中考数学 整式及因式分解-2025试题分类汇编（解析版）

2025年数学中考真题分类汇编专题

整式及因式分解

考点概览

考点1列代数式

考点2代数式的求值

考点3整式的运算

考点4辕的运算

考点5因式分解

考点6整式的混合运算

考点7整式的化简求值

考点8代数式的变化规律

考点9图形的变化规律

考点10新定义探究问题

考点11勾股数（树）的变化规律

考点1列代数式

I.（2025-卜海・中考直题）用代数式表示〃与A差的平方,不确的是（）

A..；■hB.C..；■hD.h'

【答案】B

【分析】本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键；“。与6差的平方”指先求。减〃的差,

再将这个差整体平方，即1〃.

【详解】解：A.,>.：这是平方差公式的结果，表示♦的平方减去，，的平方，而非差的平方，错误，不符

合题意；

B.团b）：表示先求差再平方，正确，符合题意；

C.A：仅对二平方后减去A,未对差整体平方，错误，不符合题意：

D.A：表示"减去，，的平方，运算顺序错误，错误，不符合题意；

故选:B.

2.（2025•湖南长沙•中考真题）智慈农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟

中考熬考

采摘10个苹果.若该机器人搭载〃，个机械手（川.“），则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为（）

A.6/nB.m♦1（）C.Z'mD.IHE

【答案】D

【分析】本题主要考查了列代数式，每个机械手每分钟采摘10个苹果，〃，个机械手同时工作时，总采摘数

为每个机械手的效率之和.

【详解】解：当机器人搭载〃，个机械手时，总效率为每个机械手效率的累加，即：总采摘数HIer10”,

故选：D.

3.（2025•四川广安・中考真题）一种商品每件标价为。元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是

元.

【答案】ox./

【分析】本题主要考查了列代数式，按标价的8折出售，即按原价的08倍出售，据此求解即可.

【详解】解；一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是。“元，

故答案为；0口/.

4.（2025•山西•中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入.某农

户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元漕加到80元.该农户通过网上售出。个布

老虎，则他的利润增加了元（用含。的代数式表示）.

【答案】

【分析】本题考查了列代数式，正确理解题意是关键；求出售出一个布老虎增加的利润，即可求出售出a

个布老虎增加的利润.

【详解】解：售出一个布老虎增加的利润为如（元），

则售出a个布老虎增加的利润为“k.

故答案为：Nk/.

5.（2025•内蒙古•中考真题）冰糖葫芦是我国传统小吃，若大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每

根穿3个山楂，则穿仍根大串和，，根小串冰糖葫芦需要的山楂总个数用代数式表示为.

中考去考

【答案】I"

【分析】本题考查了列代数式的运用，理解数量关系，掌握代数式表示数或数量关系的计算是关键.

根据，大串冰糖葫芦每根穿5个山楂，小串冰糖葫芦每根穿3个山楂，则穿E根大串和“根小串冰糖葫芦”即

可列代数式.

【详解】解：由题意得，山楂总个数用代数式表示为：、掰I辆，

故答案为：SwiS.

考点2代数式的求值

6.(2025•古林K春•中考真题〉已知r♦4,则代数式，r”的值为.

【答案】3

【分析】题主要考查了求代数式的值，掌握整体思想是解题的关键.

将，r-化为了|r•2r|,再整体代入求解即可.

【详解】解：vr।%

'f2r

7(x♦2K)

74

3

故答案为：3.

7.(2025・四川自贡•中考真题)若I,则1"「讣A的值为.

【答案】I

【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，，I工；，整体代入计算即可得解，熟

练掌握运算法则是解此题的关键.

【详解】解：I,

二bI?11,

..1、加hId.?J|1Ad2a-4a'4H2<JI,

中考去考

故选：I.

8.（2025•江苏扬州•中考真题）若，2AH。，则代数式R仍门的值是.

【答案】1

【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键.先将"》I”变形为.7'bI，

再将I,附一变形为2（，孙卜3,然后整体代入求解即可.

【详解】解：乙，2hII（b

2bI，

.♦2M+32s-训+32x（-|）+3I,

故答案为：1.

