2026中考数学第一轮复习（知识能力+解题思路+易错警示+专项演练）第7课时：分式方程及其应用

2026年中考第一轮复习

（核心知识+核心能力+解题思路+易错警示+真题演练）

第7课时分式方程及其应用

一、核心知识

（-）分式方程的定义

分母中含有耒知数的方程叫做分式方程。

注意：判断分式方程的关键是分母含未知数，与分子是否含未知数无关；整

式方程分母不含未知数，这是两者的根本区别。

（二）分式方程的解法

基本思路：将分式方程化为整式方程，核心是“去分母”。

解题步骤（四步走）：

找公分母：当分母是多项式时，先因式分解，再确定最简公分

母；

去分母：方程两边同时乘以最简公分母，约去分母转化为整式

方程（注意不要漏乘不含分母的项）；

解整式方程：用整式方程的解法求解（一元一次方程或一元二次方程）；

验根：将整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0,则

是原分式方程的解：若为0,则是增根，需舍去.

（三）增根的相关概念

增根的定义：在分式方程变形为整式方程的过程中，产生的不适合原分式方

程的根。

增根的特征：增根是整式方程的解,但使原分式方程的

分母为0。

分式方程无解的两种情况：

整式方程无解；

整式方程有解，但所有解都是原分式方程的增根。

（四）分式方程的应用

常见题型：行程问题、丁程问题、利润问题、浓度问题等C

核心等量关系：

行程问题：时间二路程+速度;

工程问题：工作时间二工作量+工作效率（通常设总工作量为

______；

利润问题；利润率-（利润・进价）X10096；

浓度问题：浓度二（溶质质量+溶液质量）义100%o

解题步骤：审（题意）一设（未知数）f列（分式方程）解（整式

方程）一检（分式方程的根和实际意义）一答（规范表述）。

二、核心能力

题型1.分式方程的判定

解题思路

紧扣”分母含未知数”的定义，先观察方程分母是否含未知数，再排

除整式方程、分式表达式（非方程）的情况。

题型2.分式方程的求解

解题思路

优先确定最简公分母，去分母时注意每一项都要乘公分母，避免漏乘常

数项；解完后必须验根，验根步骤不可省略。

题型3.增根与无解问题

解题思路

遇到含参数的分式方程增根或无解问题时，先去分母转化为整式方程,

再根据增根使公分母为0的特征，求出增根的值，代入整式方程求参数；无解

需分“整式方程无解”和“整式方程解为增根”两种情况讨论。

题型4.实际应用问题

解题思路

找准题目中的等量关系，设未知数时优先设直接未知数，若直接设未知

数列方程复杂，可设间接未知数；检验时既要保证根使分式方程有意义，也要符

合实际情境（如时间、速度、工作量为正数）。

三5"赢示/

去分母漏乘常数项

错误：解方程±+2=3时，去分母得x+2=3（x-l）（漏乘常数项2）；

x-lX

提醒：去分母时，方程两边的每一项（包括不含分母的常数项）都要乘最简

公分母。

验根步骤省略或不规范

错误：解完分式方程后直接写答案，未验根；或仅代入原方程计算，未判断

分母是否为0；

提醒：验根是解分式方程的必备步骤，规范写法为“将X=△代入最简公分

母，公分母W0,故x=△是原方程的解”。

忽略增根的隐含条件：

错误：已知分式方程有增根，仅求整式方程的解，未结合公分母为0的条

件;

提醒：增根的本质是“使公分母为0的整式方程的解”，需先由公分母为

0求出可能的增根，再代入整式方程求解参数。

实际应用未检验实际意义

错误：行程问题解得速度为负数或时间为0；未舍去；

提醒：实际问题的解必须符合现实逻辑，如长度、数量、效率等均为正数,

不符合的解需舍去。

四、真题演练

（一）选择题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

1.（24-25•上海模拟）在下列方程中，分式方程是（）

1144

A.x=-B.-x=lC.-=1D.=1

44xVX

【答案】C

【解析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键.

根据分式方程的定义判断即可.

【解答】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意；

B、是整式方程，故此选项不符合题意；

C、是分式方程，故此选项符合题意；

D、不是分式方程，故此选项不符合题意；

故选：C

2.（24-25湖南中考）将分式方程工=三去分母后得到的整式方程为（）

XX+1

A.x+1=2xB.x+2=1C.1=2xD.x=2（x+1）

【答案】A

【解析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，

把分式方程

转化为整式方程求解.

