第二十章《勾股定理》高频考点（含答案）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十章《勾股定理》高频考点

高频考点一勾股定理与直角三角形

1.在RtAABC中，ZJCB=90.

(I)已知AC=8,BC=6厕AB=;

(2)已知AB=2.5,BC=2.4,则AC=.

2.^RtAABC中、最长边AC的长为15.最短边BC的长为9厕AB的长为.

3.已知一个直角三角形的三条边的平方和为18()(),则斜边的长为.

4.已知直角三角形的周长为12cm,面积为6c%则这个直角三角形的斜边长为cm.

5.直角三角形的一条直角边长为11,另两边的长为自然数，则这个直角三角形的斜边长为.

高频考点二勾股定理与勾股弦图

6.如图1,已知边长为c的正方形和四个斜边长为c,两直角边长分别为a,b(a>b)的四个小直角三角形.

(I第四个小直角三角形按图2的方法摆放，中间会形成一个小正方形，则小正方形的边长为(用

含a,b的式子表示)，并用此图验证勾股定理；

(2底图2中，大正方形的面积为20,小正方形的面积为4,求(什»2的值；

(3)如图3,用八个全等的直角三角形拼成三个正方形，记图中正方形ABCD的面积为S”正方形EFGH的

面积为S2,正方形MNKT的面积为S3,直接写出SSS之间的数量关系为.

高频考点三勾股定理与特殊角

类型1特殊三角形

7.如图，在RtAABC中,NBAC=9Do,NABC=45。,则AC:AB:BC=.

8.如图，在RtAABC中,NBAC=90o,NABC=30。,贝UAC:AB:BC=_.

9.如图，在AABC中,/ABC=30o,/BAC=120ojiU|AC:AB:BC=_.

10如图,在等边三角形ABC中,AB=4,则S&8c=_.

第10题图笫1】题图第12题图

类型2作高构造特殊三角形

11如图，在aABC中,NABC=45o,NBAC=75o,AB=3贝!JAC=BC=

12如图，在△ABC中.NBAC=135o,AB=4,AC=2&则BC=_.

13如图在4ABC中.NC=60o,AC=4,BC=8,求AB的长.

14如图,四边形ABCD中，N/=90,NZ>120,NC=105°,CD=2AD=6,求AB,BC的长.

105,

120*

AB

高频考点四实际问题与勾股定理

15如图，某会展中心在会展期间准备将高(BC)5m,长(AB)13m,宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方

米50元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元钱？

16如图，A,B两个小集镇在河流CD的同侧，到河的距离分别为AC=10km,BD=30km,且CD=30km,现在要在

河边建一自来水厂，向A,B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择水厂的位置M,

使铺设水管的费用最节省，并求出最低总费用是多少？

17如图，将一架长梯AC斜靠在一竖直的墙AB上，梯子的顶端在墙的最高处，这时梯子的底端恰好落在地

面上的点C处，如果将梯子顶端A沿墙下滑到点D处，那么梯子的底端C也外移到地面的点E处，如果AD=

CE,BE=4m,求墙AB的高度.

高频考点五勾股定理与作图

类型1尺规作图

18利用直尺和圆规作出下列长度的线段.

⑴(2)715;

类型2网格作图

19如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.

(1)在图1中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三加长分别为J说,3&和4;

(2)如图2,在直角坐标系中,A(0,4),B(3,0),画出线段AB关于y轴的对称线段AC,并计算点B到AC的距离.

图2

20如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1,小正方形的顶点称为格点，在下列正方形网格中分别画出下

列图形

(1点图1的网格中画一条长为心的线段AB；

(2疮图2网格中画出一个腰长为7T0.,面积为3的钝角等腰三角形DEF;

(3剂用图3网格，直接写出三边长分别为旧,正26的三角形面积为.

图I图3

高频考点六勾股定理与立体图形中的最值

21如图是一个无盖长方体，已知该长方体的长，宽，高分别为4,3,12,现用一根长为2（）的木棒伸入长方体

的底部，则木棒露在长方体外面的长度1的取值范围是_____________.

