2026年高考数学二轮复习 过关检测3 立体几何

专题过关检测三立体几何

（分值:150分）

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一

个选项是正确的.

1.（2025广东中山二模）如图,在圆柱0。2内有一个球。，该球与圆柱的上、下底面及母线

均相切.若0|。2=2,则圆柱0。2的表面积为（）

A.4兀3.5兀C6兀D7兀

2.（2025辽宁鞍山二模）若圆锥的侧面积与轴截面面积之比为2兀，则圆锥母线与底面所成

角的大小为（）

3.（2025安徽皖南八校三模）设九/2,/3是三条不同的直线,见夕是两个不同的平面，且

江用=/滋6/或,则%〃/是“〃6'的（）

A充分不必要条件

A必要不充分条件

C.充要条件

D既不充分也不必要条件

4.（2025广东深圳二模）已知正四棱锥的底面边长为6,且其侧面积是底面积的2倍，则此

正四棱锥的体积为（）

A36V5B.36V6

C.108V3D.108V6

5.（2025上东青岛、淄博二校）已知一个圆锥的侧面展开图是个平圆，其母线长为2V5,该

圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为冷的圆锥，则所得圆台的体积为

)

.137r

A.——

9

吟

6.（2025浙江名校协作体模拟）一个底面边长为2cm的正四棱柱形状的容器内装有一些

水（底面放置于桌面上）,现将一个底面半径为1cm的铁制实心圆锥放入该容器内,圆锥完

全沉入水中且水未溢出，并使得水面上升了若该容器的厚度忽略不计，则该圆锥的

侧面积为（）

A.V37ncm286兀cm2

C.2,/10ncm2D.2yf37ncm2

7.（2025北京东城一模）祈年殿（图1）是北京市的标志性建筑之一，距今已有600多年历史.

殿内部有垂直于地面的28根木柱，分三圈环形均匀排列.内圈有4根约为19米的龙井柱,

寓意一年四季;中圈有12根约为13米的金柱，代表十二个月;外圈有12根约为6米的檐

柱，象征十二个时辰.已知由一根龙井柱A4和两根金柱BBLCCI形成的几何体ABC-

4SG（图2）中K8=AC=8,N8AO144°,则平面48G与平面A8C所成角的正切值为

（）

A4B3

"3sinl80'4sinl8°

C——-——D——--

.3COS18"'4COS181

8.在三棱锥P-ABC中,A3三AC=4,NB4C=120°,PA=6.P3=PC=2g,则三棱锥P-ABC的

外接球的表面积为（）

A.1OOnB.75兀C.80nD.1

二、选择题:本大题共3小题,每小题6分决计18分.在每小题给出的四个选项中.有多

项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.（2025辽宁本溪模拟）已知火力是两个不重合的平面是两条不重合的直线，则下列说

法正确的是（）

A.若〃_La,则〃_La

B.若,〃〃则tn//n

C若"2_1_氏〃2_1_夕,则a〃4

D若_La,m//n,n〃夕，则a邛

10.（2025福建厦门三模汝I图，一个漏斗的上面部分可视为长方体A8CQ-ABCD；下面部

分可视为正四棱锥P-ABCD.O为正方形ABCD的中心，两部分的高都是该正方形边长的

一半，则（）

A.A'O±AB

B.A0〃平面AP。

C.平面A4'P_L平面BDP

DCC与AP为相交直线

11.（2025山东烟台模拟）已知正方体4504囱。。|的棱长为2『为棱A4的中点，则

（）

A.直线PDi与所成的角为30°

A8iOJ_平面Ai8G

C.过点P且与垂直的平面截正方体所得截面的面积为3V3

D以P为球心，遍为半径的球面与侧面BCCiBi的交线的长度为呼

三、填空题:本大题共3小题,每小题5分，共计15分.

12.（2025上海普陀二模）若一个圆锥的高为或，侧面积为2&兀，则该圆锥侧面展开图中扇

形的圆心角的大小为.

13.（2025北京东城二模）《九章算术》是我国古代著名的数学著作淇中讨论了“垣"“堑''

等建筑的体积问题.某工程要完成一个形如直四棱柱A8CDA山iG"的“堑”形沟渠的土

方作业（如图），其中A。,3c与平面所成的角均为泉48〃。。48=4米,DC=8

米,44尸20米，则需要挖土立方米.

14.（2025山东潍坊二模）已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,其下底面与半球。

的底面重合,上底面圆周在半球O的球面上，则圆台的侧面积为；半球。被该

圆台的上底面所在的平面截得两部分,其体积分别为-,©（%<%）,则如_________.

