2026年高考数学一轮复习 概率（含解析）

高考数学一轮复习概率

一.选择题(共8小题)

1.(2025春•龙岩期中)随机变量《的分布列是

5589

pPP1

234

贝跟=()

2.(2025春•沧州期中)已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=4(i=l,2,3),则P(X2

2)=()

2

则ZX

户M

-TI

3.(2025春•沧州期中)已知P(MN)=4，P(N|M)3X/

J

4.(2025春•浙江期中)已知随机变量n，5满足n=3f+l,且P(e2)=09则夕(】］V7)=()

A.0.3B.0.5C.0.1D.0.2

5.(2025春•浙江期中)已知随机变量X〜N(2,。2),且p(XV0)=0.2,则P(X>4)=()

A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1

6.(2025春•浙江期中)对于随机大事4、4,若。(4)=右P(4|B)=£P(阴4)=左，则0(4)

=()

1233

A.-B.—C.-D.一

2348

7.(2025春•山东期中)已知随机变量X听从两点分布，且P(X=0)=0.4.设Y=3X-2,则

=1)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

8.(2025春•台州期中)近年来，越来越多的周边游客来参观台州市的神仙居、长屿嗣天、国清寺、

大陈岛、石梁飞瀑、临海紫阳街等6处景点.现甲、乙两位游客预备从6处景点各随机选一处游

玩，记大事人=“甲和乙至少有一个人前往神仙居"，大事8=”甲和乙选择不同的景点”则P(矶4)

=()

二.多选题(共4小题)

（多选）9.（2025•泰安模拟）在平面直角坐标系中，定义A（Xi，yi）,B<x2,”）两点之间的折

线距离为d（A,B）=ki-A2l+lyi-y2|.如图,某地有一矩形古文化街区,其内部道路间距均为I,

B.若C为平面内任意一点，则d（A,B）Wd（A,C）+d（A,C）

C.当地政府拟沿满足d（尸，A）+d（尸，B）=9的点P的轨迹修建一条街区环线大路，则大路外

形为六边形

D.外卖员从A点送餐到8点，在保证路程与d（A,B）相等的前提下，左转次数X的期望为1.2

（多选）10.（2025春•龙岩期中）某幼儿园周一至周五每天支配一项活动，如下表：

田一

时间周一同一周三周四周五

活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋

要求每位家长结合孩子的爱好选择其中的三项.若有四位家长都无特殊状况，分别任选三项，用X

表示四人中选择跳绳的人数之和，则（）

A.每位家长选择跳绳的概率为（

B.X的可能取值有4个

C.P（X=1）=/

D.P（X=4）=盥

（多选）II.（2025春♦聊城期中）盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不

放回的取出两个球，记大事4为“第一次取出的是红球"，大事B为“其次次取出的是白球”，

大事。为“其次次取出的是蓝球”，则（）

A.P（B）屋B.P（B\A）=含

—7

C.P（C\A）+P（C\A）=1D.UC\A）=

（多选）12.（2025春•浙江期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正

确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对1个得3分，有选错的得0

分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选

题正确答案是两个选项的概率为〃（OVpVl）,正确答案是三个选项的概率为1・p.某同学对其

中的一道题完全不会，记X为该同学只随机选择1个选项时的得分，记y为该同学随机选择2个

选项的得分，则（）

91

A.若p二五,则。（丫=6）=石

B.若p=（，则P（X=0）=§

C.当：VpVI时，则E（X）=W

D.当;VpVI时，该同学只随机选1个选项时得分表现更优

三.填空题（共4小题）

13.（2025•浙江模拟）人.匚智能（ArtificialIntelligence'）,英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产

业变革的重要驱动力气，是争辩、开发用于模拟、延长和扩展人的智能的理论、方法、技术及应

川系统的一门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，接受4技术生成奖券码：在每次抽奖

时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2,点击结束后，生成的5个数字之

和即为奖券码.并规定：假如奖券码为0,则获一等奖；假如奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，

其它状况不获奖.已知顾客甲参与了一次抽奖，则他获二等奖的概率为

3

（春•邢台期中）已知随机大事B满足P（）PA8J\--

14.2025A,A=1,X7则P(BIA)

119

15.（2025春•淮安期中）已知两个随机大事A,B,若「（4）建,P（B）=今，P（B⑷则P（AB）

O1O

=,P（A\B）=.

