七年级上册人教版期末押题检测卷（解析版）

七年级数学上学期期末卷

（考试时间：100分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5.考试范围：人教版七上全册。

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.在人类生活中，早就存在着收入与支出，盈利与亏本等具有相反意义的现象，可以用正

负数表示这些相反意义的量.我国古代数学名著《九章算术》•书中也明确提点正负术”.最

早使用负数的国家是（）

A.印度B.法国C.阿拉伯D.中国

【答案】D

【分析】根据负数的使用历史进行解答即同;

【详解】最早使用负数的国家是中国.故选：D.

【点睛】本题考查的是正数和负数，关键是了解掌握负数的使用历史.

2.据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建

设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次.下列说法不正确的是（）

A.14280.2万大约是1.4亿

B.14280.2万大约是1.4x108

C.142go.2万用科学记数法表示为1.42202乂104

D.14280.2万用科学记数法表示为1.42802x10s

【答案】C

【分析】根据科学计数法及近似数的表示方法逐一判断即可得答案.

【详解】A.14280.2万精确到千万位约是1.4亿，故该选项说法正确，不符合题意，

B.14280.2万精确到千万位约是1.4X10。故该选项说法正确，不符合题意，

C.14280.2万用科学记数法表示为1.42802x108,故该选项说法不正确，符合题意，

D.14280.2月用科学记数法表示为1.42802x1（），故该选说法项正确，不符合题意，故选：

c.

【点睛】本题考查科学计数法及近似数的表示方法，把一个绝对值大rio的数记做於

的形式，其中IWIHV10,这种记数法叫做科学记数法；对一个数取近似数，要求精确到某

一个数位，我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数正确确定。和〃

的值是解题关键.

3.有5个大小一样的正方形制成如图所示的拼接图形（阴影部分），请你在图中的拼接图形

上再接一个正方形，使新拼接成的图形折叠后能成为一个封闭的正方体盒子，你不能选择图

中儿B,C,。中的（）位置拼接正方形.

『%]

D•:

A.AB.BC.CD.D

【答案】A

【分析】结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可.

【详解】解：如图所示:

根据立方体的展开图可知，不能选择图中A的位置接正方形.故选：A.

【点睛】此题主要考查了应用与设计作图.正方体的平面展开图共有11种，应灵活掌握,

不能死记硬背.

4.下列说法中，不正确的是（）

A.-加0的系数是-1,次数是4B.1是整式

C.6/-3x+l的项是6』、-3x,1D.24/?+万/?2是三次二项式

【答案】D

【分析】根据单项式的系数、次数，可判断A,根据整式的定义，可判断B,根据多项式的

项是多项式中每个单项式，可判断C,根据多项式的次数是多项式中次数最高项的单项式的

次数，可判断D.

【解析】A.-ab2c的系数是-1,次数是4,故A正确；B.年T是整式，故B正确：

C.6x2-3x+l的项是6x2、-3x,1,故C正确：D.2兀区十成2是二次二项式，故D错误；故答

案选：D.

【点睛】本题考查了整式的知识点，解题的关键是熟练的掌握整式的概念与运算法则.

5.己知关于x的方程（5〃+14b）x+6=0无解，则ab是（）

A.正数B.非负数C.负数D.非正数

【答案】D

【分析】先将原方程化为（5a+14b）x=-6,再利用方程无解可得5a+l4b=0,用6表示出

然后代入计算即可.

【详解】解：•・•关于x的方程（5a+l必）x=-6无解，

1414

，54+14力=（）,a—--h,,ah=--h~<0.故选：D.

【点睛】本题考查了一元一次方程无解的情况，理解一元一次方程无解的条件未知数的系数

为0是解答本题的关键.

6.观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号）1!=1,2!=2xl,3!=3x2xl,

20201

4!=4x3x2xl....那么计算-------1的值是（）

2019!

A.2018B.2019C.2020D.2021

【答案】C

【分析】原式利用题中的新定义化简，约分即可得到结果.

【解析】根据题中的新定义得：原式,202%：019xxl=202（）,故选：c.

