2026年【中考数学】第一轮专题练习：练第四模块三角形讲义（河南专用） 含答案

/第四模块三角形第14讲几何初步基础练1．[2025周口模拟]如图1，这是一把剪刀的示意图，我们可将其想象成一个相交线模型（如图2）.若∠AOB+∠COD 图1 图2A．30∘ B．60∘ C．120∘2．[2025驻马店模拟]如图，一棵树生长在坡角为28∘A．28∘ B．52∘ C．62∘3．[2025郑州金水模拟]如图，射线OA表示北偏西20∘的方向，∠AOB=A．北偏东75∘ B．北偏东55∘ C．北偏东70∘4．[2025周口模拟]将一个含30∘角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，当∠1=40∘时，∠2，∠3A．1 B．2 C．3 D．45．[2025南阳西峡三模]将等腰直角三角尺ABC按如图所示的方式放置，其直角顶点A落在直线l1上，另一个顶点B落在直线l2上，若l1//lA．23∘ B．33∘ C．45∘6．[2025焦作山阳模拟]如图所示，∠AOB=90∘，∠AOC=20A．35∘ B．55∘ C．40∘7．[2025河南模拟]一副三角尺按如图所示的位置摆放（直角顶点重合，两条直角边分别共线），则∠1A．150∘ B．155∘ C．160∘8．[2025周口郸城二模]如图，直线a//b，△ABC是一块含30∘角的直角三角尺，其中∠C=90A．30∘ B．40∘ C．50∘9．[2025南阳邓州二模]图1是一款常用的手机支架，图2为抽象的几何模型，若∠BCD=70∘，支撑杆CB与桌面夹角∠B 图1 图2A．45∘ B．55∘ C．65∘10．[2025南阳模拟]将一张长方形纸片（足够长）折叠成如图所示的图形，重叠部分是一个三角形(△ABC)，BC为折痕，若∠1A．48∘ B．58∘ C．60∘11．[2025福建]某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质,用一副三角尺按如图所示的方式摆放,其中点A,E,C,F在同一条直线上,∠BAC=∠EDF=90∘,∠BA．5∘ B．15∘ C．25∘12．[2025郑州高新区模拟]要说明命题“若x>1，则ax>a”是假命题，a的值可以是_________________13．[2025江西]如图,已知点C在AE上,AB//CD,∠1提升练14．[2025山东烟台]如图是一款儿童小推车的示意图,若AB//CD,∠1=30A．40∘ B．35∘ C．30∘15．[2025郑州模拟]如图，小沈将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点D，C分别落在点D1，C1的位置，ED1的延长线交BC于点G，若∠A．125∘ B．130∘ C．135∘16．[2025江苏扬州]如图,平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后,折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130∘,A．60∘ B．70∘ C．80∘17．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″=105∘，则∠CFE=__第15讲三角形及其性质基础练1．[2025南阳方城三模]三角形的三条边的长度分别为a−1，a，a+A．a>0 B．a>2 C．2．[2025河南模拟]如图，已知△ABC，边BCA．AF B．CE C．DB D．AB3．[2025河南模拟]如图所示，CD，CE，CF分别是△ABCA．AB=2BFC．∠ACE=14．[2025河南模拟]王爷爷要将一块如图所示的三角形菜地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABCA．角平分线 B．中线C．高线 D．以上都不是5．[2025驻马店驿城二模]将一副直角三角尺按照如图所示的方式放置，使含30∘角的三角尺的短直角边和含45∘角的三角尺的一条直角边对齐，则A．30∘ B．45∘ C．60∘6．[2025郑州模拟]如图，线段DG，EM，FN两两相交，共有B，C，A三个交点，则∠DA．180∘ B．360∘ C．540∘7．[2025许昌一模]如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE交于点G.若BG=6A．4.5 B．4 C．3.5 D．38．[2025驻马店正阳一模]如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是________________.9．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，以点B，C为圆心，BD长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E，F．若∠A=60∘，BC=6，则图中阴影部分的面积为__10．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线，若∠A=40∘，∠B=76∘，则∠DCE的度数为_11．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是边BC的中点，AD=8，S△ABC=48，则BE12．