北师大版八年级数学下册 图形的平移（第1课时 平移的认识及性质）导学案

3.1图形的平移导学案

第1课时平移的认识及性质

01学习目标

i.理解平移的概念及其由“方向、距离“唯一确定。

2.能正确判定并找出平移前后图形的对应点、对应线段、对应角。

3.掌握并应用平移的基本性质解决作图、计算及证明问题。

学习重点：平移性质的理解与综合应用；平移作图的规范操作。

学习难点：平移由“方向+距离”唯一确定的本质领悟及迁移运用。

学习过程

第一环节自主学习

创设情景，引入新课

问题情境：

团L章节导读

旋转的摩天轮、荡起的秋千、开动的火车、上下的电梯、转动的风扇……这些现象中蕴含着怎样的运动和变

化形式？

我们已经学习过图形的轴对称。除了轴对称，平面内的图形运动还有其他不同的形式。本章将进一步学习图

形的平移和旋转，探究它们的性质和应用，以及图形变化与坐标变化之间的关系，建立形与数的联系，构建

数学问题的直观模型。在学习过程中，你除了要关注图形运动的过程，更要关注在图形运动变化过程中不变

的量，想象并表达物体的空间方位和相互之间的位置关系，感知并描述图形的运动和变化规律，发展空间观

念等。

团2.情境引入

问题：下面图片反映的是日常生活中物体运动的一些场景.这些运动有什么共同特点？你还能举出一些类似

的例子吗？与同伴进行交流.

新知自研：自研课本第80--81页练习上面的内容.

【学法指导】

自研课本P80・81页练习上面的内容，思考：

•探究一：平移的相关概念

团1.观察思考

⑴观察下列图片，这些物体运动的共同特点是什么？

解：它们都沿某个方向移动了一定的距离，移动前后物体没有发生任何改变.

⑵给上面图片中的物体运动下定义.

团2.新知巩固

平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.

注意：平移不改变图形的形状和大小.

团3.练一练

下面几组图形运动是平移的为（）

解：C

团4.探究思考

如图，AABC经过平移得到△DEF,点A、B、C分别平移到了点D、E、F；

点A与点D是一组对应点；

线段AB与线段DE是•组对应线段；

你还能从图中找出其他的对应点、对应线段和对应角吗？

解：点B、C的对应点分别是E、F；

线段AC、BC的对应线段分别是DF、EF;

/ABC、ZACB的对应角分别是/DEF、/DFE.

•探究点二：平移的性质

团L操作思考

将图①中的四边形硬纸片按某一方向平移一定距离.图②画出了平移前的四边形ABCD和平移后的四边形

EFGH.

(1)图中点A的对应点是平移的方向是,平移的距离是.

解：点E,点A到点E的方向(箭头的方向)，线段AE的长度

(2)在图中任意选一组对应线段，这两条线段之间有怎样的关系？

解：对应线段：AB与EF,BC与FGCD与GH,AD与EH.每对对应线段都平行且相等.

(3)在图中任意选一组对应角，这两个角之间有怎样的关系？

解：相等.即/BAD=/FEH/ABC=/EFG/BCD二4FGH/ADC=4EHG.

(4)线段AE,BF,CG,DH分别是对应点所连的线段，它们之间有怎样的关系？

貂：平行FL相等.即AE二BF=CG=DH,AEIIBFIICGIIDH.

团2.知识归纳

平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相

笠；对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等.

团3.练一练

如图所示，将等边三角形ABC沿BC方向平移得到△ABG，A[B]与AC交于点P.若BC=3,SAI>BB]C=V3，

贝ljBB]=.

•探究点三：平移作图

皆1.新知探究

例：如图，经过平移，AABC的顶点A移到了点D.

（I）指出平移的方向和平移的距离；

（2）画出平移后的三角形.

解：（1）如图，连接AD,平移的方向是点A到点D的方向，平移的距离是线段AD的长度.

（2）分别过点B,C按射线AD的方向作线段BE,CF,使得它们与线段AD平行且相等，连接DE.DF,EF,ADEF

就是△ABC'卜移后的图形.

（3）请在图中找出平行且相等的线段，以及相等的角.

