【中考数学冲刺】2026届广东省中考模拟数学试卷2 附解析

/【备考2026】广东省中考模拟数学试卷2一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列各数中，为负数的是（）A．|﹣5| B．﹣（﹣3） C．0 D．﹣32．（3分）江西风景独好，山川秀美，古迹众多，是一片融合了壮丽自然景观与丰厚历史文化的地方，2024年国庆假期，南昌市累计接待游客数量近800万人次，其中800万用科学记数法表示为（）A．8×103 B．8×105 C．800×104 D．8×1063．（3分）计算：3QUOTE的值为（）A．1 B．3 C．QUOTE D．94．（3分）中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的俯视图为（）A． B． C． D．5．（3分）如图，为测量位于一水塘旁A，B两点间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则AB＝（）A．5m B．20m C．10m D．4m6．（3分）五个正整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个正整数和的最小值是（）A．29 B．30 C．31 D．327．（3分）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少，去年上半年平均每周作业时长为m分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了60%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程（）A．m（1﹣x）2＝60%m B．m（1+x）2＝60%m C．m（1﹣x）2＝40%m D．40%（1+x）2m＝m8．（3分）向高为10的容器（形状如图）中注水，注满为止，则水深h与注水量v的函数关系的大致图象是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，正方形的边长为2，在0～2范围随机生成两个数作为一个点的坐标，该点落入圆内的概率约是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE10．（3分）如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点，连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB＝8，BC＝12，则tan∠GCF的值是（）A．QUOTE B．QUOTE C．QUOTE D．QUOTE二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．（3分）分解因式4xy﹣6x2＝．12．（3分）两个相似三角形的相似比是5：7，小三角形的周长为20cm，大三角形的周长是cm．13．（3分）若关于x的方程ax2+4x﹣2＝0有两个实数根，则a的取值范围为．14．（3分）已知QUOTE□QUOTE3，能使等式成立的运算符号是．15．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：x0245y＝ax2+bx+c﹣4QUOTEQUOTEm则m0（填“＞”或“＜”）．三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）16．（7分）小丽解分式方程QUOTE时，出现了错误，她的解题过程如下：解：去分母得1﹣（x﹣3）＝6x，…第一步解得QUOTE．…第二步∴原分式方程的解是QUOTE．…第三步（1）小丽的解答过程从第步开始出错，这一步应为，这一步的依据是．（2）请写出正确的解题过程．17．（7分）如图，PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∠BAC＝30°，求∠P的度数．18．（7分）如图，某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙（墙的长度没有限制），另外三边用长为20m的篱笆围成，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为xm．求当x为多少时，苗圃面积最大？最大面积是多少？四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）19．（9分）如图，平面内有三个等边三角形△ABD、△ACE、△BCF，两两共用一个顶点，求证：CD与EF互相平分．20．（9分）按照国家视力健康标准，学生视力状况分为：视力正常、轻度视力不良、中度视力不良、重度视力不良四个类别，分别用A、B、C、D表示．某数学兴趣小组为了解本校学生的视力健康状况，从全校3000名学生中随机抽取部分学生，进行视力状况调查，根据调查结果，绘制如下统计图表．抽取的学生视力状况统计表类别ABCD人数70mn25（1）m＝，n＝；（2）请估算该校中度视力不良和重度视力不良的人数和；（3）为更好地保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．21．（9分）综合与实践：数学兴趣小组的同学结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】将一束光线从游泳池边点A处发出，经水面点C折射到池底B处．【测量数据】点A，D，E在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内，MN是法线，点N在BE上．