将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程.

【解答】解：工=二.

XX+1

方程两边同时乘以x（x+1）,得：x+1=2x.

故选：A.

3.（24-25•四川月考）方程三=三的解为（）

x-3x

A.x=3B.x=-9C.x=9D.x=-3

【答案】C

【解析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，

经检验即可得到分式方程的解.

【解答】解：^-=-

x-3x

去分母得：2x=3（x-3）,

去括号得：2x=3x-9,

移项、合并同类项得：—x=—9,

解得：x=9,

经检验：x=9是原分式方程的解，

故选：C.

4.（24-25•广东模拟）方程」；•=六的解为（）.

X-l2X+3

A.x=-2B.x=6C.x=2D.x=-6

【答案】B

【解析】先去分母，把方程变为整式方程，然后求出方程的解，最后检验,

即可得到方程的解.

【解答】解：U=烹

•••2x+3=3x—3,

解得：x=6,

经检验，x=6是原分式方程的根;

故选：B.

5.（24-25•甘肃模拟）已知关于x的方程亳的解是x=l,则a的值为

()

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【解析】将x=1代入方程，即可求a的值.

【解答】解：•.•关于x的方程上=；的解是x=l,

2a-x3

•,*a=一1,

2a-l3

解得a=-l,

经检验a=-1是方程的解.

故选：C.

6.（24-25•广西月考）分式方程二-=1一旦的解为正数，则m的取值范围

x-lX-1

（）

A.m>—3B.m>—3且m。-2C.m<3D.m<3且m丰—2

【答案】B

【解析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式

方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解

题的关键.

【解答】解：方程两边同时乘以x—l得，2=x-l-m,

解得x=m+3,

•.•分式方程。=1-三的解为正数，

X-lX-1

m+3>0,

：•m>—3,

又•・,XH1,

即m+3H1,

m左一2,

:.m的取值范围为m>一3且mH-2,

故选：B.

7.（23-24•黑龙江中考）如果关于x的分式方程工-工=0的解是负数，那

XX+1

么实数m的取值范围是（）

A.m<1且m=0B.m<1C.m>1D.m<1且mH—1

【答案】A

【解析】本题考查了根据分式方程的解的情况求参数，解分式方程求出分式

方程的解，再根据分式方程的解是负数得到m-lV0,并结合分式方程的解满

足最简公分母不为0,求出m的取值范围即可，熟练掌握解分式方程的步骤是解

题的关键.

【解答】解：方程两边同时乘以x（x+1）得，x+l-mx=0,

•.•分式方程的解是负数,

m-1<0,

m<1,

又•••x(x+1)中0,

二x+140,

。—1,

m-1

mH0,

•••m<1且m=0,

故选：A.

8.（24-25-贵州模拟）若关于x的分式方程三=?有增根，则m的值为

x-l1-x

（）

A.1B.-1C.3D.-3

【答案】D

【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根,

把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值.

【解答】四=二，3x+m=0,

x-l1-x

解得X=—

•・•关于x的分式方程三=F有增根，

x-l1-x

X=1,

m4

A-----=1,

3

解得m=-3.

故选D.

9.（24-25•四川中考）若关丁x的分式方程守=2-1无解，贝必的值为

2-xx-2

（）

A.2B.3C.0或2D.-1或3

【答案】D

【解析】本题考查了分式方程无解问题，掌握求解的方法是解题的关键；

将分式方程转化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或解为增根（使

分母为零），分别求解即可.

【解答】解：原方程两边同乘（X-2）,得：-（3-ax）=a-（X-2）

化简得：ax—3=a—x+2,

即（a+l）x=a+5；

当整式方程无解时：即当a+l=O且a+5#0时，即a=-1,此时方程无解;

当解为增根时：即当解x=*=2时，

a+l

解得a=3,此时x=2使原方程分母为零，无意义；

综上，a的值为-1或3；

故选：D.

10.（24-25•四川模拟）若关于x的方程X?+x-6=。与京=嘉有一个解

相同，则a的值为（）

A.6B.-3C.6或一3D.-3或2

【答案】B

【解析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正

确求出方程的解.

先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的

方程求解.