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，∠（1）请在图中画出△ABC的边BC上的高AD（2）已知E为边AB上一点．①若CE是中线，BC=12,AC=10，则△BCE与△②若∠1=∠2=35提升练13．[2025河南模拟]如图，一束光照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，反射角等于入射角．若∠1=50∘，A．50∘ B．55∘ C．63∘14．[2025平顶山鲁山一模]如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABCA．3 B．32 C．3315．[2025河南二模]如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AE是它的中线，AB=5，AC=3A．157 B．715 C．7816．[2025驻马店驿城一模]如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个面积为14的小正方形拼成的一个大正方形.直角三角形较长直角边的长为a，较短直角边的长为b，若ab=A．58 B．6 C．5 D．417．[2025郑州高新区模拟]如图，把△ABC沿着直线BC向右平移至△A′B′C′处，BB′:B′C=1:2，连接A′18．[2025开封通许一模]如图，点D为△ABC的边AB上一点，如果∠A=50∘，将△ACD沿直线CD翻折后，点A落在A′处，那么当∠ACD=__19．[2025河南模拟]如图，BD是△ABC的边AC（1）尺规作图：作出BD的三等分点E，F，点E靠近点B；（要求：保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，连接AE，AF，若S△ADE=第16讲等腰三角形与直角三角形基础练1．[2025鹤壁模拟]如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD为AC边上的高，AE//BD，且AE交CB的延长线于点E.若A．30∘ B．20∘ C．35∘2．[2025郑州金水三模]如图，直线a//b，AB=AC，BD⊥AC于点A．50∘ B．60∘ C．70∘3．[2025郑州一模]如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC，点D是AB边的中点，DE//AC，交BC于点E.若A．40∘ B．35∘ C．50∘4．[2025信阳固始二模]如图所示，直线l//m//n，等边三角形ABC的顶点B，C分别在直线n和m上，A．29∘ B．41∘ C．31∘5．[2025河南模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，D，E分别是AC和BC的中点.若DEA．2+5 B．2+256．[2025南阳邓州一模]如图是“不倒翁”的平面示意图，由等边△ABC与BC⌢围成的图形.已知AB=23，等边△A．2π B．4π C．437．[2025安徽]如图，在△ABC中，∠A=120∘，AB=AC，边AC的中点为D，边BC上的点EA．43 B．6 C．238．[2025洛阳汝阳一模]如图，△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=30∘，AB=4，以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于D，连接CD9．[2025洛阳伊川模拟]若△ABC的周长为20，AB=AC，则BC边的长可能是___________10．2025河南模拟如图，∠APB=∠AQB=90∘，O是AB的中点，连接PO.若AQ=BQ=3211．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，AB=8，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点且EF=2，连接AF，BF，若∠AFB=90∘，则线段BC12．[2025河南模拟]如图，△ABC中，∠C=90∘，BD是∠ABC的平分线，点D在AB的垂直平分线上，若AD=6，则CD=13．[2025信阳光山二模]如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE（1）求∠E（2）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足为（3）在（2）的条件下，求证：BM=14．[2025福建]如图,△ABC是等边三角形,D是AB的中点,CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD（1）求∠DCE（2）求证:△CEG提升练15．[2025焦作一模]如图1，我们把对角线相等的四边形称为对等四边形.如图2，在△ABC中，AB=AC，点P为BC边上一动点，M，N分别为AB，AC边上的动点.已知AB=10，BC 图1 图2A．10 B．8 C．6 D．516．[2025郑州中原三模]如图所示，可折叠工具箱共有三层，工具箱打开前，连接装置与水平方向的夹角为30∘，连接装置转动90∘后箱子完全打开，每一根连接装置长A．153cm C．(153−17．