初中数学七年级下册：三元一次方程组解法教案 -1

初中数学七年级下册：三元一次方程组解法教案

一、设计理念

本教案立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉承“以学生发展为本”的教育理念，致力于构建一个既具数学深度又富有思维张力的学习场域。教学设计超越传统“解法教学”的机械训练模式，将“三元一次方程组的解法”定位为发展学生代数思维、模型观念和推理能力的关键节点。我们强调知识的生成性、结构的整体性以及应用的广泛性，通过大单元教学设计思路，将本节课有机嵌入“从一元到多元、从线性到非线性”的代数知识发展脉络中。

本设计着重体现以下三点核心理念：第一，深度教学：不满足于算法步骤的识记，而是引导学生深入理解“消元”思想的本质——化归与转化，将其视为解决复杂问题的普适性思维策略。第二，跨学科视野：有意识地挖掘数学与物理、化学、信息技术乃至经济生活的内在联系，设计真实或拟真的问题情境，彰显数学作为基础科学与工具的强大生命力。第三，差异化与过程性：尊重学生认知起点与思维路径的多样性，通过多层次的问题链、开放性的探究任务以及信息技术的融合应用（如GeoGebra动态演示），为不同学习风格和能力层级的学生提供支持，并全程关注其思维过程的展现与反思。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

“三元一次方程组的解法”在人教版七年级下册第八章“二元一次方程组”之后出现，常作为选学或拓展内容（对应部分版本的“数学活动”或“阅读与思考”）。然而，从代数知识体系的完整性来看，它扮演着承上启下的关键角色。“承上”在于，它是学生已掌握的二元一次方程组解法的自然推广与能力迁移，是“消元法”思想应用的深化与巩固；“启下”在于，它为后续学习线性代数初步（如矩阵、向量）、多元函数以及高中数学中涉及多变量关系的复杂问题（如解析几何中的平面方程、空间几何体问题）奠定了必要的思想方法和运算基础。

教材通常通过一个含有三个未知数的实际问题引入，引导学生类比二元一次方程组的解法，探索三元一次方程组的求解步骤。其核心思想仍是“消元”——通过代入或加减，逐步减少未知数的个数，最终化归为一元一次方程。本课的教学价值不仅在于掌握一种新的算法，更在于让学生深刻体验“化繁为简”、“化未知为已知”的数学思想魅力，提升其策略性解决问题的能力。

（二）学情分析

认知基础方面，授课对象为七年级下学期学生。他们已经系统学习了一元一次方程和二元一次方程组的解法，对“方程”模型有了初步认识，掌握了代入消元法和加减消元法，具备了基本的代数运算能力和一定的逻辑推理能力。他们的思维正从具体运算阶段向形式运算阶段过渡，能够进行基于规则的符号操作和简单的演绎推理。

潜在困难与迷思概念方面，首先，从“二元”到“三元”，未知数增加一个，问题的复杂度和思维量呈非线性增长。学生可能面临以下挑战：1.选择困难：面对三个方程，如何选择最先消去的未知数，以及选择代入法还是加减法，可能感到迷茫，缺乏优化策略。2.过程冗长易错：消元过程步骤增多，环环相扣，对运算的准确性、书写的规范性和过程的条理性提出了更高要求，学生容易出现符号错误、抄写失误或步骤混乱。3.思想理解表面化：可能将解法视为固定流程的模仿，对“消元”背后“降维”、“转化”的数学思想本质理解不深。4.应用意识薄弱：难以将三元一次方程组与更复杂的现实世界模型建立联系。

因此，教学的关键在于搭建有效的“脚手架”，通过清晰的类比引导、结构化的探究活动、及时的过程反馈以及富有挑战性的应用场景，帮助学生突破认知瓶颈，实现思维水平的跃升。