9.（2025-江苏苏州・中考真题）若v一I,则代数式<的值为.

【答案】I

【分析】本题考查代数式求值，根据」«,得到」I,整体代入法求出代数式的值即可.

【详解】解：•・•・,•

故答案为：I.

1（）.（2025・山东威海•中考真题）若2rh2,则w4sI.

【答案】4

【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键.

先将，“工变形为I」?>，，然后将”1一1变形为？（八2r11,再整体代入求解即可.

【详解】解：v2r32,

:A;2r?,

.-.6y4x*I2（3y2x）,12x（I3,

故答案为：L

11.（2025・河北•中考真题）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为“，b.如图，将甲纸条的;与乙纸条

的2叠合在一起，形成长为81的纸条，则，八八

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6A

<a

<-------------81---------------►

【答案】99

【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值，一元一次方程的应用，由题意可知：重叠部分为：

',/设叠部分的长度为七则"«，h、A,根据重叠后的总长度为81为等量关系列出关于k的一

452

元一次方程，求解即可得出答案.

【详解】解：由题意可知：重叠部分为：1屋,

设重叠部分的长度为“，则〃U,b

重叠后的总长度为：，）人小八」XI,即八八kXI,

代入"“，八、人得：YI1AS1,

22

解得：AIS,

s

V»IXS4,h2k4、，

•••,/•%”,

故答案为：99.

考点3整式的运算

12.（2025•辽宁•中考真题）下列计算正确的是（）

A.所，B.'TLREQEC.ImnImnD.।用）m'

【答案】D

【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、鼎的乘方等知识点，掌握相关运算法则成

为解题的关键.

根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幕的乘方逐项判断即可.

【详解】解:A.施I•隰月口碑遍心，故该选项错误，不符合题意；

B.%・3川（2x3）（mm）6m,故该选项错误，不符合题意；

C.mn,故该选项错误，不符合题意；

D.旧|”，故该选项正确，符合题意.

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故选D.

13.（2025,吉林长春•中考真题）下列计算一定正确的是（）

A.“，2〃SB.口（i:u*

C.,；aD.|2u）2u

【答案】A

【分析】本题主要考查了积的乘方计算，同底数幕乘法计算，合并同类项，根据相关计算法则求出对应选

项中式子的结果即可得到答案.

【详解】解：A、，八2〃3,原式计算正确，符合题意；

B、“a“u,原式计算错浜，不符合题意：

C、2a,原式计算错误，穴符合题意；

D、心“『L’原式计算错误，不符合题意：

故选：A.

14.（2025,湖南长沙•中考真题）下列运算正确的是（）

A.2dIa'2〃B.h«u

C.[g）‘（lhD.pi<6sB

【答案】C

【分析】本题考查了整式的运算和二次根式的加法运算，掌握相关运算法则是解题关键.

【详解】解：A：〃与不是同类项，无法合并，故A错误；

B：恒力|〃中，d/A与〃的字母部分不同，无法合并，故B错误；

C：根据积的乘方法则，h力）=ah,等式成立，故C正确；

D：N、&,、,二均非同类二次根式，无法直接相减，故D错误；

故选：C

15.（2025•四川南充•中考真题）下列计算正确的是（）

A.uIB.U〃2

C.<7D.L:〃2<i

【答案】C

【分析】本题考查合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关

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键；根据合并同类项，单项式乘单项式，单项式除以单项式的法则进行解答即可.

【详解】解：A、S,故本选项错误，不符合题意；

B、u",故本选项错误，不符合题意；

C、功。2＜；,故本选项正确，符合题意；

D、2,故本选项错误，不符合题意；

故选：C

考点4嘉的运算

16.（2025•云南•中考真题）下列计算正确的是（）

A.…2xMB.»*C.r＞：rarD.|xy）rv

【答案】B

【详解】本题考查整式的运算.熟练掌握合并同类项，同底数塞的乘除法，积的乘方等基本法则，是解题

的关键.

运用合并同类项，同底数昂的乘除法，枳的乘方逐一验证各选项的正确性，即得.

【分析】A、合并同类项时，系数相加，字母部分不变.r»?r（I2.r”,而非什，故A错误.

B、同底数哥相乘，底数不变，指数相加.।',,故B正确.