【解答】解：方程x2+x-6=0,解得：Xi=2,x2=-3,

当x=2时，将x=2代入京=人,得*=总，解得：a=-3

当x=—3时，此时分母x+3=-3+3=0,分式方程无意义，所以x=—3不是

方程击=的解.

2x+a

故选：B.

1L（24-25•四〃模拟）已知关于x的分式方程署一：=1无解,则a的值是

()

A.-3B.3或0C.-3或4D.4

【答案】C

【解析】本题考查了分式方程无解问题，分式方程无解的条件是：去分母后

所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0.将方程

去分母，整理得(a-4)x=-21.分两种情况讨论：①若a-4=0,则该整式方

程无解，原分式方程无解，可求得此时a=4；②若a-4H0,则整式方程的解

为x=-J,根据原分式方程无解，得到当x=时，x(x-3)=0,从而求

得a=-3.综合即可解答.

【解答】解：二二=1，

x-3x

方程两边同乘x(x-3),得x(x+a)-7(x-3)=x(x-3),

整理,得(a—4)x=-21,

①若a-4=0,则该整式方程无解，原分式方程无解，

此时a=4；

②若a-4H0,则整式方程的解为：x=

a-4

•••原分式方程无解，

・♦•当x=一名时，x(x-3)=0,

a-4\a-4/

-3_=0或一?_一3=0,

a-4a-4

解得：a=-3,

综上所述，a的值为4或-3.

故选：C.

12.（24-25•四川中考）若关于x的不等式组—~X+2至少有两个正整数

.x+1>—x4-a

解，且关于x的分式方程==2的解为正整数，则所有满足条件的整数a的

x-l1-x

值之和为（）

A.8B.14C.18D.38

【答案】B

【解析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组,

确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后

求和即可.

口Wx+2①

【解答】解：2

x+1之一x+a②

解①得：x<5

解②得：x>^,

3x-l9

・.・关于x的不等式组--X+Z至少有两个正整数解

,x+1>—x+a

・・,不等式组的解集为”4x45.

・•・不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数.

当（44时，解集包含x=4,5,

此时a<9.

分式方程”=2-匕化简为：公2x+l

x-l

解得X=味.

要求解为正整数且XH1,则学为大于等于2的整数,

即a为大于等于6的偶数.

va<9,

:.a=6或8,

当a=6时，不等式组的解集为2.5WxW5,整数解为3,4,5,满足条件.

当a=8时，不等式组的解集为3.5WxW5,整数解为4,5,满足条件.

则所有满足条件的整数a之和为6+8=14,

故选：B.

13.（23-24•山西中考）某校组织学生开展“茶韵与书画”为主题的研学课

程，已知学校用于购买扇子的费用为4000元，购买茶具的费用为3200元，其中

购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍，并且扇子的单价比茶具的单价便宜3

元.设购买扇子的单价为x元.则x满足的方程为（）

.4000。3200c40003200

A.——=2x——nB.2x——=——

xx+3xx+3

4000_3200n94000_3200

Cr*.-Z9XU.ZX-

x-3xx-3x

【答案】A

【解析】题目主要考查分式方程的应用，设购买扇子的单价为x元，则茶具

的单价为（x+3）元，根据“购买扇子的数量是购买茶具数量的2倍”列出分式方

程即可，理解题意是解题关键.

【解答】解：设购买扇子的单价为x元，则茶具的单价为（x+3）元，

根据题意得：竺”=2x驾，

xx+3

故选：A.

14.（24-25•河北期中）为了缅怀革命先烈，传承红色精神，青海省某学校

八年级师生在清明节期间前往距离学校15km的烈士陵园扫墓.一部分师生骑自

行车先走，过了30min后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时到达；已知汽车

的速度是骑车师生速度的2倍，设骑车师生的速度为xkm/h.根据题意，下列方程

正确的是（)

A15115R1515115Ion15n1515on

A.---1--=-B.—=---F-Cr.——F30=-D.-=---F30

x22xx2x2x2xx2x

【答案】B

【解析】根据题意可直接进行求解.

【解答】解：由题意得LW+点

故选：B.

3x+51x+3

-------V-------

15.（24-25•四川模拟）若关于的不等式组《4—2无解，且关于y的

1、x+a

X+->—

22

分式方程号-整数解，则满足条件的整数a的值为（)

A.2或3B.2或7C.3或7D.2或3或7

【答案】D

【解析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组,

再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题.