[2025山东烟台]如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,AC=BC,AD是角平分线.点E从点A出发,沿AB方向向点B运动,连接CE,点F在BC上,且∠CEF=45∘A．(12,C．(12,18．[2025周口商水二模]如图，将等边三角形ABC沿BC方向平移，使点B移动到BC的中点B′处，得到△A′B′C′.A′B′与AC相交于点O，以O为圆心，OA长为半径作AB′⌢.若AB=4，则阴影部分的面积为_19．[2025河南模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=2AC=8，D为平面内一点且满足AD=1，E为BD的中点，则BE的取值范围是_______20．[2025南阳邓州一模]如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，点D为AB中点，M，N分别为CD，AD上的动点，且CM=DN，ME//AB交BC于点E，若CD=6，tanA=2，则AC的长为_____21．[2025驻马店驿城模拟]如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，∠B=30∘，AC=1，在直线AC左侧找到一点D，使四边形ABCD满足一组对边平行且有一组对角互余，则BD的长为_________22．[2025河南模拟]如图，点O是等边三角形ABC内一点，∠AOB=110∘，∠BOC=α（1）当α=150∘（2）当α为多少度时，△AOD基础微专题6与角的平分线有关的辅助线作法基础练1．[2025河南模拟]如图所示，△ABC中，AD平分∠BAC，BD=AD=6，DF⊥A．8 B．10 C．45 D．2．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC的中点，AD⊥BD，AC=A．1 B．2 C．12 D．3．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AC于点E，DE=A．32 B．20 C．16 D．84．[2025郑州模拟]如图，在△ABC中，∠C=90∘，BD是∠ABC的平分线，点E在BD上，过点E作EF⊥BD，交AB于点F.若BE=4，BF=5，DE=EF，则提升练5．[2025江苏连云港]如图,在△ABC中,∠ACB=90∘,∠CAB=30∘,ADA．23 B．733 C．56．[2025河南模拟]如图，在矩形ABCD中，AB=4，点E为AD上一点，且BE=BC，作∠EBC的平分线BF交边CD于点F，作CG⊥BE于点P，分别与AB和BF交于点G和点Q，若AG=14AB，则PC的值为___7．[2025河南模拟]如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线BE与AD交于点E，∠BED的平分线EF与DC交于点F，若AB=10，点F是DC的中点，则BC的长为_______基础微专题7与中点有关的辅助线作法基础练1．[2024河南模拟]如图，在△ABC中，点D在BC边上，E，F分别是线段AC，BD的中点.若AB=AD，EFA．5 B．6 C．33 2．[2025河南模拟]如图，在△ABC中，AC=2，∠ACB=120∘，D是边AB的中点，E是边BC上一点.若DE平分△ABC的周长，则DE的长为_3．[2025河南模拟]如图，在Rt△ABC与Rt△DCE中，∠BAC=∠CDE=90∘，∠ABC=∠DCE=30∘，B，C，E三点在同一条直线上，AB=3且CE=2BC，连接AD，P，Q分别是AD提升练4．[2025郑州模拟]如图，点O为菱形ABCD的对角线BD的中点，点E为AB的中点，点F为△BCD内一点，连接FE，FO，FA，FA交BD于点G，FE=FO，∠BCD=2∠AGD，∠EFO=∠FAD，FE=2，则BD5．[2024河南模拟]【感知】（1）如图1，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则DE和BC的位置关系为________，数量关系为__________图1【应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=10，CD=8，EF=图2【拓展】（3）如图3，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF=EG.求证：图3基础微专题8特殊三角形的分类讨论基础练1．[2025郑州金水模拟]矩形ABCD的边AB长为1，∠BAD的平分线交边BC于点E（点E不与点C重合），连接DE，若△ADE的形状为等腰三角形，则BC边的长为________2．[2025南阳方城模拟]如图，已知点A从点(1,0)出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=60∘，点P的坐标为(0,3)，设点A运动的时间为ts，则在点A的运动过程中，当t=_______________3．[2025信阳二模]若一个三角形三边长之比为3:4:5，则称这个三角形为“勾股三角形”.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD>AB，点E在边AD上，将△ABE沿BE折叠，得到△FBE，过点F作FG⊥BC于点G.若△FBG是“勾股三角形”，则BE的长为__________4．