河北省张家口市2026届高三年级下册一模数学试题+答案

河北省张家口市2026届高三下学期一模数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合力={x|y=Vx_1},B={x|0Vx<2},则4nB=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(0,+co)D.(0,1]

2.已知复数z=2+i,复数2为复数z的共软复数，则用=()

A.1B.V2C.V3D.2

3.已知向量3=(1,2),石=(2,m),若了一五与E共线，则m的值为()

A.iB.2C.3D.4

4.通过下表5组数据得到的经验回归方程为9=务%+0.84,贝肪的值为()

X23456

y0.670.560.470.390.31

A.-0.08B.0.08C.-0.09D.0.09

5.已知实数y>l,且满足2xy-2x-y-3=0,则2%+y的最小值为()

A.4B.6C.8D.10

6.已知等差数列{册}的前n项和为S”，若Sm=7,s3m=33,则S2,n=()

A.18B.19C.20D.21

7.已知函数f(x)=2sin(o)x+0)(co>0,|伊|<》若%卜心是/(%)=或的解，且满足-

x|=p将函数/(%)的图象向左平移!个单位长度后可以得到一个偶函数的图象，若函数

2■m11i111nrj

/(%)在6，。)上恰有2个零点，则实数。的取值范围为()

人汽詈)By期C.信号)D.(詈制

8.已知双曲线。：5—5=1(。>°3>())的左、右两个焦点分别为Fi，&，过％的直线i与双

曲线C的左、右两支分别交于4B两点，且满足尸1阴=3|尸】川，110A(。为坐标原点)，

=60。,则双曲线。的离心率为()

A.V3B.2C.V7D.3

试卷第1页，共4页

二、多选题

9.某学校组织“爱国主义教育法”知识竞赛，有48两类问题，每位参加比赛的同学在两类

问题中随机选择一类并从中任意抽取一个问题回答，已知甲同学答对4类问题的概率为（答

对B类问题的概率为：，甲同学回答A类问题的概率为：，每轮只答一道题，每轮答题互不影

44

响，则下列说法正确的是（）

A.甲同学在第一轮答对试题的概率为3

O

B.甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是8类问题的概率为:

C.甲同学经过三轮答题，只答对一道试题的概率为第

JJL4

D.甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为6

10.如图，已知正四棱锥P-ABCD中，底面边长为2,高为1,则下列说法正确的是（）

A.直线PA与直线CD所成角的余弦值为《

B.直线P4与平面PCD所成角的正弦值为当

C.该正四楂锥的外接球的表面积为9n

D.若平面P8C与平面P4C所成的角为a,平面P8C与平面P8D所成的角为0,则sii^a+

sin2/?=1

11.已知椭圆嗒+/=l（a>b>0）的左、右焦点分别为力,七，点?是椭圆。上一点，则

下列说法正确的是（）

A.若1W|P%|£5,则椭圆C的离心率为|

B.若b=2,F\PF\P=0,则△PF14的面积为2

C.若a=5,b=3,"』&=60°，则△吗&内切圆的半径为乎

D.若NPF/2=15。，^PF2F1=105°,则椭圆C的离心率为当

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.已知锐角a满足tana=白，则sin(a+：)的值为.

13.已知函数，(%)满足/(-0=/(2+(),当xe(—8,i］时，/(x)=e2*-则不等式

xfM>0的解集为.

14.己知不透明盒子中装有4个大小、形状、质地完全相同的小球，分别标注数字2,0,2,

6,每次随机抽取1个球，记下标号后放回，摇匀后进行下一次抽取，共抽取4次，记X为

抽到数字2,(),6的次数的最大值，则X的数学期望E(X)=.

四、解答题

15.已知数列｛%｝的前n项和为S”,满足na”=Sn+3n(n-1),且=1.

(1)求数列的通项公式;

(2)求数歹U卜九｝的前几项司

16.在△ABC中，内角4,B,C的对边分别为a,1c,满足b+28cos4=c.

(1)证明:A=28；

(2)若b=2,c=1,点。为边BC上一点，/。为NB/IC的平分线，求力D+,勺值;

(3)若△A8C为锐角三角形，求:的取值范围.

