初中数学专题《缩放比等于路径比》含答案

初中专题10缩放比等于路径比【小题热身】1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，线段BC上一动点P从点C开始运动，到点B停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则点Q运动的路径长为（）A．4 B．2C． D．2．如图，已知在中，，，，以为直径向外作半圆，是半圆上的一个动点，是的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点的运动路径长为（） B．C． D．3．如图，等腰直角三角形中，斜边的长为2，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为______．4．如图，点O为直线AB外一定点，点P线段AB上一动点，在直线OP右侧作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是________．【磨刀霍霍】5．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．6．如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.7．如图，中，，，，点是边上一定点，且，点是线段上一动点，连接，以为斜边在的右侧作等腰直角．当点从点出发运动至点停止时，点的运动的路径长为_________．8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．9．如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．10．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．11．如图，⊙O的直径AB=8，C为的中点，P为⊙O上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，点P从B运动到C时，则点D运动的路径长为_____．12．如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长．13．如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在右侧按如图方式作等边，当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长？14．如图，已知在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是边AB上一动点，EF⊥AC于点F，ED⊥BC于点D，点G为FD的中点．（1）求证：四边形CDEF是矩形（2）当点E由点A运动到点B时，求点G的运动路径长．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C在y轴上，AB＝BC＝5，AC＝8，D为线段AB上一动点，以CD为边在x轴上方作正方形CDEF，连接AE．（1）若点B的坐标为(m，0)，则m＝；（2）当BD＝时，EA⊥x轴；（3）当点D由点B运动到点A过程中，点F经过的路径长为；（4）当△ADE面积最大时，求出BD的长及△ADE面积最大值．初中专题10缩放比等于路径比【小题热身】1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，线段BC上一动点P从点C开始运动，到点B停止，以AP为边在AC的右侧作等边△APQ，则点Q运动的路径长为（）A．4 B．2 C． D．【答案】A解法一：从PA到PQ缩放比是1:1，所以点P的运动路径与点Q的运动路径比也是1:1，CB=4，所以点Q的运动路径是4解法二：如图，由题意可知，Q点运动的路径为QQ′的长，∵△ACQ和△ABQ′是等边三角形，∴∠CAQ=∠BAQ′=60°，AQ=AC=AQ′=，∵∠BAC=90°，∴∠QAQ′=90°，由勾股定理得：QQ′===4，∴Q点运动的路径为4；故选A．2．如图，已知在中，，，，以为直径向外作半圆，是半圆上的一个动点，是的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点的运动路径长为（）A． B． C． D．【答案】B解法一：从CP到CM缩放比是2:1，所以点P的运动路径与点M的运动路径比也是2:1，所以点M的运动路径是解法二：取AB的中点O、AC的中点E、BC的中点F，连接OC、OP、OM、OE、OF、EF，∵，，，∴AB=，OC=×5=2.5，∵M为PC的中点，∴OM⊥PC，∴∠CMO=90°，∴点M在以OC为直径的圆上，点P点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEOF为矩形，EF=OC=2.5，∴M点的路径为以EF为直径的半圆，∴点M运动的路径长=．