三、教学目标

基于核心素养导向，设定以下三维教学目标：

1.知识与技能目标

1.理解三元一次方程组及其解的概念，能识别三元一次方程组。

2.通过类比二元一次方程组的解法，探索并掌握解三元一次方程组的代入消元法和加减消元法的一般步骤。

3.能够选择恰当的策略（如先消哪个元，选用哪种消元法）解简单的三元一次方程组，并会检验解的正确性。

4.初步体会“消元”思想，能将三元问题转化为二元，再转化为一元问题。

2.过程与方法目标

1.经历从实际问题抽象出三元一次方程组模型的过程，增强数学建模意识。

2.在探索解法过程中，经历观察、比较、分析、归纳、猜想、验证等数学活动，发展类比迁移和探究能力。

3.通过解决含有参数或条件的三元一次方程组问题，提升分类讨论和逻辑推理能力。

4.尝试利用信息技术工具验证解或展示消元过程，感受技术对数学学习的支持作用。

3.情感、态度与价值观目标

1.在克服复杂问题的过程中，体验成功的喜悦，锻炼克服困难的意志，建立学好数学的自信心。

2.通过感受“消元”思想在解决多元问题中的普适性与威力，体会数学的简洁美、统一美和思想力量。

3.在跨学科应用情境中，认识数学的广泛应用价值，激发进一步探索数学世界的兴趣。

4.在小组合作与交流中，学会倾听、表达与协作，形成理性思考和严谨求实的科学态度。

四、教学重难点

教学重点：掌握解三元一次方程组的基本思路（消元）和一般步骤。

教学难点：1.灵活选择简便、高效的消元策略（包括消哪个元、用哪种方法消、消元顺序的优化）。2.理解“消元”思想所蕴含的化归与转化思想，并能将其迁移到其他复杂问题中。

五、教学策略

1.情境创设策略：采用“问题链”驱动，从一个能自然引出三元一次方程组的、贴近学生认知的现实或科学情境出发，贯穿课堂始终，保持学习动机。

2.探究引导策略：采用“类比—猜想—验证—归纳”的探究路径。以二元一次方程组解法为“锚点”，引导学生自主提出解三元一次方程组的猜想，并通过具体操作验证、修正，最终归纳出一般步骤。教师扮演组织者、引导者和合作者的角色。

3.差异化教学策略：设计分层探究任务和阶梯式练习。基础任务确保全体学生掌握基本步骤；提高任务引导部分学生思考策略优化；拓展任务（如含参问题、跨学科应用）挑战学有余力的学生。鼓励小组内互助，分享不同解法。

4.信息技术融合策略：适时使用GeoGebra等动态数学软件。一是在引入时直观展示三元一次方程（组）的几何意义（三个平面的位置关系）；二是在学生求解后快速验证答案；三是动态演示消元过程中方程的变化，使抽象过程可视化。

5.过程性评价策略：通过课堂提问、板演、小组讨论展示、练习反馈等多种方式，实时诊断学生的学习情况。特别关注学生思维过程的表达（如“你为什么选择先消去y？”），而不仅仅是答案的正确与否。

六、教学准备

1.教师准备：精心设计的多媒体课件（含问题情境动画、例题、练习题、几何意义演示图）、GeoGebra课件、课堂练习纸（分层设计）、实物投影仪或同屏软件。

2.学生准备：复习二元一次方程组的两种消元法、练习本、直尺。

3.环境准备：学生按异质分组（4-6人一组），便于合作探究。

七、教学过程

第一课时：概念的建立与解法的初探（共计45分钟）

（一）创设情境，提出问题（预计时间：8分钟）

师：同学们，我们之前已经学会了用方程组解决涉及两个未知量的实际问题。然而，世界是复杂的，很多问题往往牵扯到更多的因素。请看这样一个来自“校园农场”项目中的真实问题：

（课件动态呈现）学校“智慧农场”实验区计划用三种不同规格的营养液A、B、C调配一种新型植物生长剂。已知：1瓶A液、2瓶B液、1瓶C液混合后，总氮含量为100毫克；2瓶A液、1瓶B液、1瓶C液混合后，总磷含量为120毫克；1瓶A液、1瓶B液、2瓶C液混合后，总钾含量为90毫克。现在需要知道A、B、C三种营养液各自的氮、磷、钾含量（假设每种营养液的氮、磷、钾含量固定），以便进行精准配方。

为了简化，我们先来研究其中一种元素，比如氮含量。设A、B、C三种营养液每瓶的氮含量分别为x毫克、y毫克、z毫克。根据已知信息，你能列出怎样的方程？

生1：根据第一个条件，可以列出方程：x+2y+z=100。

师：很好。那么，如果我们想同时知道三种营养液的氮、磷、钾含量，就需要设立更多的未知数，并利用所有条件。设A、B、C三种营养液每瓶的氮、磷、钾含量分别为x毫克、y毫克、z毫克，这合理吗？