V2

四、解答题:本大题共5小题.共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）（2025河南新乡二模）《九章算术•商功》中,将四个面都为直角三角形的四面体

称为鳖嚅.如图，在四面体ABCD中,CO_L平面ABCAB.LBC.&力5=4,5C=CO=3,荏=

|就

⑴证明:四面体ABCD为鳖腌

（2）若直线MNL平面求直线BE与所成角的余弦值.

16.（15分）（2025北京东城一模）如图，在几何体ABCDEF中,四边形ABCD为平行四边形,

平面平面CDE,ADLDEAD=DE=DC=1,BF〃DE.

(1)证明:FC〃平面ADE;

⑵已知点E到平面AFC的距离为*且AC=CE,求8F的长.

17.（15分）（2025山东滨州二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8C。是矩形，

A3=2,A8=3,AB_LPQ,"PD为等腰三角形，且NPA。片点E为线段PO上一点.

•5

B

c

⑴若8P〃平面AC£求骨的值；

Q）当霁为何值时，直线AE与平面附。所成的角最大，并求最大角的值.

18.（17分）（2025山东临沂一模）在△NBC中,NNBC=9（）°,AO〃3C,N4=CD=2A3=2,如图,

将△NAO沿AD翻折至△PAD

⑴证明:平面P8C_L平面PAB\

⑵若二面角P-AOd大小为12（）。.

（r）求PA与平面PBC所成角的正弦值；

（力）在线段PO上是否存在点比使得平面A8E与平面PDC所成角的余弦值为?若存在,

确定点E的位置;若不存在，说明理由.

19.（17分）（2025辽宁沈阳模拟）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设。为多面体M

的一个顶点，定义多面体加在点尸处的离散曲率为如=1*（/。|尸。2+/0尸。3+…+N

。川尸0+/。苏。）,其中Q,（j=l,2,…次,223）为多面体M的所有与点尸相邻的顶点，且平

面。小。2,平面Q2PQ3,…，平面QMPQ和平面QkPQi为多面体M的所有以。为公共点

的面.如图，在三棱锥P-A8C中.

（1）求三棱锥P/BC在各个顶点处的离散曲率的和;

⑵若PA_L平面ABC,AC_L8C/C=8C=2,三棱锥尸-ABC在顶点。处的离散曲率为求点

O

A到平面P8C的距离；

(3)在(2)的前提下,乂知点。在棱上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为号，求

6

8。的长度.

答案：

1.C解析由题意知，圆柱。。2底面半径一等二1,母线长/=0。2=2,所以圆柱。。2的

表面积5=271犬+2兀/7=2兀+4兀=6兀故选C.

2.A解析设圆锥的底面二径为「，母线长为/,高为〃，则由题意得沿之二2兀,解得/=2儿

-2x2rxh

设圆锥母线与底面所成角为0（0<〃<式则sin="所以。《，所以圆锥母线与底面所

2I26

成角的大小为m

6

3.A解析当/2〃一时，&U阳2M，所以，2〃人又狂如归所以/]〃/2成立，当/"〃2时，

若八与/3相交，则/2与/3异面，不能推导出，2〃/3,所以2〃/3”是的充分不必要条

件.故选A.

4.A解析如图，在正四棱锥RABC7）中,P0为四棱锥的高为侧面的高，因为正四棱

锥的底面边长为6,且其侧面积是底面积的2倍，所以S伊=4x96PE=2S底=72,解得

PE=6,PO=\IPE2.0E?=36，所以VP.ABCD=^S,rPO=1x36x3V3=36V3.ifciiA.

JJ

5.C解析设圆锥底面半径为八由题意可得2口二28匹解得r=V3,如图，作出图形的轴截

面，其中EB分别为圆台的上、下底面圆的圆心，则CB=>JAC2-AB2=3^=器=占可得

CBAB3

CE=l,8E=2W/x（兀x3+兀A+ITTX3XTTX-^x2二空.故选C.

33~\139

6.A解析设圆锥的高为力cm,所以圆锥的体积V=^cm\

由题意，正四棱柱中水上升的体积即为圆锥的体积，所以2x2x5=7,所以〃=6,则圆锥的

母线长为+36=>/37cm,

故圆锥的侧面积为；X2TIXV57=V57兀cm2.故选A.