23

--则

16.（2025春•龙岩期中）已知随机大事A,B满足PQ4）=3p(8

P（B\A）=.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•龙岩期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1〜8.现从中任取4

个球，以X表示所取球的最大号码.

（1）求X的分布列；

（2）求X>5的概率.

18.（2025春•台州期中，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参

与决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.

（I）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,求X的分布列并

计算甲进入决赛的概率.

（2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，嘉奖200元；若答对2道题

F1则获得二等奖，嘉奖100元；若答对1道题目则获得三等奖，嘉奖50元；若全部答错则没有嘉

奖.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为〃（OVpVl）,且每次答题相互独立.

（/）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为了（〃），求了（〃）的最大值；

（/7）某班共有4名同学进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时〃

的取值范围.

19.（2025春♦邢台期中）某幼儿园周一至周五每天支配一项活动，如下表:

时间周一周二周二周四周五

活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋

要求每位家长结合小孩的爱好选择其中的三项.

（1）己知家长甲打算选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙打算选择排球，其余四

天任选两项.求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率.

（2）若有四位家长都无特殊状况，分别任选三项，用X表示四人中选择跳绳的人数之和，求X的

分布列和数学期望.

20.（2025•普陀区二模）某区为推动教育数字化转型，通过聚合区域学校的教育资源，依吒4/技术

搭建了区域才智题库系统，形成了“A通识过关-8综合拓展-C创新提升”三层动态题库，且A,

B,C三层题量之比为7：3：2,设该题库中任意1道题被选到的可能性都相同.

（1）现有4人参与一项竞褰，若每人分别独立地从该题库中随机选取一道题作答，求这4人中至

少有2人的选题来自3层的概率；

（2）现接受分层随机抽样的方法，使用智能组卷系统从该题库中选取12道题生成试卷，若某老

师要从生成的这份12道题的试卷中随机选取3道题做进一步改编，记该老师选到八层题的题数为

X,求X的分布与期望石（X）.

高考数学一轮复习概率

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.(2025春•龙岩期中)随机变量£的分布列是

【考点】离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解..

【答案】B

【分析】依据题意，由分布列的性质可得W+W+9=1，解可得答案•

234

【解答】解：依据题意，由随机变量彳的分布列，有£+：+：=1，

变形可得片器

故选：B.

【点评】本题考查随机变量的分布列，留意分布列的性质，属于基础题.

2.(2025春•沧州期中)已知离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=hi=l,2,3),则P(X2

2)=()

112

A.-B.-C.-D.1

633

【考点】离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】依据题意，由P(X22)=P(X=2)+P(X=3),结合分布列计算可得答案.

【解答】解：依据题意，离散型随机变量X的分布列为P(X=i)=£(i=l,2,3),

2

则户(X22)=P(X=2)+P(X=3)=1+

3-

故选：c.

【点评】本题考竞随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题.

3.(2025春•沧州期中)已知P(MN)=£,P(N|M)=|,则尸(M)=()

15

【考点】求解条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】利用条件概率公式求解.

【解答】解：由于。CN\M）二镖?，

1

-1

3

P(MN)---

所以PCM)22

P(N|M)3

故选:B.

【点评】本题主要考杳了条件概率公式，属于基础题.

4.（2025春•浙江期中）已知随机变量n，f满足n=3"1,且P（［22）=09则P（n<7）=（）

A.0.3R.0.5C.0.1D.0.2

【考点】离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】依据题意，分析可得。代<2）=1-0.9=0.1,结合n=3“l,分析可得答案.

【解答】解：依据题意，P（?>2）=0.9,则P（fV2）=1-0.9=0.1,

又由n=3>1，则尸（n<7）=尸«V2）=0.1.

故选：C.