[2025濮阳一模]如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=4，BC=3，点D是AC上一点，把△BDC沿BD折叠，点C的对应点为点E，连接AE，若△ADE为直角三角形，则DC=___5．[2025洛阳西工一模]如图所示，△ABC为等边三角形，AB=4，D为BC边上一动点，过点D作DE⊥BC交AB于点E，作DF//AB交AC于点F，连接EF.当△AEF为直角三角形时，线段BD的长为_____提升练6．如图所示，在△ABC中，∠A=∠B=45∘，AB=16，EF是△ABC的中位线，D是边AB上一点，AD=2，P是线段第17讲全等三角形基础练1．[2025山西]如图所示，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO=CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中A．SSS B．SAS C．ASA D．HL2．[2025河南模拟]如图，在△ACD和△CBE中，CD=BE，若点C是线段AB的中点，则添加下列条件不能使A．∠ACD=∠ABEC．AD=CE 3．[2025驻马店汝南三模]如图，已知△AOB≌△COD，AB与CD交于点P，若∠AOD=A．140∘ B．138∘ C．148∘4．[2025周口西华三模]如图所示，在3×3的正方形网格中，点A，B，C，D均在网格格点上，则A．30∘ B．45∘ C．60∘5．[2025信阳淮滨模拟]如图，在四边形ABCD中，AB//CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F.若AB=A．11 B．12 C．13 D．146．[2025郑州模拟]如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D是AB边上一点，点E是AC边上一点，AE=BD，过点D作DF⊥BCA．245 B．5 C．6 D．7．[2025河南模拟]如图，△BFD≌△CED，若△ACE的面积为3，△BFD的面积为2，则△ABF的面积为__8．[2025福建]如图,点E,F分别在AB,AD的延长线上,∠CBE=∠CDF,∠9．[2025新乡二模]如图，矩形ABCD中，点E是BC上的一点，AE=（1）请用无刻度的直尺和圆规过点D作AE的垂线，交AE于点F（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，若AB=3,BC=10．[2025浙江]【问题背景】如图所示,某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（阴影部分）,点E在对角线BD上.【数学理解】（1）该机翼状纸板由两个全等三角形组成,请写出△ABE（2）若裁剪过程中满足DE=DA,求“机翼角”提升练11．[2025安阳二模]如图，点P在OB上，从点B(−12,0)出发向原点O运动，已知点A(0,12)，以AP为斜边向右作等腰直角三角形PAC，A．(−3,0C．(−4,0)或(−312．[2025山东威海]我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.下列条件中,不能判定四边形ABCD是筝形的是（）A．BO=DOB．∠DAC=∠C．∠DAC=∠D．∠ADC=∠13．[2025周口郸城一模]如图，在Rt△ACB中，BC=AC=4，D为AC中点，E为AB上一个动点，连接CE交BD于F，当CE⊥BD时，CE=___14．[2025南阳方城一模]如图，由三个全等的三角形(△ABE,△BCF,△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC.连接BD并延长交（1）∠FDB的度数是______（2）DG的长是______.15．[2025新乡二模]如图，已知点A(1,0)，B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60∘得到AD第18讲相似三角形基础练1．[2025郑州金水模拟]如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽BD=1cmA．32cm B．1cm C．12．[2025郑州模拟]如图，直线l1//l2//l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交ll，l2，l3于点D，E，F，ACA．35 B．2 C．25 3．[2025郑州中原模拟]鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例.如图，P是AB的黄金分割点(AP>BP)，若线段A．25−2 B．25+14．[2025焦作沁阳二模]如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，添加一个条件一定能使△A．∠ADE=∠ABCC．AEAC=AD5．[2025郑州高新区三模]如图所示，在平行四边形ABCD中，点E为边CD上靠近C的三等分点，连接AE交BD于点F，若S△DEF=A．9 B．18 C．32 D．366．[2025周口扶沟二模]在三角形ABO中，已知点A(−6,3)，B(−6,−4)，以原点A．(−2,1C．(−8,4)或(87．