记入射角为α，折射角为β．测得点A到水面的距离AD＝1m，水深DE＝1.2m，入射角α＝51°16′．【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：（1）求CD的长；（2）小组的同学发现，根据光的折射物理学知识可知QUOTE，从而可求得QUOTE．①由上可在Rt△BCN中推理求得tanβ＝；②求B，E之间的距离．（参考数据：sin51°16′≈0.78，cos51°16′≈0.63，tan51°16′≈1.25）五．解答题（共2小题，满分27分）22．（13分）已知：a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1．（1）当n＝299时，a+b的值等于．（结果用科学记数法表示）（2）当n＝4时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是．（直接写出答案）（3）若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由．23．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过原点的直线与反比例函数QUOTE的图象交于点A（A在B右侧），点C位于第一象限，为A下方反比例函数图象上的一动点，过C作CD∥x轴交AB于点D，连接CA，CB．（1）当直线BC的表达式为y＝2x+m且C点横坐标为3时，求点B的坐标；（2）求证：当点A的坐标为（1，6）时，∠ACD＝∠BCD；（3）当∠ACB＝90°且QUOTE时，求点A的坐标．

答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【考点】正数和负数【分析】利用正数和负数的定义即可得出答案．解：|﹣5|＝5，﹣（﹣3）＝3，所以﹣3为负数．故选：D．【点评】本题主要考查正数和负数，熟记正数和负数的定义是解题的关键．2．【考点】科学记数法—表示较大的数【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：800万＝8000000＝8×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【考点】二次根式的乘除法【分析】从左往右，依次计算即可得．解：原式QUOTEQUOTEQUOTE＝1，故选：A．【点评】本题考查了二次根式的乘除，解题的关键是掌握二次根式运算的运算法则和运算顺序．4．【考点】简单组合体的三视图【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．解：“堑堵”的俯视图是一个矩形．故选：A．【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．5．【考点】三角形中位线定理【分析】根据三角形中位线定理“三角形中位线等于第三边的一半”解答即可．解：∵C，D分别是OA，OB的中点，∴CD是△ABO的中位线，根据三角形中位线定理“三角形中位线等于第三边的一半，∴AB＝2CD＝2×10＝20（cm），故选：B．【点评】本题考查三角形中位线定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．6．【考点】众数；中位数【分析】根据中位数和众数的定义分析，后面三个数为8，10，10，再讨论前面的两个数，即可求出最小的和．解：因为五个正整数从小到大排列后，其中位数是8，这组数据的唯一众数是10，所以这5个数据分别是x，y，8，10，10，且x＜y＜8，当这5个正整数的和最小时，正整数x，y取最小值，此时x＝1，y＝2，所以这5个正整数和的最小值是1+2+8+10+10＝31．故选：C．【点评】此题考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．众数是一组数据中出现次数最多的数．解此题的关键是理解唯一众数的含义与中位数的意义．7．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设每半年平均每周作业时长的下降率为x，根据现在平均每周作业时长比去年上半年减少了60%，列方程即可得到结论．解：设每半年平均每周作业时长的下降率为x，可列方程为m（1﹣x）2＝40%m，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8．【考点】函数的图象【分析】依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽，再从函数的图象上看，即可得解．解：依据题意，从水瓶的构造形状上看，从底部到顶部的变化关系为：开始宽，逐渐细小，再变宽．则注入的水量V随水深h的变化关系为：先慢再快，最后又变慢．那么从函数的图象上看，C对应的图象变化为先快再慢，最后又变快，不符合．A、B对应的图象中间没有变化，只有D符合条件．故选：D．【点评】本题主要考查函数的定义及函数的图象的关系，抓住变量之间的变化关系是解题的关键．9．【考点】几何概率【分析】利用图形得到圆为正方形的内切圆，且正方形的边长为2，圆的半径为1，然后用圆的面积与正方形的面积比表示该点落入圆内的概率．解：根据题意，该点落入圆内的概率QUOTE．故选：C．【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝这个事件所占有的面积与总面积之比．10．