2019x...xI

【点睛】此题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

7.如图1,线段OP表示一条拉直的细线，A、B两点在线段OP上，且OA：AP=1：2,

OB：BP=2：7.若先固定A点，将OA折向AP,使得OA重叠在AP上；如图2,再从图

2的B点及与B点重叠处一起剪开，使得细线分成三段，则此三段细线由小到大的长度比

是（）

B/

。

图2

A.1:1:2B.2:2:5C.2:3:4D.2:3:5

【答案】B

【分析】根据题意设的长度为2a,则夕夕的长度为7a,。尸的长度为9a,从而根据比值

可以得到图一中各线段的长，根据题意可以求出折叠后，再剪开各线段的尺度，从而可以求

得三段细线由小到大的长度比，本题得以解决.

【详解】解：设（用的长度为2a,则8P的长度为7m。2的长度为9m

'：OAxAP=\：2,：,OA=3a,AP=6a,

又「先固定A点，将OA折向AP,使得OA重叠在AP上，如图2,再从图2的B点及与B

点重迭处一起剪开，使得细线分成三段，

—

辜

。

X图2

・•・这三段从小到大的长度分别是：2”、2人5〃，

・•・此三段细线由小到大的长度比为：2”：2a：5〃=2：2：5,故选：B.

【点睛】本题考查比较线段的长短，解题的关键是理解题意，求出各线段的长度.

8.刘星和杨云同学一同去参加学校举行的一次安全知识竞赛，试卷只设计了40道选择题,

满分200分，答对一题5分.不答或答错一题扣2分，刘星考后获得144分.

（1）下面共列出了4个方程，其中不正确的是（）

A.设答错（或不答）了》道题.则可列方程：5（40-JO-2V=144

B.设答对了x道题，则可列方程：5x-2（40-x）=144

C.设答错（或不答）题目共扣6分，则可列方程144%-上/>-三h=40

D.设答对题目共得。分，则可列方程：£a+用a—1空44=40.

（2）杨云说：“我比刘星多4分”杨云说得正确吗？请通过计算说明理由.

【答案】（1）C；（2）杨云的说法不正确，证明见解析.

【分析】（1）根据题意，设不同未知数，列出相应的方程即可；

（2）分别将两位同学的得分用含未知数的式子表示出来进行比较即可判断.

【详解】解：（1）A.设答错（或不答）了?道题.则可列方程：5（40-），）-2y=144,正

确，故不选；

B.设答对了x道题，则可列方程：5x-2（40-x）=144,正确，故不选；

C.设答错（或不答）题目共扣人分，则可列方程笠£+1=40.原方程错误，故选择；

D.设答对题目共得〃分，则可列方程：£+±_p=40,正确，故不选：

综上所述，选项C错误，故选：C；

（2）杨云说：“我比刘星多4分”杨云的说法不正确；理由如"

设杨云答对了〃，道题，则杨云答错或不答得题数为（4（）如）道，

则杨云答对题所得分数为5〃?，杨云答错或不答扣掉得分数为2（40加），

所以杨云总得分为：5w-2（40-/n）=7m-80,

设刘星答对了〃道题，则刘星答错或不答得题数为（40由）道，

则刘星答对题所得分数为5〃，刘星答错或不答扣掉得分数为2（40-〃），

所以刘星总得分为:5〃-2（40-〃）=7〃-80,

则杨云与刘星总得分之差为7的倍数，故杨云的说法不正确.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据所设未知数不同，找到不同的

等量关系列方程.

9.当x=-3时，多项式.3+加：+x=3.那么当x=3时，它的值是（）

A.—3B.—5C.7D.—17

【答案】A

【分析】首先根据x=-3时，多项式/+.j=3,找至之间的关系，再代入工=3

求值即可.

【详解】当1=一3时，疝+乐+”3

ax3+bx+x=-27a-3b-3=3/.27。+3b=-6

当x=3时，原式=27。+36+3=-6+3=-3故选A.

【点睛】本题考查代数式求值问题，难度较大，解题关健是找到。、b之间的关系.