0

17.如图，已知斜三棱柱4BC-48ig中，AB1BC,AB=BC.LBBXAX=^BB}Cr=60°,

点。为41cl的中点.

(1)证明:平面BBW1平面A4£C；

(2)若点M为eg的中点，求点力到平面418M的距离.

18.已知函数/(%)=eSg{x)=ln(x-1).

⑴求曲线g(x)在点(2,g(2))处的切线方程;

(2)证明:/(x)>g(x)+3；

试卷第3页，共4页

(3)若Q>0,关于％的不等式af(x)+InaVg(x)-1有解，求实数a的取值范围.

19.已知抛物线氏y2=2PHp>0)的焦点尸到直线1:2x—y+g=0的距离为若.

(1)求抛物线E的方程.

(2)点P为直线，上的一点，过点P作E的切线，切点分别为M,N.

①问：直线MN是否过定点？若过定点，请求出此定点坐标：若不过定点，请说明理由.

②若点P在抛物线E的准线匕切点M在第一象限内，存在过点P的直线与&相交于48两点,

过点A作平行于PM的直线，分别与直线MN和直线MB交于点G,H,若/G|=4|AH|,求A的

值.

试卷第4页，共4页

《河北省张家口市2026届高三下学期一模数学试题》参考答案

题号12345678910

答案BADCBADCACDBC

题号11

答案ACD

1.B

【详解】由x—1>0=>x>1,所以力=[1,+co),

所以ArB=[1,+8)r(0,2)=[1,2).

2.A

【详解】由复数z=2+i可得5=2-3

因此i焉=反=胖=那「

所以冏4+刿=耙了+4”

3.D

【详解】1-五=（l,m-2）,

因为了-方与了共线，故1xm=2x（m-2）,故m=4.

4.C

【分析】求解无咒利用经验回归直线经过样本中心点（无力，建立关于B的方程并求解即可.

2+3+44-5+60.67+0.56+0.47+0.39+0.31

【详解】根据题意可得了——；——=4A,p=0.48.

5

由？=以+0.84,可得048=%+0.84,

解得：b=-0.09.

5.B

【分析】利用基本不等式籽等式变形化简，解不等式即可得出结果.

【详解】由2xy-2%-y-3=0可得2xy=2%+y+3,

因为实数'>1，所以（空）1

2

因此可得2%+y+3<（2；y）,即（2%+y）2—4（2无4-^）—12>0»

解得2%+yN6或2x+yW-2（舍），

当且仅当2%=y时，即x=|,y=3时，等号成立，

所以2x+y的最小值为6.

答案第1页，共13页

6.A

【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解.

【详解】因为S“是等差数列｛%｝的前几项和，

所以S“S2m-S“S3m-S2m成等差数列.

所以Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm),

即当,”二支喂1=亨=18.

7.D

【分析】根据最小距离可得3=2,再利用平移规则和函数奇偶性可求得0=g根据函数

O

在管,。)内恰有2个零点可限定出2。+懑围，即可解得实数8的取值范围.

【详解】由/(%)=>/2,即sin(o)%+g)=圣

可得3%+@=B+2krc,kEZ或3%+9=g+2/cn,kGZ,

根据正弦函数图象性质可知氏一X2lmin=5管-9=解得®=2，

则f(x)=2sin(2x+*)；

将函数/(%)的图象向左平移已个单位可得y=2sin[2(%+§+?]=2sin(2x+0)，

又y=2sin(2x+j+为偶函数，

则1+3=5+6Z,乂|9|<3可得

5LLO

因此f(x)=2sin(2x+：)；

当时，可知2%-江&28+胃

若函数/(x)在6,。)内恰有2个零点，可知2n<20+^<3n,

解畔<叱瑞，

所以实数。的取值范围为(詈，詈]

