2026年（河北专用）【中考数学】一轮复习考点探究讲义第三章 函数第七讲 锐角三角函数及其应用 含答案

/第七讲锐角三角函数及其应用考点一锐角三角函数❶定义:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A为一锐角,则有正弦:sinA=∠A的对边斜边=余弦:cosA=∠A的邻边斜边=正切:tanA=∠A的对边∠A的邻边❷特殊角的三角函数值锐角α30°45°60°sinα1④ 

⑤ 

cosα⑥ 

⑦ 

1tanα⑧ 

131.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2BC,则∠B的正弦值为,余弦值为,正切值为.

2.计算:tan60°-(4-π)0+2cos30°+14考点二解直角三角形❶定义:由直角三角形中除直角外的⑨个已知元素,求出另外⑩个未知元素的过程叫解直角三角形.

解直角三角形中已知的两个元素应至少有一个是边.❷解直角三角形的依据:在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边.(1)三边关系:.

(2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=.

(3)边角之间的关系:sinA=cosB=,cosA=sinB=,tanA=,tanB=.

❸常见类型及其解法已知条件图形解法一直角边和一锐角(a,∠A)∠B=90°-∠A,c=asinA,b=atanA(或斜边和一锐角(c,∠A)∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=c2两直角边(a,b)c=a2+b2,由tanA=ab求∠A,考点三锐角三角函数的实际应用❶仰角、俯角:如图1,在视线与水平线所成的锐角中,视线在水平线上方的角叫,视线在水平线下方的角叫.

❷坡度、坡角:如图2,坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫(也叫“坡比”),用字母i表示;坡面与水平线的夹角α叫坡角,i=tanα=hl.

❸方位角:从某个参照点看物体,视线与正北(或正南)方向射线的夹角称为.如图3,A点位于O点的北偏东30°方向,B点位于O点的南偏东60°方向.

3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,若tan∠ACD=34,AC=12,则BC的值为.4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心,BC长为半径画弧交AD于点E,连接CE,过点B作BF⊥CE,垂足为F,则tan∠FBC的值为.

5.如图,在湖中有A,B,C三个小岛,岛A与岛B相距3km,岛B在岛A的北偏东40°方向上,岛C在岛A的南偏东50°方向上.(1)请以点A为起点,画出点C所在的射线.(2)岛A在岛B的方向上.

(3)从岛A看岛B与岛C所成的视角∠BAC=.

(4)两艘游艇同时从岛B出发,以相同的速度分别沿直线驶往岛A与岛C,若前往岛A所用的时间是前往岛C所用时间的一半,则岛A与岛C之间的距离为km.

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线与BC,AB的交点分别为D,E.(1)若AD=10,sin∠ADC=45,求AC的长和tanB(2)若AD=1,∠ADC=α,参考(1)的计算过程直接写出tanα2的值.(用sinα和cosα(1)在直角三角形ADC中利用锐角三角函数的定义求得AC=8,根据勾股定理求得CD=6;然后利用垂直平分线的性质推知AD=BD;最后在直角三角形ABC中,由锐角三角函数的定义来求tanB的值即可.(2)先找到含α2如图1,在同一剖面内,DB是一处斜坡,坡度为3∶4,小明在点A处用测角仪测得坡顶D的仰角为27°,他水平向右前进了一段路程来到斜坡的坡脚B处,沿着斜坡BD上行25米到达点D,DE是一座观测塔.(测角仪的高度忽略不计.参考数据:sin27°≈0.45,tan27°≈0.51,3≈1.73)(1)斜坡DB的铅直高度CD=米,水平宽度BC=米.

(2)小明前进的路程AB≈米(结果精确到0.1米).

(3)如图2,小明登上观测塔,到达塔顶E后,测得斜坡前面一栋楼房的楼顶F的仰角是60°,楼底H的俯角是45°.若楼底H距坡底B的距离是15米,则楼房的高度大约是多少米(结果精确到0.1米)?(4)如图3,在(3)的条件下,若在楼顶F观测到北偏东60°,距楼顶70米处有一架无人机G,则此时无人机在观测塔塔顶E的方向.

(1)设CD=3x,则BC=4x,在直角三角形BDC中,由勾股定理可得方程,从而求出x的值.(2)根据直角三角形的边角关系和AB=AC-BC求解即可.(3)过点E作EM⊥FH于点M,得到直角三角形FME和直角三角形MEH,从而求出FH的长.(4)延长DE交FG于点N,易知△EFG是直角三角形,根据直角三角形的边角关系求出∠FEG的大小,进而求出∠NEG的大小.命题点锐角三角函数及其应用❶(河北)如图,从点C观测点D的仰角是()A.∠DAB B.∠DCE C.∠DCA D.∠ADC❷(2023·河北)淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图,西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向,则淇淇家位于西柏坡的()A.南偏西70°方向 B.南偏东20°方向C.北偏西20°方向 D.北偏东70°方向❸(2025·河北)2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月,活动主题为“抓早抓小抓关键,更快降低近视率”.如图是一幅眼肌运动训练图,其中数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上,数字0对应圆心.图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中,有一条线段的长与其他的都不相等.若该圆的半径为1,则这条线段的长为.参考数据:sin15°=6-24,sin75°=