C、同底数昂相除，底数不变，指数相减.r：fr;rS而非＜，故C错误.

D、积的乘方等于各因式乘方的积.|.w）；r'v,故D错误.

故选:B.

17.（2025•上海•中考真题）下列代数式中，计算正确的是（）

A.E?*iB.mIn?

C.m'nt'mD.|w'|m

【答案】A

【分析】本题考查代数式的运算，涉及合并同类项、同底数基相乘、暴的乘方等基本法则；逐一验证各选

项的正确性即可.

【详解】解.：A：mIEr,合并同类项时，系数相加，字母部分不变，F的系数为1,故II2,结

果为，计算正确；

B：加法运算中，指数不改变，仅系数相加；正确结果应为而非口，计算错误;

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C：同底数耗相乘，底数不变，指数相加；v3（,结果应为.，而非E,计算错误；

D：密的乘方运算中，底数不变，指数相乘；《生结果应为E,而非E,计算错误:

故选:A.

18.（2025•四川广安•中考真题）下列各式运算结果为J的是（）

A.u'uB.|^|C.“4«,D.,7u-n

【答案】A

【分析】此题考查了同底数幕的乘除法、暴的乘方及合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.逐

一计算各选项的结果，即可得到答案.

【详解】A."J故选项正确，符合题意；

B.）'J,故选项错误，不符合题意；

C."",故选项错误，不符合题意：

D.uu,故选项错误，不符合题意；

故选：A

19.（2025•湖北•中考真题）下列运算的结果为f的是（）

A.«，eB.m:mC.|jD.一：e.

【答案】C

【分析】本题考查的是合并同类项，同底数罂的乘法与除法运算，第的乘方运算，根据合并同类项，同底

数察的乘法与除法运算，冢的乘方运算，逐一计算各选项的结果，判断是否为

【详解】解：A.即|m'，结果为？内，非E,

B.,r-•ntr»re，结果为f,非f，

C.|w|ivm,结果为f,符合题意，

D.m'：ee'”，结果为，非f；

故选：C

20.（2025•吉林・中考真题）计算|[J）的结果为（）

A.2fjB.C.x.zD.Xa'

【答案】D

【分析】本题考查了积的乘方运算及基的乘方运算，熟练掌握积的乘方运算及鼎的乘方运算是解题的关

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键.根据积的乘方法则及暴的乘方运算，逐步计算即可.

【详解】解：｛"）’2'（叫‘力.

故选：D.

21.（2025•江苏苏州•中考真题）下列运算正确的是（）

A..；aaB.C.|uAIubD.|<;'（a

【答案】C

【分析】根据哥的运算性质，计算判断即可.

本题考查事的运算性质，包括同底数哥的乘除法、嘉的乘方以及积的乘方;需逐一验证各选项是否符合相

关运算法则.

【详解】A.jJu?但选项A结果为,』，错误.

B..7：aJ,7,，但选项B结果为"，错误.

C.|u/'|“方，符合积的乘方法则，正确.

D.\d）但选项D结果为“、，错误.

故选:C.

22.（2025•山西•中考真题）下列运算正确的是（）

A.ZJIS卜B.m1m*m'

C.in%>a'A*D.12m|Gm'

【答案】B

【分析】本题考查合并同类项、同底数呆的乘法、完全平方公式、积的乘方等运算法则，根据相应法则，

逐一进行计算判断即可.

【详解】A.?.,/»1A中的2〃和“不是同类项，无法合并，故错误.

B.rr：-mmm>正确.

C.hi应展开为炉2#巾，选项漏掉故错误.

D.（如丁W,选项中结果为t向\，计算错误.

故选：B.

23.（2025・四川内江・中考真题）下列计算正确的是（）

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A.r'-r*r'B.|jr)i1

C.ri2rD.Ixi2>(r2)11

【答案】D

【分析】本题考查了整式的运算，逐一分析各选项的运算是否正确，利用塞的运算、完全平方公式、合并

同类项及平方差公式进行判断.

【详解】解：A.r-r*1'///，错误.

B.(xvf/2n-♦y:/r/,错误.

C.r与"不是同类项，无法合并，结果应为错误.