生（思考后）：不合理，因为这样只有三个未知数，却要表示三种元素。应该设A液的氮、磷、钾含量分别为x₁,y₁,z₁；B液的为x₂,y₂,z₂；C液的为x₃,y₃,z₃。这样就有9个未知数，太复杂了。

师：非常棒的思考！这提醒我们，设立未知数要清晰对应所求的量。回到单一元素问题，如果我们只求氮含量，设A、B、C液的氮含量为x,y,z，那么根据三个混合条件，我们能得到什么？

生2：可以得到三个方程：

x+2y+z=100...(1)（来自第一个混合条件）

2x+y+z=120...(2)（来自第二个混合条件？这里需要明确，第二个条件是针对磷含量的，不能直接用于氮。我们需要三个关于氮的独立条件，但题目只给了一个氮的条件。）

师：（赞赏地）你发现了关键矛盾！这说明原题需要调整，或者我们研究一个更自洽的问题。让我们修改情境，假设三次混合实验测定的都是总营养元素含量（一个综合指标），得到如下数据：

第一次：1瓶A，2瓶B，1瓶C→含量100单位

第二次：2瓶A，1瓶B，1瓶C→含量120单位

第三次：1瓶A，1瓶B，2瓶C→含量90单位

求每瓶A、B、C液各自的营养元素含量。

此时，我们得到关于三个未知数x,y,z的三个方程：

（板书）

x+2y+z=100

2x+y+z=120

x+y+2z=90

观察这个方程组，它有什么特点？与我们学过的二元一次方程组有何异同？

设计意图：通过一个稍具复杂性的真实情境，让学生自然感受到解决涉及三个未知量问题的必要性。在讨论中暴露设元时的常见困惑，引导学生厘清未知数的实际意义，为理解三元一次方程组的概念做铺垫。修改后的情境逻辑自洽，直接引出本课核心研究对象。

（二）归纳概念，明确目标（预计时间：5分钟）

学生观察、讨论，教师引导归纳：

1.含有三个未知数。

2.每个方程中含未知数的项的次数都是1。

3.一共有三个方程。

师：满足这些条件的方程组，我们称之为三元一次方程组。三元一次方程组的解，是同时满足这三个方程的三个未知数的值，通常用有序数组（x,y,z）表示。例如，如果我们能找到一组数（x,y,z）使得上面三个方程都成立，那么这组数就是它的解。

类比二元一次方程组求解的终极目标（消元，化为一元一次方程），你认为解三元一次方程组的目标是什么？

生3：先消成二元一次方程组，再消成一元一次方程。

师：精准！这就是我们本节课的核心任务：探索如何将“三元”化为“二元”，再将“二元”化为“一元”。这种思想，我们统称为——“消元”。

设计意图：通过类比，由学生自己归纳出三元一次方程组的概念及解的定义，并明确本节课的总体思路，实现知识目标的初步定位。

（三）合作探究，初建解法（预计时间：15分钟）

师：现在，让我们以刚才得到的方程组为例，发起挑战。请各小组展开合作探究：如何利用我们熟悉的代入法或加减法，实现从“三元”到“二元”的转化？请将你们的思路和关键步骤记录下来。

（学生小组活动，教师巡视，关注各小组的策略选择：是选择代入法还是加减法？先瞄准消去哪个未知数？不同小组可能选择不同路径。教师选取有代表性的思路进行预判，为后续交流做准备。）

大约10分钟后，组织全班交流。

小组1代表（采用代入法）：我们观察发现，方程(1)中z的系数比较简单。我们从(1)解出z=100-x-2y，然后把它代入方程(2)和(3)，这样(2)和(3)就变成只含有x和y的方程了。

教师板书关键步骤：

由(1)，得z=100-x-2y...(4)

将(4)代入(2)：2x+y+(100-x-2y)=120→x-y=20...(5)

将(4)代入(3)：x+y+2(100-x-2y)=90→-x-3y=-110...(6)

师：很好！这样我们就得到了一个关于x,y的二元一次方程组(5)和(6)。请该小组继续完成后续求解。

小组1继续：解(5)和(6)。可以用加减法。(5)+(6):(x-y)+(-x-3y)=20+(-110)→-4y=-90→y=22.5。将y=22.5代入(5)：x-22.5=20→x=42.5。再将x=42.5,y=22.5代入(4)：z=100-42.5-2×22.5=100-42.5-45=12.5。所以解是(42.5,22.5,12.5)。