故选：B．3．如图，等腰直角三角形中，斜边的长为2，为的中点，为边上的动点，交于点，为的中点，当点从点运动到点时，点所经过的路线长为______．【答案】1解法一：从OP到0M缩放比是:1，所以点P的运动路径与点M的运动路径比也是:1，AC=，所以点M的运动路径是1解法二：连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为等腰直角三角形，斜边的长为2，根据勾股定理∴AC=BC=AB=，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ（ASA），∴AP=CQ，∵∠A=45°，PE⊥AB，∴∠APE=180°-∠A-∠AEP=180°-45°-90°=45°，∴△APE为等腰直角三角形，∵∠B=45°，QF⊥AB，∴∠BQF=180°-∠B-∠BFQ=180°-45°-90°=45°，∴△BFQ为等腰直角三角形，∴PE=AP=CQ，QF=BQ，∴PE+QF=（CQ+BQ）=BC==1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=（PE+QF）=，即点M到AB的距离为，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=AB=1，故答案为1．4．如图，点O为直线AB外一定点，点P线段AB上一动点，在直线OP右侧作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是________．【答案】解法一：从OP到OQ缩放比是:1，所以点P的运动路径与点Q的运动路径比也是:1，AB=3，所以点Q的运动路径是解法二：由题意得：所有的Rt△OPQ都是相似的，∴点Q实质就是在一条竖直的直线上运动，∴假设点O在点A的正上方，再设点O（0，3），点A（0，0），点B（3，0），点P（xp，0），其中0≤xp≤3，∴设直线OP的解析式为：，则，∴，∴直线OP的解析式为：，∵OP⊥OQ，∴直线OQ的解析式为：，∴点Q（xQ，），∴(tan30°)2=，∴∴xQ=，yQ=，又∵0≤xp≤3，∴3≤yQ≤3+，∴点Q运动的长度为，故答案为：．5．如图，在△ABC中，AB＝5，D为边AB上－动点，以CD为一边作正方形CDEF，当点D从点B运动到点A时，点E运动的路径长为_________．【答案】5解法一：从CD到CE缩放比是1:，所以点D的运动路径与点E的运动路径比也是1:，AB=5，所以点E的运动路径是5解法二：如图：作GB⊥BC于B，取GB=BC，当点D与点B重合时，则点E与点G重合，∴∠CBG=90°，∴CG=BC，∠GCB=45，∵四边形CDEF是正方形，∴CE=DC，∠ECD=45，∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG=45，∴∠BCD=∠GCE，且，∴△CGE∽△CBD，∴，即GE=BD，∵BD=5，∴点E运动的路径长为GE=BD=5．6．如图，已知，点是等腰斜边上的一动点，以为一边向右下方作正方形，当动点由点运动到点时，则动点运动的路径长为______.【答案】解法一：从BD到BF缩放比是1:1，所以点D的运动路径与点F的运动路径比也是1:1，AC=，所以点F的运动路径是解法二：连接，∵，是等腰直角三角形，∴,∠ABC=90°∵四边形是正方形∴BD=BF，∠DBF=∠ABC=90°，∴∠ABD=∠CBF,在△DAP与△BAP中∴，∴，点运动的路径长度即为点从到的运动路径,为.故答案为7．如图，中，，，，点是边上一定点，且，点是线段上一动点，连接，以为斜边在的右侧作等腰直角．当点从点出发运动至点停止时，点的运动的路径长为_________．【答案】解法一：从AE到AF缩放比是:1，所以点E的运动路径与点F的运动路径比也是:1，DB=3，所以点F的运动路径是解法二：如图，连接CF，作FM⊥BC于M，FN⊥AC于N．