【点评】本题考查概率的计算，涉及随机变量的定义，属于基础题.

5.（2025春•浙江期中）已知随机变量X〜N（2,。2）,且「（xvo）=。2,则尸（X>4）=（）

A.0.6B.0.4C.0.2D.0.1

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

【专题】整体思想；综合法；概率与统订；运算求解.

【答案】C

【分析】依据正态分布曲线的对称性求解.

【解答】解：由于随机变量X〜N（2,。2）,且P（%<0）=0.2,

所以P（X>4）=P（X<0）=0.2.

故选：C.

【点评】本题主要考盒了止态分布曲线的对称性，属于基础题.

6.(2025春•浙江期中)对十超机大事A、B,若P(。)=与P(A|8)=；,P(B|A)=/,则P(8)

=()

1233

A.-B.-C.-D.一

2348

【考点】求解条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】。

【分析】利用条件概率公式求解.

【解答】解：由于P(BH)=当祟，

111

所以P(AB)=P(B|A)P(A)=4x4=^,

4/&

又由于P(A\B)=号需，

1

-3

8

-=-

所以户(8)=皤=18

-

3

故选：D.

【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

7.(2025春•山东期中)已知随机变量X听从两点分布，且P(X=0)=0.4.设Y=3X-2,则P(V

=1)=()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.6

【考点】两点分布(0-1分布).

【专题】整体思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】D

【分析】利用两点分布的概率公式求解.

【解答】解：由于随机变量X听从两点分布，且P(X=0)=0.4,

所以P(X-l)-\-P(X-O)-0.6,

所以P(y=l)=P(3X-2=1)=P(X=l)=0.6.

故选：D.

【点评】本题主要考查了两点分布的概率公式，属于基础题.

8.(2025春•台州期中)近年来，越来越多的周边游客来参观台州市的神仙居、长屿碉天、国清寺、

大陈岛、石梁飞瀑、临海紫阳街等6处景点.现甲、乙前位游客预备从6处景点各随机选一处游

玩，记大事人=“甲和乙至少有一个人前往神仙居"，大事8="甲和乙选择不同的景点”则巴砌)

891011

A.B.C.D.

9101112

【考点】求解条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】利用条件概率公式求解.

【解答】解：由题意可知，PG4)=1-P=1一港=聂，P(AB)=£b^=5

0X0OOOXO1C

10

所以尸(W)=H-

故选：C.

【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2025•泰安模拟)在平面直角坐标系中，定义4(x\,yi),R(门，”)两点之间的折

线距离为4(4,R)=ki-A2|+^i-_y2|.如图，某地有一矩形古文化街区，其内部道路间距均为h

B.若C为平面内任意一点，则d(A,B)Wd(A,C)+d(B,C)

C.当地政府拟沿满足d(P,A)+d(尸，B)=9的点尸的轨迹修建一条街区环线大路，则大路外

形为六边形

D.外卖员从A点送餐到8点，在保证路程与d(A,B)相等的前提下，左转次数X的期望为1.2

【考点】离散型随机变量的均值(数学期望).

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解：新定义类.

【答案】ABD

【分析】依据新定义推断4依据确定值不等式的性质推断&依据新定义，排列，直线方程推断

C；求出期望推断

【解答】解：由定义知，d(A,B)=3+2=5,故A正确：

平面内任意一点C(xc>)匕)，

则d(A,C)+d(B,C)=|xc-xil+Lvc-yil+|x2-xc\+\y2-yc\^l\c-x\+x2-xd+lvc-y\-^y2-yc\=

ki-Jfzl+lyi-yi\—d(.AtB),故4正确；

设A(0,0),8(3,2),P(x,y),

则由d(P,4)+d(P,B)=9可得以|+|)，|+仇・3|+()，・2|=9,

由于去掉确定值x,y分别有3段取值，共可得到3X3=9个方程，最多对应9条线段,

但当0V1V3,0VyV2时，方程为x+y+3-x+2-)，=9,无解，

其余分类中得到的方程含有x或方旦方程对应的线段相异，

故总的线段条数为9-1=8,尸点轨迹图形为八边形，如图所示，

由题意，左转次数X可能为0,1,2,总的走法有废=10,

1Q

其中P(X=0)=而，P(X=2)=亮，

所以P(X=1)=1—特—噂二洗，E(X)=0X白+1X&+2X条=盖=1.2,故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查了确定值不等式的性质和离散型随机变量期望的计算，属于中档题.