7.B解析若平面A8C〃平面OSG,则平面AyBxC\与平面ABC所成角，即为平面

45G与平面。囱G所成角，

由题意有△ABCg/kOBiG,即△。囱G是等腰三角形，腰长约为8米,N3QCi=144',易知

NQBiG=NOG8i=18°,若E是BiG的中点，连接。及Ai瓦则。瓦1_341,且4£>_1_平面

Q8G,由BGu平面061cl，则4|0_1_8|。|,。日14|0=。,0£力|。（=平面4。£；,所以8|。|_1_

平面4OE,则NA]£O是平面43cl与平面。囱G所成角的平面角，其中40=19-

13=6,DE=8sin18°,则tan/4EQ=强=.?.故选B.

DE4S1H18

8.A,82=A"+AC2-2ABACCOSNBAC=48,8c=48.

解析在ABAC中,由余弦定理;得。则

因为PA2+AC2=PC2,所以24,4。.同理/八_143.

又ABCL4C=A,AB,4Cu平面ABC,贝IPAJ_平面ABC.

设AABC的外接圆半径为「，

所以2-缶=等=8，

2

所以片4,所以外接球的半径R满足R2=/+（?）2=]6+9=25,

故三棱锥P-ABC外接球的表面积为4兀R2=100兀

9.ACD解析对于A,因为加〃〃,/nJ_a，所以〃_La，故A正确;对于B,根据判定定理，由m

//a,a》=〃j〃u夕，得/〃〃〃,而若m//a,an/?=〃，贝U〃?〃〃,这个条件中少了mu夕，故不能说明

机〃〃，故B错误;对于C,因为m_La,〃7，£,所以两平面有公共的法向量，根据法向量相同的

两平面，不重合就一定平行，则a〃以故C正确;对于D,根据〃z_La,相〃〃，得〃_La,又因为n

〃人则过〃作一个平面y与平面分相交于/,则〃〃/,所以可得LLa,又因为/u£,所以a4

故D正确.故选ACD.

10.BCD解析对于A,设正方形ABC。的边长为2,由正四棱锥性质可得POJ_平面

ABCD,故PO=4T=1,因为AZ_L平面A8C。,故4。在平面A8CO的射影为A0,又A。不

与A3垂直，故AO不与垂直，故A不正确;对于B,由题P0〃A4且PO=A4,故四边形

POA'A是平行四边形，所以4O〃4P,4OC平面APDAPu平面APO,所以40〃平面

APD,故B正确;对于C,因为PO〃CC'〃/U；。金平面CC4A,故POu平面CCAR平面

/VT尸即为平面。C'AA因为AA_L平面ABCD,BDa平面ABCZ）,所以AZJ_8D,又因为B。

_LAC,AAnAC=A,所以平面CC4A,又8Ou平面8OP,所以平面平面

CC4A,即平面AAF_L平面BDP,故C正确;对于D,因为CC；A，Pu平面CC4A,且不平行,

故CC与4P为相交直线成D正确.故选BCD.

11.BCD解析在正方体4BCQ-4BiGDi中,49〃8ci〃BC,故直线与灰?所成的

角即为直线尸口与4。所成的角，即乙4四匕在RtAPAiDi中,团1乙4办公/=；,则/

A\D\P不为30°,故A错误;对于B,连接BQ1,则又平面

A151CDACU平面451CD,所以。。_L4G方。⑷。。|二。方QQUu平面DDiBi,

故4G_L平面平面。。由［,故4G_L80,同理可证48_1.

BiOACriAiB=4ACABu平面A山G,故3Q_L平面44G,故B正确;因为51D_L平

面48G,所以过点P且与明。垂直的平面截正方体所得截面与平面48G平行，设

A也8C,CCi,CiOi,"iAi的中点为Q,E,F,G,H,依次连接产,。,瓦£5，,可得六边形PQEFGH

为正六边形，而户。〃48,PQC平面48G,A8u平面48G,故户。〃平面48G,同理可

证EQ〃平面48G,E0n尸。=Q,EQ,PQu平面PQEFGH,故平面PQEFGH〃平而A\BC\,

即过点P且与囱。垂直的平面截正方体所得截面即为六边形尸。七尸G”,边长为戒,其面

积为6xfx（症）2=38,故C正确；

4

对于D,过点P作BBi的垂线，垂足为M则M为BBi的中点，且PM_L平面BCCB,

设以。为球心，伤为半径的球面与侧面BCCiBi的交线上的点为K,则PK二连,MKu平面

BCCIBT,故PM_LMK,且MK=>JPK2-PM2=痣4=应,

则以尸为球心，连为半径的球面与侧面BCGB的交线为平面BCGa上以M为圆心，以

加为半径的圆弧,N,L分别为圆瓠与8iG,BC的交点，如图.

由于N3MN=N8WL=45。，故NLWN=90°,则交线长度为^><四=第，故D正确.故选

BCD.