【考点】矩形的性质；解直角三角形【分析】过点G作GM⊥BC于点M，根据矩形的性质及已知条件得BE＝EF＝CF＝4，进而得AB＝BF＝8，则△ABF是等腰直角三角形，继而得∠BFA＝45°，同理证明△CDE是等腰直角三角形得∠CED＝45°，由此得△GEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形性质得GM＝EM＝FM＝2，则CM＝6，然后在Rt△GMC中，根据正切函数的定义即可得出tan∠GCF的值．解：过点G作GM⊥BC于点M，如图所示：在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝90°，∵点E，F是BC的三等分点，∴BE＝EF＝CFQUOTEBC＝4，∴BF＝BE+EF＝8，∴AB＝BF＝8，∴△ABF是等腰直角三角形，∴∠BFA＝45°，同理：△CDE是等腰直角三角形，∴∠CED＝45°，∴∠BFA＝∠CED＝45°，∴△GEF是等腰直角三角形，∵GM⊥EF，∴GM＝EM＝FMQUOTEEF＝2，∴CM＝CF+MF＝4+2＝6，在Rt△GMC中，tan∠GCFQUOTE．故选：B．【点评】此题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，理解矩形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义是解决问题的关键．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．【考点】因式分解﹣提公因式法【分析】利用提公因式法因式分解即可．解：原式＝2x（2y﹣3x），故2x（2y﹣3x）．【点评】本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．12．【考点】相似三角形的性质【分析】根据相似三角形的性质可知，周长比等于相似比，由此即可求解．解：根据题意得，相似比为5：7，∴大三角形的周长是QUOTE，故28．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，理解和掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．13．【考点】根的判别式【分析】根据一元二次方程的定义个根的判别式的意义得到a≠0且Δ＝（﹣2）2﹣4a×4≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得a≠0且Δ＝42﹣4a×（﹣2）≥0，解得a≥﹣2，即a的取值范围为a≥﹣2且a≠0，故a≥﹣2且a≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．14．【考点】实数的运算【分析】根据QUOTE3QUOTE，要使QUOTE□QUOTE3，能使等式成立的运算符号是÷，据此求解即可．解：已知QUOTE□QUOTE3，能使等式成立的运算符号是÷．故÷．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确算术平方根的含义和求法．15．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征【分析】根据表格数据找出对称轴，进而根据增减性判断m的值．解：由表可知，x＝2和x＝4时对应的函数值相等，∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为：直线QUOTE，∵x＝0时，y＝﹣4，x＝2时，QUOTE，QUOTE，∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴QUOTE，故＜．【点评】本题考查二次函数图象上点的、坐标特征和二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．三．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）16．【考点】解分式方程；分式方程的解【分析】（1）根据等式的两边同乘2（x+1），即可判断；（2）根据解分式方程正确的步骤求解即可．解：（1）小丽解答过程从第一步开始出错，正确结果是2x+2﹣（x﹣3）＝6x，这一步的依据是等式的性质，故一，2x+2﹣（x﹣3）＝6x，等式的基本性质；（2）QUOTE，去分母得：2x+2﹣（x﹣3）＝6x，去括号得：2x+2﹣x+3＝6x，移项、合并同类项得：5x＝5，解得：x＝1，经检验，x＝1是原方程的解，∴原分式方程的解是x＝1．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．17．【考点】切线的性质；圆周角定理【分析】根据切线长定理及切线的性质定理得，PA＝PB，PA⊥OA，则∠PAO＝90°，所以∠PBA＝∠PAB＝90°﹣30°＝60°，则∠P＝180°﹣60°﹣60°＝60°．解：∵PA，PB是⊙O的切线，AC是⊙O的直径，∴PA＝PB，PA⊥OA，∴∠PAO＝90°，∵∠BAC＝30°，∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣30°＝60°，∴∠P＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠P的度数是60°．【点评】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明PA＝PB及PA⊥OA是解题的关键．18．【考点】二次函数的应用【分析】根据题意即可求得y与x的函数关系式为y＝20﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x＜10；设矩形苗圃园的面积为S，由S＝xy，即可求得S与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值．