解：平行且相等的线段：

AB与DE,BC与EF,AC与DF.

AD,BE与CF.

相等的角：

zBAC=zEDEzABC=zDEF,zACB=zDFE.

在上述问题中，你还有画aDEF的其他的方法吗？

解：如图，过点D按射线AB的方向做线段DE平行且等『AB：过点D按射线AC的方向做线段DF平行

且等于AC；连接EF.ADEF就是AABC平移后的图形.

团2.知识归纳

平移作图的一般步骤：

（1）找关键点（一般是图形的顶点）:

（2）根据平移的距离和方向作出这些点经过平移后的对应点；

（3）将所作对应点按原来已知图形的连接方式连接起来，所得图形即为所求.

团3.思考交流

确定一个图形平移后的位置，需要哪些条件？与同伴进行交流.

解：图形的平移由移动的方向和距离所决定.如果已知图形移动的方向和距离，就能得到图形平移后的位置.

【例题导析】

自研下面的例1和例2的内容，回答问题：

例1如图所示，在由边长均为1的小正方形组成的方格纸中、4ABC的顶点都在方格纸的格点上，经过平

移,AABC的顶点C移到了点C的位置.

⑴画出平移后的△ABC（点A，与点A对应，点B，与点B对应）；

（2）考出平移的方向和平移的距离.

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置;

⑵利用平移的性质结合勾股定理得出平移距离.

【解答】解:(1)如图△ABC，即为所求图形；

(2)平移的方向是点C到点C的方句，

平移的距离是线段CC的长度二g.

例2如图所示，^ABC是边长为2的等边三角形，将AABC沿射线BC的方向平移到ADCE的位置,

连接AE.

⑴求ZkABC平移的距离；

⑵求AE的长.

【分析】(1)由图可知点B对应的点是点C,点C对应的点是点E,因此^ABC平移的距离是BC的长.

(2)利用等边三角形的性质和勾股定理即可求得AE的长.

【解答】解:⑴••・△DCEitlAABC平移而成，

.•△ABC平移的距离=BC=2.

(2)如图，过点A作AF1BC于点F.

•••△.ABC是等边三角形，AF1BC,

.-.FC=；BC=1,

2

.-.AFW^C^FC2=V3,FE=1+2=3,

.­.AE=VJF2+F£2=J(V3)2+32=2>/3.

第二环节合作探究

小组群学

在/」雌的W下：

A.探讨什么是平移以及平移有哪些性质；

B.总结平移作图的方法和步骤.

C交流例题的已知的条件和所求问题，理清解题思路，总结方法.

D.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

,巩固练习

1.下列现象中,属于平移的是（）

A.网球赛中，网球的运动B.打气筒打气时活塞的运动

C.钟摆的摆动D.将一张纸对折

解：B

2.下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（）

解：D.

3.如图，原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离，就得到此图

形，下列结论正确的有（）

©ACHDF；②HE=5：③CF=5；④阴影部分面积为输

A.1个B.2个C.3个D.4个

AD

.BECF

解：C.

4.如图所示，点I为aABC三条角平分线的交点，AB=8,AC=6,BC=4,将NACB平移使其顶点C与点I重

合，则图中阴影部分的周长为（）

A.9B.8C.6D.4

解：B

5.如图所示，在AABC中，AB=4,BC=6,zB=60°,将z^ABC沿射线BC的方向平移2个单位长度后，得到

△A'B'C,连接AC,则AABC的周长为,

解：12

6.如图所示，将z\ABC沿直线AB向右平移后到达ABDE的位置，连接CD,CE,若AACD的面枳为10,则ZXBCE

的面积为.

7.如图所示.己知aABC和aABC外的一点A'.^.AABC平移.便点A与点A唾合.画出平移后的三角形.

解：如图△A，BC'即为所求作的图形.

8.如图所示,已知在RtAABC,zC=90°,BC=4,AC=4,I%^△ABC沿CB方向平移到AABC的位置，若平移的

距离为3.

（I）求AABC与△ABC重叠部分的面积；

W--zC=90°,BC=4,AC=4,

••.△ABC是等腰直角三角形，.-.ZABC=45°.