D.根据平方差公式，磨哪2舸礼腐官於离，正确.

故选：D.

考点5因式分解

24.(2025,广西•中考真题)因式分解：“I()

A.I*IH•/HB.C.lu4IfD.inIf

【答案】A

【分析】本题主要考查了因式分解.利用平方差公式进行因式分解，即可求解.

【详解】解：“I<t/-I>./Ii.

故选：A

25.(2025•湖南长沙•中考真题)分解因式：m2m：.

【答案】2y)

【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可；

【详解】解：幽浮探锣=融融巡］，

故答案为：2y|

26.(2025•黑龙江绥化•中考真题)分解因式：蜒兴魅阚察叵______.

【答案】2TM\V)

【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键.先

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提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可.

【详解】解：2mx*2my2MM2n1*y）2/n（xy[.

故答案为：2即卜v）.

27.（2025•北京•中考真题）分解因式：2X.

【答案】：/，2“时：|

【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

原式提取7,再利用平方差公式分解即可.

【详解】解：7””

=7（用7）

7（12）lm21,

故答案为：7（明.2）加2）.

28.（2025♦江苏苏州•中考真题）因式分解：r-0.

【答案】I一中x"

【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，直接利用"A2fsm分解因式即可.

【详解】解：（9（VI3|,

故答案为：小」1：

29.（2025•四川成都•中考真题）多项式||加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的

单项式可以是（填一个即可）.

【答案】It（答案不唯一）

【分析】木题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式1『I加上一个单项式后可以变

为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可.

【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为/「，理由如下：

1c»1Ilx（2x­I），

••.L符合题意，

故答案为：L（答案不唯一）.

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30.（2025•江西•中考真题）因式分解："u

【答案】。（。II

【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键.

直接运用提取公因式法解答即可.

【详解】解：a〃I）.

故答案为：山4II.

31.（2025•山西•中考真题）因式分解：行16.

【答案】二•I"h

【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的特点是解题的关键；由平方差公式分解

即可.

［详解］解：燔吨褥3飒^

故答案为：…HEh.

32.（2025•湖南•中考真题）因式分解：4口.

【答案】山〃•

【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式。进行分解因式即可.

【详解】解：，"&J，13）,

故答案为：山。

考点6整式的混合运算

33.（2025•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）（1）计算：1、2，2sin45

（2）分解因式：'rHr

【答案】（1）、；（2）r*?）（r?|

【分析】（1）先计算特殊角三角函数值，再计算二次根式乘法、负整数指数累、绝对值，再计算加减法即

可；

（2）先提取公因式'।,再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：（1）原式；.订D，；

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(2)原式2x(x4|2.r(x*2)(x2).

【点睛】本题主要考查了分解因式，二次根式的混合计算，负整数指数’幕，绝对值的性质，求特殊先三角

函数值，熟练掌握因式分解的方法，负整数指数辕、二次根式、绝对值以及特殊角的三角函数值等考点的

运算是解本题的关键.

34.(2025•江苏扬州,中考真题)计算：

(1)v122cos30'HM'1;

(2).;|./2•J：a.

【答案】(1)4I

⑵〃

【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解

题关键.

(1)先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数累，再计算二次根式的盘合运算即

可得；

(2)先计算单项式乘以多项式、同底数塞的除法，再计算整式的加减法即可得.

【详解】(1)解：原式三磷海建磁

「I•

(2)解：原式<；■.\!

?!/.

35.(2025・河南•中考真题)⑴计算：救蝌欧二^^;

(2)化简：|.<")<|i

【答案】(1)0；(2)1

【分析】(1)首先计算立方根，零指数幕和二次根式的乘法，然后计算加减;

(2)首先计算完全平方公式，单项式乘以多项式，然后计算加减.

【详解】解：(1)

中考去考

0：

（2）l.iIIfifxI2}

J

x»2r•Ir,2K

I.

【点睛】此题考查了立方根，零指数哥和二次根式的乘法，完全平方公式，单项式乘以多项式，解题的关

键是掌握以上运算法则.

36.（2025•新疆•中考真题）计算：

【答案】⑴1

⑵，J।

【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数累，平方差公式和单项式乘以多项式的计算，熟知相关计算

法则是解题的关键.