22如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2,一只蚂蚊从点P出发沿木箱表面爬行到

点Q,求蚂蚁爬行的最短路程.

23如图，有一圆柱形油罐，要从点A环绕油罐建梯子到点B,点B在点A的正上方，已知油罐的底面周长

为12m,AB为5m,所建梯子最短需多少米？

高频考点七勾股定理的逆定理

24若三角形的三条边长a,b,c满足42+62+/+50=64+8什106则此三角形为（）

A.说角三角形B.直角三角形

C钝角三角形D.不能确定

25材料阅读：平面内两点.历）,N（X2"2）,则由勾股定理可得这两点间的距离“2小（.打一孙）2+3|一及）2・

例如.如图l,M(3,l),N(l,-2),则A/g/(3T)2+(l+2)2=VT3.

直接应用：⑴已知点P(2,-3),Q(-1,3),求P,Q两点间的距离；

(2)如图2,在平面直角坐标系中，/(T，-3)0片电08与x轴正半轴的夹角是45、

①求点B的坐标；

②试判断△力50的形状.

1.(1)10(2)0.72.123.30

4.5解:设两直角边的长分别为acm,bcm,斜边的长为ccm,

贝！]a2+b2=c2.Va+h=12-c^ab=6,

/.(a+6)2=(12-c')2,2ab=144-24c,24c=120,c=5.

5.61解：设斜边长为c,另一直角边长为a.Ye2p2=[21,

:.ic+a)(c-a)=12l.Va,c都是自然数，且0<a<c,

•,«c+a和c-a都是自然数、且c+a>c-a,

:.c+a=121,c-a=1,解得c=61,a=60,故斜边长为61.

6.证明:(l)(a-b)

小正方形的面积=c2-4x；"=(qf)2.

化简，得》=。2+炉；

(2)由⑴得.QL〃)2=4,/_4X产

,:a2+b2=c2=20,/.=8,

(a+匕y=a2+〃+2ab=36:

(3股直角三角形的面积为S,贝S=8S+53，S2=4S+S3,・・・S|+S3=2S2.

71:1:728.1:73:2

9.1:1:V310.4V3

11.2V3

3+V5

12.2710

13解:作AD_LBC于点D.在RtAACD中，

*/ZC=60°,.\ZCAD=30°,AC=2CD=4,

CD=2.^AC^AL^+CD2,

AAD=2A***BD=BC-CD=6.

在RtAABD中，AB2=AD2+BD2,

2

/.JZ?2=(2\/3)~+62,/.AB=4y/3.

14解:延长BC交AD的延长线于点E,过点C作CFJ_AE于点F、由四边形ABCD的内角和为360\得NB=45。,

・•・AABE,ACEF都是等腰直角三角形,NCDE=60。.

VCD=6,.\DF=3,CF=3V3,EF=CF=3VJ,CE=V2CF=3V6,AAB=AE=AD+DF+EF=6+3V3,BE=

\[2AB=(»/2+3y/6,BC=BE-CE=()y/2,工48=6+3VJ,BC=6五.

2222

15M：AC=y/AB-BC=y/\3-5=]2(m)y

则地毯总长为12+5=17(m),

则地毯的总面积为17x2=34(,H2),

，铺完这个楼梯至少需要34x50=1700(元).

16解:延长BD至点G使DG=BD,连接GA交CD于点M,点M为所求位置，过点A作AN1BD于点N,由

勾股定理，知GA=50km,费用是50x3=150(万元).

17解:设AB=xm,BC=ym,AD=CE=am.根据题意得AC2=AB2-^BC2=x2+y2,DE2=BD2+BE2=(x-a')

+(y+a):,*：AC=DE,•••工2+/=(尤一〃)2+6斗〃)2解得x=y+a,即AB=BC+CE=BE=4(m).

答墙AB高4m.

Q)

19解:⑴如图;

(2)C(-3,0),AC=5作BD1AC于点D,