河北保定市某中学2025-2026学年高三年级下册开学考试数学试题（含解析）

高三数学

本试卷共19题,满分150分.考试用时120分钟.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只

有一项是符合题目要求的.

13—―

)

D4^3.八43.八*3.

AA.；3./4.B.-+jiC.-D.一1十?

2.集合4=｛/,2,3｝,8=｛无|不＜。｝,若4nB=4,则实数Q的取值范围是（）

A.(—8,/)B.(-8,/]

C.（3,+co）D.[3,+oo）

3.已知（2,m）是过A（0,2）,8（1,0）两点的直线的一个方向向量，则实数小为（）

A.-4B.-1C.1D.4

4设数列｛%｝满足0n+/=9普，且=则%026的值为（）

3十2Qn

A.一：B.：C.-lD.1

**V*

5.《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记

载了一种制造瓦片的方法.首先，准备一个圆桶模具，圆桶底面外圆的直径为

30cm，高为10cm,在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为3cm的粘土，然后，沿圆

桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图）,等粘土喙干后，即可得到大小相同的4片

瓦.若需要制作800片这种瓦片,则所需粘土的体积为（）

A.457rdmB.997rdmC.135ndm3D.198ndn\3

6.已知△ABC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,且面积S满足2s=屋一(6-

靖，则tan?=

()

A，B.yC.y/3D.2

7.当％E时，函数/(%)=cosx+-m的最小值为V3，最大值为2VI，则

Locosx

cosa=()

A.当B.¥C.3D.当

12346

8.已知抛物线C:y2=16x的焦点为F，过点4(7,/)作直线l:x+ay-2y-7a+4=

0的垂线，垂足为B，点P是抛物线C上的动点，则|PF|+\PB\的最小值为()

A./4-唱B.yC.14

D竽

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中,有多项

符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.已知函数一/+",若曲线y=/(x)在点(_/,/(_/))处的切线方程

为y=4x+3,则()

A.Q=/B.b=-2

C./(x)的极小值点为1

D./(%)的极大值点为-彳

10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:x2--=/的右焦点为F,过F且倾斜

角为3的直线I与双曲线C的左右两支分别交于点4B，直线A0交双曲线C于另

一点。，连接OB,BD,D/，则()

A.DF1OFB.\AF\=5\BF\

C.乙DOF=2乙BOFD.Z-ADB=乙FDB

11.某人进行投篮游戏，每次投篮的命中率为，且投篮结果互不影响，如果出现

连续几次命中，那么停止投篮，游戏结束.则()

A.当几=2时，投篮2次游戏结束的概率为三

B.当九=2时，投篮3次游戏结束的概率大于投篮4次游戏结束的概率

C.当几=2时，游戏结束时投篮总次数的数学期望为子

D.设游戏结束时投篮总次数的数学期望为En,则3En+1=5En+5(n>2)

三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若定义在(0,+co)上的减函数/(%)满足/(/)=3/。),请写出满足条件的一个

函数/■(%)—.

13.己知函数/(%)=tan(cox+三竺)(3>0),若曲线y=f(x)关于点g,。)中心对

称，则3的最小值为.

14.一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1,2,345,6,这六张卡片除标记的数字

外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片.卜•的数字依次记

为Q,b,c,则满足|Q-—c|+匕-Q|=6的情况有种.

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况,其中有60名学生的

短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时,60名短跑

成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.

(I)根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值a=。。05的炉独立性检验，是

否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？

单位:人

每周的锻炼时间短跑成绩合计

短跑成绩合格短跑成绩不合格

每周的锻炼时间超过5小时

每周的锻炼时间不超过5小时

合计

(2)正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力.现对短跑

成绩不合格的学生进行跑步技巧培训I,已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加

跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的

学生参加跑步技巧培训方，

学生的短跑成绩合格的概率为工用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机

抽取1名学生(记为甲)进行跑步技巧培训，求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概

率.