(多选)10.(2025春•龙岩期中)某幼儿园周一至周五每天支配一项活动，如下表：

时间周-周二周三周四周五

活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋

要求每位家长结合孩子的爱好选择其中的三项.若有四位家长都无特殊状况，分别任选三项，用X

表示四人中选择跳绳的人数之和，则()

A.每位家长选择跳绳的概率为|

B.X的可能取值有4个

C.仆1)=剧

D.P(X=4)=部

【考点】概率的应用；离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】AD

【分析】依据题意，由古典概型分析4,由二项分布的性质分析从C、D,综合可得答案.

【解答】解：依据题意，一位家长在五项中任选三项，有CJ=1()种选法，

若其选择跳绳，有底=6种选法，

3

-

则每位家长选择跳绳的概率P=书5

X表示四人中选择跳绳的人数之和，则X可取的值为0、1、2、3、4,有5个值，B错误;

3

且X~8(4,-),

5

33生

错

X误

则P(X=l)=C]xIx(I-J=C

5X

P(X=4)=(1)4=思，。正确.

故选：AD.

【点评】本题考查概率的应用，涉及二项分布的性质，属于基础题.

(多选)II.(2025春•聊城期中)盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，从盒子中随机依次不

放回的取出两个球，记大事4为“第一次取出的是红球”，大事8为“其次次取出的是白球”，

大事。为“其次次取出的是蓝球”，则()

1—?

A.P⑻=合B.P(8⑷==

—7

C.P(C\A)+P(C\A)=1D.P(BUC\A)=

【考点】求解条件概率.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ACD

【分析】依据题意，由古典概型分析A,由条件概率的性质和定义分析从C、D,综合可得答案.

【解答】解：依据题意，依次分析选项：

对于A,盒子中有3个红球，2个白球，5个蓝球，则P(B)=不金=1A正确；

对于8,当A发生时，盒子中有2个红球，2个白球，5个蓝球，则P(面八)=/袅=:，8错

误；

对于C,由条件概率的性质，P(C\A)+P(C|A)=1,C正确；

对于。，当A发生时，盒子中有2个红球，2个白球，5个蓝球，P(BUQ4)=样搐=JD

正确.

故选：ACD.

【点评】本题考查条件概率的计算，留意条件概率的定义，属于中档题.

（多选）12.（2025春•浙江期中）数学试题中的多选题，每题有4个选项，其中有2个或3个是正

确答案，全部选到正确答案得6分.若正确答案是2个选项，只选对个得3分，有选错的得0

分；若正确答案是3个选项，只选对1个得2分，只选对2个得4分，有选错的得0分.若多选

题正确答案是两个选项的概率为〃（0<〃<1），正确答案是三个选项的概率为I某同学对其

中的一道题完全不会，记X为该同学只随机选择1个选项时的得分，记丫为该同学随机选择2个

选项的得分，则（）

71

A.若p=则p（y=6）=6

B.若p=（，则P（X=O）=多

C.当时，WijE（X）=1

D.当^VpVl时，该同学只随机选I个选项时得分表现更优

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；相互独立大事的概率乘法公式.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】分别计算出x和y不同状况下的概率，再求出数学期望，逐项进行计算即可求得.

【解答】解：由条件可知，X的全部可能取值为0,2,3,

P（X=0）=PW+（1-P）.泻+4

p（x=2）=（_p）.泻一冬

P（X=3）=p-1=|,

月7以E（X）=会

y的全部可能取值为0,4,6,

P（y=0）=p|+（l-p）i=1+1,

p（r=4）=（i-p）.|=|-1,

P（r=6）=p.i=|,

所以石（n=2-〃,

若「=奈=6)=j,选项A止确；

若p=1,P(X=0)=1选项3正确；

无论〃为何值，E(X)=|,选项C错误；

.1,

当3VpVI时，E(X)>E(X),

所以该同学只随机选1个选项时得分表现更优，选项。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考杳了离散型随机变量的期望计算，属于中档题.