解：设平行于墙的一边长为y米，则y＝20﹣2x（0≤x＜10）．设矩形苗圃园的面积为S，则S＝xy＝x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∴S＝﹣2（x﹣5）2+50，∵0≤x＜10，∴当x＝5时，S最大值＝50．即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为5米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为50米2．【点评】此题考查了二次函数的实际应用问题，根据题意构建二次函数模型，掌握二次函数的性质是解题的关键．四．解答题（共3小题，满分27分，每小题9分）19．【考点】平行四边形的判定与性质；等边三角形的性质【分析】首先连接DE、DF，由△CBF和△ABD是等边三角形，易证得△CBA≌△FBD（SAS），继而证得AC＝DF，则可得DF＝EC，同理可得DE＝FC，则可判定四边形DECF是平行四边形，证得CD与EF互相平分．证明：如图，连接DE、DF，∵△CBF和△ABD是等边三角形，∴CB＝FB，BA＝BD，∠ABD＝∠CBF＝60°，∵∠CBA＝60°﹣∠ABF，∠FBD＝60°﹣∠ABF，∴∠CBA＝∠FBD，在△CBA和△FBD中，QUOTE，∴△CBA≌△FBD（SAS），∴AC＝DF，又∵EC＝AC，∴DF＝EC，同理可得：DE＝FC，∴四边形DECF是平行四边形，∴CD与EF互相平分．【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．20．【考点】用样本估计总体；统计表【分析】（1）从所取样本中根据视力正常的人数和所占比例求出所抽取的学生总人数，由扇形统计图根据B类所占比例可得m，总数减去A、B、D三类的人数即可得n；（2）用3000分别乘以中度视力不良和重度视力不良的百分比的和即可；（3）建议合理即可．解：（1）70÷35%＝200（人），m＝200×27.5%＝55，n＝200﹣70﹣55﹣25＝50；故55；50；（2）3000QUOTE1125（人）；答：估算该校中度视力不良和重度视力不良的人数和为1125人；（3）该校学生视力正常的仅占35%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加长学生户外运动时间（答案不唯一，有利于视力保护即可）．【点评】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据，最后的开放题要抓住题目的核心要求，给出正确的建议．21．【考点】解直角三角形的应用【分析】（1）利用平行关系得∠A＝α＝51°16′，直接运用CD＝tan51°16′×AD即可求解；（2）①由sinβQUOTE，设BN＝3k，BC＝5k，由勾股定理可得CN＝4k，从而可得tanβQUOTE；②由题可知四边形DCNE为矩形，则CN＝DE＝1.2m，EN＝DC＝1.25m，故BN＝tanβ×CNQUOTE0.9（m），故BE＝EN+BN可求．解：（1）∵MN∥AE，∴∠A＝α＝51°16′．∵AD＝1m，故CD＝tan51°16′×AD≈1.25（m）．即CD的长为1.25m；（2）①∵sinβQUOTE，∴设BN＝3k，BC＝5k，由勾股定理可得CN＝4k，故tanβQUOTE，故QUOTE．②由题可知四边形DCNE为矩形，则CN＝DE＝1.2m，EN＝DC＝1.25m，故BN＝tanβ×CNQUOTE0.9（m），故BE＝EN+BN＝1.25+0.9＝2.15（m），即B，E之间的距离为2.15m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题关键．五．解答题（共2小题，满分27分）22．【考点】勾股数；科学记数法—表示较大的数；整式的混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理【分析】（1）根据题意可得a+b＝（n2+1+2n）＝（n+1）2，把n＝299代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可；（2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且a是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可；（3）先计算b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2，再由勾股定理的逆定理即可得出结论．解：（1）a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1．a+b＝n2+1+2n＝（n+1）2，当n＝299时，a+b＝（299+1）2＝3002＝90000＝9×104；故9×104；（2）∵a＝n2+1，b＝2n，c＝n2﹣1，当n＝4时，a＝42+1＝17，b＝2×4＝8，c＝42﹣1＝15，∴b2+c2＝289＝a2，∴这个三角形的面积是QUOTE，故60；（3）小明的发现正确，理由如下：∵b2+c2＝（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+（n2）2﹣2n2+1＝（n2+1）2＝a2，∴b2+c2＝a2，∴当n取大于1的整数时，a、b、c为一组勾股数．【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握