\ci+11间b—a1—b

10.有理数〃.在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式―~zr-LJ的

Q+1a\a-b\

值是（）

「.2_>

-io1

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】由图得，aCM-69加-工9,

|«+1|同b-a\-b4+1-ab-a\-b

---+---------------------=1+1+1-1=2,选D.

a+\a|a-/?||Z>-1|ci+1

..a,a>0

点睛：化简绝对值问题，根据。八，此时，口可以看做一个式子，a是正数或0,

-a,a<0

则，把绝对值变成括号，如果。是负数，则绝对值变括号，前面加负号.

11.利用如图1的二维码可以进行身份识别.某校建立了一个身份识别系统，图2是某个学

生的识别图案，灰色小正方形表示1,白色小正方形表示0,将第一行数字从左到右依次记

为小b,e,d,那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为"23+力x22+cx2i+dx2。，如图

2,第一行数字从左到右依次为0,I,0,I,序号为0x23+1x22+0x21+1x20=5,表示该生为

5班学生.表示10班学生的识别图案是()

【答案】A

【分析】根据题中的规律分别计算出四个选项所表示的班级序号即可.

【详解】解：由题知,4选项班级序号为川23+0乂241><21+0*2。=10,

8选项班级序号为0x23+1x22+1x21+0x20=6,C选项班级序号为1、23+0、22+0、21+”2。=9,

。选项班级序号为0x23+1x22+1x21+1x20=7,故选：A.

【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据变化规律计算出班级序号是解题的关键.

12.如图，已知NE。。是平角，OD平分4BOC,在平面上画射线OA,使N/1OC+/CO。

=90°,若N8OC=56。，则404的度数为()

A.118°B.34°C.90。或34。D.118。或6。

【答案】D

【分析】根据角平分线的定义求出NC。。、㈤。。的度数，分两种情况射线口在直线工

的左上方和射线OA在直线CE的右下方一一加以计算即可.

【详解】OO平分NBOC,ZBOC=56。••・ZCOD=ZBOD=yZBOC=2S°

当射线。力在直线CE的左上方时，如左图所示

VZAOC^ZCOD=90°,即//。£>=90。

J44。8=/4。。+/8。。=90。+28。=118。当射线OA在直线CE的右下方时，如右图所示

•・•N/1OC和/COO互余J7COD+ZAOC=90°

/.N4OC=900・28°=62°・・・N4O8=N8OC-N4OC=620・56°=6。故选：D.

【点睛】本题考查了角的和差、角平分线的定义，涉及分类讨论.

第n卷

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.不需写出解答过程，请把答案直接

填写在横线上）

13.张老师调整教室桌椅时，为了将一列课桌对齐，将这列课桌的最前边一张和最后边一张

拉一条线，其余课桌按线摆放，这样做用到的数学知识是.

【答案】两点确定一条直线

【分析】由直线的公理，“两点确定一条直线”进行解题.

【详解】解：根据两点确定一条直线.故答案为：两点确定一条直线.

【点睹】本题考查了“两点确定•条直线”的公理，难度适中.

14.设㈤表示不超过x的最大整数,计算［5.8］+卜1.5］=.

【答案】3

【分析】根据题目所给的信息，分别计算［5.8］、［-1.5］的值，然后求解.

【解析】由题意得，［5.8］=5,［-1.5］=-2,则［5.8］+［-1.5］=5-2=3.故答案为：3.

【点睛】本题考查有理数的大小比较，解答本题的关键是读懂题目所给的信息，分别计算

［2.7］、［-4.5］的值.

15.如图，在正方形月8c。中，£为DC边上一点，沿线段8月对折后，若乙4BF比ZEBF

大18。，则/EBC的度数是度.

【答案】24

【分析】根据折叠角相等和正方形各内角为直角的性质即可求得NE8/的度数.

【详解】解：・・・/q石是/CBE折叠形成，・•・/必七区

•:/ABF-/EBF=\80,ZABF+ZEBF+ZCBE=90°,ZEBF+18o+ZEfiF+ZEBF+=90°,

/.ZEBF=ZEBC=24°,故答案为：24.

【点睛】本题考查了折叠的性质，考查了正方形各内角为直角的性质，本题中求得

CBE是解题的关键.

ab21

16.对于实数4、b、c、d,我们定义运算.=ad-be,例如=2x57x3=7,上

cd35

述记号就叫做二阶行列式.若“[2'=4,则工=.