（3x+5vx+3

【解答】解不等式组|工一京，得1J，

|x+2>迎<x>a-1

I22

•.•不等式组无解，

a-1>1,

-a>2,

分式方程言一1=^，

方程的两边同时乘(y-2),

得，ay—5—y+2=3,

整理得，(a-l)y=6,

•.•方程有整数解,

Aa-1=±1或±2或±3或±6,

:.a=2或a=0或a=3或a=-1或a=4或a=一2或a=7或a=-5,

va>2,yH2,

二a手4,

•••a=2或a=3或a=7,

故选：D.

（二）填空题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

16.（24-25•北京中考）方程=-+-=0的解为x=2_________.

x-6x

【答案】x=2

【解析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再

解方程并检验即可得到答案.

【解答】解：三+1=。

x-6x

去分母得：2x+x-6=0,

移项，合并同类项得：3x=6,

系数化为1得：x=2,

检验，当x=2时，x（x-6）=2x（2—6）=-8芋0,

・♦.x=2是原方程的解，

故答案为：x=2.

17.（24-25•辽宁模拟）分式方程：+三=2的解是____x=3________

x-ll-x2X+1

【答案】x=3

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到X的值,

经检验即可得到分式方程的解.

2(x4-1)-2=3(x-1),

2x+2—2=3x—2

解得：x=3,

检验：当x=3时，x—1=2,1—x2=—8,x+1=4,

・♦.原分式方程的解为：x=3.

故答案为：x=3.

18.(24-25•山东模拟)已知方程此一a=工，且关于x的不等式aVxWb

a-44-a

只有4个整数解，那么b的取值范围是—3<b<4_______.

【答案】3<b<4

【解析】本题考查了解分式方程，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌

握运算法则是解本题的关键.

分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到a的值，代入不等式组

确定出b的范围即可.

【解答】解：分式方程去分母得：3-a—a2+4a=—1,BPa2—3a-4=0,

分解因式得：(a-4)(a+1)=0,

解得：a=-1或a=4,

经检验a=4是增根，

二分式方程的解为a=-1,

当a=-1时，由aVx工b只有4个整数解，得到3<b<4.

故答案为：3<b<4.

19.(24-25•江苏模拟)已知关于x的分式方程±+2=4的解是非负数，

则k的取值范围是k<2且k中-1.

【答案】k<2kk^-l

【解析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正

确解答的前提.将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程1勺解

是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可.

【解答】解：关于x的分式方程2=事化为整式方程得，

x-l1-X

k+2(x—1)=—x,

解得X=胃，

由于分式方程的解为非负数，即?>0,

所以kW2,

当x=1时，k=-1,

因此k的取值范围为k<2且k工-1,

故答案为：1<42且女工一1.

20.(24-25•四川模拟)关于x的方程音+言一5无解,则m的值为

1.

【答案】1

【解析】本题主要考查了分式方程无解问题.先解分式方程，用含m的代数

式表示出x,根据方程无解得到x=2,代入计算即可.

【解答】解：笔+普=5,

x-22-X

去分母，得2x-2-2m=5x-10,

移项，合并同类项，汇得-3x=2m-8,

系数化为1,得x=上^二

•••该方程无解，贝i」x=2,

:.不一=2,解得m=1.

故答案为：1

21.（24-25•四川中考）若关于x的分式方程二+白=3无解，则

x-22-x

m=-1

【答案】-1

【解析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程无解时，方程有增根的

情况是解答木题的关键.

根据题意，解分式方程，得到x=等，由题意得到原方程无解，故*=等

是原方程的增根，由x-2=0,得到x=2,由此得到答案.

【解答】解：二+七=3,

X-22-X

去分母：方程两边同时乘以x-2,得：

x+m—l=3x—6,

x—3x=—6—m+l,

-2x=—5—m,

•・•原方程无解,

x=是原方程的增根,

由x—2=0,x=2,

•••m=-1

故答案为：—1.

22.（24-25•福建期中）若分式方程三=3-广的解为正整数，则整数m的

值为-1

【答案】-1

【解析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的

未知数的值.

表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可.

【解答】解：合=3-£

x,mx

化简得:—=3n4----,

X-1X-1

去分母得：x=3(x—1)4-mx,

移项合并得：(2+m)x=3,

解得：x=高

由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m=l或2+m=3,

解得：m=-1或m=1(舍去，会使得分式无意义).