参考公式与数据/(Q+b)(\)(%+d)，其中n一力公工

a0.010.0050.001

6.6357.87910.828

xa

16.已知数列｛%｝,｛%｝满足ci]=3,b]=」,an=an_/-bn_1+2n,bn=bn_,-an_7+

2n,(n>2).

(1)证明:数列(an-bn｝是等比数列;

(2)求｛QJ的通项公式,并求｛4｝的前九项和九.

17.已知椭圆C的焦点为(一V75,0),(V75,0)，且椭圆C过点M(4J),直线/:y=%+

m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A,B.

(I)求椭圆C的标准方程；

(2)求证:直线MA,MB与x轴总围成一个等腰三角形.

18.设QER，已知函数/(x)=ex—asinx,g(%)=Inx+acosx.

(1)若Q=/,判断f(x)在区间(。,+8)上的单调性；

(2)若0<a<j，判断gM的零点个数,并给出证明；

(3)若f(x)>gM，求正整数a的值.

19.已知四面体048C,0A=2,0B=3,0C=4/AOB=乙BOC=Z.AOC=8,N为BC

的三等分点(靠近B),M为AN的中点，过点M的动平面a交射线OA,OB,OC于

P,Q,R.

(1)如图，当6=9时,

①求0M的长.

②空间中一动点T,定义d⑺=TP2+TQ2+TR2.当四面体。一PQR的体积最小

时，是否存在点T,使得d(7)<d(M)?并说明理由.

(2)当。=三时，记四面体。-PQR内切球的半径为r,求丁的最大值.

1.C

原式=3.匚=D(f,

5i-i5i-(-i)'

_(3-4i)(-i)_-4-3i43.

=5(尸)=1-=一二一产

故选:C

2.C

因为=则AUB,

又集合A={/,2,3},B={x\x<a］，可得a>3,

所以实数a的取值范围是(3,+8).

故选：C.

3.A

已知A(0,2),B(/,0)，所以肉=(/,-2)是直线的一个方向向量；

因为向量(2,机)也是直线的方向向量，所以它与同共线，

所以：=々，解得小=—4,

I—2

故选：A.

4.A

因为斯+L寂，且Q/=/，

23

诉Uc_2-3a/_1_2-3a2_~(~)_,_

所以的.三为一？'03_声_成才_/_七，

所以数列{斯}的周期为2,故0-2026=a2=-；

故选:A

5.D

由圆柱的体积公式,可得四片瓦需要的粘土量为

7Tx(/5+3)2x/0—7T义152x10=990ncm3,

所以800片瓦需要的粘土量为990nx200=19800Gncm3=198ndm3.

故选：D.

6.A

因为2s=/一(力—c/,所以/+/-小=2bc—2S,

又因为/+c?一/=2力ccosA,S=gbcsinA,

所以2bccosA=2bc-bcsinA,即sim4=2-2cosA,

所以cosi4=1-2sin2y,sin4=2sinycos?,

所以Zsingcosg=2—2(/—2sin?，即2singcosg=4sin2^,

因为4e(0,7r),gE(0,5，sing>〃,cosS>0,

所以cosg=2sing,即tang=*=:.

222cosj2

故选:A

7.D

因为cosa工。，所以函数f(x)在g处无定义，所以<1v£，

202

又函数y=cosx在仅,g)上单调递减，且cosx6(0,/),且函数y=x+彳在(0,/)上单

调递减，~X

所以f(%)在原上单调递增,

所以/Wmin=f(9='+)-m=逐，解得m=

再由/(%)max=/(a)=cosa+£-9=2b,得cosa+£=J+2>/5,

由5VaV5，可解得cosa=多.

o2o

故选：D.

8.D

由I:x+ay-2y—7a+4=0x—2y+4+a(y—7)=0,

由t一空1T得x=/0,y=7，所以直线,过定点M(/0,7).