【答案】18

【分析】直接利用新定义得出一元一次方程，进而解方程得出答案.

【详解】解：由题意可得：7(x-2)-6x=4,解得：x=18.故答案为：18.

【点睛】本题主要考查了实数运算以及解一元一次方程，正确得出一元一次方程是解题关

键.

17.如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上(不改变原

几何体中小立方块的位置)，继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要

个小立方块.

【答案】54

【解析】由主视图可知，搭成的几何体有三层，且有4列由左视图可知，搭成的几何体共

有3行；

第一层有7个正方体，第二层有2个正方体，第二层有1个正方体，共有10个正方体,

•・•搭在这个几何体的基础上添加相同大小的小正方体，以搭成i个大正方体，

搭成的大正方体的共有4x4x4=64个小正方体，，至少还需要64-10=54个小正方体.

【点睛】先由主视图、左视图、俯视图求出原来的几何体共有10个正方体，再根据搭成的

大正方体的共有4x4x4=64个小正方体，即可得出答案.本题考查了学生对三视图掌握程度

和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，关键是求出搭成的大正方体共

有多少个小正方体.

18.在数轴上有一线段力8,左侧端点A,右侧端点4.将线段力4沿数轴向右水平移动，

则当它的左端点A移动到和右端点原位置重合时，右端点8在数轴上所对应的数为24,若

将线段48沿数轴向左水平移动，则右端点8移动到左端点原位置时，左端点A在轴上所对

应的数为6（单位缈?）（1）线段力6长为.（2）由题（1）的启发，请你借助，数

轴”这个工具帮助小红解决下列问题：问题：一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家

的爷爷的年龄.爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要等30年才出生；你若是我现在这么

大，我已经是120岁的老寿星了，哈哈！”则推算爷爷现在的年龄是

£从B>

624

【答案】6cm70岁

【分析】（1）根据题意，可知点H和点"之间的距离为18,且正好是线段AB长的3倍，

则可求出AB的长（2）在求爷爷年龄时，借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB

的长，结合（I）即可求出爷爷的年龄.

【详解】（1）如图所示，AA'=AB=BB'，/X，/=3/3=24-6=18cm,-所以48=6cm.

（2）借助数轴，把小红和爷爷的年龄差看做线段AB的长，类似爷爷和小红大时看做当B

点移动到A点时，此时点A，对应的数为-30,小红和爷爷一样大时看做当点A移动到B点

时，此时点8所对应的数为120,根据（1）中提示，可知爷爷比小红大120]-30）=50（岁）

所以爷爷的年龄为120-50=70（岁）.故答案为：①6cm；②70岁.

【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和线段的应用，找出蕴含的数量关系，以及利用数

轴直观解决问题是解题关灌.

三、解答题（本大题共8小题，共66分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字

说明、证明过程或演算步骤）

19.化简求值:2a2b+2ab2—1—3（a+-++2],其中。=—1,b=2.

2

【答案】-ab+ab\-6

【分析】根据整式的运算法则化简后，再把。、b的值代入计算即可.

【详解】原式=2a'b±2ab?-\-3ab+3-ah'-2=-a'b-\-

当。二一1,6=2时，原式=-2-4=—6

【点睛】本题考查整式的化简与计算，熟练掌握整式的运算法则是解题关键.

1「1(5\]Q4

20.计算：(1)5—2-4-(—4.8)——4-.(2)(—81)-：—x—r(—16).

5L616〃49

(3)304-————4x(—3)+15.(4)—2,+[1—(-3)2]+(§-,x(—15).

【答案】(1)3(2)1：1?)927：(4)1

【分析】(1)先化简符号和括号，再计算加减法；(2)将除法转化为乘法，再约分计算；

(3)先算括号内的，再算乘除，最后算加减：(4)先算乘方和括号，再算乘除，最后算加

减.

11(5

【详解】解:(1)5--2-+(-4.8)--4-

94

(2)(-81)H--X-H-(-16)

441

=81x—x—x—

9916

=1：

(3)304-|l-i|-4x(-3)+15

(567

=30」+12+15

30

=900+12+15

=927；

/23、

(4)-2,+[1-(-3)~]+-----x(―15)

135>

23

=-16-(-8)+-x(-15)--x(-15)

35

=2-10+9

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序.

