平行线解答题压轴（原卷版）

专题02平行线解答题压轴

1.某学习小组发现一个结论：已知直线。〃4若直线。〃小则C〃从他们发现这个结论运用很广，请你利用这个

结论解决以下问题：

己知直线48〃CO,点E在AB、C。之间，点。、Q分别在直线4B、CO上，连接PE、EQ.

(1)如图1,运用上述结论，探究NPEQ与NAPE+NCQE之间的数量关系.并说明理由；

(2)如图2,尸尸平分/BPE,QF平分/EQD,当NPEQ=130。时，求出NPFQ的度数；

(3)如图3,若点七在。。的下方，PF平分/BPE,QH平分NEQD,。”的反向延长线交PF于点F,当NPE

Q=BO。时，请直接写出NPFQ的度数.

2.【问题情景】如图1,若AB//CD,NAEP=45。，ZPFD=120°.过点。作。加〃48,则NEP/'=；

【问题迁移】如图2,AB//CD,点P在AB的上方，点E,尸分别在4A,。。上，连接PE,PF,过P点作PN

//AB,问NPE4,ZPFC,NEP/之间的数量关系是,请在下方说明理由；

【联想拓展】如图3所示，在(2)的条件下，已知NEPE=36。，/尸胡的平分线和NPR7的平分线交于点G,

过点G作GH//AB,则ZEGF=.

图1图2图3

3.已知：如图，直线尸。〃MM点C是PQ,MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动点.

(1)若N1与N2都是锐角，如图1,请直接写出NC与Nl,N2之间的数量关系.

(2)若小明把一块三角板(NA=30。，ZC=90°)如图2放置，点。，E,〃是三角板的边与平行线的交点，若

NAEN=/A,求N8O尸的度数.

(3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段C。上，连接

EG,且有NCEG=NCEM,给出下列两个结论：

1

①/GEN的值不变;

ZBDF

②NGEN-N8。产的值不变.

其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少.

4.对于平面内的NM和NM若存在一个常数女＞（）,使得NM+2NN=360。，则称NN为NM的A系补周角.如若

NM=90。，NN=45。，则NN为NM的6系补周角.

（1）若/"=120。，则/，的4系补周角的度数为°

（2）在平面内AB〃CQ,点E是平面内一点，连接BE,DE.

①如图1,/。=60。，若NB是NE的3系补周角，求N8的度数.

②如图2,NA8E和NCOE均为钝角，点尸在点E的右侧，且满足NCD/=〃NCOE（其中"

为常数且〃＞1）,点夕是/AA内角平分线"G上的一个动点，在户点运动过程中，请你确定一个点，的位置,使

得N8P/）是NF的4系补周角，并直接写出此时的女值（用含〃的式子表示）.

5.如图1,AD//BC,OE平分NAO&ZBDC=ZBCD.

(1)求证：ZZ)EC+ZECD=90°；

（2）如图2,8尸平分N八8£＞交CD的延长线于点凡若二八8。一100。，求N厂的大小;

（3〕如图3,若〃是3c上一动点，K是8A延长线上一点，KH交BD于点、M,交AO于点0,KG平分N8K

H,交DE于点N,交BC于点G,当点H在线段5c上运动时（不与点B重合），求NBAg+NDMH的值.

ZDNG

图2

2

6.已知：直线E尸分别交直线A8,C。于点G,”，且NAGH+NO”尸=180。.

（1）如图1,求证：AB//CD,

（2）如图2,点M,N分别在射线G£,HF上，点P,。分别在射线GA,HC1.,连接MP,NQ,且NMPGi

NNQH=90。,分别延长MP,NQ交于点K,求证：MK_LNK；

（3）如图3,在（2）的条件下，连接K”，KH平分/MKN,且HE平分NKHD,若/DHG=W^NMPG，求NK

M/V的度数.

