+4a2=\,8—8d,

由附一1,1],当6=—1时，|Z1-Z2|有最大值4.故选C.

9.(多选)己知4,z2eC,且㈤=也,|zi+z2|=10,则()

A.当zi=l—i,Z2=x+yi(xfy£R)时,必有(r+l)2+(y-厅=10

B.复数引在复平面内所对应的点的轨迹是以原点为圆心、半径为亚的圆

C.|Z]-i|min=l+也

D.141mM=1+5在

Z1

22

解析：BD|z1+z2|=10Q(x+l)+(y-1)=100,A错误：

因为㈤=或，故B正确；

同一i|2||zi|—|i||=、£—1,当zi与i对应的向量同向时取等号，C错误;

健|z2||z14-z2—z11

。尸存=一忑一

l/+^i+|zq=io+^=

当Z1+Z2与为对应的向量反向时取等号，D正确.故选BD.

‘探究点4复:数三角形式及应用

【例4】（1）在复平面内，O为坐标原点，复数z对应的点为Z（l,0）,将向

量磷逆时针方向旋转30。得到宓，则宓对应的复数才为（）

A.1--i

2222

1松

-----------1

22

(2)4(cos兀+isinn)4-2(cosy+isin7)=(

A.1+V3iB.1—V^i

C.-1+V3iD.-l-73i

…\/51

解析：(1)A设z'=4+/?i,由题意知，a=cos30°=—,b=s\n30°=-,所以

i,故选A.

需考照考

nit71TC2兀

(2)C4(cos几+isinn)4-2(cos--Hsin-)=2[cos(兀—)+isin(n—)]=2(cos—h

33333

27t

isin故选C.

3

圆鹤身翳画

复数三角形式的乘、除运算一般步骤：

（1）化（确认）复数表示的形式为“标准式"z=«cose+isin。）（「20）；

（2）依据复数三角形式的乘、除运算的运算法则进行计算；

（3）整理化简.

变式探究

j-27c27r

10.将复数3也（cosisin彳）化为代数形式为.

oJ

3也3A/6广27t1

解析：--由题得3\&cos+-isin—)=3\'2(--

3

3也

-------1

2

11.(cos75o+isin75o)X(^-

2

,V3,IV31.

A.1--1B.-----------1

2222

11_A

C2D.2T1

解被矫析：AAM(y-yi)9

泊2X

=[(--i--)X(--i--)]2XC

也.

22b

也也

(cos750+isin75°)X(-y-yi)

=(cos75°+isin75°)X(cos315°+isin3150)

=cos(75°+315°)+isin(75°+315°)

=cos390°+isin390°=cos300+isin30°

1

-i,故选A.

1.（2025•八省适应性演练）|2—4i|=（

A.2B.4

C.2mD.6

需考照考

解析：C|2一旬=位2+7-4"=2强故选（1

2.（2024•辽宁大连二模）设x£R,则“x=1”是“复数z=（/-1）+。+］）i

为纯虚数”的（）

A.充要条件

B.必要不充分条件

C.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：A因为复数z为纯虚数，所以Error!解得x=l,所以“x=l”是“复

数z为纯虚数”的充要条件.故选A.

3.(2024•四川模拟预测)已知复数z满足z-22=2—3i,则z=()

A.-2-iB.2-i

C.—2+iD.2+i

解析：A令复数z=o+/?i,a£R,力£R,则z—23=a+/>i—2（〃一/）=-a

+3bi=2-3i,

根据两个复缴相等的条件有1ror/解彳导所以z=-2-i.故进A.

4.（2024・山西阳泉三模）已知2+i是实系数方程必+*一4=（）的一个复数根，

则p+g=（）

A.-9B.-1

C.ID.9

解析：A因为2+i是实系数方程/+px—q=0的一个复数根，则2—i也是

实系数方程x2+px—（/=0的一个复数根，所以Error!解得Error!所以p+q=-9.故

选A.

5.已知复数z满足（z—1）（1—2i）=5i,则复数2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5i_5i(1+2i)_5i-10

解析:C由(z-l)(l-2i)=5i,得z-l

1-2i-(1-2i)(1+2i)-5

2+i,

即z=-l+i,所以2=—1一i,故复数2在复平面内对应的点（一1,一1）位

于第三象限.故选C

6.（多选）已知z”Z2是关于x的方程.丫2+川+«=03，9ER）的两个根，其中

Z|=l+i,则（）

A.Z|=~ZiB.z2=z2

C.p——2D.q=2

解析：ACD因为zi,Z2是关于x的方程42+0工+夕=0仍，q£R）的两个根且

Zl=1+i,所以Z2=l—i,即N1=22,A正确；

z2=(l+i)2=2i,z2=(l—i)2=—2i,所以z‘手z2,B错误;

需考照考

因为Z|+z2=(l+i)+(l-i)=2=-p,所以p=-2,C正确；

又Z[Z2=(l+i)(l-i)=12-i2=2=q,D正确.故选ACD.