(y-/—(/

所以点4M的中点坐标为(二,4)，连接/M,

则而=30，由题意知点B在以AM为直径的圆上，

所以点B的轨迹方程为［一一)2+3-4Y=?(不包含点4(7,1)),

记圆(%—?)~+(y—钓？=+的圆心为N(9,4),

过点P,N分别作准线x=-4的垂线，垂足分别为D,H,

则|PF|+\PB\=\PD\+\PB\>\PD\+\PN\-W2NH|一平=生孝,

当且仅当P,D,N,H四点共线且点Q在P,N之间时等号同时成立,所以\PF\+\PB\

的最小值为

故选：D.

9.ACD

因为/■'(%)=3ax2-2x^b，切线斜率为4,所以/■'(-/)=3a+力+2=4,

由题意得，切点(-/,/(-/))在切线上，故/(-/)=4x(_/)+3=-/,

则/(—7)=—a—b—1=—1,

联立产十%2：4解得/故人正确B错误;

l-a—b—1=—13=­/

/(%)=3x2—2x—1=(3%+/)(x—/),

当一g<x</时,/'(%)<OJM在(一}/)单调递减，

当％V-g或%>/时J'O)>OJ(X)在(-8,-9，(/，+8)单调递增，

所以/(%)的极小值点为1,极大值点为-1故CD均正确，

故选:ACD.

10.AB

双曲线C:d-4=/的右焦点为F（V3,0），直线-VJ）

一•5

厂一)

，解得v4(—V5,—2),B(竽

nAAL.\)

3专/

根据对称性知根6,2）

对选项A:xD=孙，故DF1OF,A正确;

对选项B:黑=粤=:=5,故\AF\=5\BF\,B正确;

I9Ilyui7

对选项C:tanzDOF=W,tanZfiOF=手，乙DOF,乙BOF€(0,?

JtanzBOF斗,错误;

tan2乙BOF==^tanzDOF=C

I-lan2/.BOF

对选项D:网=20,|DF|=2n盟=亿而措=5,所以黑学燃,

由角平分线定理可知：4ADBH乙FDB,

（另解:直线AD:2x—6y=0,B到AD的距离为黑,B到DF的距离为手,

两者不相等，乙4QB*乙FDB）,D错误

故选：AB.

11.ACD

对于A，由相互独立事件同时发生的概率公式可得,

投篮2次后游戏结束的概率为=5,故A正确;

对于B,当九=2时，即出现连续2次命中，那么停止投篮，游戏结束.

故投篮3次游戏结束的事件为“3次投篮结果依次为:不中、命中、命中”，

则由相互独立事件同时发生的概率公式可得,

投篮3次游戏结束的概率7x（§2=£；

投篮4次游戏结束,则第3、4次必须命中，且第2次必须不中（否则游戏在第3次

或第2次就已结束）,第1次投篮结果不影响，

故投篮4次游戏结束的概率为g+=/x=焉

两者概率相等，故B错误；

对于C,当几=2时，即出现连续2次命中，那么停止投篮，游戏结束.设投篮的总次数

的数学期望E，考虑第一次投篮的结果：

①第一次命中，

若第一次命中，第二次也命中（概率为gx：）,则投篮总次数为2；

若第一次命中，第二次未命中（概率为（）,则游戏重置，投篮的总次数可看作

2+/?：

②第一次未命中（概率为白，则游戏重置，投篮的总次数可看作/+E；

则E=2X（92+（E+2）X：X:+（E+/）X,解得E=?,故C正确；

对于D,由题意,En+J为出现连续n+1次命中停止投篮游戏结束时投篮总次数的数

学期望.

在连续几十/次命中停止的游戏中，考虑首次达到出现连续命中n（n>2）次的时亥（

此时当前投篮的总次数期望为En，且最后n次都投篮命中.

现在从此状态开始，游戏还需要进行直至停止（即连续九十/次命中）,考虑下一次投

篮的结果：

若下一次投篮命中（概率为：），

则出现连续n十1次命中停止投篮游戏结束，即投篮的总次数可看作En+/次；

若下一次投篮命不中（概率为j），

则游戏重置，需再进行&+/次投篮游戏才能结束，即投篮的总次数可看作E.+/+

区+/；

故国+/=白0+/）+久E,+/+当+/）,

整理得3En+J=5En+5(nN2),故D正确.