图1图2图3

7.在数学实践活动课上，小亮同学利用一副三角尺探索与研究共直角顶点的两个直角三角形中的位置关系与数量

关系.（其中/A=30。，Zfi=60°,NC=NO=45。）

（1）将三角尺如图1所示叠放在一起.

①NA。。与N8OC大小关系是,依据是.

②N8OO与NAOC的数量关系是.

（2）小亮固定其中一块三角尺△COD不动，绕点。顺时针转动另一块三角尺，从图2的04与OC重合开始,

到图3的0A与0C在一条直线上时结束，探索△AOB的一边与ACOD的一边平行的情况.

①求当人8〃C7）时，如图4所示，N40C的大小；

②直接写出NA0C的其余所有可能值.

3

8.已知：直线分别交直线AB,C。于点G,H,且NAGH+/。丹尸=180°.

（1）如图1,求证：AB//CD,

（2）如图2,点M,N分别在射线GE,HF上，煎P,Q分别在射线GA,HC上，连接MP,NQ,且NMPG+

/NQH=90。,分别延长MP,N。交于点K,求证：MK_LNK：

（3）如图3,在（2）的条件下，连接KH,若KH平分NMKN,且HE平分NKHD,若NDHG=5NMPG,请

直接写出NKMN的度数.

9.已知直线。〃江直线c分别与直线”，〃相交于点E,F,点、A,B分别在直线.，人上，且在直线c的左侧，点

户是直线c上一动点（不与点E,广重合），设N%E=N1,/4P8=N2,N尸3尸=N3.

（1〕如图，当点P在线段日、上运动时，试探索Nl,Z2,N3之间的关系，并给出证明；

（2）当点。在线段£/；外运动时，请你在备用图中画出图形，并判断（1）中的结论是否还成立？若不成立，请

你探索Nl,Z2,N3之间的关系（不需要证明）.

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10.问题情境

在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线A&C。和一块含60。角的直角三角尺EFG（NEFG=90。，Z

EGF=60。）”为主题开展数学活动.

操作发现

（1）如图（1）,小明把三角尺的60。角的顶点G放在CO上，若N2=2N1,求N1的度数；

（2）如图（2）,小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在人8和CO上，请你探索并说明NAE/与N/G

。之间的数量关系；

结论应用

（3）如图（3）,小凫把三角尺的直角顶点尸放在C。上，30。角的顶点E落在A8上.若/AEG=a,则NC/G

等于（用含a的式子表示）.

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11.【阅读与思考】

如图，己知NA=64。.点P是射线AM上一动点(与点4不重合)，BC、8。分别平分NABP和NP8

M分别交射线AM于点C,D.

【思考与探究】

(1)①NABN的度数是：

②•：AM〃BN,/.ZACB-Z；

③NCBQ的度数是:

【猜想与探究】

(2)当点P运动时，N4PB与NAQB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系,

并说明理由；若变化，请写出变化规律；

(3)当点P运动到使NACB=N/18。时，NA8C的度数是多少？

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12.课题学习：平行线的“等角转化”功能.

（1•阅读理解：如图1,已知点人是BC外一点，连接AB、AC,求/8+NB4C+NC的度数.阅读并补充下面

推理过程.

解：过点A作:,/B=,ZC=,VZEAB+ZBAC+ZDAC=180°,AZB+

ZBAC+ZC=180°.

解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化''的功能，将N3AC、NB、NO,凑”在一起，得

出角之间的关系，使问题得以解决.

（2）方法运用：如图2,已知求NB+NBCD+N。的度数；

（3）深化拓展：已知48〃CO,点。在点。的右侧，NADC=50。，BE平分NA8C,OE平分/ADC,BE,DE

所在的直线交于点E,点E在直线A8与C。之间.

①如图3,点3在点A的左侧，若N43C=36。，求N3ED的度数.