三.填空题(共4小题)

13.(2025•浙江模拟)人工智能(ArtificialIntelligence},英文缩写为4/.是新一轮科技革命和产

业变革的重要驱动力气，是争辩、开发用于模拟、延长和扩展人的智能的理论、方法、技术及应

用系统的•门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，接受4技术生成奖券码：在每次抽奖

时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字()或1或2,点击结束后，生成的5个数字之

和即为奖券码.并规定：假如奖券码为0,则获一等奖；假如奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，

on

其它状况不获奖.已知顾客甲参与了一次抽奖，则他获二等奖的概率为—.

-243―

【考点】古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解；新文化类.

80

【答案】—.

243

【分析】由己知先求出样本空间的个数，然后求出获得二等奖结果数，然后结合古典概率公式即

可求解.

【解答】解：设一次抽奖所生成的奖券码为S,

生成的5个数字中有x(0WxW5,A-eN)个0,y(0WyW5,yWN)个1,

则S=y+2(5-x-y)=10-(公+y),

由题可知OWx+y这5,

若获得二等奖，则5为3的正整数倍，故2计)，可取的值为I,4,7；

当2x+y=l时，(x,)，)的取值为(0,1),共有废=5种状况；

当2x+y=4时，(x,y)的可能取值为(0,4),(I,2),(2,0),

共有陵+谶废+第=45和状况：

当2r+y=7时，(x,y)的取值为(2,3),(3,1),共有废+废6=30种状况.

所以获得二等奖的概率P2=A?。=需.

故答案为：777-

243

【点评】本题考查概率的应用，涉及古典概型的计算，属于中档题.

q2—2

14.(2025春•邢台期中)已知随机大事A,〃满足P(A)=1,P(AB)=2,则P(8H)=-.

【考点】求解条件概率.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

【答案】

【分析】依据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

【解答】解：P(A)=|,P(AB)=1,

则P(A耳)=P(A)-P(AB)=最，

故P(万H)=^^=今

故答案为：

【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题.

112

15.(2025春•淮安期中)已知两个随机大事A,B,若P(A)=gP(B)=%P(B|A)=1则P(AB)

OiJ

2

P(MB)=

—15—

【考点】求解条件概率.

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

27

【答案】

15,15

【分析】依据已知条件，结合条件概率公式，即可求解.

【解答】解：若PQ4)=看，P(B|A)=卷

122

-X--

PCAB)=P(fiL4)P(A)53

15

127

P(AB)=P(B)-P(AB)=4-15=^

故。(栖=需=亨=£.

4

27

故答案为：-

【点评】本题主要考查条件概率公式，属于基础题.

no_7

16.(2025春•龙岩期中)已知随机大事4,8满足P(4)=1PQ4B)=^则「由|4)=.

【考点】求解条件概率.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

7

【答案】

16

【分析】利用条件概率公式求解.

3

-9

8-

【解答】解：由于P（8h4）二?需--

2

3-16

_7

所以P（B|4）=1—P（BH）二木.

7

故答案为：

【点评】本题主要考查了条件概率公式，属于基础题.

四.解答题（共4小题）

17.（2025春•龙岩期中）将8个质地、大小一样的球装入袋中，球上依次编号1〜8.现从中任取4

个球，以X表示所取球的最大号码.

（I）求X的分布列;

（2）求X>5的概率.

【考点】离散型随机变量及其分布列.

【专题】计算题；方程思想；转化思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】（1）分布列见解析;

/、13

(2)—.

14

【分析】（1）由题意可知，随机变量X的有可能的取值为4,5,6,7,8,利用古典概型的概率

公式求出其相应的概率，进而得到随机变量X的分布列:

(2)由P(X>5)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)求解即可.