8.C

【分析】设|尸〔川=犯|尸网=3犯尸](一。,0),尸2。0)，在△ABF2中，根据双曲线定义及余

弦定理可得m=2a,再由l_L04得|。川,|。团，根据COSZB/^FI=叫署酢驾=

答案第2页，共13页

屿县的呼代入计算即可求解•

【详解】设旧川=m,|QB|=3m,Fi(-c,0),F2(G。)，

^A\BF2\=3m—2a,\AF2\=m+2a,\AB\=2m,

在△ABF2中，4片8/2=60°,

|AB|2+|弘2|2-|AF2|2_4m2+(3m-2a)2-(m+2a)21

化简可得m=2a,

所以COSZ.ABF2=3'

2\AB\\BF2\-2(2m)(3m-2a)

所以IB&I=4a,\AF2\=4a,\AB\=4a,\AFr\=2a,

因为21。4所以|。川二，|。&|2—|力"|2=7c2-4a2,

\0B\=y/\0A\2+\AB\2=Vc2+12a2,

I%|2+|8&|2一|08|2_|FIF2『+|8F、2|2一|8FI|2

因为COSZ5F^I=

2-2\O?2\\BF2\-=2F/2IIBF2I

所以/+吗”+12昌=4tly36°：化简可得,2=7a2,

2c4a22c4a

所以双曲线C的离心率e=£=近.

a

9.ACD

【详解】根据题意，在第一轮答题中，甲同学回答正确的概率为+=故选项A

43428

正确：

甲同学在第一轮答错试题的情况下，回答的是8类问题的概率为鲁T=：，故选项B不正

4XrtX25

确；

分析可得，甲同学经过n轮答题，答对的试题个数X服从二项分布X〜8(科目，

故甲同学经过三轮答题，只回答正确一道试题的概率为Gx3x(,2=第，故选项c正确；

o\o/D1Z

甲同学经过了十六轮答题，答对试题个数的期望为16x?=6,故选项D正确.

O

10.BC

【分析】以正四楂锥底面中心为原点。，高PO为Z轴，底面两条对角线为%,y轴，建系，由夹

答案第3页，共13页

角公式可判断ABD,设球心M(0,0,£),结合半径列出等式求3进而求得半径即可判断.

【详解】设正四棱锥底面中心为原点0,底面ABCD在初平面，高P。为z轴，分别以两条对

角线为x,y轴，如下图：

根据题意：底面边长为2,高为1,

可得：力(&,0,0),8(0,a,0),C(-V2,0,0),。(0,-V2,0),尸(0,0,1),

对于A：易得m二-1),CD=(V2,-V2,0),

则异面直线所成角余弦：cos。=察券=高=产HE，A错误；

对于B：PC=(-V2t0,-l),CD=(V2,-V2,0),

设平面PC。的法向量林=(x,y,z),

则(而n=(-V2,0,-1)-(x,y,z)=-y/2x-z=0

[CD-n=(V2,-V2,0)•(x,y,z)=V2x-V2y=0

令z=2,可得％=-&,y=-VL

即平面PC。的法向量运=(-V2,-V2,2),

则直线P力与平面PC。所成角。满足：而。=繇=号=半，B正确;

|P/l|-bilV3-2V23

对于C：易知正四棱锥外接球球心在高PO(z轴)上，

设球心M(0,0,t),半径R,又|。川=企，

由产=0A2+t2=(1-t)2得：2+t2=(1-t)2=>t=-1=>/?=I，

所以外接球表面积S=4TTR2=4TT(|)2=9n,C正确：

对于D：

设平面PBC法向量茹：=(o,Ac),乂丽=(0,鱼,一1),前=(一鱼，一鱼,0),

答案第4页，共13页

则’~PB-(a,b,c)=\[2b-c=0

l^C•n7=(—V2,—V2,0)♦(a,b,c)=—V2a—\[2b=0

设c=2可得匕=V2,a=—>J2,

贝阿=（-短短2）,

易知平面24c法向量百=（0,1,0）；

平面PBC法向量芯=(1,0,0)：

同,可V211$3

F而同=g=尸221-R=4

8s4=i§B=合=>siM/?=1-cos2/?=

sin2a4-sin2/?=!¥：1,D错误.