•.♦△ABC是由AABC平移得到的，且平移的距离为3,

.•.CO3CABC三△ABC,

.■.zA,C'B,=zC=90°.

.•.zBOC=45°,

.•.△BOC是等腰直角三角形.

vBC'=BC-CC=4-3=l,

.•.SABOC'=；x|xl=lg|JS重叠部分=：.

⑵设平移的距离为x（0Sx*）QABC与AABC重叠部分的面积为y,用含x的代数式表示y.

（2）根据（1）可知两个三角形的重叠部分是等腰直角三角形，

那么y=/4-x）2（叱x*）.

[JI提升专练

题型一：平移的相关概念

1.（24-25七年级下•全国•课后作业）下列四幅图片中的主体事物，在现实运动中属于平移的是（）

【答案】B

【分析】本题考查了平移的定义，在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移

动，据此逐个分析，即可作答.

【详解】解：A、工作中的雨刮器不属于平移，故该选项不符合题意；

B、移动中的黑板属于平移，故该选项符合题意；

C、折叠中的纸片不属于平移，故该选项不符合题意；

D、骑行中的自行车不属于平移，故该选项不符合题意；

故选：B

2.（25-26八年级下•全国•课后作业）下列现象属于平移的是（）

A.投篮时篮球的运动

B.用打气筒打气时.活塞的运动

c.钟摆的摆动

D.汽车雨刷的运动

【答案】B

【分析】本题考查了生活中的平移现象，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新

图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移.解题的关键是注意平移是座形整体沿某

一直线方向移动.

根据平移的定义，旋转的定义对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、篮球运动是曲线运动，有旋转，不属于平移，不符合题意；

B、活塞在打气筒内沿直线往复运动，符合平移特征，符合题意；

C、钟摆是绕固定点摆动，属于旋转，不属于平移，不符合题意；

D、雨刷是绕轴旋转运动，不属于平移，不符合题意；

故洗：B.

3.（24-25七年级下•浙江温州•期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文

中，能看作由其中一部分平移得到的是（）

【答案】A

【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键.根据平移的定义，逐一判断

即可解答.

【详解1解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平

移得到的是：

故选：A.

4.（2025九年级下•北京・专题练习）下列选项中的车标图案可以看作是由“基本图案”经过平移得到的是

（）

【答案】B

【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小

和方向完全相同.

根据平移的定义判断即可.

【详解】解：A、通过旋转得到，故本选项不符合题意；

B、通过平移得到，故本选项符合题意：

C、通过轴对称得到，故本选项不符合题意；

D、通过旋转得到，故本选项不符合题意；

故选：B.

5.（24-25七年级下•全国•课后作业）一个图形经过平移能得到另一个图形，其对应点所连成的线段的关

系是（）

A.平行B.相等

C.平行且相等或在同一条直线上且相等D.平行且相等

【答案】C

【分析】本题考查平移的基本性辰，需明确平移后对应点所连线段的关系，根据平移的性质，作答即

可.熟练掌握平移的性质，是解题的关键.

【详解】解：•平移后对应点所连成的线段平行且相等，当对应点在同一条直线上时，对应点连线在同一

直线上且相等，

••・对应点所连成的线段的关系是平行且相等或在同一条直线上且相等.

故选：C.

题型二：利用平移的性质计算

6.如图所示，△ABC是产经过平移得到的，若4。=4cm,若点M为4B的中点，点N为DE中点，则

MN的长为（）

A.8cmB.6cmC.4cmD.3cm

【答案】C

【分析】本题考查了图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键.根据平移的性质直接求解即可.

【详解】解：•••△4BC是经过平移得到的，点M为力B的中点，点N为中点，

.•.点D,E,F,N的对应点为4B,C.M,

>.AD=MN=4cm,

故选：C.

7.（24-25七年级下•河南安阳•期中）如图，将三角形A8C沿着射线向右平移得到三角形01/，若力〃=

2CE,CF=2,则8c的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本题主要考查了平移的性质，根据图形平移的方向和距离得出线段的长度是解题的关键.

