江苏淮安市高中校协作体2025-2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷参考答案

第页（共6页）淮安市高中校协作体2025～2026学年度第二学期高二年级期中联考数学试卷参考答案一、单项选择题（本大题共有8小题，每题5分，共40分）1．已知向量a=(−1,2,x)，b=(2,−4,5)，若，则（B）A．5 B．2 C．1 D．2．甲、乙、丙、丁四人排成一列，甲不在排头，且乙或丙在排尾的概率是(C)A.16 B.14 C.133．已知的展开式中的系数为-5，则（B）A．4 B． C． D．4．已知向量，，若A，B，C三点共线，则(A)A.-2B.2C.±2D.5．若，则（B）A．5 B．4 C．3D．26．如图所示，四面体所有棱长均为4，则（A）A．43 B． C． D．7.已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为(C)A.2B.1C.4D.38．今天是星期三，再过天是星期几（D）A．星期三 B．星期五C．星期六 D．星期日 二、多项选择题（本大题共有3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.）9．关于空间向量，以下说法正确的是（ABD）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底C．若，则是钝角D．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面10．下列说法正确的是（ACD）A．将3封信投入5个邮筒，不同的投法共有53B．6本不同的书，分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有270种分法C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法D．将4个不同的小球放入4个不同的盒子中，则恰有两个盒子为空的放法种数为8411．设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，，，则（ABD）A．与不互斥 B．与相互独立C． D．三、填空题（本大题共有3小题，每题5分，共15分）12．已知,B(0,1,1),C(1,1,0)则角∠BAC的大小为答案：13.已知的展开式中，二项式系数的和为128，则展开式的各项系数和为(结果用数字作答)答案：218714．已知a=(1,3,0),b=(2,−2,1),则在方向上的投影数量为，在方向上的投影向量为.(第一空3分，第二空2分)答案：−43，四、解答题（本大题共有5小题，第15题13分，第16题、第17题每题15分，第18题、第19题每题17分，共77分）15．（本题13分）.从包含甲、乙2人的6人中选4人参加米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？（结果用数字作答）(1)甲、乙2人都被选中且必须跑中间两棒；(2)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；(3)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；(4)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒.解:（1）甲乙两人在中间两棒，则有种排法从剩下4人选出2人排列到两边，有A4则共有2×12=24种排法（2）将甲乙绑定到一起，内部有2种排法从剩下4人选出2人，有C4全排列3个元素有种排法所以共有2×6×6=72种排法（3）先从剩下4人选出2人先排列，有A4将甲乙插入到已排列的两个元素邻近的3个空位中，以保证甲乙不相邻，有种排法所以共有12×6=72种排法.………（4）若甲在第四棒，则从剩下4人选出2人，有C43人全排列，共有种排法此时共有6×若甲不在第四棒，也不在第一棒，所以甲有2种排列方法乙不在第四棒，也不能与甲同棒，所以乙有2种排列方法再从剩下4人选出2人排列到剩下的两个位置，有A4此时共有2×2×12综上，共有36+48=84种排法.…………13分16．（本题15分）如图，在边长为2的正方体中，E是棱上的点，平面C1A1E交棱于点F(1)证明：；(2)若直线与平面C1A1E所成角的正弦值为，求线段的长度及此时点到平面C1解：（1）连接，由正方体可知，四边形为平行四边形，平面，平面平面………3分平面，平面平面………6分（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，设的长为a，则，，，，………………8分，，A1E=(0,a,−2)设平面的一个法向量为则，故可得设直线与平面所成角为则，解得，故的长度为1………13分点到平面的距离………………15分17.（本题15分）某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：年龄段类型单次购物金额满188元81523159单次购物金额不满188元235911(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有4000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.解:（1）由表可知，单次购物金额满188元的有：8+15+23+15+9=70人所以单次购物金额满188元频率为：………3分所以4000人中，单次购物金额满188元大约4000×故需准备2800个环保购物袋………6分（2）记事件为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”记事件为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”所以，………10分所以故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为……………15分18.(本题17分)已知x−axn(n(1)若展开式中只有第7项的二项式系数最大，求n的值；(2)当n=9时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B=4A，求a的值；(3)当n=6，a=-2时，求二项式的展开式中系数最大的项.解(1）若展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式共13项，故n=12……3分(2)当n=9时，二项式为x展开式的通项Tk+1=C9kx9−k−axk=(-a令9-3k2=3，得k=4，所以A令9-3k2=0，得k=6，所以B又B=4A，解得a=0(舍去)或a=6或a=-6所以a=6或a=-6………9分(3)当n=6，a=-2时，二项式为x展开式的通项Tk+1=C6kx6-k2xk=2k设第k+1项系数最大，则2k·C6即k≤143,所以二项式的展开式中系数最大的项为T4+1=24C64=24019.（本题17分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，．(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)已知，点满足平面PEC．（i）求；（ii）求平面PBD与平面PEC的夹角．解：（1）因为ABCD为菱形，所以设AC，BD交于点，则又因为，所以因为，AC，平面PAC所以BD⊥平面PAC…………………4分（2）（i）取PC中点，则且，由知所以，即四点共面因为平面PEC，平面OBEF，平面平面所以因此OFEB是平行四边形，故，即…9分（ii）由（1）可知，BD⊥平面PAC，因为平面ABCD，所以平面平面PAC，因为平面平面，所以在平面PAC内作Oz垂直于AC，如图，以为原点，建立空间直角坐标系，由题意可知，，，……