师：请检验一下。

生检验：代入原方程(1)(2)(3)，均成立。

师：非常完整！这是“代入消元法”的思路。还有其他方法吗？

小组2代表（采用加减法）：我们想直接用加减法消元。我们发现，三个方程中z的系数都比较“友好”。我们计划先消去z。用(1)减去(2)：(x+2y+z)-(2x+y+z)=100-120→-x+y=-20...(5’)。再用(1)减去(3)：(x+2y+z)-(x+y+2z)=100-90→y-z=10...(6’)。现在(5’)和(6’)都只含有两个未知数，但不是关于同一对未知数。(5’)是关于x,y的，(6’)是关于y,z的。这不利于我们直接得到一个二元一次方程组。

师：遇到了困难。大家有什么建议？如何利用(5’)和(6’)？

生4：可以把(5’)和(6’)再与原来的方程结合，或者尝试从(6’)解出z=y-10，然后代入含有x和y的方程，比如(5’)？

师：思路可行，但过程可能迂回。观察一下，在用加减法消元时，为了得到关于同一对未知数的两个方程，我们通常需要两次消去同一个元。小组2第一次用(1)-(2)消去了z，得到了(5’)。接下来，为了再得到一个关于x和y的方程，应该怎么做？

生5：再用(1)和(3)消去z，或者用(2)和(3)消去z。

师：对！请用(2)和(3)消去z试试。

生操作：(2)×2-(3)：(4x+2y+2z)-(x+y+2z)=240-90→3x+y=150...(7)

现在，我们得到了两个关于x,y的方程：(5’)-x+y=-20和(7)3x+y=150。解这个二元一次方程组，求出x,y，再代回求z。

（师生共同完成后续计算，验证结果与小组1一致。）

设计意图：本环节是教学的核心探究阶段。通过开放性的小组合作，让学生亲身经历策略的选择、尝试、碰壁与调整的过程。两种主流方法自然生成，并在交流对比中，让学生深刻体会到：1.消元的目标是得到关于相同两个未知数的方程；2.加减法消元时，需要有意识地进行两次操作，消去同一个元；3.代入法选择系数简单的方程变形是关键。教师在此过程中扮演“导师”角色，引导讨论走向深入，而非直接告知步骤。

（四）提炼步骤，形成规范（预计时间：10分钟）

师：经历了刚才的探索，请大家思考，解三元一次方程组的一般步骤是什么？与解二元一次方程组有何异同？

引导学生共同归纳，教师板书：

解三元一次方程组的基本思路：

三元一次方程组→（消元）→二元一次方程组→（消元）→一元一次方程

一般步骤：

1.观察分析：观察方程组中各个未知数系数的特点，选择消去的目标未知数，以及确定使用代入法还是加减法。

2.消元转化：

1.3.若用代入法：从系数较简单的方程入手，用含另外两个未知数的代数式表示第三个未知数，代入另两个方程，得到二元一次方程组。

2.4.若用加减法：利用等式的性质，通过方程两两相加减，消去同一个未知数，得到两个关于另两个未知数的二元一次方程，组成二元一次方程组。

5.求解二元：解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值。

6.回代求三：将求出的两个未知数的值代入原方程组中一个系数简单的方程（或变形后的表达式），求出第三个未知数的值。

7.检验作答：将求得的三个未知数的值代入原方程组检验（口算或在草稿纸上进行），并写出原方程组的解。

师：步骤中的第一步“观察分析”至关重要，它决定了后续过程的繁简。我们需要养成先观察、再动笔的良好习惯。

设计意图：将探究获得的感性经验上升为理性认知，形成清晰、规范的操作流程。强调“观察分析”的战略地位，培养学生良好的解题审题习惯。

（五）初步应用，巩固步骤（预计时间：7分钟）

课堂练习1：解方程组

3x+4z=7

2x+3y+z=9

5x-9y+7z=8

（教师巡视，关注学生是否先观察。本题特点是第一个方程只含x和z，缺少y，这为消去y提供了便利。大部分学生应能发现利用(2)和(3)消去y是捷径。请一位学生板演，并说明选择策略的理由。）