[2025周口沈丘模拟]如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥A．△AEO∼△ACDC．DE=748．[2025安阳一模]如图，已知△ABC∼△ACD，∠A=80∘，∠ADC=60∘，则9．[2025安阳模拟]已知a，b，c使等式ab=bc=ca成立，则代数式a−b−ca+10．[2025焦作沁阳二模]如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D作垂直于AB的直线交BC于E，交AC的延长线于F求证：（1）△ADF（2）CD211．[2025洛阳西工一模]如图，点D是△ABC的边AB（1）尺规作图：在AC上找一点E，连接DE，使得△AED（2）在（1）的条件下，若∠A=45∘，∠ABC=7512．[2025焦作沁阳二模]如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(3,1（1）在y轴左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OCD，且△OCD与△（2）在（1）的条件下，如果△OAB内部一点M的坐标为(m,n)，写出点M（3）在（1）的条件下，计算△OCD提升练13．[2025信阳淮滨模拟]如图是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线AM经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点F1，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，F1M与AO的交点C即为点A的像点.若AM=4cm，OF1=3cm，点A到主光轴A．32cm B．76cm C．14．[2025商丘睢县二模]如图，在平行四边形ABCD中，点O是BD的中点，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF分别交BD于点G，H.若A．12 B．35 C．3415．[2025郑州金水一模]如图所示，等边三角形ABC的顶点A在x轴上，BC//x轴，AC=6.直线y=−x+8与AC交于点P，且AP=2PC，则点B的坐标为_______16．[2025焦作沁阳二模]我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光沿直线传播照在不透明的皮影上，在皮著名演员面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影来完成各种造型和场景的表演.如图，已知皮影在C处，屏幕在E处，皮影与屏幕相距1m，射灯A与皮影相距2m，若保持皮影在C处位置不变，要使屏幕上的影长DE增大一倍至FE，则射灯A应向皮影靠近至G的距离AG为______17．[2025三门峡模拟]【发现问题】某学习小组发现：三角形一个角的平分线截第三边形成的两条线段的比等于这个三角形中对应的两边之比.如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则 图1 图2 图3【猜想验证】下面是【发现问题】的不完整的证明过程.证明：如图2，过点B作BE//AC，交AD的延长线于点E，【拓展应用】如图3，已知Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AC=6，BC=10，CD平分∠ACB，则tan∠DCB=_18．[2025]如图,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90∘,BC=4,AD=aBN,点M是AB的中点,点（1）当点D和点N分别是AC和BC的中点时,求a的值；（2）当a=2时,以点C,D,N为顶点的三角形与△BMN（3）当a=2时,求拓展练19．[2025江西]如图,△ABC是面积为1的等边三角形,分别取AC,BC,AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1CA．(12)n+1 B．(20．[2025郑州高新区模拟]如图，△ABC的三边长分别为a，b，c(a>b>c)，△A1B1C1的三边长分别为（1）若c=a1，用k表示a（2）在（1）的条件下，请写出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a，b，c（3）若b=a1，c=b1，是否存在基础微专题9全等、相似三角形模型1．[2024驻马店驿城模拟]如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，∠（1）求证：△ABD（2）如果AB=3，EC=2．[2025南阳一模]综合与实践如图1，这个图案是我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三垂直”模型.如图2，在△ABC中，∠A=90∘，将线段BC绕点B顺时针旋转90∘得到线段BD，作图1（1）【观察感知】如图2，通过观察，写出线段AB与DE的数量关系是________；图2（2）【问题解决】如图3，连接CD并延长，交AB的延长线于点F，若AB=2，AC=图3（3）【类比迁移】在（2）的条件下，连接CE交BD于点N，则BNBC=______（4）【拓展延伸】在（2）的条件下，在直线AB上找点P，使tan∠BCP=23．