11.ACD

【分析】根据椭圆上的点到焦点距离的取值范围，可求a,c的值，判断A的真假；利用焦点

三角形的面积公式S=/匕门二手求^PF/2的面积，可判断B的真假：结合三角形内切圆

的半径厂=就（a+b+c表示三角形周长）及椭圆的定义，可求△「产1尸2内切圆的半径，

判断C的真假；利用正弦定理，结合比例的性质和椭圆的定义，可判断D的真假.

【详解】对A：因为1WIPFJW5,所以此时椭圆C的离心率为e=£=

la+c=5（c=2a

寺故A正确；

J

对B：因为亏•亏=0,所以PF11"2,即"1PF2=p所以S“F1F2=乂tan土产=22x

*=4,故B错误;

对C：因为S“/F2=b2tan^^-=9xtan30°=36,

由a=5,b=3,所以c=Va2-b2=4,设^PF/2内切圆半径为丁，则r==日

/a+/Clv+o3

故C正确;

对D：如图:

答案第5页，共13页

FiO

由乙口尸1/2=15°，乙P22/1=105°，可得乙/1。尸2=60°.

由正弦定理：*=提=鬻,

所以芸黑冷=翳,即2a2c

sinl0504-sinl50sin60°

所以e=-=sin600"T=境=苧.故D正确.

asinlO50+sinlS°

>V6+2V3

।乙-6~

【详解】已知a是锐角，且tana=争则sina>0,COSQ>0,

设sina=>/2k,cosa=2k,k>0,

则sin2a+cos2a=2k2+4k2=6k2=1,解得k=乎，

6

.后、几向r、，瓜

•••sina=v2x—=—,cosa=2x—=—V6,

y/3V2灰国

二si.n(a.4--nI\=si.nacos-n4-cosasi.n-IT=—x—l—x—=--+-2--.

\4/4432326

13.(—8,0)U(0,2)

【分析】根据函数的对称性与单调性的关系列不等式组求解即可.

【详解】根据题意，因为函数;"(%)满足/'(—%)=/'(2+x),所以函数f(x)的对称轴为直线，=1,

因为函数y=e2x在％e(-8,1］上单调递增，函数y=e7在％W(-8,1］上单调递减，

所以函数/(%)=e2x-er在xG(-co,1］上单调递增，

则函数f(%)在“€［1,+8)上单调递减，

由/'(0)=0得62)=0,x/(x)>0等价于优;或优黑0，

解得0VXV2或％<0,所以不等式灯(外>0的解集为(一8,0)u(0,2).

一

14.15—9

64

【详解】由题设，每次抽取2的概率为：，抽取0的概率为:，抽取6的概率为

744

答案第6页，共13页

X可口又2,3,4,

当X=2时，4次中2,0,6有两个元素各出现两次，或者4次中三个都出现，其中有一个元

素出现两次，其余两个元素各出现一次，

故P(X=2)=邪x(i)2X(I)2+0x(I)2]+昨X(丁XG)xG)+2x2x

稔©)/]嗜啮，

当X=4时，4次中2,0,6有一个元素抽到4次，故P(X=4)=(｛f+2x=啜=白,

\4/\4/ZboIZo

故P(kX=3)=1--128--128=—128=—32,

故X的分布列如下：

X234

75119

rD

12832128

故£(X)=2x含+3X号+4x^二胃.

2

15.(l)Sn=3n-2n

【分析1(1)由％与S”的关系及等差数列的定义得数列8｝是等差数列，由此求得+，进而

求得又；

(2)将S”代回7lQn=Sn+3nS—1),求得时,再利用裂项相消求和法求得数列｛马二｝的前

n项和

【详解】⑴由九％=S”+3〃(n-1)得，

当nZ2时，n(Sn-Sn_D=Sn+3n(n-1),

即(n-l)Sn—nSi=3n(n-1),

即&一汩.二3

nn-1

所以数列｛+｝是首项为?=；=1,公差为3的等差数列.

所以+=1+(n—1)x3,故=3n2—2n.