设计意图：通过一道系数特点明显的练习题，让学生立即应用刚归纳的步骤，并实践“先观察分析”的策略选择，巩固基本技能。

第二课时：策略优化与综合应用（共计45分钟）

（一）复习导入，深化认知（预计时间：5分钟）

师：上节课我们建立了三元一次方程组的概念，并探索了解法的基本步骤。请大家回顾，解法的核心思想是什么？关键步骤是什么？

生齐答：消元。观察分析，消元转化。

师：今天，我们将聚焦于“观察分析”的智慧，学习如何根据方程组系数的特点，选择最优的消元策略，让求解过程更简洁、更高效。同时，我们还将看到这一数学工具在更广阔天地中的应用。

（二）典例精析，策略优化（预计时间：20分钟）

例题1（系数对称/轮换型）：解方程组

x+y=5...(1)

y+z=9...(2)

z+x=8...(3)

师：请先独立观察这个方程组的特点。

生6：每个方程都只含有两个未知数，而且系数都是1。看起来未知数在“轮换”。

师：非常好！这种结构往往有巧解。一种经典思路是：将三个方程左边和左边相加，右边和右边相加。

(1)+(2)+(3):(x+y)+(y+z)+(z+x)=5+9+8→2(x+y+z)=22→x+y+z=11...(4)

师：得到了三个未知数的和。然后呢？

生7：用(4)分别减去(1)(2)(3)，就可以直接求出z,x,y！

(4)-(1):(x+y+z)-(x+y)=11-5→z=6

(4)-(2):(x+y+z)-(y+z)=11-9→x=2

(4)-(3):(x+y+z)-(z+x)=11-8→y=3

师：简洁优美！这提醒我们，面对结构特殊的方程组，要敢于打破常规步骤，寻找整体处理的巧妙方法。当然，用基本的消元法也能解，但比较繁琐。

例题2（含分数系数或常数项较大）：解方程组

x:y=3:2

y:z=5:4

x+y+z=66

师：这看起来不像是标准的三元一次方程组。如何处理？

生8：可以把比例式转化为方程。由x:y=3:2，得2x=3y，即x=(3/2)y。由y:z=5:4，得4y=5z，即z=(4/5)y。

师：很好，这就是设参数的思想。也可以直接设参数k。令x=3k,y=2k，由第二个比例，y:z=5:4，即2k:z=5:4，交叉相乘得5z=8k,z=(8/5)k。然后代入第三个方程：3k+2k+(8/5)k=66，解出k，再求x,y,z。哪种更简便？

生讨论后认为设参数k更统一简便。

师生共同完成解题过程。

例题3（策略对比）：解方程组

3x-y+2z=3...(1)

2x+y-3z=11...(2)

x+y+z=12...(3)

师：请各小组讨论，针对这个方程组，有哪些消元策略？你认为哪种最优？为什么？

（小组讨论后汇报）

小组3：我们观察发现，方程(3)中三个未知数的系数都是1，最简单。可以用代入法，从(3)解出z=12-x-y，代入(1)(2)消去z。

小组4：我们也注意到(3)简单，但用加减法可能更快。直接用(1)+(2)就可以消去y：(3x-y+2z)+(2x+y-3z)=3+11→5x-z=14...(4)。再用(2)-(3)也可以消去y：(2x+y-3z)-(x+y+z)=11-12→x-4z=-1...(5)。现在得到关于x,z的方程组(4)和(5)。我们觉得这个方法也挺好。

师：两种策略都非常清晰。代入法思路直接，加减法避免了分数运算（如果用(3)表示z代入(1)(2)，会产生常数项运算）。大家可以根据自己的偏好选择。关键是，通过观察，我们找到了利用系数特点简化计算的途径。

设计意图：通过一组具有不同特点的例题，引导学生深化对“观察分析”的理解，见识特殊问题的特殊技巧（如整体叠加法、设参数法），并在对比中体会策略选择的灵活性，提升优化意识。

（三）跨学科综合应用（预计时间：15分钟）

应用1（物理——电路问题）：

在如图所示的电路中，已知电源电压U=12V，电阻R1=2Ω，R2=3Ω，R3=4Ω。利用基尔霍夫电流定律和电压定律，可以列出关于三个支路电流I1,I2,I3的方程组：