②如图4,点3在点4的右侧，且A8VC。，AD<BC.若N/WC=〃。，求N8E。度数.（用含〃的代数式表示）

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图1图2图4

13.如图1,AM//NC,点B位于AM,CN之间，ZBAM为钝角，44J_«C,垂足为点

(1)若NC=40。，则NB/U/=；

(2)如图2,过点B作8力_LAM,交M4的延长线于点。，求证：N4BD=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下：BE平分/DBC交AM于点E,若/C=NDEB,求NDEB的度数.

14.已知：AB//CD,E、G是4B上的点，F、H是C。上的点，Z1=Z2.

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（1）如图1,求证：EF//GH,

（2）如图2,过产点作BW_LGH交G”延长线于点作NBEF、NQPM的角平分线交于点N,EN交GH于

点尸，求证：NN=45°；

⑶如图3,在（2）的条件下，作乙4G"的角平分线交CO于点。，若3NFEN=4NHFM,直接写出/GQH的

ZMPN

15.已知，DE平分乙4OB交射线BC于点E,NBDE=NBED.

（1〕如图1,求证：AD//BC；

（2）如图2,点尸是射线OA上一点，过点/作R7〃B。交射线8c于点G,点N是/G上一点，连接NE,求

证：/DEN=/ADE+/ENG；

（Vi如图2,在（2）的条件下，连接。M点。为/，）延长线上一点，J）M平分/RDR交RF干点、M,若。N

平分NPOM,DEIEN,NDBC-4DNE=NFDN,求NEON的度数.

P

16.将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中N4=30。，N8=60。，ZD=ZE=45°.

（1）猜想/6C。与/ACE的数量关系，并说明理由:

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(2)若NACO=4NAC£求NAC1)的度数；

(3)若按住三角板A4C不动，绕顶点。转动三角板QCE,试探究N4C。等于多少度时CE〃A〃，并简要说明

理由.

17.己知：直线分别与直线A&CO相交于点G,H,并且N4G£+NQ〃E=180。.

(2)如图2,点M在直线AS,CQ之间,连接GM,HM,求证:NM=/AGM+/C”M；

(V)如图？.在(2)的条件下，射线是/KG股的平分线，在的延长线上取点M连接GM若/N=

NAGM,NM=NN+1/FGN,求NM”G的度数.

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18.【探究结论】

(1)如图1,AB//CD,E为形内一点，连结AE、CE得到NAEC,则N4EC、N4、NC的关系是

(直接写出结论，不需要证明)：

【探究应用】利用(1)中结论解决下面问题：

(2〕如图2,A8〃CO,直线MN分别交AB、CO于点E、F,EGi和ES为N8E/内满足N1=N2的两条线，

分别与/E五。的平分线交于点Gi和G2,求证：ZFGIE+ZG2=180°.

(3)如图3,已知AB〃C。，F为CD上一点、,ZEFD=60°,NAEC=3NCEF,若8°VNB4EV20。，NC的度

数为整数，则NC的度数为.

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M

EB

19.已知，直线E尸分别与直线AB、CD相交于点G、H,并且NAGE+NOHE=180。.

（1）如图1,求证：AB//CD.

（2〕如图2,点M在直线48、CO之间，连接MG、HM,当N4GM=32。，NM〃C=68。时，求/GM”的度数.

（3）只保持（2）中所求NGM”的度数不变，如图3,GP是NAGM的平分线，HQ是的平分线，作〃

N//PG,则NQMV的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数.若发生改变，请说明理由.（本题中的角

均为大于0°且小F180。的角）

20.如图，AD//BC,N8AD的平分线交8c于点G,ZBCD=90°.

（1）试说明：ZBAG=ZBGA；

（2）如图1,点尸在AG的反向延长线上，连接Cr交AO于点£若NBAG-NF=45°,求证：C尸平分N3C

D.

（3）如图2,线段AG上有点P,满足NABP=3NPBG,过点C作C〃〃AG.若在直线AG上取一点"，使NP

BM=NDCH,求NAB。的值.