(2)由(1)知Sn=3M—2n=n(3n—2),所以nQ〃二九(3九-2)+3"(八一1).

因为r?>0.所以=3n—24-3(n-1)=6n—5.

答案第7页，共13页

又卷=(6n—5)氏+1)-5]=(6「5；6n+l)=43一高・

所以71"=NOT)+(»白+-+岛-品)]

二3(1-焉卜高

所以数歹WSB的前九项和G=

16.(1)证明见解析

(3斤e(1,2)

【分析】(1)利用三角恒等变换即可得证；

(2)先计算C0S/1,利用二倍角余弦公式得cos去再由SMBC=+SgDC结合二倍角正

弦公式即口J求解:

(3)由(1)有4=28,得。二口一38,又由正弦定理得：=当=3—4$也2小利用锐角三

bs\nB

角形求出B的范围，进而求解.

【详解】(1)由b+2bcosA=c,利用正弦定理得:sin8+2sin3cosA=sinC,

又sinC=sin[u—(A+B)]=sin(4+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sinB+2sinBcosA=sin力cosB+cosAsinB,

所以sinF=sinAcosB-cosAsinB=sin(4—8),

所以8=A-B或力-B=ir-B,

所以4=2B或A=IT(舍去)

所以A=28；

(2)由b=2,c=1,b+2bcos/l=c,所以cosA==—L

2b4

又cosA=2cos“9一1，所以cos，、==j

2440

又壬所以COS?=当,

2224

又由4。为匕的平分线，

所以SA48c=SAABD+SA/WC，

所以;bcsinA=：-c•/lOsin?+2b-/IDsin^,

4La444

答案第8页，共13页

bcsinA_2bc*_2x2xlx牛_瓜

所以小。=

csin^+hsinyc+b1+23

又由余弦定理得：a2=d2+c2-2bccosA=4+l-2x2xlx(-?=6,

所以"倔所以A°+合乎+彳=今

(3)由(1)有力=28,又A+8+C=3B+C=n,所以C=TT-38,

又由正弦定理得：

c_sinC_sin(n-38)_sin38_BsinBTsin.B_

bsinBsinBsinFs\nB

(0<A<^(0<2B<^

ABC为锐角三角形，所以[O<8<5=[0<F<^=：<8V%

[o<C<[o<n-3F<

所以:<sinB<g所以1V3-4sin28v2,所以：W(1,2).

22b

17.(1)证明见解析

(2喑

【分析】(1)先证明当。14G，8D14G，根据线面垂直判定定理证明4G1平面BB1D,

再利用平面与平面垂直的判定定理证明结论；

(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求距离即司;

【详解】(1)连接和Bg,

在斜三棱柱/IBC-481cl中，由48=BC,AB1BC,

所以△48。为等腰直角三角形，所以△&/G为等腰直角三角形，

又。为力1好的中点，所以BW1&C],

又乙BBiAi=cBB[Ci=60°,A1Bi=BiCi，BB^=BBVBByCv=△BB]AX,

所以BCi=BAr,又。为4cl的中点，

所以8014lg,又BDCBR=D,80,当。u平面8/D,

所以4G1平面5%。，又4gu平面

所以平面8/0L平面41/1。；

(2)由BD=BID=VL所以0G=0&=%£)=&,乂AAiBiCi为等腰直角三角形,

2

所以&81=/g=2,1AXCV,所以8CI=B4I=Jocj+DB=2,

又乙BB/i=乙BBG=60°,所以△881cl和4BB遇1为等边三角形,

所以H8i=841=2,所以y〃2+6[。2=当82,所以又BOlAig,

答案第9页，共13页

以。为坐标原点，分别以DBi，OG，DB为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

所以当(乃0,0),Ci(0,V2,0),41(0,一V2,0),5(0,0,仞，

所以初=布=(一&,。,甸，近=^7=西=(o,VZ-V2)»

