2025-2026年济南莱芜区八年级第二学期数学期中考试试题以及答案

—2026学年度第二学期诊断性测试八年级数学试题注意事项：1.本试题共8页，分选择题部分和非选择题部分，选择题部分满分为40分，非选择题部分满分为110分。全卷满分为150分。考试时间为120分钟。2.答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名、座位号写在答题卡的规定位置。3.答题时，选择题部分每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。非选择题部分，用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。直接在试题上作答无效。4.本考试不允许使用计算器。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）2.已知x>y，下列不等式一定成立的是（）A.x+1>y+2B.4x<4yC.−3x>−3yD.5−x<5−y3.下列命题是真命题的是（）A.三角形的外角大于任意一个内角B.两边及一个角对应相等的两个三角形全等C.如果a2>b2，则a>bD.成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心4.把不等式x+3<2x+1的解集在数轴上表示出来，正确的是（）5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（）A.a2=b2−c2B.∠A:∠B:∠C=3:4:5C.∠A=∠B−∠CD.a:b:c=5:12:136.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50∘得到△ADE，若∠E=65∘，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（）A.65∘B.70∘C.75∘D.80∘7.为提高学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分。设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（）A.10x−2(10−x)≤80B.10x−2(10−x)>80C.10x−2(10−x)<80D.10x−2(10−x)≥808.如图，在△AOB中，∠ABO=60∘，点A的坐标为(0,8)，点C的坐标为(0,3)，点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕点C逆时针旋转90∘得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（）A.(3,5)B.(3,5)C.(3,3)D.(3,4)（第8题图）（第9题图）（第10题图）9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6。在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D。若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为A.5B.6C.4.8D.9.610.如图，点P是直线l上一点，线段AP与直线l的夹角为α（0∘<α≤90∘），点C在直线l上，若以A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（）A.2个或4个B.3个或4个C.4个D.2个或3个或4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请直接填写答案。）11.如图，点D是BA延长线上一点，若∠B=40∘，∠C=60∘，则∠DAC=______°。（第11题图）（第12题图）（第14题图）（第15题图）12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，AB的垂直平分线交BC于点D。若BD=8，则AC的长为______。13.若关于x的不等式组x≥4x>a14.如图，直线y=x−4与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y=x−4上时，则△OAB平移的距离是______。15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF，现有如下结论：①BF=3；②AD⊥CF；③AD平分∠CAB；④AF=25；⑤∠CAF=∠FCA，其中正确的结论是______。（填序号）三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（本题满分7分）解不等式组：3（x17.（本题满分7分）如图，点A，C，D，E在同一条直线上，FD⊥AE，BC⊥AE，垂足分别为D、C。AB=EF，BC=DF。求证：AD=CE。18.（本题满分7分）先阅读，再完成练习。一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。∣x∣<3，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以∣x∣<3的解集是−3<x<3；∣x∣>3，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于-3的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以∣x∣>3的解集是x<−3或x>3。解答下面的问题：（1）不等式∣x−3∣>5的解集是______；（2）已知关于x,y的二元一次方程组2x−y=9m+4x+4y=−8m+219.（本题满分8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,1)，B(1,1)，C(1,4)。（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为(−1,1)，请在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1绕原点逆时针旋转90∘得到的△A2B2C2；（3）若△A2B2C2绕某点旋转可以得到△ABC，则旋转中心的坐标为______。20.（本题满分8分）如图，长方形ABCD沿对角线AC折叠，顶点B落在点E处，EC与AD交于点O。（1）求证：△AOC是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=8，求线段EO的长。21.（本题满分9分）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物。书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案：方案一：每本可享受八折优惠。方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折。