新疆乌鲁木齐地区2026届高三数学上学期第一次质量监测试题含解析

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市2026届高三一模

数学试题

一、单选题

1．若集合A1,2,3,4，B2,4,6,8，则集合AB（）

A．2,3,4B．2,3

C．2,4D．1,2,3,4,6,8

2i

2．复数等于

1i

A．i-1B．1-iC．1+iD．-1-i

3．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（）

1

1

A．yxB．yx2

C．y=x2D．yx3

4．若abc0，则下列选项正确的是（）

ccbbc

A．B．

abaac

11bc

C．D．

acbcabac

5．已知单位向量e1与e2的夹角为60，则2e1e2（）

A．1B．3

C．2D．7

6．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A45，B75，c23，则ABC的面积

为（）

A．6B．23

C．26D．33

7．设抛物线C:y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于

B，D两点，若FBD30，且△ABD的面积为3，则p（）

A．2B．1

22

1

C．3D．

33

1x，x0

8．已知函数fx{，则fxfx的解集是（）

2x，x0

A．1，01，B．，10，1

C．1，00，1D．，11，

二、多选题

9．已知函数fx(x1)2x2，则下列说法中正确的是（）

A．f11

B．fx的极大值点是x1

C．fx在x0处的切线为5xy20

42

D．fx图象的对称中心是,

327

ˆ

10．两个具有相关关系的变量x，y的一组数据为(x1,y1)，(x2,y2)，，(xn,yn)，其经验回归方程为yˆbxaˆ，

nn

11

记xxi，yyi，相关系数为r；若将数据调整为(x1,y12)，(x2,y22)，，(xn,yn2)，其

ni1ni1

n

ˆ1

经验回归方程为yˆbxaˆ，记y(yi2)，相关系数为r，则（）

ni1

nn

(xx)(yy)

(xix)(yiy)ii

ˆi1ri1

附：bn，nn

222

(xix)(xix)(yiy)

i1i1i1

A．yyB．bˆbˆ

C．aˆaˆD．rr

x2y2

11．双曲线C:1(a0,b0)左右焦点为F1，F2，O为坐标原点，过点F1作斜率为15的直线交双

a2b2

曲线左支于P，Q两点，点P在x轴上方，且PQQF2，则（）

A．PF22PF1

B．C的离心率为2

2

C．PQF2的面积为315a

D．PO6a

三、填空题

3

12．已知sin，则sin2．

52

13．已知loga4log2a3，则a的取值范围为

14．已知圆锥的轴截面是边长为23的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底

面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为1:9，则该正四棱台的体积为

四、解答题

15．等差数列an的前n项和为Sn，已知a34，S39.

(1)求an的通项公式；

(2)数列bn的各项依次是数列an的第2，4，8，16项，这些下标构成等比数列，求数列bn的前n项

和Tn.

x2y23

16．椭圆1

(ab0)的一个顶点是B0，8，O为坐标原点，离心率为.

a2b25

(1)求椭圆方程；

(2)P是椭圆上x轴上方一点，F是右焦点，PF的斜率为43，求四边形OFPB的面积.

17．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，P分别为A1B，CM的中点.

(1)若点Q在线段AA1上，且A1Q3QA，求证：PQ//平面ABC；

(2)若BABC2，ACCC1CA122，A1BBA，求平面ABC与平面BCC1B1的夹角.

18．已知函数f(x)=sinnx+cosnx，n=2k+1，kÎN.

(1)当n1时，求fx的单调区间；

(2)当n3时，求曲线fx的对称轴；

(3)求fx的最大值和最小值.

19．某人开车从A地到B地，依次路过编号为1，2，，n的n个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿

灯且相互独立，记奇数号路口遇到红灯的次数为X，偶数号路口遇到红灯的次数为Y，记事件“XY”为

An，An的概率为pn.

(1)求p2，p3；

(2)当n2k，kN*.

（i）设XY，求E；

（ii）比较pn2与pn的大小，并证明你的结论.

参考答案

1．C

【详解】由题意可知，AB2,4.

故选：C

2．A

2i2i(1i)2i(1i)

【详解】由题得=1i.

1i(1i)(1i)2

故选：A

3．C

【详解】对于A，函数yx1在(0,)上单调递减，A不是；

1

对于B，函数yx2的定义域为[0,)，不具有奇偶性，B不是；

对于C，函数y=x2的定义域为R，是偶函数，在(0,)上单调递增，C是；

对于D，函数yx3是R上的奇函数，不是偶函数，D不是.