由平移的性质可得力。=BE=CF=2,由力。=2。£可得CE=1,最后由=+进行计算即可得

到答案.

【详解】解：•••将三角形ABC沿着射线BC向右平移得到三角形DEF,

•1•AD=BE,BC=EF,

•••BC=DE+CE,EF=CF+CE,

AD=BE=CF=2,

•••AD=2CE,

CE=1,

BC=BE+CE=3.

故选：C

8.（25-26七年级下•全国•周测）如图，将线段沿箭头方向平移3cm得到线段CD.若48=4cm,则四

边形的周长为（）

A.8cmB.14cmC.16cmD.20cm

【答案】B

【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移后对应线段相等，平移距离等于对应点连线的长度是解题的关

键.

根据平移的性质，得到A8与相等，与8c等于平移距离，再将四条边长相加求出四边形的周长.

【详解】解:•将线段45平移得至I线段CD

MB=CD,AD=BC

'.'AB=4

•••CD=4

•••平移的距离为3cm

•••AD=3,BC=3

，匹边形/AC。的周长为：＞18+BC+CO+£M=4+3+4+3=14cm

故选：B.

9.（25-26七年级上•江苏南通・期末）如图，将一个直角三角形48。沿着直角边C4所在的直线向右平移得

到直角三角形OEF,已知BC=a,CA=b,S四边形Dm.则产力的长度为（）

A.B.C.；bD.

3355

【答案】C

【分析】本题考查了平移的性质.

由S四边形DEBA=4O・BC=：Q8,可得力0=；"由平移的性质可得尸0=G4=R然后根据凡4=尸。一

AD,即可求解.

【详解】解：.JS四边形D£BA=*Q〃，即A0.8C=|QRBC=a,

AD=^b,

由平移可得F。=C/l=b,

•••FA=FD-AD=b-^b=lb.

故选：C.

10.(24-25七年级下•江苏无锡・月考)如图，将面积为5的△力BC沿8C方向平移至4。”的位置，平移的

距离是边BC长的3倍.

(2)求四边形力的面积.

【答案】(1MC=。居4。=DF

(2)35

【分析】此题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是关键.

(1)根据平移的性质进行解答即可；

(2)设点A到8c的距离为h,根据平移的性质可得4。=CF=3BC,然后求出CE=2BC,SMBC=

S.DEF=5,再根据梯形的面积公式列式计算即可得到四边形4CEO的面积，根据四边形力B/D的面积二

SN边形ACED+SMBC+SADEF即可求出答案.

【详解】(1)解：根据平移的性质得到4c=DF,AC=DF；

故答案为：AC=DF,AC||DF

(2)解:设点4到8C的距离为九

则SM8c=：BC.h=5,

•••△MC沿8c方向平移的距离是边BC长的3倍,

：.AD=CF=3BC,AD||BF,△ABC三4DEF

:.CE=2BC,S6ABe=SK.DEF=5

二四边形力CED的面积=[(UE+AD)h

呈(2BC+38Gh

z

1

=5x-BCh

=5x5

=25.

,四边形ABFD的面积=S四边形ACED+SfBC+S£,DEF=35.

题型三：平移解决实际问题

111（25-26八年级上•山东淄博・月考）某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形,

现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是（）

A.甲种方案所用铁丝最长

B.乙种方案所用铁丝最长

C.丙种方案所用铁丝最长

D.三种方案所用铁丝一样长

【答案】D

【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可知三个图形都转化为一个长为《宽为。的长方

形，据此可得答案.

【详解】解：利用平移，可将甲、乙、丙三个图形都转化为一个长为宽为人的长方形，

所以三个图形所用的铁丝长度一样.

故选：D.

12.（25-26七年级上•江苏南通・期末）如图，大长方形的长是10cm,宽是6cm,阴影部分的宽都是2cm,

则空白部分的面积是（）

C.32cm2D.36cm2

【答案】C

【分析】本题考查了平移的性质.根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边_[_,然后求出空白部分

的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解.

【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为10-2=8cm,宽为6-2=4cm,

所以，空白部分的面积是：8x4=32(cm2).

故选：C.