故答案为：-1.

23.(24-25•江西中考)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车

耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每

百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车

每百公里的耗电费为X元，可列分式方程为一舞=等

[]6000_1C00

口'x+50x

【解析】本题考查分式方程的应用.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元,

由每百公里的耗油费为(x+50)元，根据“燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程

与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同”列出分式方程即可.

【解答】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，由每百公里的耗油费为

(x+50)元,

根据题意得，等=%

x+50x

故答案为:60001000

x+50x'

24.(23-24-内蒙古中考)2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙

的专属汉字“辰”为名.某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”

单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是

用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为

______55________元.某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个,

且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售

价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%.若两种型号

的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为1260元.

【答案】55,1260

【解析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数

的应用，熟练掌握一次函数的性质是解题关键.设大号“龙辰辰”的单价为x元，

则小号“龙辰辰”的单，介为(x-15)元，根据题意建立分式方程，解方程即可得；

设购进小号“龙辰辰”的数量为a个，则购进大号“龙辰辰”的数量为(60-a)个，

先求出a的取值范围，再设该网店所获利润为w元，建立w关于a的函数关系式，

利用一次函数的性质求解即可得.

【解答】解:设大号“龙辰辰”的单价为x元，则小号“龙辰辰”的单价为(X-15)

元，

由题意得：等=1.5x刎，

x-15x

解得x=55,

经检验，x=55是所列分式方程的解，

所以大号“龙辰辰”的单价为55元，小号“龙辰辰”的单价为40元.

设购进小号“龙辰辰”的数量为a个，则购进大号“龙辰辰”的数量为(60-a)个，

由题意得：0V60—

解得40<a<60,

设该网店所获利润为w元,

则W=(60-40)a+[60x(1+30%)-55](60-a)=-3a+1380,

由一次函数的性质可知，在40WaV60内，w随a的增大而减小，

则当a=40时，w取得最大值，最大值为一3x40+1380=1260,

即该网店所获最大利润为1260元，

故答案为：55；1260

2.+1v?

25.(23-24•重庆中考)若关于x的一元一次不等式组3的解

.4x—2V3x+a

集为x<4,且关于y的分式方程氏-土=1的解均为负整数，则所有满足条件的

整数a的值之和是12.

【答案】12

【解析】根据不等式组的解集求参数，先解不等式组中的两个不等式，再根

据不等式组的解集求出a>2；解分式方程得到y=三四,再由关于y的分式方程

兰一三=1的解均为负整数，推出aV10且a¥6且a是偶数，则2<aV10且

y+2y+2

a装6且a是偶数，据此确定符合题意的a的值，最后求和即可.

<3®

【解答】解：3-，解不等式①得X44,

,4x-2<3x+a②

解不等式②得xva+2,

・.♦不等式组的解集为x<4,

a+2>4,

a>2：

解分式方程氏—忘=1得丫=詈，

・••关于y的分式方程苗-束=1的解均为负整数，

詈<0且等是整数,丫+2=詈+2=0,

a<10且a*6且a是偶数,

2<a<10且a06且a是偶数，

.・・满足题意的a的值可以为4或8,

所有满足条件的整数a的值之和是4+8=12.

（三）解答题演练（2023-2025年中考真题/模拟题）

X-322

26.（24-25•上海中考）解方程:’‘—’'------

x-2X2-3X+2X-1

【答案】x=5

【解析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再

解方程并检验即可得到答案.

【解答】解:x-322

X-2X2-3X+2X-1

方差两边同时乘以(x-2)(x-1)得：(x-3)(x-1)-2=2(x-2),

去括号得：x2-3x—x+3-2=2x-4,

移项，合并同类项得：x2-6x+5=0,

（x-l）（x-5）=0,

x-1=0或x-5=0,

解得x=1或x=5,

检验，当x=l时，x—1=0,此时x=l是原方程的增根，

当x=5时，（x-2）（x-1）=120U,此时x=5是原方程的解,

原方程的解为x=5.

27.（23-24•福建中考•）解方程：2+1=三.

【答案】x=10.

【解析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和方法，将分式方程

化为整式方程求解，即可解题.

【解答】解：.+1=聂,

方程两边都乘(x+2)(x-2),得3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2).

去括号得：3x-6+x2-4=x2+2x,

解得x=10.

经检验，x=10是原方程的根.