眼肌运动训练图使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球,移动一圈后再回到原点,反复进行.❹(2024·河北样卷)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=12,点D在BC上,且BD=AD(1)求AC的长.(2)求cos∠ADC的值.❺(2024·河北)中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣.某晚,淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星,此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m,仰角为α;淇淇向前走了3m后到达点D,透过点P恰好看到月亮,仰角为β,如图是示意图.已知,淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m,点P到BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长线交PQ于点E.(注:图中所有点均在同一平面)(1)求β的大小及tanα的值.(2)求CP的长及sin∠APC的值.【详解答案】教材考点·深度梳理①ac②bc③ab④22⑤⑦22⑧33⑨两⑩三a2+b2=c290°acbcabba仰角俯角坡度方位角即时练1.255552解析:∵∠C=90°,AC=2BC,∴设BC=x,AC=2x,∴AB=5x,∴sinB=ACAB=2x5x2.解:原式=3-1+2×32+4=233.9解析:∵CD是AB边上的中线,∴CD=12AB=AD,∴∠A=∠ACD,又∵tan∠ACD=34,∴tanA=在Rt△ABC中,tanA=BCAC,则BC12=34.13解析:如图,连接BE由题意得BE=BC=5,∴AE=BE2-AB2=4,∴DE=AD-AE=5-4=1,∴CE=CD2+DE2=10,∵BC=BE,BF⊥CE,∴点F是CE∴tan∠FBC=CFBF5.解:(1)如图所示.(2)南偏西40°(3)90°(4)33重点难点·一题串讲例1:解:(1)∵sin∠ADC=45,∠C∴ACAD又∵AD=10,∴AC=8,∴在Rt△ADC中,CD=AD∵DE是AB的垂直平分线,∴AD=BD,∴tanB=ACCD(2)tanα2解析:在Rt△ADC中,AC=AD·sin∠ADC,CD=AD·cos∠ADC,∵AD=1,∠ADC=α,∴AC=sinα,CD=cosα.∵DE是AB的垂直平分线,∴BD=AD=1,∴∠DAB=∠B.又∠ADC=∠DAB+∠B,∴∠B=α2∴tanB=ACCD即tanα2例2:解:(1)1520解析:∵DB的坡度为3∶4,∴设CD=3x,则BC=4x,在Rt△BDC中,BD=25,根据勾股定理可得(3x)2+(4x)2=252,解得x=5(负值舍去),∴CD=15米,BC=20米.(2)9.4解析:由题意知,tanA=CDAC∴AC=15tan27∴AB=AC-BC=29.41-20≈9.4(米).(3)如图1,过点E作EM⊥FH于点M,则ME=HC=HB+BC=15+20=35(米).∵∠MEH=45°,∴MH=ME=35米.在Rt△FME中,∵ME=35米,tan60°=FMME∴FM=353米.∴FH=FM+MH=353+35≈95.6(米).答:楼房的高度大约是95.6米.(4)北偏东15°解析:如图2,延长DE交FG于点N.∵ME=35米,∠MFE=30°,∴EF=2ME=2×35=70(米).∵FG=70米,∴FG=EF.∵∠EFG=180°-30°-60°=90°,∴∠FEG=90°∵∠FEN=∠MFE=30°,∴∠NEG=45°-30°=15°,∴无人机在观测塔塔顶E的北偏东15°方向.河北中考·考向体验1.B2.D3.6+22解析:如图所示,设数字0为圆心O,数字6为A,数字7为B,连接OA,OB,过点O作OD⊥AB眼肌运动训练图使用方法:以0,1,2,3,…的顺序沿着箭头方向移动眼球,移动一圈后再回到原点,反复进行.由图可得,线段AB的长与其他的都不相等,∵数字1～12对应的点均匀分布在一个圆上,360°÷12=30°,∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°,∴∠AOB=30°×5=150°,∴∠OAB=∠OBA=12(180°-∠AOB)=15°,∵OD⊥AB,∴∠BOD=75°,∴sin∠BOD=sin75°=BDOB,即6+24=∵OA=OB,OD⊥AB,∴AB=2BD=6+22,∴4.解:(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,tanB=12,∵tanB=AC∴AC=BC·tanB=8×12(2)设AD=x,则BD=x,CD=8-x.在Rt△ACD中,由勾股定理,得(8-x)2+42=x2,解得x=5.∴cos∠ADC=DCAD5.解:(1)由题意可得,PQ⊥AE,PQ=2.6m,AB=CD=E