故选：C

4．D

11cc

【详解】因为ab0，所以，因为c0，所以，A错误；

abab

bbcb(ac)a(bc)c(ba)bbcc(ba)

，因为abc0，所以ba0,ac0，则0，

aaca(ac)a(ac)aaca(ac)

bbc

，B错误；

aac

11

因为acbc0，所以，C错误；

acbc

11aaaaabacbc

因为且a0，所以，则11，即0，所以，D正确.

bcbcbcbcabac

故选：D

5．B

222

【详解】212.

2e1e22e1e24e14e1e2e24141113

2

故选：B.

6．D

【详解】A45，B75，C180457560，

abc23

4

sinAsinBsinC3，

2

a4sinA4sin4522，

232162

sinBsin4530，

22224

1162

SacsinB222333．

ABC224

故选：D．

7．A

pp

【详解】由题意，F(,0)，l:x，且FBD30，

22

p

∴圆F的半径r2p，即|FA|2p，而

sin30

|BD|2rcos3023p，

由抛物线的定义知：A到l的距离d|FA|2p，

122

∴SABDd|BD|3，即23p3，解得p，

22

故选：A

8．A

【详解】当x0时，x0，fxfx即为1x2x，

画出函数y1x和y2x在(,0)上的图象如图所示，

当x1时，y1x22x，所以1x2x的解为(1,0)；

当x0时，不满足fxfx；

当x0时，x0，fxfx即为2x1x，

画出函数y2x和函数y1x的图象如图所示，

当x1时，y2x1x2，所以fxfx的解为(1,).

综上，fxfx的解为1，01，.

故选：A

9．BCD

【详解】fx2(x1)x2(x1)2(x1)(3x5)，

对于A，f111350，故A错误；

5

对于B，令fx0，则(x1)(3x5)0，解得x1或x，

3

55

所以当x1时，fx0，当1x时，fx0，当x时，fx0，

33

55

所以fx在(,1)上单调递增，在(1,)上单调递减，在(,)上单调递增，

33

所以fx的极大值点是x1，故B正确；

对于C，f(0)(01)2(02)2，f0(01)(05)5，

所以fx在x0处的切线为y25(x0)，即5xy20，故C正确；

82828

对于D，fxf(x)(x1)x2(x1)x2

333

2251022

(x2x1)x2(xx)x

933

5025220104

x32x22x24xx2xx2x3xx2，

27939327

42

所以fx图象的对称中心是,，故D正确；

327

故选：BCD

10．BD

nn

11

【详解】对于A，y(yi2)yi2y2，A错误；

ni1ni1

nn

(xix)[(yi2)y](xix)(yiy)

ˆi1i1ˆ

对于B，bnnb，B正确；

22

(xix)(xix)

i1i1

对于C，bˆxaˆyy2bˆxaˆ2，则aˆaˆ2，C错误；

nn

(xix)[(yi2)y](xix)(yiy)

对于D，ri1i1r，D正确.

nnnn

2222

(xix)[(yi2)y](xix)(yiy)

i1i1i1i1

故选：BD

11．ABD

x2y2

【详解】设双曲线C:1(a0,b0)焦点F1(c,0),F2(c,0)，由PQQF2

a2b2

及双曲线定义得|PF1||PQ||QF1||QF2||QF1|2a,|PF2|2a|PF1|4a，

1

在PFF中，由tanAFF15，得cosAFF，由余弦定理得

1212124

1

(4a)2(2a)2(2c)222a2c，解得c2a，

4

对于A，PF24a2PF1，A正确；

c

对于B，C的离心率e2，B正确；

a

2a(2a)2(4a)2(2c)2

对于C，在等腰PQF与PFF中，cosFPF，

212|PQ|1222a4a

8a315

解得|PQ|8a，而sinAFF，SPQF4SPFF

5a2c2124212

115

4|PF||FF|sinAFF22a2c415a2，C错误；

2112124

221

对于D，在PF1O中，|PO|(2a)c22ac6a，D正确.

4

故选：ABD

7

12．/0.28

25

2

3237

【详解】解：因为sin，所以sin2cos212sin12；

52525

故答案为：7

25

13．0,12,4

12

【详解】因为loga4log2alog2alog2a，

log4alog2a

22

所以令tloga，则t0，所以t3，由yt的图象可知，

2tt

所以t,01,2，log2a,01,2，所以a0,12,4.

故答案为：0,12,4.

527

14．/5

99

【详解】依题意，圆锥SO的内接正四棱台ABCDA1B1C1D1的下底面正方形ABCD是圆O的内接正方形，

上底面正方形A1B1C1D1的四个顶点在侧面上，该正四棱台的对角面所在平面截圆锥得其轴截面正SAC，

2A1B11

AC23,ABAC6，由正四棱台的上、下底面面积比为1:9，得，

2AB3

6SO1A1C11

则AB，令圆锥的轴交正四棱台上底面于O1，则，而SO3，

113SOAC3

1266252

则正四棱台的高OO12，该正四棱台的体积为V[(6)6()]2.