[2025驻马店西平三模]如图，在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE（1）如图1，当α=60∘时，连接BE，CD图1（2）如图2，当α=90∘时，BE交CD于点F，连接AF图2（3）如图3，当α=90∘时，AC=4，D是AC的中点，将△ADE绕点A旋转得到△AD1E1 图3 备用图4．[2025郑州一模]如图1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，连接AC，将△ABC绕点A沿逆时针方向旋转得到△图1（1）旋转过程中，一定是等腰三角形的三角形有________________，BECF的值为______（2）如图2，当点E落在对角线AC上时，求BE的长. 图2 备用图（3）连接CE.试探究能否构成以CF为直角边的△CEF.若能，直接写出线段CF第19讲锐角三角函数与解直角三角形基础练1．[2025洛阳汝阳一模]如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥ABA．BDBC B．BCAB C．ADAC2．[2025商丘睢县二模]光从真空射入介质发生折射现象时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinαsinβ叫作介质的“绝对折射率”，简称“折射率”.如图，光从真空射入一玻璃中，入射角为α，折射角为β，且αA．32 B．13322 C．133．[2025焦作沁阳二模]如图，在△ABC中，AB=AC=10A．18 B．16 C．12 D．64．[2025洛阳新安一模]如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=3A．12 B．2 C．52 5．[2025周口沈丘一模]如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，A．35 B．75 C．7146．[2025平顶山鲁山一模]我国纸伞的制作工艺十分巧妙.如图，两条伞骨所成的角∠BAC=130∘，点D在伞柄AP上，A．msin65∘ B．mcos65∘7．[2025驻马店上蔡三模]近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面.如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座ABCD的高BC为20cm，显示屏EF的长度为60cm，侧面支架EC的长度为130cm，∠ECD=80∘A．(30+130C．(303+8．[2025三门峡模拟]如图所示，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，则cos∠ABC的值为______9．[2025郑州模拟]一座金字塔被发现时，顶部已经损坏，但底部未曾受损.如图，该金字塔的底面是一个边长为130m的正方形，且每个侧面与底面所夹的角都为α(0∘<α<90∘)，则这座金字塔原来的高为_______10．[2025郑州新密模拟]如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AE的高度，从旗杆正前方23米处的点B出发，沿斜面坡度i=1:3的斜坡BC前进4米到达点C，在点C处安置测角仪，测得旗杆顶部E的仰角为37∘，已知测角仪的高CD为1.5米，A，B，C，D，E在同一平面内，AE⊥AB，AE//CD，求旗杆11．[2025焦作二模]焦作市修武县的胜果寺塔是一座有千年历史的古塔，也是国家重点文物保护单位.某数学活动小组利用无人机测量胜果寺塔的高度.如图，无人机飞行至距地面20m的P处测得塔顶B的仰角为28∘,然后无人机沿PF方向飞行，飞行方向和水平方向的夹角为60∘,当到达塔身BC的正上方E处时，测得BE=16m,求胜果寺塔的高度BC.（结果精确到1m,参考数据：sin12．[2025郑州二模]如图，某岛屿附近存在一个浅滩（扇形AOB）,其中A,B为岛屿上的两个警示灯塔，其中∠ACB为警示角，为了保证深水船P不进入浅滩，测量∠APB的大小，与警示角∠ACB比较.某一时刻，深水船P行驶到某一位置，此时直线PA和直线PB恰好与弧ACB所在的圆相切，A（1）判断∠APB和∠（2）若∠AOB=100∘,测得AO=（参考数据：sin40∘≈0.64,提升练13．[2025开封二模]2025年春晚一群活泼又喜感的人形机器人扭秧歌，该节目吸引了无数观众的目光，不仅展示了人工智能技术的进步，还体现了科技为传统文化注入新的活力.图2是一个人形机器人跳舞时的侧面示意图.已知此人形机器人的上半身AB=100cm,大、小腿的长BC=DC=40cm,胳膊EF=34cm,AE=EF,当∠AEF=120∘,∠BCD= 图1 图214．[2025开封通许一模]根据以下素材，完成任务.素材1小红家安装户外遮阳棚，下图是此户外遮阳棚的侧面示意图.已知该遮阳棚安装在垂直于地面BC的墙面上，棚面安装点A离地面62米，棚面与墙面的夹角∠DAB=45∘，棚面宽AD=4米.除此之外，为了保障遮阳棚的稳定性，还加装了支架MN稳定棚面.