21.解下列方程:

/、2x-\5x+2l-2x八…3.1+0.2A-02+0.03X3

（1）------------------=---------2；（2）------------------------------=—.

3620.20.012

【答案】（I）x=-1；（2）x=-3.

【分析】（1）按解一元一次方程的一般步骤，求解即可：

（2）利用分数的基本性质，先化去分母，再解一元一次方程.

【详解】解：（1）去分母，得2（2x-1）-（5.r+2）=3（1-2r）-12,

去括号，得4工-2-5工-2=3-6工72,

移项，得4x・5x+6x=372+2+2,

合并，得5工=-5,

系数化为1，得x=-l;

5x（3.1+0.2x）100x（0.2+0.03x）_3x0.5

5x0.2100x0.01-2x0.5'

整理，得l5.5+x-20-3x=1.5,

移项，得x・3x=1.5・15.5+20,

合并，得-2x=6,

所以x=-3.

【点睛】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤是解决本题的关键.解

一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

22.（问题回顾）我们曾解决过这样的问题：如图1,点。在直线43上，OC,0。分别平

分/AOE,N8OE,可求得/。。。=90。.（不用求解）

（问题改编）点O在直线上，NCOO=90。，OE平分/4OC.

（2）将图2中的NCOO按图3所示的位置进行放置，写出/“。。与/。。£度数间的等量关

系，并写明理由.

【答案】⑴25。；（2）/DOE=；NAOC,见解析

【分析】（1）先求NC（小，利用角平分线定义再求NCC由，最终求/。。笈的度数;

（2）设N/OC=a,再根据（1）的求解过程，用含a的式子表示两个角的数量关系，从而

可得结论.

【详解】解：（1）VZCO£）=90°,AZAOC+ZBOD=90°.

VZAOC=50°f；.NBO/）=40°./.^COB=ACOD+^BOD=90°+40°=130°.

•・•OE平分NBOC,J4cOE=-/BOC=lx130°=65°.

22

.•・/DOE=ZCOD-/COE=90°-65°=25°.

（2）设N4OC=a.则N8OC=1800-a.

•・・O£平分/AOC,AZfiO£=1z5OC=1（180°-a）=90°-1a.vZCOD=90°

•：4BOD=ZCOD-ZBOC=90°-（180°-a）=a-90°,

・•./DOE=/DOB+/BOEm-90。+90。」a」a

22

・•・按图3所示的位置放置时，乙4OC与/。OE度数间的等量关系为：ZDOE=LAOC.

2

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，平角的定义，角的和差关系，熟练运用平角，角平

分线探究角与角之间的关系是解题的关键.

23.为充分发挥市场机制和价格杠杆在水资源配置中的作用，促进节约用水，提高用水效率,

2017年7月1日起某地实行阶梯水价，价目如表（注：水费按月结算，表示立方米）：

价目表

每月用水量单价（元/n?）

不超过18的部分3

超出18不超出25的部分4

超出25的部分7

例：某户居民5月份共用水23m3,则应缴水费3x18+4x（23-18）=74（元）.

（1）若力居民家1月份共用水12mL则应缴水费元；

J

（2）若8居民家2月份共缴水费66兀，则用水m：

（3）若C居民家3月份用水量为am'（。低于20m',即a<20）,且C居民家3、4两个月

用水量共40m3,求3、4两个月共缴水费多少元？（用含。的代数式表示）

（4）在（3）中，当。=19时，求。居民家3、4两个月共缴水费多少元？

【答案】（1）36；（2）21：（3）QV15时，187-4a：15WW18时，142-a；18V“V20时，

124；（4）124元

【分析】（1）4居民家1月份共用水12m3,则按第一档缴费，3x12=36（元）；（2）8居民

家由于2月份缴水费66元,用水超过了18m3,设用水刈福根据缴费的形式得到3x18+（x-18）

x4=66,然后解方程即可；（3）分类讨论：当。＜15：当153Z018；当18VaV20,然后根

据各段的缴费列代数式解答.

（4）当。=19时，根据（3）的结果解答即可.