（1）先计算算术平方根和零指数幕，再计算乘方和绝对值，最言计算加减法即可得到答案；

（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案.

［详解］（1）解：|

37.（2025•广西•中考真题）（|）计算：I2），（

（2）化简：L"

【答案】（I）”（2）,

【分析】（|）先算乘法，再进行加法运算即可；

（.,）先算乘法，再合并同类项即可;

中考熬考

本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，掌握有理数和整式的运算法则是解题的关键.

【详解】解：（|）原式2,।

5•♦

（2）原式a-,了，a

a'-

考点7整式的化简求值

38.（2025•浙江•中考真题）化简求值：rOr）.—j,其中।?.

【答案】…S13

【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键.

先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后再代入求值即可.

【详解】解：9X）।r44

5«x♦I3

Sr•<»

当r2时，原式、*2，।IL

39.（2025・湖南・中考真题）先化简，再求值：躯■哪?"您眄魏r礴，其中i6.

【答案】r1,2

【分析】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.

分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并，然后代入求值即可.

［详解］解：脑滑醐L博枷哪■礴

r*4，TT:

当r△时，原式八I

考点8代数式的变化规律

40.（2025・河南・中考真题）观察gr.X/,…，根据这些式子的变化规律，可得第〃个式子

为.

【答案】2nr,

【分析】本题是单项式规律题，根据给出的单项式发现一般规律是解题关键.分析已知式子，得到第〃个式

中考去考

子为X，即可得到答案.

【详解】解：第1个式子：2rlx2.r，

第2个式子：2*?r,

第3个式子：hr?r»

第4个式子：KT*1X2/，

观察发现，第〃个式子为

故答案为：2nv-

41.（2025•四川宜宾•中考真题）已知—、〃.、%、/、",是五个正整数去掉其中任意一个数，剩余四个数

相加有五种情况，和却只有四个不同的值，分别是45、46、47、48,则/.♦"I/♦q・□..

【答案】58

【分析1本题主要考查了整式的加减运算、•元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关

键.

设J""团，由题意可知已知这五个和只有四个不同的值，不妨设吠"M，，，那么

这四个不同的值可以表示为圜f您"嚼爵嚼酬隰（假设「与前面某一个数相等）且为这四个值分

别是45、46、47、48；再说明3"/IH,然后分四种情况解答即可.

【详解】解：设""小E,那么去掉修后和为mJ;去掉".后和为力/；去掉后和为

5.1;去掉"，后和为力去掉"、后和为也/;

••・已知这五个和只有四个不同的值，

二不妨设坐"巾〃W，I,

那么这四个不同的值可以表示为砺骞豌三毒髀喇露啜1假设,与前面某•个数相等）.

•••这四个值分别是45、46、47、48,

二|加u,）♦（ma“J"ea.）45，464：48186,即4M（q।uiu•JtI186,

中考去考

:.1»ru|IXG,即加•u.I”：

当加-u.ma,4、时，即4m「；

"I,不是整数,

:•5\"i:、I"、，解得：»不符合题意:

当偌J.m：14《，时，叩"巾4f；

・•・加，川461X6,解得:T”.，符合题意;

当磨u.mii,4：时，即/.e

H二；X6,解得：无2'\不是整数，不符合题意:

4

当的U.E4，仆时，即J.E

二"，不是整数，不符合题意:

:,如Im-X1»八，解得：'t：

综上，m即J"，"—、氏

故答案为：58.

“+l（x为奇数）

42.（2025•四川内江•中考真题）对于正整数x,规定函数/（“I,.在平面直角坐标系中,

）（X为M偶叫

将点1九〃中的E,，，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中⑺，”均为正整

数）.例如，点IX.“经过第I次运算得到点I1SI.经过第•,次运算得到点I2.NI,经过第7次运算得到点

H.lh经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点门经过第”口、次运算后得到点是（）

A.（2.1）B.11.21C.11.21D.（1.1）

【答案】A

【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发

现其变化呈现周期性循环，周期为3次.利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果.

【详解】解：初始点：（2.1）（第0次运算）.