支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线，点N固定在棚面上离A点2米处（点A，N，素材2小红所在地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）的正切值如下表：时刻12点13点14点15点角α的正切值432.52素材3小红养了一株龙舌兰，该植物喜阳，所以小红经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，这株龙舌兰摆放的位置记为点E任务1．确定安装点请求出支架MN的固定点M与A点的距离任务2．判断能否照射到这天14点，小红将龙舌兰摆放到地面上，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角B距离的取值范围15．[2025山西]项目学习项目背景:“源池泉涌”为我省某景区的一个景点,主体设计包括外栏墙与内栏墙,外栏墙高于内栏墙,两栏中间为步道,内栏墙内为泉池,池内泉水清澈见底.从正上方看,外栏墙呈正八边形,内栏墙呈圆形.综合实践小组的同学围绕“景物的测量与计算”开展项目学习活动,形成了如下活动报告.项目主题景物的测量与计算驱动问题如何测量内栏墙围成泉池的直径活动内容利用视图、三角函数等有关知识进行测量与计算活动过程方案说明图1为该景点俯视图的示意图,点A,D是正八边形中一组平行边的中点,BC为圆的直径,图中点A,B,C,D在同一条直线上.图2为测量方案示意图,直径BC所在水平直线与外栏墙分别交于点E,F,外栏墙AE与DF均与水平地面垂直,且AE=DF.BE, 图1俯视图的示意图 图2测量方案示意图数据测量在点A处测得点B和点C的俯角分别为∠DAB=37∘,计算……交流展示……请根据上述数据,计算内栏墙围成泉池的直径BC的长（结果精确到1米.参考数据:sin8.5∘≈0.15,cos8.5∘≈0.99,第四模块三角形第14讲几何初步基础练1．D2．C3．A4．B5．A6．B7．D8．B9．A10．D11．B12．−113．证明：∵AB∴∠1∵∠1=∠2∴AE提升练14．A15．B16．C17．155第15讲三角形及其性质基础练1．B2．A3．B4．B5．D6．B7．D8．三角形具有稳定性9．3π10．18∘11．612．解：（1）如图所示，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于D，则（2）①2②∵∠1∴∠3∴∠3∴∠EAC提升练13．C14．B15．C16．B17．118．6519．解：（1）如图所示，E，F即为线段BD的三等分点.（2）如图所示.∵BD是△ABC的边∴AD∴S∵E，F为线段BD∴S∵S∴S∴S第16讲等腰三角形与直角三角形基础练1．C2．C3．C4．C5．B6．D7．B8．29．8（答案不唯一）10．311．1212．313．解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠又∵CD=CE，∠ACB为（2）如图所示.（3）证明：∵△ABC是等边三角形，D是AC∴∠DBC=∠ABD=30∴BD又∵DM⊥BE14．解：（1）∵△ABC是等边三角形,∴∠∵D是AB∴∠DCB∵CE⊥BC∴∠DCE（2）证明：由平移可知CD//∴∠EAC又∵∠ECA∴∠EAC∴AE=CE又∵AB∴BE垂直平分AC∴∠GEC由（1）知,∠GCE∴∠EGC∴∠GEC∴△CEG提升练15．B16．C17．B[解析]∵∠ACB=90∘，∴∠CAB=∠CBA设AC=∴AB如图，在AC上取点Q，连接DQ，使AQ=∴∠QAD∴∠CQD=45∘=∠∴2CQ+CQ=∵∠CEF=45∴∠BEF又∵∠CAE∴△ACE∴ACBE=∴BF∴DF∵y关于x的函数图象过点(0,解得m=∴y当x=−−2∴该图象上最低点的坐标为(218．2319．7220．22；[解析]∵∠ACB=90∘，点D为∴AB∵tanA设AC=x，在Rt△ABC∵A∴x解得x=∴AC连接DE，如图，∵ME//AB∵BD=CD∴∠BCD=∠CEM∵CM=DN∴四边形MNDE是平行四边形，∴MN当DE⊥BC时，∵∠ACB=90∴DE//AC∴DE∴MN的最小值为221．573或[解析]分两种情况讨论：①当AB//CD，∠ABC+∠ADC=90∘时，过点图1在Rt△ABC中，∠CAB=90∘∴BC由勾股定理得AB=∵∠ABC+∠ADC=90在Rt△ACD中，∠CAD=由勾股定理得AD即(2CD)∵∠CAB=90∘，∴∠ACD∴四边形ACDE为矩形，∴DE=AC∴BE在Rt△BDE中，由勾股定理得BD②当AD//BC，∠ABC+∠ADC=90∘时，过点图2同①得AB=3，∵∠ABC=30∵AD∴∠DAC∴△ACD∴AD∵∠DAE∴在Rt△ADE中，DE由勾股定理得AE=∴BE在Rt△BDE中，由勾股定理得BD综上所述，BD的长为573或7解：（1）直角三角形.理由如下：∵△OCD∴OC∵△ABC∴BC∵∠ACB∴∠BCO在△BOC与△OC=∴△BOC∴∠BOC∵∠BOC=α∴∠ADO∴△AOD（2）设∠CBO=∠CAD=β，∠则β+γ=60∘，γ∴(60∘−即∠DAO①当AO=AD时，∴190∘−②当OA=OD时，∠OAD=∠ADO③当OD=AD时，∠OAD综上，当α=110∘或125∘或基础微专题6与角的平分线有关的辅助线作法基础练1．C2．D3．C4．285提升练5．A[解析]延长AC与BE，使其相交于点F，易得△ACD∼△BCF∵∠ACB=90∴AB=2∴ADBF=∵AD平分∠∴∠BAE∵BE⊥AD∴∠F=∠ABF∴BE∴AD6．13−7．