所以丽/近+g西=g(_V2,V2,O)+1(O,V2,-V2)=(-y,V2,-y),

布=(0,或，夜)，

设平面A1BM的法向量为五=(x,y,z),

(n-AXB=V2y+x/2z=0

所以一一显「&令y=1,得五=(3,1,-1),

(n•BM=——x+>j2y——z=0

同•丽4a4V22

所以点A到平面48M的距离为d=kF二~n-

18.(l)y=x-2

(2)证明见解析

⑶(g)

【分析】(1)求出导函数，可得屋(2)=1,进而利用导数的几何意义及点斜式直线方程求

解切线方程；

(2)先利用导数法证明/•(%)>x+l当且仅当x=0时等号成立，再利用导数法证明0上)+

3Wx+1当且仅当x=2时等号成立，即可证明；

(3)将af(x)+Ina<g(x)—1整理得e"Ea+%+Ina<ln(x—1)4-x—1,设函数P(x)=

e'+x,利用单调性得x+lnaVln(x-l),即InaV-%+ln(x-1),利用导数法求得的数

Q(%)=-x+ln(x-l)的最大值，即可得解.

【详解】(1)由g(x)=ln(x-1)得g'(x)==，所以g'(2)=1,又g(2)=Ini=0,

所以曲线g(x)在点(2,0)处的切线方程为y-0=%-2,即y=%-2；

(2)设M(x)=e"—%—1,M(x)=ex—1,M(0)=0：

当％W(-8,0)时，M'(x)<0,M(x)为减函数，

答案第10页，共13页

当％W(0,+8)时，M?(x)>0,M(x)为增函数，

所以M(%)min=M(O)=O，即e'Nx+l，

所以/■(%)>x+l当且仅当x=0时等号成立，

设N(%)=ln(%-1)-％+2,定义域为(1,+8),

则可'(%)二工-1=三，N'(2)=0,

当XW(1,2)时，N’(X)>0,N(x)为增困数，

当X6(2,+8)时，N'(x)<0,N(x)为减函数，

所以N(x)max=N(2)=0,即ln(x-l)<x-2,

所以g(x)+3<%+1当且仅当％=2时等号成立，

所以f(x)>gM+3；

(3)因为af(x)+Ina<g(x)-1,整理可得ae"+Ina<ln(x-1)-1,

故ex+ma+%+mavln(x-l)+x-l,设函数P(x)=ex+x,贝IJP。+Ina)<P(ln(x-1)),

因为>(¥)=1+1>0,所以函数「(%)=1+x单调递增，所以x+lnavlnQ—l),

整理可得InaV-无+ln(x—1),设函数Q(x)=-x+ln(x—1),则Q'Q)=-1+」■；■二当，

X—1X—1

当％6(1,2)时，Q'(x)>0,Q(x)为增函数，

当xE(2,+8)时，Q?(%)<0,Q(x)为减函数，

所以Q(x)工Q(2)=-2,所以InaV-2,解得Q<&,

所以实数a的取值范围(0,9

19.(i)y2=4x：

(2)①②；1=提

【分析】(1)由题意，根据点到直线距离公式计算即可求解；

(2)①求得切线方程，由题意P(t,21+g)在切线方程上可得直线MN的方程为y(2t+»=

2(t+x),由此计算可解：②直线MN的方程为3y=4%-4,联立产=4%,可得M(4,4),设

4(X3，丫3)，8(4，、4)，直线AG的方程为y-、3="％一%3)，可得比；=8)，3:心+4=8y3-?++设

COO

直线MB的方程为％-4=乎3-4),联立可得力,=鳖言生，设直线48的方程为了=

联立可得为+、4=4根=空空=竽/，由此可计算力,=出峥空，计

Zy3="-35

算可解.

答案第11页，共13页

【详解】(1)由题意可得F《,0)，

故焦点F到直线上2x-y+：=0的距离d=，也2=譬，

所以IP+gl=泉解得p=2或p=-9(舍去)；

所以抛物线E的方程为y2=4x；

(2)设抛物线必=2Px在点(/jo)的切线方程为y-y0=k(x-x0),

22

切线与抛物线联立方程组勺_「二凿_与)，得一2(/CX0-ky0+p)x+羽+kxl-

2kxQyQ=0,

2222

则A=[