28.(24-25•陕西模拟)若关于x的方程=+2=?有增根，试求k的值.

x-33-x

【答案】1

【解析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为。的

根.有增根，那么最简公分母X-3=0,所以增根是x=3,把增根代入化为整

式方程的方程即可求出k的值.

【解答】方程两边都乘(X-3),得

k+2(x-3)=4-x,

•.•原方程有增根，

.•・最简公分母X—3=0,即增根为x=3,

把x=3代入整式方程，得k=l

29.(24-25•浙江模拟)小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”

看不清楚：--+3=.

x-22-x

(1)她把这个数“？”猜成5,请你帮小华解这个分式方程；

(2)小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是x=2,原分式方

程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？

【答案】x=0

-1

【解析】(1)“？”当成5,解分式方程即可,

(2)方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.

【解答】⑴解：依题意，二;+3=生

x-22-X

方程两边同时乘以(X-2)得

5+3(x-2)=-1

解得x=0

经检验，x=0是原分式方程的解；

(2)解：设？为m,

方程两边同时乘以(x-2)得

m+3(x-2)=-1

•••x=2是原分式方程的增根，

.♦.把x=2代入上面的等式得

m4-3X(2-2)=-1

m=-1

•••,原分式方程中”代表的数是-1.

30.(25-26•浙江模拟)对于m,只有一个实数值x满足三+匚=用，求

x-lxxz-x

所有满足条件的m的值.

【答案”或1或2

【解析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确

分析计算是解题的关键.

先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数,

再根据分式有意义的条件进行判断即可.

【解答】・•♦原方程是分式方程，

•••XH0且XH1,

22

两边同时乘以x(x—1)得：x4-(x—I)=m-x；

・•・2x2-x+(1-m)=0,

•.•方程2x2-x+(1-m)=0只有一个实数解,

若原分式方程有解，

A=b2-4ac=l2-4x2x(1—m)=0,

解得：m=9

o

2

2x—x+-8=0,

解得：Xi=x=7，符合题意；

24

若原分式方程有增根，则x=0或x=l,

当x=0时，0-0+(l-m)=0,

解得：m=1；

当x=1时，2x乃一1+(1-m)=0,

解得：m=2；

综上所述：m的值为:或1或2

8

3L(23-24.江苏模拟)若数a使关于x的分立方程管+.=3的解为非负

-y-3_y+l_13

数，且使关于y的不等式组三厂一一石的解集为y40,求符合条件的所有

2(y-a)<0

整数a的积.

【答案】40

【解析】先用a表示方程的解，根据解是非负数，且xwl,结合不等式组的

解集确定a的范围，求得整数解计算即可.

【解答】••铠+&=3,

去分母，得

x+2—a=3x—3,

移项、合并同类项，得2x=5—a,

系数化为1,得

5-a

X=——

2

.••数,使关于x的分式方程誉+±=3的解为非负数,且x-1H。,

5—a八5—a

—>0,—=41,

22

：•a45,a。3,

一一『之3①

、2(y—a)<0②

•••①的解集为y40,②的解集为yva,

y-3_y+1_13

~丁一一后的解集为y40,

2(y-a)<0

•••a>0,

符合条件的所有整数a为1,2,4,5,

.•.符合条件的所有整数a的积为1x2x4x5=40

（2x-1>-x

32.（23-24•贵州模拟）己知不等式组｛入wi

（1）解上述不等式组.

（2）从（1）的结果中选择一个整数是方程三二三-2的解，求m的值.

【答案】：<XW2

2

【解析】（1）根据解一元一次不等式组的一般步骤进行解答即可；

（2）先求出（1）中不等式组的整数解.，再考虑分母x-200,然后把整数代

入分式方程得出关于m的方程，解方程即可求出m的值.

2x-1>-x①

【解答】（1）解:

|x<1②

2

解不等式①得：x>|,

解不等式②得：x<2,

，不等式组的解集为:<xW2；

（3）解：•.4<xW2,且x为整数,

,x=1或2,

•••x—2。0,

x。2,

x=1,

把x=i代入得:

—1-1—-m---2c»

1-22-1

解得：m=2.

33.（24-25•广东模拟）阅读材料:对于非零实数a,b,若关于x的分式经咙心

X

的值为零，则解得Xi=a,X2=b.又因为（x-a）（x-b）=x2—（a+b）x+ab=x+独—Q+

XXX

b）,