13.(24-25七年级下•河北邢台・月考)如图，一块长为18m,宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小

路，则这块草地的绿地面积是()

A.180m2B.160m2C.158m2D.112m2

【答案】B

【分析】本题主要考查图形的平移，通过平移将两块不规则的形状合成一个基本图形是解决问题的关

键.通过平移，两块绿地可以拼成一个新长方形，求出长和宽即可.

【详解】解：通过平移，两块绿地可以合成一个新长方形，新长方形的长为(18-2)m,宽为(12-2)m,

故绿地的面积为：(18-2)x(12-2)=160m2,

故选：B.

14.某学校准备在升旗台的台阶上铺设一种红色的地毯(从力-BTCTD),升旗台的台阶和地毯的宽都

为3米，台阶侧面如图所示.

B

2.5米

7米D

(1)至少需要多少米的地毯？

⑵若这种地毯的批发价为每平方米30元，则买地毯至少需要多少元？

【答案】⑴12m；

(2)1080元.

【分析】本题考查了平移的性质以及有理数的四则运算的实际应用：

(1)利用平移构成一个矩形即可求解；

(2)先计算地毯面积，再算价格即可.

【详解】(I)解：如图，通过平移线段，把楼梯的横竖

2.5米

7米

向上、向左平移，构成一个长、宽分别为7m,2.5m的长方形,

二地毯至少需要7+2.5X2=12(m)

(2)地毯的面积为12x3=36(m2),

购买地毯至少需要花费36x30=1080(元)

题型四：平移作图

15.(22-23七年级下•安徽亳州・期末)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，

△工8C的三个顶点都在网格顶点处.现将△48C平移得到△AB7T,使点A的对应点为点A,点8的对应点

为点".

(1)请画出平移后的△4eC'；

(2)若连接44,CCr,则这两条线段之间的位置关系是______,数量关系是________.

【答案】(1)见解析

(2)平行；相等

【分析】本题考查了平移作图和平移的性质，掌握相关知识点是解题的关键.

(1)首先根据点A和点力的位置，得出点力到4移动的方向和距离，然后点8和点。作相应的移动得到点夕

与点顺次连接就可得到△487/；

(2)根据平移的性质对应点的连线平行且相等，直接得出4rlice且=

【详解】(I)解：由点A的对应点为点4可知：将力点向右平移5个单位长度，向上平移4个单位长度得到

点4；根据点力的平移方向和距离，同样平移点8和点C,得出点夕与点Ct顺次连接49、BC、

就可得到△AB'C'.

(2)解：根据平移性质可知：AAfIICCf,且44=CC1,

故答案为：平行；相等.

16.(25-26七年级上•河北石家庄期末)如图，每个小正方形的边长都为1,三角形力BC的顶点和点。都

在格点上(每个小正方形的顶点叫格点).

(1)过点A作8C的平行线力M,点M在格点上；

⑵沿直线平移三角形ABC,使点4平移到点。，点B平移到点E,点C平移到点R画出平移后的三角形

DEF；

(3)线段与BE的数量关系是___________位置关系是____________在平移过程中线段扫过的面积是

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)A0=BE,AD||BE,20

【分析】本题主要考查了画平移图形，平移的性质，画平行线，熟知相关知识是解题的关键.

(1)取格点M,连接AM,则AM即为所求；

(2)根据点。和点A的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点石和点尸的位置，进而作图即可；

(3)根据平移的性质可得力。=BE,AD||BE,在平移过程中线段4B扫过的面积是四边形48ED的面积,

据此求解即可.

【详解】(1)解：如图所示，4A，即为所求；

(2)解：如图所示，ZiDEF即为所求；

...........................X-4—4—-4—-

iii：5X。

....p-I----

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•i•ie•i•

•ii••aie

aIIIIiIa

iiiaieia

(3)解：由平移的性质可得力。=BE,AD||BE,在平移过程中线段AB扫过的面积是4X5=20.

iia•aii>

iis••ai•

二*专M二

、胃£

--4--}----4—-

IM：5：S：：

17.(24-25七年级下•浙江温州・月考)如图，在方格纸中，A/IBC的三个顶点和点M都在小方格的顶点

(1)过点M