2026年（河北专用）【中考数学】一轮复习考点探究讲义第三章 函数第四讲 等腰三角形 含答案

/第四讲等腰三角形考点一等腰三角形定义有两边相等的三角形是等腰三角形性质(1)两腰相等.如图,AB=①.

(2)两个底角相等(简称“等边对②”).

如图,已知AB=AC,则∠B=∠③.

(3)顶角的平分线、底边上的中线、底边上的④重合(简称“三线合一”).

如图,已知AB=AC,AD⊥BC,则BD=⑤,∠BAD=∠⑥.

(4)是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的对称轴.如图,△ABC的对称轴是⑦

判定(1)有两边相等的三角形是等腰三角形(定义).(2)等角对等边.如图,若∠B=∠C,则AB=⑧

面积公式S△ABC=12BC·⑨(1)等腰三角形两腰上的高、中线都分别相等.(2)等腰三角形两底角的平分线相等.(3)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.(4)等腰三角形顶角处的外角平分线与底边平行.1.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点.(1)若∠B=50°,则∠C=.

(2)若∠BAD=20°,则∠BAC=.

(3)若AB=5,BC=6,则AD的长为.

2.(人教八上P79练习T1变式)如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,则图中等腰三角形有个.

考点二等边三角形定义三边都相等的三角形是等边三角形性质(1)三边都相等,如图,AB=⑩=.

(2)三个内角都相等,并且每一个角都等于°.

如图,∠BAC=∠=∠=°.

(3)是轴对称图形,共有条对称轴.

(4)具有一般等腰三角形的所有性质判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形(定义).(2)三个角都相等的三角形是等边三角形.如图,若∠BAC=∠B=∠C,则△ABC是三角形.

(3)有一个角是的等腰三角形是等边三角形.

如图,若AB=AC,∠BAC=°,则△ABC是等边三角形

面积公式S△ABC=12ah=a2

3.如图,已知△ABC是等边三角形.若BD是等边三角形ABC的角平分线,AB=10,则CD=,S△ABC=.

4.如图,已知△ABC与△CDE都是等边三角形,点B,C,D在同一条直线上,AD与BE相交于点G,BE与AC相交于点F,AD与CE相交于点H,则下列结论:①△ACD≌△BCE;②∠AGB=60°;③BF=AH;④△CFH是等边三角形,其中正确的是.(填序号)

如图,在△ABD与△BCD中,AB=AD,CB=CD,∠DAB=60°,过点C作CE∥BA,交AD于点E,交BD于点F,连接AC,交BD于点H.(1)判断△DEF的形状,并说明理由.(2)求证:AC平分∠DAB.(3)若AD=12,CE=8,求CF的长.(1)先证明△ABD是等边三角形,可得∠ABD=∠ADB=60°,由平行线的性质可得∠CED=∠ADB=∠DFE=60°,可得结论.(2)根据AB=AD,CB=CD,推出直线AC是线段BD的垂直平分线,再根据等腰三角形的性质即可得证.(3)由等边三角形的性质和平行线的性质可得AE=CE=8,即可求解.命题点一等腰三角形的性质与判定❶(河北)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作∠APB的平分线PC,交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C,且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C命题点二等边三角形的性质与判定❷(2025·广西)如图,点A,D在BC同侧,AB=BC=CA=2,BD=CD=2,则AD=.

❸(2025·南充)如图,∠AOB=90°,在射线OB上取一点C,以点O为圆心,OC长为半径画弧;再以点C为圆心,OC长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点D,连接并延长CD交射线OA于点E.设OC=1,则OE的长是.

❹(2025·河北样卷)日晷是我国古代使用的一种计时仪器,某日晷底座的正面与晷面在同一平面上.如图,☉O表示日晷的晷面圆周,日晷底座的底边AB在水平线l上,△OAB为等边三角形,OA,OB与☉O分别交于P,Q两点.点C,D是☉O上两点,CD∥AB,过O作OE⊥AB于点E,交CD于点F,交☉O于点M.已知CD=603cm,FM=30cm,ME=20cm.(1)求☉O的半径.(2)求图中阴影部分的面积.

【详解答案】教材考点·深度梳理①AC②等角③C④高⑤DC⑥CAD⑦AD所在直线⑧AC⑨AD⑩ACBC60ABCACB603等边60°6034即时练1.(1)50°(2)40°(3)42.3解析:∵∠BDC=180°-∠C-∠DBC=180°-72°-36°=72°,∴∠BDC=∠C,∴BD=BC,∴△BDC为等腰三角形.∵∠BDC=∠A+∠ABD,∴∠ABD=36°,∴∠ABD=∠A,∴BD=AD,∴△ABD为等腰三角形.∵∠ABC=180°-∠A-∠C=72°,∴∠ABC=∠C,∴AB=AC,∴△ABC为等腰三角形.3.52534.①②③④解析:∵△ABC与△CDE都是等边三角形,∴AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=60°,∴∠ACB+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠ACD=∠BCE,在△ACD和△BCE中,AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=EC,∴△∴∠AGB=∠AFB-∠CAD=∠AFB-∠CBE=∠ACB=60°,故②正确;∵点B,C,D在同一条直线上,∴∠ACH=180°-∠ACB-∠ECD=60°,∴∠BCF=∠ACH,在△BCF和△ACH中,∠BCF=∠ACH,BC(ASA),∴BF=AH,故③正确;∵CF=CH,∠FCH=60°,∴△CFH是等边三角形,故④正确.故正确的结论是①②③④.重点难点·一题串讲例:解:(1)△DEF是等边三角形.理由如下:∵AB=AD,∠DAB=60°,∴△ABD是等边三角形,∴∠ABD=∠ADB=60°,∵CE∥AB,∴∠CED=∠DAB=60°,∠DFE=∠ABD=60°,∴∠CED=∠ADB=∠DFE,∴△DEF是等边三角形.(2)证明:∵AB=AD,CB=CD,∴AC是BD的垂直平分线,即AC⊥BD,∵AB=AD,∴AC平分∠DAB.(3)∵AC平分∠DAB,∠DAB=60°,∴∠BAC=∠DAC=30°,∵CE∥AB,∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°,∴AE=CE=8,∴DE=AD-AE=12-8=4,∵△DEF是等边三角形,∴EF=DE=4,∴CF=CE-EF=8-4=4.河北中考·考向体验1.B2.3-1解析:延长AD交BC于点E,如图,∵AB=CA,BD=CD,∴AE⊥BC,BE=CE,∵AB=BC=CA=2,∴BE=CE=1,∴AE=AB2-BE2=3,DE=BD23.3解析:如图,连接OD,由作图可得OC=OD=CD,∴△OCD是等边三角形,∴∠OCD=60°,∴OE=OC×tan∠OCD=1×3=4.解:(1)∵OE⊥AB,CD∥AB,∴OE⊥CD,∴DF=CF=12CD∵CD=603cm,∴DF=303cm.如图,连接OD,设☉O的半径OD=OM=rcm,∴OF=OM-FM=(r-30)cm,在Rt△ODF中,r2=(303)2+(r-30)2,解