I1-I2-I3=0...（节点电流定律）

2I1+3I2=12...（左网孔电压定律）

3I2-4I3=0...（右网孔电压定律）

（课件展示电路图与定律解释）

师：这是一个源于物理电学的真实模型。请同学们尝试解这个方程组，求出各支路电流。

（学生求解，教师巡视。本题系数整数，结构清晰，消元方便。旨在让学生体验数学作为物理语言工具的价值。）

应用2（经济——成本利润问题）：

甲、乙、丙三种商品各一件，若购买甲3件、乙7件、丙1件共需580元；购买甲4件、乙10件、丙1件共需780元。现计划购买甲、乙、丙各一件，需多少元？

师：这个问题似乎只有两个条件，却有三个未知数（设甲、乙、丙单价分别为x,y,z元），能求出x+y+z吗？

生9：列方程：3x+7y+z=580...(1)，4x+10y+z=780...(2)。两个方程，三个未知数，通常解不出来。

师：但题目问的不是单个价格，而是“各一件”的总价x+y+z。观察方程组，能否通过运算直接得到x+y+z？

引导学生思考：(2)-(1)得x+3y=200...(3)。但这似乎没用。换个思路，我们试图用(1)和(2)组合出“x+y+z”。假设存在常数a和b，使得a×(1)+b×(2)的结果正好是x+y+z。即a(3x+7y+z)+b(4x+10y+z)=(3a+4b)x+(7a+10b)y+(a+b)z要与x+y+z对应。

所以有：3a+4b=1,7a+10b=1,a+b=1。

师：看！我们为了求x+y+z，意外地得到了一个关于a,b的三元一次方程组（但a+b=1可简化）。解出a,b后，x+y+z=a×580+b×780。这实际上是一种待定系数法的思维。通过计算可得a=-3,b=4（过程略），所以x+y+z=(-3)×580+4×780=1740-1740=0？这显然不合理，计算有误。

（教师引导学生检查计算：解方程组3a+4b=1,7a+10b=1,a+b=1。由a+b=1得a=1-b，代入第一个方程：3(1-b)+4b=1→3-3b+4b=1→b=-2,则a=3。验证：7×3+10×(-2)=21-20=1，成立。所以x+y+z=3×580+(-2)×780=1740-1560=180元。）

师：看，即使不能求出单个价格，有时也能求出我们需要的组合量。这体现了数学思维的灵活性与深刻性。

设计意图：选取物理和经济领域的典型问题，展示三元一次方程组的强大应用能力。物理问题强调建模的直接性；经济问题则更具思维挑战，引导学生跳出“必须求出每个未知数”的定势，展示数学工具在解决复杂、灵活问题时的威力，有效发展模型观念和应用意识。

（四）课堂小结，升华思想（预计时间：5分钟）

师：通过这两节课的学习，请大家从知识、方法、思想三个层面进行总结。

知识层面：我们学习了三元一次方程组的概念及其解法（代入法、加减法）。

方法层面：我们掌握了“观察—分析—选择—消元—回代—检验”的规范步骤，并学会了根据系数特点优化策略（如整体法、设参法）。

思想层面：我们深刻体会到了“消元”所代表的化归与转化思想——将复杂的三元问题转化为熟悉的二元、一元问题。这是数学中解决问题的根本大法之一。同时，我们也看到了数学与其它学科、与现实生活千丝万缕的联系。

八、板书设计

（主板面左侧）

课题：三元一次方程组的解法

一、概念

含有三个未知数，次数为1，三个方程。

解：同时满足的三个数(x,y,z)

二、核心思想：消元（化归）

三元→二元→一元

三、一般步骤

1.观察分析（关键！）

2.消元转化（代入/加减）

3.求解二元

4.回代求三

5.检验作答

（主板面中部）

探究例题：

x+2y+z=100...(1)

2x+y+z=120...(2)

x+y+2z=90...(3)

解法一（代入法）：（关键步骤板书）

解法二（加减法）：（关键步骤板书）

解：(x,y,z)=(42.5,22.5,12.5)

（主板面右侧）

策略优化示例：

例1（整体法）：x+y=5,y+z=9,z+x=8

巧解：(1)+(2)+(3)→2(x+y+z)=22→…

例2（设参法）：x:y=