【解答】解：（1）依据题意，X可取的值为4,5,6,7,8,

X=4,即取出4个球的最大号码为4,即取出标号为1、2、3、4的4个球，则2（*=4）=3=克,

X-5,即取出4个球的最大号码为5,即取出标号为5的球，标号为1、2、3、4的4个球中取出

3个球，则P（X=5）=乌=春

X=6,即取出4个球的最大号码为6,即取出标号为6的球，标号为1、2、3、4、5的5个球中

取出3个球，则八X=6）=§4,

X=7,即取出4个球的最大号码为7,即取出标号为7的球，标号为I、2、3、4、5、6的6个球

中取出3个球,则P（X=7）="=3

或7

X=8,即取出4个球的最大号码为8,即取出标号为8的球，则八X=8）=4=],

12113

（2）依据题意，P（X>5）=P（X=6）+P（X=7）+P：X=8）=-+-+-=

77214

【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及概率的计算，属于基础题.

18.（2025春•台州期中竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参

与决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.

（1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,求X的分布列并

计算甲进入决赛的概率.

（2）决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，嘉奖200元；若答对2道题

目则获得二等奖，嘉奖100元；若答对1道题目则获得三等奖，嘉奖50元；若全部答错则没有嘉

奖.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为〃（OVpVI）,且每次答题相互独立.

（/）记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为了（〃），求/（〃）的最大值；

（//）某班共有4名同学进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时〃

的取值范围.

【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）：相互独立大事的概率乘法公式；离散型随机变量

及其分布列.

【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

17

【答案】（1）分布列见解析；—:

、4,、1

（2）（/）-：（a）[-,1）.

92

【分析】（1）求出X的取值及对应的概率可得分布列，再结合分布列计算可得答案；

（2）（/）由题意得/（p）=3p2・3p3（OVpVl）,利用导数求出最大值可得答案；

（"）分析每名同学获得的奖金的期望，求和解不等式即可.

【解答】解：（1）若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,

由已知X的取值为0,1,2,3,4,

P(X=0)=£4_p(x-1)—%二4_

C「o,C4-35，

P(X=2)=警携P…噌=皋

P(X=4)=,=4，

所以X的分布列为：

X01234

P181881

7035353570

甲进入决赛的概率为P=P(X=3)+P(X=4)=最+4=称：

(2)(/)记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为/(〃)，

由题意得，(p)=c如2(1-p)=3P2-3P3(0VpVI),

令/(P)=6/?-9/r=3p(2-3p)=0,解得p=,，

当。中时，f(p)>0,/(p)单调递增，

2

当/VpVl时，/(p)<0,/(/?)单调递减，

3

所以/(P)7(|)=3(|)2-3(|)3=。

4

可得f(p)的最大值为

(//)某班共有4名同学进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元,

由题可设每名进入决赛的同学获得的奖金为随机变量匕

则y的可能取值为O50,100,200,

所以P(y=0)=砥(1-p)3,P(Y=50)=Cjp(l-p)2,

P(Y=100)=C初2(1_p),p(Y=200)=C和3,

所以E(y)=50玛p(l-p)2+100C和2(1-p)+200或p3

=50p3+150p,

可得4E(y)2325,即200P3+600〃2325,

整理得8P3+24〃-1320,

由8P3+24〃・13=(8p3-1)+12(2p・1)=(2p-1)(4//+2p+l+12)20,

得(2p-l)(4p2+2p+13)=4(2p-l)[(p+1)2+g]>0,

解得:4pVI，

1

此时〃的取值范围为5，1).

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题.

19.(2025春♦邢台期中)某幼儿园周一至周五每天支配一项活动，如下表：

时间周_周二周三周四周五

活动项目篮球轮滑排球跳绳围棋

要求每位家长结合小孩的爱好选择其中的三项.

（1）已知家长甲打算选择篮球，不选择围棋，其余三天任选两项；家长乙打算选择排球，其余四

天任选两项.求家长甲选轮滑且家长乙未选轮滑的概率.

（2）若有四位家长都无特殊状况，分别任选三项，用X表示四