故选:ACD.

12./(%)=log；%(可以是f(x)=lo^x，其中aW(OJ))

2

根据定义在(0,+8)上的减函数,结合题意可令/(%)=10g/x,

2

因为/(X5)=log/%5=31og；x=3/(%),满足题意，

22

故答案为：/(%)=log/X(可以是/(X)=logaX，其中QG(0,1))

13.；

由正切函数性质可知，函数y=tanx的对称中心为号,0),kWZ,

因为曲线y=f(x)关于点g,0)中心对称，

所以3x/牛=,即3=^-20264EZ

因为3>0,所以令一2026>0，解得k>等,

因为k€Z，所以kmin=1351，故3gin=7-

故答案为：:

14.54

由\a-b\+\b-c\+\c-a\=6，可得2[max{a,b,c}-min{a,b,c}]=6,

所以max{a,b,c}—min{a,b,c}=3.

不妨设min{a,b,c}=x，则max{a,b,c}=%+3,还有一个数为％+d,

显然QW〃23},d€{0/2,3},

对于任意x取值，都有如下情况，

当d=0时，三个数为+3,对应a,b,c,有果=3种方法;

当d=/时，三个数为x,x+l,x+3a,dc,有A：=6种方法；

当d=2时，三个数为％/+2,%+3,对应a,b,c,有A：=6种方法；

当d=3时，三个数为%/+3,%+3,对应a,b,c,有§=3种方法.

因为无E{/,2,3}，所以一共有3x(3+6+6+3)=54种.

故答案为:54.

15.(1)表格如下:

单位:人

每周的锻炼时间短跑成绩合计

短跑成绩合格短跑成绩不合格

每周的锻炼时间超过5小时351045

每周的锻炼时间不超过5小时253055

合计6040100

零假设为Ho:学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立.

根据表中的数据，可得r=〃，设表;=)'=洋1。.774>7.879=%欧，根据小

概率值a=0.005的/独立性检验，可以推断Ho不成立，

即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关.

(2)由(1)的列联表可知，短跑成绩不合格的学生共有40名，

其每周锻炼时间超过5小时的有10人，不超过5小时的有30人.

从短跑成绩不合格的40名学生中随机抽取一名学生,记为甲，

设事件力="甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，

事件B="甲每周的锻炼时间超过5小时”，

B="甲每周的锻炼时间不超过5小时”，

用连列表中的数据计算频率并替代概率后得P(8)=?=幺P出)=*=；,

4()44()4

又已知P(A|8)=；,P(4|S)=；,

64

由全概率公式可得PQ4)=P(8)PG4|B)+P⑻P⑷月)=+=g所以学生

46444H

甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格的概率为.

16.(1)证明：•・•%=a„_/-bn_j+2n,bn=bn_t-an_,+2n,

两式相减得an-bn=an_z-bn_J+2n—bn_j+an_j-2n=2(an_J-bn_7),

••・=2(心2),

又,：a.[-b]=2,

：■数列｛斯-bn]是首项为2,公比为2的等比数列.

(2)数列｛斯-bn｝是首项为2,公比为2的等比数列,

nln

an-bn=2x2-=2,

•••an=an_j_bn_t+2n,bn=bn_/-an_,+2n,

两式相加得atl+bn=an_7-bn_7+2n+bn.,-an_,+2n=4ny

an+bn=4n(n>2),an+1+bn+]-an-bn=4(n>2),

当几=/时,％+b/=4满足上式，

•・•数列｛斯+bn｝是首项为4,公差为4的等差数列，即an+bn=4n,

•••CK解得…，+2”.

.•・S=(20+2/+…+2n-,)+(2+4+…+2n)=，一；")+。+?

n1—22

=2"+九2+71-.