52[解析]∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=10，AD∵BE是∠∴∠ABE∵AD//BC∴∠ABE=∠AEB∴BE如图所示，过点F作FG⊥BE于点G，连接∵EF平分∠BED，FD⊥∴FD=FG∴Rt△FED∴ED∵点F是DC的中点，∴FD∴FD在Rt△BFG和Rt△BF=∴Rt△BFG∴BC设ED=EG=x，则由BC=BG得解得x=∴AD基础微专题7与中点有关的辅助线作法基础练1．B2．1[解析]延长BC至F，使CF=CA，连接∵∠ACB=120∴△ACF∴AF∵DE平分△ABC的周长，D是边AB的中点，∴BE∴DE3．212[解析]由题意可知，AB//CD，△ABC∼△DCE，又∵∴DE如图，连接BD，取BD的中点G，连接GP，GQ，∵P，Q分别是AD，BE∴GP//AB，GP=1∴∠PGD=∠ABD∵AB//CD∵∠PGQ∴△GPQ∴PQ提升练4．46[解析]连接OE交AF于点I，连接CA，如图，∵四边形ABCD是菱形，点O为对角线BD的中点，∴OB=OD∠OAD∵∠BCD∴∠AGD∴∠EFO∵点O为BD的中点，点E为AB的中点，∴OE=AE∴∠FIE∵FE=FO∴Rt△FIE∴IE∴AF垂直平分OE，∴∴AO∵FE=FO∴OE∴AO=OE∴OB∴BD5．解：（1）DE//BC（2）140∘（3）证明：如图，取DC的中点H，连接MH，NH.∵M，H分别是AD，DC∴MH//AC同理可得NH//BD且∵EF=EG∵MH//AC∴∠EFG=∠HMN∴∠HMN∴MH=NH基础微专题8特殊三角形的分类讨论基础练1．2或22．3−13．5524．3或35．1或8提升练6．解：∵∠A∴AC=BC∵AB=16∵EF是△∴CF=BF=42，易知∠PDO≠90①当∠DOP=90∘时，如图1，过点F作图1∴△BHF∴BH∵AD=2∵tan∠EFO∴OE设OE=2x由勾股定理得OE∴(2∴x=8②当∠OPD=90∘时，如图2，过点F作FH⊥图2∵AD=2∵EF//AB∴EFDP=OEOP综上，OE的长为162929或第17讲全等三角形基础练1．B2．B3．D4．B5．C6．C7．78．证明：∵∠CBE=∠CDF,∠∴∠ABC在△ABC和△∠ABC∴△ABC≌△ADC9．解：（1）如图,DF即为所求.（2）由（1）知DF⊥∴∠AFD在矩形ABCD中,∠B=90∴∠B=∠AFD又∵AE∴△EBA≌△AFD在Rt△ABE中，由勾股定理可得BE∴AF=BE10.解：（1）证明:在正方形ABCD中,BA=BC,在△ABE和△BA=所以△ABE（2）在正方形ABCD中,∠BAD=90因为DE=所以∠DAE所以∠BAE提升练11．D12．D13．4514．（1）30∘[解析]由题意可得EF=ED=∴∠BFD∵△ABE∴BF∴BF∴∠FDB（2）63[解析]作CH⊥BG交BG的延长线于点∵△ABE≌△CAD∵∠CDH∴CH则DH=∵∠ADB∴∠ADG∴AD//CH∴DG∴DG∴DG15．3[解析]以AO为边作等边三角形AOH，连接HD，∵A(1∴OA=1∵△AOH∴AO=AH∵将AC绕A顺时针旋转60∘得到AD∴AD=AC∴∠OAC∴△CAO∴∠AHD∴点D在过点H且垂直于AH的直线上运动，∴当BD⊥DH时，如图，过点A作AN⊥BD于∵∠AHD=90∘，∴四边形AHDN是矩形，∴AH=DN∴∠BAN=30∴BD第18讲相似三角形基础练1．C2．A3．A4．D5．B6．D7．C8．409．−110．证明：（1）在Rt△ABC∠B∵DF∴∠BDE∴∠A+∠F∴△ADF（2）由（1）知∠B∵CD是Rt△ABC斜边∴CD=AD∴∠DCE=∠F∴CDDF=11．解：（1）如图，点E即为所求.（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F，则∵∠A=45∴∠C=60∴AF在Rt△CBF中，∠∴CF=BC∴AF∴AC∴S∵△AED∼△ABC∴S∴S12．解：（1）如图，△OCD（2）由题意得，点M在△OCD内的对应点N的坐标为(−（3）△OCD的面积为1提升练13．C14．B15．(316．3217．解：【猜想验证】补全证明过程如下：∴∠CAD=∠E∴△BDE∼△CDA∵AD平分∠BAC，∵∠CAD=∠E∴AB=BE【拓展应用】1218．解：（1）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠A=90∴AB∵点D和点N分别是AC和BC的中点，∴AD=1∵AD∴a（2）∵a=2∴AD设BN=x，则AD=则CD=∵M是AB的中点，AB∴AM∵△ABC∴∠B当以点C，D，N为顶点的三角形与△BMN①当△CDN∼△BMN∴2此方程无解，不符合题意；②当△CND∼△BMN∴4解得x=3+∴BN综上，BN=（3）∵a=2∴AD如图，作DE//BC,AE⊥DE于点则∠ADE∴△AED∴AD=2∴AE=DE又∵DE∴四边形EDNB为平行四边形，∴BE将AB绕点B顺时针旋转90度得到BF，连接NF，MF，则BF=AB=∵∠ABC∴∠NBF又∵AB=BF∴△AEB∴BE∴DN∴MN∴当点N在线段MF上时，MN+ND的值最小，为在Rt△MBF中，BM=1∴MF∴MN+ND拓展练19．C20．解：（1）∵△ABC∼△A1B1C1，且相似比为k(又∵c=a（2）取a=8，b=6，c=4，同时取此时aa∴△ABC∼△A（3）不存在这样的△ABC和△假设存在这样的k，使得△ABC∴aa1=bb1∵b=a∴a=