学校预计共需购买n本读物（n>40），方案一购买书本所需要的费用为y1，方案二购买书本所需要的费用为y2，请根据要求回答下列问题：（1）请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用；（2）假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？22.（本题满分10分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A顺时针方向旋转后，得到△QAB。（1）求点P和点Q之间的距离；（2）求∠APB的度数。23.（本题满分10分）体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，“体育强则中国强，国运兴则体育兴。”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某中学开展“享受快乐・增强体质・阳光大课间”活动，需购买A、B两种跳绳若干。已知购买1根A种跳绳和4根B种跳绳共需145元；购买3根A种跳绳和6根B种跳绳共需255元。（1）求A、B两种跳绳的单价；（2）如果某班级计划购买A、B两种跳绳共42根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？24.（本题满分12分）【活动回顾】在一元一次不等式和一次函数中，我们曾探究过“函数y=2x−5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系。发现：一元一次不等式2x−5>0的解集是函数y=2x−5图象在x轴上方的点的横坐标的集合。结论：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合。【解决问题】（1）如图1，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点A，且OA=2，则不等式kx+b<0的解集是______；（2）如图2，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则不等式kx+b≤x+2的解集是______；【拓展延伸】（3）如图3，一次函数y1=kx−3与x轴相交于点B(−3,0)，y2=x+b与x轴相交于点C(5,0)，这两个函数图象相交于点A。①结合图象，直接写出关于x的不等式组x+b≤0kx−3<0②连接OA，直线y2=x+b上是否存在一点P，使S△OCP=14S△OAC25.（本题满分12分）【问题探究】如图1，△ABE和△ACD都是等腰直角三角形，直角顶点为A，△ABE固定不动，△ACD绕着点A旋转。如图2，将△ACD绕点A旋转，当点D落在BE边上时，连接CE。（1）直接写出BD与CE的数量关系是______，位置关系是______；（2）探索AD，BD，DE之间的数量关系，并完整地证明你的结论；【拓展应用】（3）如图3，在△ABC中，∠ACB=45∘，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC=2，BC=3，求CD长。答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（D）2.已知x>y，下列不等式一定成立的是（D）A.x+1>y+2B.4x<4yC.−3x>−3yD.5−x<5−y3.下列命题是真命题的是（D）A.三角形的外角大于任意一个内角B.两边及一个角对应相等的两个三角形全等C.如果a2>b2，则a>bD.成中心对称的两个图形，对应点的连线经过对称中心4.把不等式x+3<2x+1的解集在数轴上表示出来，正确的是（C）5.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（B）A.a2=b2−c2B.∠A:∠B:∠C=3:4:5C.∠A=∠B−∠CD.a:b:c=5:12:136.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转50∘得到△ADE，若∠E=65∘，且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（C）A.65∘B.70∘C.75∘D.80∘7.为提高学生的安全意识，某校举办了安全知识竞赛活动，一共10道题，每一题答对得10分，答错或不答扣2分。设答对了x道题，若得分不低于80分，可列出关于x的不等式是（D）A.10x−2(10−x)≤80B.10x−2(10−x)>80C.10x−2(10−x)<80D.10x−2(10−x)≥808.如图，在△AOB中，∠ABO=60∘，点A的坐标为(0,8)，点C的坐标为(0,3)，点P是OB上一动点，连接CP，将CP绕点C逆时针旋转90∘得到线段CD，使点D恰好落在AB上，则点D的坐标为（B）A.(3,5)B.(3,5)C.(3,3)D.(3,4)（第8题图）（第9题图）（第10题图）9.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6。在AB、AC上分别截取AP、AQ，使AP=AQ，再分别以点P，Q为圆心，以大于12PQ的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点R，作射线AR，交BC于点D。若点M、N分别是线段AD和线段AB上的动点，则BM+MN的最小值为A.5B.6C.4.8D.9.610.如图，点P是直线l上一点，线段AP与直线l的夹角为α（0∘<α≤90∘），点C在直线l上，若以A，P，C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（B）A.2个或4个B.3个或4个C.4个D.2个或3个或4个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。请直接填写答案。）11.如图，点D是BA延长线上一点，若∠B=40∘，∠C=60∘，则∠DAC=___80___°。（第11题图）（第12题图）（第14题图）（第15题图）12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=15∘，AB的垂直平分线交BC于点D。若BD=8，则AC的长为___4___。13.若关于x的不等式组x≥4x>a的解集是x>a，则a的取值范围是___a≥414.如图，直线y=x−4与x轴交于点A，以OA为斜边在x轴上方作等腰直角三角形OAB，将△OAB沿x轴向右平移，当点B落在直线y=x−4上时，则△OAB平移的距离是___6___。15.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF，AF，现有如下结论：①BF=3；②AD⊥CF；③AD平分∠CAB；④AF=25；⑤∠CAF=∠FCA，其中正确的结论是__②④⑤____。（填序号）三、解答题（本大题共10小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）16.（本题满分7分）解不等式组：3（x解不等式①：x≥−2解不等式②：x<1不等式组得解集−2≤x<1∴负整数解为：−2,−117.（本题满分7分）如图，点A，C，D，E在同一条直线上，FD⊥AE，BC⊥AE，垂足分别为D、C。AB=EF，BC=DF。求证：AD=CE。证明：∵FD⊥AE，BC⊥AE（已知）∴∠ADF=∠ECB=90∘（垂直的定义）在Rt△ADF和Rt△ECB中：AB=EF