∵∠FNC=∠MCN=∠FMC=90°，

∴四边形CMFN是矩形，

∴∠MFN=∠AFE=90°，

∴∠AFN=∠MFE，

∵AF=FE，∠FNA=∠FME=90°，

∴△FNA≌△FME（AAS），

∴FM=FM，AN=EM，

∴四边形CMFN是正方形，

∴CN=CM，CF=CM，∠FCN=∠FCM=45°，

∵AC+CE=CN+AN+CM-EM=2CM，

∴CF=（AC+CE）．

∴点F在射线CF上运动（CF是∠ACB的角平分线），

当点E与D重合时，CF=（AC+CD）=2，

当点E与B重合时，CF=（AC+CB）=，

∵-2=，

∴点F的运动的路径长为．

故答案为：．8．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=5，点D是BC边上一点且CD=1，点P是线段DB上一动点，连接AP，以AP为斜边在AP的下方作等腰Rt△AOP．当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长为_____．【答案】2解法一：从AP到AO缩放比是:1，所以点P的运动路径与点O的运动路径比也是:1，DB=4，所以点O的运动路径是2解法二：详解：过O点作OE⊥CA于E，OF⊥BC于F，连接CO，如图，∵△AOP为等腰直角三角形，∴OA=OP，∠AOP=90°，易得四边形OECF为矩形，∴∠EOF=90°，CE=CF，∴∠AOE=∠POF，∴△OAE≌△OPF，∴AE=PF，OE=OF，∴CO平分∠ACP，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径为一条线段，∵AE=PF，即AC-CE=CF-CP，而CE=CF，∴CE=（AC+CP），∴OC=CE=（AC+CP），当AC=2，CP=CD=1时，OC=×（2+1）=，当AC=2，CP=CB=5时，OC=×（2+5）=，∴当P从点D出发运动至点B停止时，点O的运动路径长=-=2．故答案为2．9．如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．【答案】解法一：请补充完成解法二：取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，∵为等腰直角三角形，∴，，，由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，点M的运动路径长，故答案为：．10．如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是___．【答案】解法一：请补充完成解法二：如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC=BC，∠ACB=90°，∴AB2，∴OPAB=1．∵CM=MP，CK=OK，∴MKOP，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，为半径的半圆，∴点M运动的路径长•2•π•．故答案为．11．如图，⊙O的直径AB=8，C为的中点，P为⊙O上一动点，连接AP、CP，过C作CD⊥CP交AP于点D，点P从B运动到C时，则点D运动的路径长为_____．【答案】解法一：请补充完成解法二：详解：如图所示，以AC为斜边作等腰直角三角形ACQ，则∠AQC=90°．∵⊙O的直径为AB，C为的中点，∴∠APC=45°．又∵CD⊥CP，∴∠DCP=90°，∴∠PDC=45°，∠ADC=135°，∴点D的运动轨迹为以Q为圆心，AQ为半径的．又∵AB=8，C为的中点，∴AC=4，∴△ACQ中，AQ=4，∴点D运动的路径长为=2π．故答案为2π．12．如图所示，在中，，点是上一点，以为一边向右下方作等边，当由点运动到点时，求点运动的路径长．【答案】点运动的路径长为．解法一：请补充完成解法二：点为定点，可以看作是绕点顺时针旋转60°而来，点运动的路径长等于点运动的路径长，即为的长，，，．点运动的路径长为．13．如图，在等边中，，，，点从点出发沿方向运动，连接，以为边，在右侧按如图方式作等边，当点P从点E运动到点A时，求点F运动的路径长？【答案】8解法一：请补充完成解法二：连结DE，作FH⊥BC于H，如图，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，

过D点作DE′⊥AB，则BE′=BD=2，

∴点E′与点E重合，

∴∠BDE=30°，DE=BE=2，

∵△DPF为等边三角形，

∴∠PDF=60°，DP=DF，

∴∠EDP+∠HDF=90°

∵∠HDF+∠DFH=90°，

∴∠EDP=∠DFH，

在△DPE和△FDH中，

，

∴△DPE≌△FDH，

∴FH=DE=2，

∴点P从点E运动到点A时，点F运动的路径为一条线段，此线段到BC的距离为2，

当点P在E点时，作等边三角形DEF1，∠BDF1=30°+60°=90°，则DF1⊥BC，

当点P在A点时，作等边三角形DAF2，作F2Q⊥BC于Q，则△DF2Q≌△ADE，所以DQ=AE=10-2=8，

∴F1F2=DQ=8，

∴当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长为8．14．如图，已知在△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，点E是边AB上一动点，EF⊥AC于点F，ED⊥BC于点D，点G为FD的中点．（1）求证：四边形CDEF是矩形（2）当点E由点A运动到点B时，求点G的运动路径长．【答案】（1）证明见详解；（2）．解法一：请补充完成解法二：（1）在△ABC中，，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°，∵EF⊥AC，ED⊥BC，∴∠CFE=∠CDE=90°，∴∠ACB=∠CFE=∠CDE=90°，∴四边形CDEF为矩形．（2）连结CE，∵四边形CDEF为矩形，∵点G为FD的中点，∴FG=GD，∴点G在CE上，根据矩形性质CG=GE，当点E与点A重合时，点G与AC中点M重合，当点E与点B重合时，点G与BC中点N重合，∴点G的路径为△ACB的中位线MN，∵M，N分别为AC，BC中点，∴MN∥AB，且点G的运动路径长=MN=．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C在y轴上，AB＝BC＝5，AC＝8，D为线段AB上一动点，以CD为边在x轴上方作正方形CDEF，连接AE．（1）若点B的坐标为(m，0)，则m＝；（2）当BD＝时，EA⊥x轴；（3）当点D由点B运动到点A过程中，点F经过的路径长为