17.⑴设椭圆的方程为R/=/m＞力＞°),则摄[15，解得"二；°,所以

"b2

椭圆的标准方程为5+9=/.

22

(2)将y=x+m代入+y=1并整理得5x+8mx+4m-20=0t

mil.8m4m2-20

则Xi+%2=一『%/%2=-—•

直线l:y=x+m与椭圆交于不同的两点A、B,：.0，解得一5vm＜5,

・・・直线M4MB的斜率存在且不为零.

设直线M4,MB的斜率分别为k,和k2，只要证明心+心=0.

设4(々，力),8(%2,力),

,._y】-i产―/_(y/—/)(%2—4)+(72―/)(孙一4)

12

X]-4x?-4(X；-4)(x2~

(%；+m-1)(x2-4)+(刈+m-7)(x；-4)_2x/X2+(m-5)3+x2)-8(zn-7)

(勺-4)[X2-4)(%/-4)(右一4)

2x*@一如牛之一8(6-/)

=_______2___________2_______________=()

(勺一4)(七一钓

故原命题成立.

18.(1)a=/，则/(%)=ex-sinx，所以/(%)=ex-cosx.

当%>0时，e*>/nCOST,/(%)=ex-cosx>0,

所以外幻在区间(0,+8)上单调递增.

(2)g(x)=Inx+acosx,则g(%)~~~asinx,0<a<g,

当0Vx<2时，g(x)=；-asinx>g_a>0,故g(x)在(0,2)上单调递增.

又§G)二一/十acos|卜/+(〈0,g(2)=ln2+acos2)ln2—§0,

故g(x)在(0,2)上存在唯一零点.

当工之2时，g(x)=Inx-acosx>\n2—^>0恒成立.

综上，若0<Q<g,g(x)有且仅有1个零点.

(3)设h(x)=/(%)—g(x)=ex—Inx-a(sinx+cosx)=ex—Inx—V2asin(%+巳)，

①若Q=/,令M(x)=砂一x-M(x)=e*-,令M(x)=0，解得x=0.

当％<0时,M'(x)<();当x>0时,M'(x)>0,

所以M(x)在(-00.0)上单调递减,在(0.+co)上单调递增，又M(0)=0,

所以，M(x)>M(0)=0，即ex>x+/.

同理，令m(x)=Inx—x-i-/,m(x)=：—/,令m'(x)=0，解得x=1.

当0Vxv/时，m'(x)>0；当x>/时，m(x)<0,

所以m(x)在(0J)上单调递增，在(/,+8)上单调递减，又M(/)=0,

所以,m(x)<m(/)=/?,BPInx<%-/.

/i(x)=ex—Inx—sinx—cosx=ex—Inx—V5sin(%+习>(%+/)—(x—/)—\/2=

2-0>0,所以Q=/满足题意.

xxx

②若a=2,令N(x)=c-Inx,则N‘(x)=c-,记n(x)=M(x)=c-,

由n(x)=眇+捻>0得故N'M在(0,+8)上单调递增，又M©=6一g>2：-T>

(),犷

所以,x>涧,N'(x)>N,0)>0,N(x)在g,+8)上单调递增.

又二v—<1,所以h(一)=一In—2^2ve-In/-2>[2=e-2y[2<0,

344

所以。=2不合题意.

③若aN3,

当％《,sin%+cos%=V5sin(x+?)G(7,V2),

又，v/vg,所以sin/+cos/>/,h(/)=e—a(sin/+cos/)ve—3v0,

42

所以aN3不合题意.

综上,正整数Q的值为1.

19.(1)①丽=(而+何=:(涧+/)+例=每+<丽+绿，所以

\0M\=-x7+-x9+—x/6+-xcos-+-x^cos-+-x72cos-=7+/+-+

1149363363939

2cos0+：cos。+^cos0=M+?cos。=?,所以\0M\=当.

(2)设OP=x,OQ=y,OR=z，则OA=-OP,08=-0Q,OC=-OR,