7.(2024•辽宁沈阳模拟)若复数z满足(3+4i)z=2+i(i为虚数单位),则团=

2+i21

解析：z=--------=-------1

53+4i55

则|z|={(\H2,5D2+(一\"1,5))2=J

5

8.若关于x的方程x2—（tan。+海一（2+1）=0有实数根，则锐角。=

解析：一由,/一(tan夕+i)x—(2+i)=0,得xtan<9—2—(x+l)i=0,

4

若关于x的方程N-(tan0+i)x-(2+i)=0有实数根，

Error!

解得则锐角。=士

4

能力向1

-7+4i

9.（2024•江西鹰潭三模）复数z=b^7在复平面内对应的点位于（）

A.直线2x+3y=0上

B.直线2x—3y=0上

C.直线3x+2y=0上

D.直线3x—2y=0上

解析：B易知i2024=Q2）⑼2=（一1严12=1,

—7+4i(―7+4i)(1+2i)—7—14i+4i+8i2—15—10i

所以z-.......=----------------=----------------=---------

1-2i(1-2i)(l+2i)1-4i25

2i,

可得复数n在复平面内对应点的坐标为（-3,-2）,位于直线2》-3），=0

上.故选B.

10.（多选）设引，Z2是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若同一时=0,则Z\=Z2

B.若Z1=乞2，则幻=Z2

C.若同=%|,则Zi21=2222

D.若区尸㈤,则一=,

解析：ABC对于A,因为|ZLZ2|=0,则NLZ2=0,即Z1=Z2,则z）=z2

为真，A正确；

对于B,因为引=，2,则Zi和Z2互为共朝复敷，则5]=Z2为真，B正确：

对于C,设Z]=Q]22=^2+—,b],。2,R，因为同=防|,则\/d+B

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=\a2+〃，即,产+加=^+",

2I22—=z

于是得Z]ZI=(di+/)|i)(67|—Z>1i)=i7+/>=e7+6=(£72+^2i)(^2^21)222,

则Z15]=Z2,2为真,C正确;

对于D,当Z1=1,N2=i时,有匕11=㈤，而z'=l,z2=-1,即Z，=z2为假,

D不正确.故选ABC.

11.(多选)(2025•河南期中)下列命题正确的是()

A.若复数z满足/ER,则z£R

B.若复数z满足1£R,则z是纯虚数

z

C.若复数Z”Z2满足出尸㈤，则Z[=±Z2

D.若复数Z],一满足Z]Z2=[Z]F且Z[K0,则区|=%|

解析：BD对于A,令复数z=i满足Z2=一|£R,而Z/R,A错误；

,...iii(a-bi)

对于B,令复数z=a+bi,a,6£R,〈於+分丰0,——=

za+4(a+伤)[a—tn)

£+a\ba

.■I•

因为16R,则一^­;=(),即4=o,b*0,所以z是纯虚数，B正确；

z"〃

对于C,令Ni=2+i,z?=2-i满足|zi|=|z2|=、号，显然Z[Hz2且Z]H-C

错误：

对于D,令复数z1=c+di,c,"£R,<?2+/学0,由Z]Z2=|ZIF得

Iz112夕+02(〃+用乂。一㈤(^4-(J2)(c—㈤

Z2=­T=—T7=—二？=----TT3-----=。一小，则防|=

z1c-vch(c+d)(c-㈤c--\-a-

«*+^=|zi|,D正确.故选BD.

~~7tO7[

.12.把复数zi与与对应的向量功，如分别按逆时针方向旋转彳和胃后，与向量

4o

诵:合且模相等，已知Z2=-l一mi，则复数Z1的代数式为.

解析：-&+柩由复数乘法的几何意义得

兀冗5兀5兀

z)(cos-+isin-)=z2(cos-+isin-),

又z)=-1-\回i=2(cosJ+isinJ),所以

33

2(cos\/(4兀，3)+isin\3)),(cos\尸(5兀,3)+isin\f(5n,3))

71।.兀

COS-r+isin7

44

兀

=2[cos(3n—)+isin(3兀­)]

44

=一企+西.

需考照考

13.（2024•黑龙江哈尔滨三模）复数z=〃+bi（a,b^R,i是虚数单位）在复平

面内对应点为Z,设r=|