3339

52

故答案为：

9

15．(1)ann1

n1

(2)Tn2n2

3a1a3

【详解】（1）因为an是等差数列，由已知a34，S39，得S9，

32

aa

所以a2，所以d311，所以an1；

12n

212n

（2）由题意可知：n，所以n1.

bna2n21Tn2n2

n12

x2y2

16．(1)1

10064

(2)20123

b8

c3x2y2

【详解】（1）由题知，，解得：a10，所以椭圆方程为1；

a510064

222

abc

y43x6

（2）因为F6,0，所以PF：y43x6，联立x2y2，

1

10064

130

得19x2225x6500，解得x5或x，

19

130

因为点在轴上方，所以，解得，故不合题意，应舍去，所以，

PxyP43(xP6)0xP6xP5,43

19

11

所以四边形OFPB的面积SSS6438520123.

OFPOPB22

17．(1)证明见解析；

π

(2)

4

【详解】（1）在三棱柱ABCA1B1C1中，取BM的中点E，连接EQ,EP，由M为A1B的中点，

得A1E3EB，而A1Q3QA，则EQ//AB，又P为CM的中点，则EP//BC，

而EQ,EP平面ABC，AB,BC平面ABC，于是EQ//平面ABC，EP//平面ABC，

又EQEPE,EQ,EP平面EPQ，因此平面EPQ//平面ABC，而PQ平面EPQ，

所以PQ//平面ABC.

≌

（2）由BABC,AA1CA1,A1BA1B，得A1BCA1BA，而A1BAB，则A1BBC，

由BABC2,AC22，得BA2BC28AC2，即ABBC，

故可以点B为原点，直线BC,BA,BA1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

由BC2,CA122,A1BBC，得A1B2，

则B(0,0,0),A(0,2,0),C(2,0,0),A1(0,0,2),BC(2,0,0),BB1AA1(0,2,2)，

nBC2x0

设平面的一个法向量，则，令，得，

BCC1B1n(x,y,z)y1n(0,1,1)

nBB12y2z0

mn12

而平面ABC的一个法向量m(0,0,1)，因此cosm,n，

|m||n|122

π

所以平面ABC与平面BCCB的夹角为.

114

轾3ππ轾π5π

18．(1)增区间是犏2kπ-,2kπ+,kÎZ，减区间是犏2kπ+,2kπ+,kÎZ

臌犏44臌ê44ú

π

(2)x=kπ+,kÎZ

4

(3)当时，==-；

n1f(x)max2,f(x)min2

当，且n为奇数时，==-.

n3f(x)max1,f(x)min1

骣π

【详解】（1）当n1时，f(x)=sinx+cosx=2sin琪x+，

桫4

πππ3ππ

令2kπ-£x+£2kπ+,kÎZ，解得2kπ-＃x2kπ+,kZ.

24244

ππ3ππ5π

令2kπ+£x+£2kπ+,kÎZ，解得2kπ+＃x2kπ+,kZ.

24244

轾3ππ轾π5π

所以fx的单调递增区间是犏2kπ-,2kπ+,kÎZ，单调递减区间是犏2kπ+,2kπ+,kÎZ.

臌犏44臌ê44ú

（2）当n3时，f(x)=sin3x+cos3x.

不妨设n3时，fx的对称轴方程为xa，由对称轴定义得f(x+a)=f(-x+a)，

π骣π骣π骣π骣π

令x，得sin3琪+a+cos3琪+a=sin3琪-+a+cos3琪-+a，

2桫2桫2桫2桫2

π

化简得cos3a=sin3a，即tana1，所以a=+kπ,kÎZ，

4

π

下面证明当a=+kπ,kÎZ时，f(2a-x)=f(x)恒成立，

4

骣π骣π骣π

因为f(2a-x)=f琪+2kπ-x=sin3琪+2kπ-x+cos3琪+2kπ-x

桫2桫2桫2

=cos3x+sin3x=f(x)，

π

所以fx的对称轴方程为xkπ,kZ.

4

π

（3）当n1时，x=+2kπ(kÎZ)时，fx2；

4max

5π

x=+2kπ(kÎZ)时，fx2.

4min

当n3时，f(x)=sinnx+cosnx，fxnsinxcosxsinn2xcosn2x，

因为n3，且n为奇数，y=xn-2单调递增，考虑一个周期x0,2π，令fx0，

当x变化时，fx,fx的变化如下表，

ππ骣πππ骣π

x00,琪,琪,π

44桫422桫2

fx00+0