第I次：横坐标［为偶数，/（2|；1；纵坐标I为奇数，/（115-111；得到点11.11.

第2次：横坐标I为奇数，/（II3II：纵坐标1为偶数，/IO12：得到点11.21.

中考熬考

第3次：横坐标I为偶数，/HI12；纵坐标.'为偶数，；I;得到点12.与初始点相

同，

即三次一循环，

?o?s.?6^5,

二第3口、次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即12.1）.

故选：A.

考点9图形的变化规律

43.（2025•黑龙江绥化•中考真题）观察下图，图（1）有2个三角形，记作42；图（2）有3个三角形，

记作上。图（3）有6个三角形，记作上6；图（4）有11个三角形，记作/II；按此方法继续下去,

则/（结果用含〃的代数式表示）.

△△△△△

△△△△△△父父△△△△△△•一

44△△△

图⑴图⑵图⑶图（4）

【答案】n'?n'

【分析】本题考查了图形的变化类问题，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之

间的共同规律以及与第一个图形的相互联系，探寻其规律.仔细观察图形变化，找到图形的变化规律，利

用规律解题即可.

【详解】解：第一个图形中有2II1）个三角形；

第二个图形中有4（2I）丁个三角形；

第三个图形中有6"U二个三角形；

第四个图形中有IIW个三角形：

第〃个图形中有麟哪1熠X3=蒯嬲个三角形.

故答案为：簿2〃一

44.（2025•陕西・中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的矩形按规律设计

图案，如图②，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，……则

中考去考

第10个图案需要用矩形的个数为.

【答案】21

【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律.根据第1

个图案中矩形的个数：I•，，：第2个图案中矩形的个数：I，八.、；第3个图案中矩形的个数：

1，.、4:;…第〃个图案中矩形的个数：1・7〃，算出第10个图案中矩形个数即可.

【详解】解：•••第1个图案中矩形的个数：I，2h

第2个图案中矩形的个数：

第3个图案中矩形的个数：I，，.；；；

第〃个图案中矩形的个数：I，

，则第10个图案中矩形的个数为：21,

故答案为：21.

45.(2025・重庆•中考真题)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆

点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是

()

①②③④

A.32B.28C.24D.20

【答案】C

【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案目有8个黑色

圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第〃个图形中黑色圆点的个数，代入"C计算即

可.解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律.

【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点，

第@个图案中有8个黑色圆点，

中考熬考

第③个图案中有12个黑色圆点，

第④个图案中有16个黑色圆点，

则第”个图案中有1〃个黑色圆点，

所以第⑥个图中圆点的个数是』《八，个，

故选：C.

46.(2025•浙江•中考真题)【文化欣赏】

我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中兄我的二项和的乘方3♦子展开式的系数规

律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：

*a*Ui'h+(MJA+1aR'+A'.

【应用体验】

已知(x+2)'则〃i的值为

左右

▲方㊀㊁㊀

3㊀㊂OO

藐㊀顿㊅㈣㊀

与㊀㊄①㊉㊄㊀

乘

【答案】X

【分析】本题考查了整式规律探究，根据(a-AfJ，1山&♦W♦y展开,即可求解.

【详解】解：(a"),a*>Aa'h+(ya'b'+Aab}+b*，

(x42/-x*44x*-246x3-2J14x21*2*

嗜醐并蠹墀婚翦腾，

.tnR,

故答案为：x.

中考去考

考点10新定义探究问题

47.（2025・四川成都・中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数古埃及人在分数计

算时总是将一个分数拆分成儿个单位分数之和，如：＜'1将’拆分成两个单位分数相加的形式

、2I。II

为;一般地，对于任意奇数左（片、2）,将;拆分成两个不同单位分数相加的形式为.

一।1

【答案】kA1

111H22

【分析】本题考查数字类规律探究，理解题中定义，找到等式左右两边代数式的变化规律是解答的关键.先

根据题中定义，结合题干例子可求解第一空；分别求得，又5、7…，“I对应等式，由此得到等式左右两

边代数式的变化规律，进而可得答案.

r喧卬八取劣12II"IIIII

【详解】解：-----+-—一，一：

1144444444444

由题意，

当4・I-I时，---

醐嚼强翦

当一2小时，箪警觐|

又n,

2

2II

二对于任意奇数k（A'）,A,ljAl,

22

（1I21i1

故答案为：+;AA*♦I）k•\.