【详解】解：（1）・・・12V18,・••应缴水费12x3=36（元）,故答案为：36；

（2）设8居民家2月份用水xm3,.・.3X18+4X（x-I8）=66,解得x=21.故答案为：21.

（3）①当。＜15时，4月份的用水量超过25m3,

共缴水费:3/3x18+4（25-18）+7（40-。-25）=187-4a,

②当15&S18时，4月份的用水量不低于22m3且不超过25m3,

共缴水费：3a+3xl8+4（4（）-a-18）=142/,

③当18VqV20时,4月份的用水量超过20m3且不超过22m3,

共缴水费：3x18+4（«-18）+3x18+4（40-a-18）=124：

（4）当4=19时，C居民家3、4两个月共缴水费124元.

【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及列代数式，解题的关键是找准等量关系，正确

列出•元•次方程，注意分类讨论思想的理解运用.

24.已知点C在线段月4上，AC=2BC,点、D、七在直线/出上，点。在点£的左侧，

ADCE_BACB

图1备用图

（1）若49=18,DE=8,线段OE在线段力4上移动，

①如图I,当E为8C中点时，求力。的长；②当点C是线段QE的三等分点时，求4D的

长；

（2）若AB=2DE,线段DE在直线上移动，且满足关系式之竺=],则竽

BE2AB

【答案】（1）①力。=7；②=或=；（2）]或

33426

【分析】（1）根据已知条件得到4C=6,4C=12,①由线段中点的定义得到CE=3,求得C。

=5,由线段的和差得到4。=力。-。=12-5=7；②当点C线段DE的三等分点时，可求

得CE=:QE=S或"则或g,由线段的和差即可得到结论；（2）

当点E在线段8C之间时,，设8C=x,则/C=28C=2x,求得/8=3x,设CE=y,得到力E

=2x+y,BE=x-y,求得尸枭，当点E在点片的左侧，设8C=x,则QE=1.5x,设CE=

y,求得OC=£C+Z）E=y+1.5x,得到y=4x,于是得到结论.

【详解】解：（1）•:AC=2BC,-8=18,:.BC=6,4c=12,

①•・•£•为8c中点，・・・CE=3,・・・OE=8,：,CD=5,：.AD=AC-CD=12-5=7；

②;点C是线段OE的三等分点，QE=8,・・.CE=；DE=g或・・・。=9

J，JJJ

或CQ=g,

1620_824

：,AD=AC-CD=[2——=—或12--=一；

3333

(2)当点E在线段8C之间时，如图，设8C=x,则NC=2BC=2x,・・.48=3x,

•-------------•-------------•••

4DCEB

•:AB=2DE,：,DE=l.5x,设CE=y,：.AE=2x+y,BE=x-y,：,AD=AE-DE=2x-y-

1.5x=0.5x+y,

..AD+EC3.0.5x+y+y_3._._2_17.

•------------=—♦..-------------------,..y——2x»..CD—1.5x--x--------x,..

BE2x-y27714

17

CD_|4V17；

~AB~^~~42

当点£在点力的左侧，如图，

DEACB

设8C=x,WJDE=l.5x,设CE=y,•••OC=EC+OE=y+L5x,・・・/O=OC-RC=yH5t-2x

=y-0,5x,

AD+EC3八八.y-0.5x+y3

•-------：—=—»BE=EC+BC=x+v,..----------------=T,..v=4x,

BE2x+y2”

••・CO=E5x=4x+1.5x=5.5x,BD=DC+BC=y+\.5x+x=6.5xt

CD5.5x11

:・AB=BD-AD=6.5x-y+0.5x=6.5x-4.r+0.5x=3.r,-----=-------=—,

AB3x6

当点£在线段4C上及点£在点4右侧时，无解，综上所述三CD的值为二17或1三1.故答案为

AB426

【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨

论。E的位置是解题的关键.

25.十八世纪伟大的数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）,面数（A，棱数（e）之

间存在一个有趣的数量关系：1广。=2,这就是著名的欧拉定理.而正多面体，是指多面

体的各个面都是形状大小完全相同的的正多边形，虽然多面体的家族很庞大，可是正多面体

的成员却仅有五种，它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，那

今天就让我们来了解下这几个立体图形中的“天之骄子”：

（1）如图1,正四面体共有个顶点，条棱.

