2025-2026学年下学期河北省金太阳高一数学4月期中测评试卷（含答案）

高一数学测评注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册6.1-8.6.1。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是A.三棱锥B.四棱锥C.五棱锥D.四棱柱2.已知z=i2−A.1−3iB.1+3.如图，封闭图形ABC由线段AB，BC和曲线AC组成，其中A，O，B三点共线，曲线AC是以O为圆心，OA为半径的一段弧,且AC所对的圆心角为π2,将该图形绕着ABA.该旋转体由14个球体和1B.该旋转体由12个球体和1C.该旋转体由14个球体和1D.该旋转体由12个球体和14.已知z=4+3A.5B.5C.25D.55.已知向量a=x,1,b=3A.152B.103C.−6.欧拉公式eθ=cosθ+isinθ是由数学家欧拉发现的,被誉为数学上最优美的公式之一.已知A.−13B.−347.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选择与塔底B在同一水平面内的两个测量点C与D,先测得∠BCD=45∘,∠BDC=105∘,CD=40米,并在点A.602+2063C.602−20638.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，侧面BCC1B1是正方形,BC=A.322C.62D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若复数z=m2−4+A.-4B.-3C.3D.410.棱长为2的正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中,下列结论正确的是A.该正方体外接球的体积为32B.直线AE与GH异面C.AED.四面体BCDF的表面积为411.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=π3B.aC.sinD.关于B的方程3sinB+cosB三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知z1=2−i,z213.如图，△A′B′C′是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图，A′，C′分别在y′，x′轴上，且14.已知向量a,b,c满足a=6,b=5,a四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a(1)求sinA(2)若a=3，△ABC的面积为5，求16.(15分)一个有盖的圆柱体容器的轴截面是边长为2的正方形，容器的内部装满了水，容器壁厚度忽略不计.(1)求该容器的表面积与容积；(2)若另一个圆锥体容器的底面半径为2,母线长为2217.(15分)如图，在正四棱锥P−ABCD中，E,F,G分别是BC,CD,PD(1)若H为PA的中点，证明:HG//平面PBC(2)若PH=14PA，证明:直线EF与18.(17分)如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，(1)若EF=2FB，用AB，AD表示(2)求AC⋅AF(3)延长AF到点G，使得CG⊥AE，若AF=1019.(17分)如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4,E,F(1)求直线A1B与EF(2)设G是线段EF上的动点(含端点).(i)判断三棱锥G−A1BD(ii)当CG//平面A1BD时,求高一数学测评参考答案1.C三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五棱锥的顶点数为6.2.D z=i2−33.B由题可知，该旋转体由12个球体和14.Bz5.A因为a//b,a⊥c,所以6.D由题可知tanθ+π4=2,则tanθ+17.A由题可知∠CBD=30∘，则BCsin∠BDC=CDsin∠CBD，则BC=808.C如图,将△BB1C1沿着BC1翻折,使其与△ABC1共面,可知当A,M,B1三点共线时,AM+B1M取得最小值.过B1作B1N⊥ BC1,因为BC=2AB=2,侧面BCC1B1是正方形,所以BC19.AB由题可得m2−4>0,m10.BCD因为正方体的棱长为2,所以正方体外接球的半径为3,体积为4π333=43π,A不正确.原正方体还原如图所示,易得直线AE与GH异面,AE⊥CF, B,C均正确.易知BC=BF=2,BD=CF= 22,DF=23，则可得BD11.ACD因为C=π3,所以S=abc由sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB,可得c=acosB+bcosA=3, A正确.因为c2=a2+b2−2abcosC,所以3=a2+b2−ab=a+b2−3ab≥a+b24,当且仅当a =b12.−3z13.9由题可知,A′C′=O′A′14.5如图,记OA=a,OB=b,OC=c,OD=2b,则OA=6,OD=10,cos∠AOD=a⋅bab=35,可得AD=8.取AD的中点E,则15.解:(1)因为3asinB=4bcosA又sinB≠0,所以由sin2A+cos2A因为sinA>0,所以(2)因为△ABC的面积为5，所以12bcsin得bc=252.8分则a2=因为a=3,所以b+c2=49,12分则b+16.解:(1)因为圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以圆柱的底面半径为1，高为2，2分则该容器的表面积为2π×1容积为π×1(2)由题可得圆锥体容器的高为2.7分设水面的高度为h,半径为r,则2−h2=r2则13π则r2+整理得r3=则r=32,h=17.证明:(1)因为H为PA的中点,G为PD的中点,所以HG//AD又四棱锥P−ABCD为正四棱锥，所以底面ABCD为正方形，则BC//AD，3分从而因为HG⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以HG//(2)连接AC,BD,使AC∩BD=S延长AD,EF,使得他们交于点M,则ADAM=ASAQ取PA的中点N,连接GN,则GN//AD延长HG并与AD的延长线交于点M′,10则HNHA=因为PH=14PA,所以则AM′则AM=AM′，则M，M′重合，14分故直线EF与18.解:(1)因为EF=2FB，所以又E是CD的中点,所以AE=AD从而AF=2(2)(方法一)因为F是线段BE上的点，所以AF=x又AC=AD+AB,所以=xAD由0≤x≤1,得12≤16−4x≤16(方法二)AC⋅AF分别记E,B在AC上的射影为由向量的投影可知，当F运动到点E处时，AC⋅AF取得最小值ACAE1，当F运动到点B处时,AC⋅记AC,BE的交点为O,易得OE则OE1=OE2则ACAE1=12,ACAB1(3)由题可知AE⊥BE，因为AE=22,AF=又AE⊥CG,所以BE则AFAG=AOAC=2EG=AG则EG2则EG=EG19.解:(1)过点E作EM//A1B,连接FM,可知∠FEM即为直线A1B由正方体的棱长为4,CE=1,A则cos∠FEM=EF故直线A1B与EF所成角的余弦值为7(2)(1)三棱锥G−A1BD假设三棱锥G−A1BD的体积是定值，则EF//由(1)可知EM//A1B，且EM⊄平面A1BD，则因为EF∩EM=E,所以平面EFM//平面A1EFM,所以FM//平面A1BD,这显然不成立,故假设不成立,即三棱锥G−由图可知,线段EF在平面A1BD的同侧