ZGBM

21.如国1,已知直线PQ〃MN,点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD,ZMC=50°,NA。

C=30。，AE平分N/MO,CE平分NACD,AE与CE相交于E.

（1）求NAKC的度数；

（2）若将图1中的线段4。沿MN向右平移到AIQI如图2所示位置，此时AiE平分NAAiOi,CE平分NACQi,

4E与CE相交于£,Z^4C=50°,ZA\D\C=30Q,求N4EC的度数.

（3）若将图1中的线段AQ沿MN向左平移到4。|如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时N4EC的

度数.

22.如图I所示：点、E为BC上一点,NA=N。，AB//CD.

（I）宜接写出乙4cB与N8EO的数量关系；

（2）如图2,AB//CD,BG平分NABE,BG的反向延长线与NE。/7的平分线交于〃点，若NOEB比NGH。大

60°,求NOEB的度数；

（3）保持（2）中所求的NOE8的度数不变，如图3,BM斗分乙EBK,DN平分4CDE,作.BP〃DN,求/PB

M的度数.（本题中的角均为大于0。且小于180°的角）

图1图2图3

12

23.如图，射线C8〃Q4,/C=NOAB.

(1)求证：AB//OC；

(2)若点E,尸在CB上，KZFOB=ZAOB,0E平分NCO足

①当NC=110。时，求NEO3的度数;

②如果平移A8,那么夕&的值是否随之发生变化？若不变，求出这个值：若变化，请说明理由.

Z0BC

24.已知，点C在上方，连接8C、CD.

(1)如图1,求证：ZBCD+ZCDE=ZABCi

(2〕如图2,过点C作C以LBC交E。的延长线于点「探究N4BC和/产之间的数量关系；

(3〕如图3,在(2)的条件下，/CVD的平分线交CO于点G,连接GB并延长至点“，若B”平分NA8C,

求/RGQ-/CG/的值.

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25.如纽1,G,E是直线4"上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P.直线夕

£交直线C。于点〃，满足点E在线段P〃上，/PGB+NP=/PHD.

(1)求证：AB//CDi

(2)如图2,点Q在直线AB,CD之间，PH平分乙QHD,GF平分NPGB,点F,G,。在同一直线上，且2

NQ+NP=120。，求NQ”O的度数；

(3)在(2)的条件下，若点M是直线PG上一点，直线交直线4B于点N,点N在点8左侧，请直接写

出NMN8和N/WM的数量美系.(题中所有角都是大于0。且小于180。的角)

26.已知AB〃CQ,P是截线MN上的一点，MN与CD、48分别交于&F,

(1〕若NEFB=500,ZEDP=35C,求NMP。的度数；

(2)如图1,当点P在线段E尸上运动时，NCDP与NABP的平分线交于Q,问：-是否为定值？若是定

ZDPB

值，请求出定值；若不是，说明其范围；

(3)①如图2,当点P在线段尸E的延长线上运动时，NCQP与/ABP的平分线交于Q,则_今_的值为

ZDPB一

②当点P在直线E尸上运动时，NCOP与NABP的〃等分线交于Q,其中NCOQ=』NCOP,ZABQ=1.ZAB

nn

P,设./DPB=a,求NQ的度数(直接用含〃,a的代数式表示，不需说明理由).

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27.如图，直线CD与E尸相交于点。，ZCOE=60°,将一直角三角尺4OB的直角顶点与O重合，04平分NCO

E.

(1)求NB。。的度数；

(2)将三角尺AOB以每秒3。的速度绕点O顺时针旋转，同时直线Eb也以每秒9。的速度绕点O顺时针旋转,

设运动时间为/秒(()0*0).

①兰/为何值时，直线EF平分4OB；

②若直线石尸平分/BO。，直接写出/的值.

28.实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等.如图

1,一束光线阳射到平面镜。上，被。反射后的光线为小则入射光线加、反射光线〃与平面镜。所夹的锐角N1

=Z2.