，

114V22

48.（2025•重庆•中考真题）我们规定：一个四位数“°、小若满足"•八《•，〃15则称这个四位数为

“十全数”.例如：四位数1928,因为1,92*810,所以1928是“十全数”.按照这个规定，最小的“十全

数”是：一个“十全数”1,仆，小将其千位数字与个位数字调换位置，百位数字与十位数字调换位

置，得到一个新的数《加，记八⑺史生，1M若空竺15竺±"与同"均

9090013

足整数，则满足条件的M的值足.

中考去考

【答案】1919

【分析［此题考查了整式的加减的应用，根据要求最小的“十全数”，得到“I,1I,然后求出

l'»I10I，)，即可得到最小的“十全数”是卜川)；根据题意表示出^球磔，

解目=嬲=爆噜蟒物，然后表示出小“)”"八，10,61W|81,1010,然后

90911

表示出-八"人…->JIt♦1,然后根据题意得到

13131717

”;；3与’均是整数，得到，”(，能被13整除，肌々，能被17整除，然后由"广”，

I，「小，求出。［…169,进而求解即可.

【详解】解：设四位数廿abed

•••要求最小的“十全数”，

:“I,(1

.*./>10I9,./HII9

・••最小的“十全数”是⑼％

••一个“十全数"Uchcd，

.八।♦JI。

•••b10u,J104

A/而ilOOOu100(10t；)-l(k-10c90Uu-Mt<1010

•••AT而i1000(10c>100(，10(10a)»a，)ui10100

M-M'900。・8：1010(-9a900c♦10100)

•3(M)=-------------------^=fl4C10

909909

3N3+%♦1010+(-9。90(M+10100)

•­GlA/)----------二---------------------------------L-81。8kI1010

11II

"W)+GC小IS

I3-

4(a+c-10)*814j«lc+1010>15

13

13

中考熬考

1*JIc3.Ku»Ik，tj口m皿

•••与均是整数

I<17

.•工一1能被13整除，M，Xc，能被17整除

|<,|-9,1•(<9

二7•r”■，八，1-I6

.,•、<U4«I•.八<，

••・7"rt的值可以为13,26,39,52,65

二依次代入可得，当ub.N时，‘?，⑼…：’5均是整数，符合题意

I41

•••/»10(I',.71<»<

二涉足条件的M的值是仃灯.

故答案为：RID，.

49.(2025,新疆•中考真题)对多项式4，B,定义新运算"I''：1〃21"：对正整数人和多项式/,

定义新运算“•”：k>：1痛出<崎<“柝死梅*(按从左到右的顺序依次做“・口”运算).已知正整数〃?，〃为常

数，记曲也糜®鼾尊11r1,若不含」•项，则，"〃.

【答案】15

【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据八一,MUPxvW”,令

・t.4

*i.-V।,求出相应的结果，进而推导出当A"/时的结果，利用新定义，求出”.、，再根据新定义求

出“小、，根据I…，、不含口项得至UD.项的系数为0,进行求解即可.

【详解】解：J"/二仙•短曲中^,

♦储

•••当AI时，I您.11(2H.-1：

当A:'时，2X/4电.42A-J3/|21",

当A4时，30/-/❸/❸4_34缶/_2)(3/，/_7/_(2'\]A,

当公4时，384A^A^A^A3,4①4①/<746/154(2r)4

I.

••.当A加时，的与<I"1|f,当/“时，,石fI2r1)-1,

:.MmW(x;»3Ln|(2*l)(x*I31xv),N—(2，1)(v-14xy),

中考去考

V•£：N21/­A2(2-l)(.r-5In|i(2"1((v14n)

付2)?>(2-i)y-^62(r1)

\不含」,项，

••・62(2-I)14(2"1)0,

.-.31(2"1|7(2*1)0,

设广儿则：7/)

3lu24

:・h，

7

・♦・”小均为2的整数第，为偶数,

a8

•♦・..，

h<2

H.2,

M3

••9

n5