(已知)∴Rt△ABC≌Rt△EFD（HL）∴AC=ED（全等三角形对应边相等）∴AC−DC=ED−DC（等式的性质）即AD=CE18.（本题满分7分）先阅读，再完成练习。一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。∣x∣<3，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于-3而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以∣x∣<3的解集是−3<x<3；∣x∣>3，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于-3的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以∣x∣>3的解集是x<−3或x>3。解答下面的问题：（1）不等式∣x−3∣>5的解集是______；（2）已知关于x,y的二元一次方程组2x−y=9m+4x+4y=−8m+2(1)解∵∣x−3∣>5∴x−3>5或x−3<−5∴x>8或x<−2(2)已知方程组：2x−y=9m+4①+②：3x+3y=m+6∴x+y=m+6∵∣x+y∣≤3∴∣m+63∴−3≤m+63∴−9≤m+6≤9∴−15≤m≤319.（本题满分8分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(3,1)，B(1,1)，C(1,4)。（1）平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为(−1,1)，请在图中画出平移后的△A1B1C1；（2）请画出△A1B1C1绕原点逆时针旋转90∘得到的△A2B2C2；（3）若△A2B2C2绕某点旋转可以得到△ABC，则旋转中心的坐标为______。（2）如图所示（3）（2，－2）20.（本题满分8分）如图，长方形ABCD沿对角线AC折叠，顶点B落在点E处，EC与AD交于点O。（1）求证：△AOC是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=8，求线段EO的长。(1)证明△AOC是等腰三角形：∵四边形ABCD是长方形∴AD∥BC（长方形对边平行）∴∠OAC=∠ACB（两直线平行，内错角相等）由折叠性质：∠ACB=∠ACE∴∠OAC=∠ACE（等量代换）∴OA=OC（等角对等边）∴△AOC是等腰三角形(2)∵长方形ABCD，AB=4，BC=8∴AD=BC=8，CD=AB=4由折叠：EC=BC=8，AE=AB=4设EO=x，则OC=OA=8−x在Rt△AOE中，由勾股定理：AE2+EO2=OA2即42+x2=(8−x)2∴x=3，即EO=321.（本题满分9分）为丰富课后生活，某中学计划为七年级学生统一购买一批经典科普读物。书籍原价每本20元，书店为学校采购提供了以下两种优惠方案：方案一：每本可享受八折优惠。方案二：40本以内按原价（含40本），超过部分每本六折。学校预计共需购买n本读物（n>40），方案一购买书本所需要的费用为y1，方案二购买书本所需要的费用为y2，请根据要求回答下列问题：（1）请用含n的代数式分别表示出两种方案购买书本所需的费用；（2）假如你是该中学图书订购负责人，选择哪一种方案更合算？(1)方案一：∵每本八折，原价20元，n>40∴y1=20×0.8n=16n方案二：∵40本按原价，超过部分六折∴y2=40×20+20×0.6(n−40)=800+12(n−40)=12n+320(2)令16n=12n+320，解得n=80当40<n<80时，16n<12n+320，选方案一当n=80时，16n=12n+320，两种方案费用相同当n>80时，16n>12n+320，选方案二22.（本题满分10分）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A顺时针方向旋转后，得到△QAB。（1）求点P和点Q之间的距离；（2）求∠APB的度数。(1)连接PQ∵△PAC绕A顺时针旋转得△QAB∴AP=AQ，∠PAQ=∠BAC=60∘（等边三角形性质）∴△APQ是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形）∴PQ=AP=6(2)由旋转：QB=PC=10在△PQB中，PB=8，PQ=6，QB=10∵62+82=102∴△PQB是直角三角形，∠BPQ=90∘∵△APQ是等边三角形，∠APQ=60∘∴∠APB=∠APQ+∠BPQ=60∘+90∘=150∘23.（本题满分10分）体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，“体育强则中国强，国运兴则体育兴。”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，某中学开展“享受快乐・增强体质・阳光大课间”活动，需购买A、B两种跳绳若干。已知购买1根A种跳绳和4根B种跳绳共需145元；购买3根A种跳绳和6根B种跳绳共需255元。（1）求A、B两种跳绳的单价；（2）如果某班级计划购买A、B两种跳绳共42根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，那么购买跳绳所需最少费用是多少元？(1)设A单价x元，B单价y元：根据题意得x+4y=145由①得：x=145−4y，代入②：3(145−4y)+6y=255435−12y+6y=255−6y=−180∴y=30，则x=145−4×30=25∴A单价25元，B单价30元(2)设购买A型a根，B型（42−a）根∵42−a≥2a∴a≤14费用W=25a+30(42−a)=−5a+1260∵−5<0，∴W随a增大而减小∴a=14时，W最小：W=−5×14+1260=1190元24.（本题满分12分）【活动回顾】在一元一次不等式和一次函数中，我们曾探究过“函数y=2x−5的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系。发现：一元一次不等式2x−5>0的解集是函数y=2x−5图象在x轴上方的点的横坐标的集合。结论：一元一次不等式kx+b>0（或kx+b<0）的解集，是函数y=kx+b图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合。【解决问题】（1）如图1，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点A，且OA=2，则不等式kx+b<0的解集是______；（2）如图2，一次函数y=kx+b与y=x+2的图象相交于点P(m,4)，则不等式kx+b≤x+2的解集是______；【拓展延伸】（3）如图3，一次函数y1=kx−3与x轴相交于点B(−3,0)，y2=x+b与x轴相交于点C(5,0)，这两个函数图象相交于点A。①结合图象，直接写出关于x的不等式组x+b≤0kx−3<0②连接OA，直线y2=x+b上是否存在一点P，使S△OCP=14S△OAC(1)一次函数y=kx+b(k>0)过A(−2,0)，kx+b<0即y<0∵k>0，函数递增，y<0对应x<−2∴解集：x<−2(2)P(m,