(1)如图2,一束光线机射到平面镜。上，被〃反射到平面镜力上，又被〃反射.若被〃反射出的光线〃与光

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线〃!平行，且N1=50°,贝I]N2=0,N3=0.

（2）请你猜想：当射到平面镜〃上的光线/”，经过平面镜〃、〃的两次反射后，入射光线〃?与反射光线〃平行

时，两平面镜〃、间的夹角N3的大小是否为定值？若是定值，请求出N3,若不是定值，请说明理由.

（3）如图3,两面镜子的夹角为Q。（0＜aV90）,进入光线与离开光线的夹角为0。（0＜。＜90）.试探索a与。

的数量关系，并说明理由.

29.（1）如图1,已知直线且/3和k/2分别交于A,B两点，点P在线段相上，则Nl,N2,N3之间

的等量关系是;如图2,点A在6处北偏东40。方向，在C处的北偏西45。方向，则/8AC=

（2）如图3,N/WO和N8QC的平分线交于E,BE交CD于点、F,Zl+Z2=90°,试说明：AB//CD；并探究

N2与N3的数量关系.

30.如图，AB//CD,定点E,〃分别在直线人&CD上，在平行线八8,CD之间有一动点P,满足（TCNEPFCl

80°.

（1）试问NAEP,/EPF,NPFC满足怎样的数量关系？

解：由于点P是平行线AB,CO之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图I,当P点在石厂的

左侧时，ZAEP,/EPF,NPFC满足数量关系为,如图2,当尸点在E尸的右侧时，Z

AEP,ZEPF,NPFC满足数量关系为.

（2）如图3,QE,。产分别平分NPE6和/FfD,且点P在七尸左侧.

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①若NEPF=60°,则NEQF=.

②猜想NEPb与NEQ”的数量关系，并说明理由；

③如图4,若NBEQ与/。回。的角平分线交于点Qi,NBEQI与NDFQI的角平分线交于点、Q2,NBEQ2,与/

。以22的角平分线交于点。3；此次类推，则NEPF与NEQ20I/满足怎样的数量关系？（直接写出结果）

31.如图I,8C_LA产于点C,NA+/l=90。.

（1•求证：AB//DE；

（2）如图2,点P从点A出发，沿线段A/运动到点尸停止，连接PB,PE.则NA8P,/DEP,/BPE三个角

之间具有怎样的数量关系（不考虑点P与点八，D,C重合的情况）？并说明理由.

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32.如织，已知A8〃C。，现将一直角三角形PMN放入图中，其中NP=90。，PM交AB于点、E,PN交CD于点F

(I)当△PMN所放位置如图①所示时，则/尸尸。与NAKM的数量关系为

(2)当△PMN所放位置如图②所示时，求证：N尸尸O-/AEM=90。；

(3)在(2)的条件下，若MN与CD交于点0,且NDON=30。,ZPEB=\5°,求NN的度数.

33.【探究】

(1)如图1,ZADC=\20°,ZBCD=130°,NOA8和NC8E的平分线交于点R则/A尸8=°；

(21如图2,/ADC=a.且a+R>lX0。，和/。出的平分线交于点凡则

：(用a、p表示)

(3)如图3,ZADC=a,N8CD=p,当ND48和NC8石的平分线AG、B〃平行时，a、p应该满足怎样的数

如果将(2)中的条件a+p>180。改为a+pV180。，再分别作/DA8和NC8E的平分线，你又匕以找到怎样的数

量关系？画出图形并直接写出结论.

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34.如图，AD,8c相交于点O,ZMCD=lzBCM=a,ZB=4a.

3

(1)求证：AB//CD,

(2)若NA=3N8,求N8。。的度数；(用含a的式子表示)

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(3)若点E在A8上，连接OE,EP平分NOEB交CM于点、P,如备用图所示，求证：/COE=2NEPC+L/B.