（2）如图2,正六面体共有个顶点，条棱.

（3）加图3是某个方向看到的正八面体的部分形状（虚线被隐藏），正八面体每个面都是正

三角形，每个顶点处有四条棱，那么它共有个顶点，条棱.

（4）当我们没有正12面体的图形时，我们可以根据计算了解它的形状：我们设正12面体

每个面都是正〃（后3）边形，每个顶点处有〃？5仑3）条棱，则共有⑵+2=6〃条梭，有12匹“

=」个顶点.欧拉定理得到方程：-+12-6/2=2,且加，〃均为正整数，

mm

去掉分母后：12〃+12〃？-6nm=2m,

将n看作常数移项：⑵〃-6nm-2m=・⑵,

合并同类项:（10-6〃）m=-12〃，

—12〃12〃

化系数为1：tn=-------=-------

10-6n6/7-10

变形:-上L=担二迎-2」一旦=变二雪

6/7-106H-106//-106/?-106/7-106/z-10

20

2+

6/z-lO

20

分柝〃？（w>3）,n（佗3）均为正整数，所以——^是正整数，所以〃=5,m=3,即6〃=

6w-10

12〃）八

30,——=20.

m

因此止12面体每个面都是止五边形，共有30条棱，20个顶点.

请依据上面的方法或者根据自己的思考得出：正20面体共有条棱；个顶点.

【答案】（1）4；6；（2）8；12；（3）6；12；（4）30；12.

【分析】（1）根据面数x每面的边数+每个顶点处的棱数可求点数，用顶点数x每个顶点的棱

数+2即可的棱数；

（2）用正六面体有六个面x每个面四条棱。每个顶点处有三条棱可得正六面体共8个顶点,

用8个顶点数x每个顶点处有3条棱+2正六面体共有=12条楂；

（3）正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，用八个面x每个面有三棱・每个

顶点处有四条棱，它共有6个顶点，利用顶点数x每个顶点处有四条棱+2可得正八面体12

条棱；

（4）正20面体每个面都是正〃（后3）边形，每个顶点处有m（〃立3）条棱，则共有20〃+2

=10〃条梭，有20〃+〃?="--■个顶点.欧拉定理得到方程：----+20-10/2=2,且〃均

mm

为正整数，可求，〃=2°〃，变形：,„_2+—史一求正整数解即可.

10/7-18lOw-18

【详解】解：（1）如图1,正四面体乂四个面，每个面有三条边，每个顶点处有三条棱，

共有4x3+3=4个顶点，

共有4个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条，

正四面体共有4x3+2=6条棱.

故答案为4；6；

（2）如图2,正六面体有六个面，每个面四条棱，每个顶点处有三条棱，

共有6x4+3=8个顶点，

正六面体共8个顶点，每个顶点处有3条棱，每两点重复一条，

正六面体共有8x3+2=12条棱.

故答案为：8；12；

（3）如图3正八面体每个面都是正三角形，每个顶点处有四条棱，有八个面，每个面有三

棱，每个顶点处有四条棱，共有8x3+4=6个顶点，

它共有6个顶点，每个顶点处有四条棱，6乂4$2-12条核.故答案为；6；12；

（4）正20面体每个面都是正〃（论3）边形，每个顶点处有机（〃仑3）条棱，则共有20〃+2

=10〃条棱，有20〃+〃?=迎•个顶点.欧拉定理得到方程：—+20-10,7=2,且加，〃均

mm

为正整数，

去掉分母后：2（）〃+20〃？-=将〃看作常数移项：20〃？-10〃〃？-2m=-20,?,

-20〃_20〃

合并同类项:(18-10/1)加=-20/7,化系数为1：

18-lOw-10^-18

行工=2。〃-36+36=2^+4=2。。，18)+4

变形:

10"-181OH-1810/1-1810〃—1810〃—1810〃一18

2H-------.

1071-18

oZ

分柝m（论3）,〃（，仑3）均为正整数，所以-------是正整数，所以〃=3,加=5,即10〃