12.夜兀解析设底面半径为人母线长为/,由兀”=2&兀，得/7=2夜，又人二75,由勾股定理

得/=Vr2+2,

所以Nr?+2=2或，解得r=V2,/=2,

底面圆周长L=2"=2&兀，扇形圆心角0=^==v2n.

13.

24075解析因为AD8C与平面44山所成角均为半且A8〃QC,

所以四边形A3C。为等腰梯形，

因为AB=4,QC=8,A4=2（）,所以等腰梯形的高力二2百,故S移形

,钻。三（"+以）-卜（4+8怵275=12b,所以直四棱柱体积曝四棱柱.4月出“「5怪形

ABCD'AA।=240V3.

6兀胃Z解析作出圆台的轴截面如图，设圆台的二底面半径为门，下底面半径为2

球的半径为R.

:•圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,.：n=l,7-2=2,

又下底面与半球。的底面重合，,:R=2,

•:圆台的高h={R2-r；=V4-1=V3,

2

•:圆台的母线长为/=］九2+(r2-r1)=V34-1=2,

•:圆台的侧面积为5=71(门+-2)/=兀(1+2)x2=6兀,半球的体积为V半球二，7?3乂；=凯x2,=詈.

:•球心到圆台的上底面所在的平面的距离为d二百,

・：球冠的高度为h'=R-d=2W,

・：球冠的体积为口=小丝里=如空叵竺包n(16-9\门)

333

.：V2=V^-V1=---向二3岛,

33

n(i6-9后「

.Vi_3_16存27

12-3x/3n-27

15.(1)证明因为CD_L平面ABC/Cu平面43cAeu平面ABC,A3u平面ABC,

所以CD_L3CCO_LACCO_LA8

又且86。。二。/。。匚平面BCD,

所以ABJ_平面BCD,又8/)u平面8CQ,贝ijAB上BD,

所以四面体A8C。的四个面都为直角三角形，则四面体A3CD为鳖糯.

(2)解以B为坐标原点，前，瓦5的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立空间直角坐标系,

如图所示,

则A(0,4,0),5(0,0,0),0(3,03,E，考0),

则BA=(0,4,0),丽=(3,0,3)屏二(|，苓0).

设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则卜竺二纣=0,令户i,得口二(i,0,-1).

{,n-BD—3x+3z=0,

由cos<丽,n>=微藐=得直线BE与MN所成角的余弦值为£.

16.⑴证明由四边形A8C。为平行四边形，得AO〃8C,又BF〃DE4)u平面ADE,BC9

平面ADE,则BC//平面AOE,同理BF//平面ADE,

由3。03/二民3。//都在平面3c厂内,则平面3C/〃平面ADE,ECu平面3C77,则FC//

平面ADE.

(2)解因为平面AD£_L平面C。瓦AO_LO£,平面AOECI平面CDE-DE,ADu平面ADE,

所以人OJ_平面CDE,又OE,COu平面COE,则ADLDE.ADVCD,

由ADLDE,AD.LCD,AD=DE=DC=1A^DC,XAC=CE,故AC=AE=CE,

所以△4£)£丝△A。。9△£DC,则CD上DE.

综上＜O_LDEADLCD、CD_LDE.

以。为原点，下Z反，反为x轴、y轴、Z轴的正方向建立空间直角坐标系,

所以A(1,0,0)C(01,0),及0,0,1),令B尸』＞0则F(1,U),

故费=(0,1j),而=(1,04),4E=(-l,0J),

加・亚=匕+4=0,取则二g；j)

设平面ART的法向量为m=(〃力,c),则1n

jn.CF=a+xc=0,

由题设平㈣=登=£可得4/心+1=0,解得犬弓所以BF4

|m|V2X2+1

17.

解⑴设ACnBD=O,连接OE.

因为四边形ABC。为矩形，所以。为BQ的中点，

又因为8P〃平面4CE,且BPu平面BDP,平面ACECI平面BDP=OE,所以BP//0E,

又在△3DP中,O为的中点，可得£为。P的中点，

所以当3P〃平面ACE时常=*

(2)因为48_14。/8_1_&),2914。二。/。＜。＜=平面PAO,所以A8_L平面PAD.

以点4为原点，分别以4UP所在直线为z轴、)轴,速立如图所示的空间直角坐标系.

因为AO=2,AB=3,"P。为等腰三角形，所以AP=3,且NPAD二?，则NOAYW，所以

36

A(0,0,0),P(0,2,0),£>(1,0),C(V3,-1,3).

设方力方=2(45,-3,0),其中0C/IW1,(易知行0时线面角为0,不是最大)

AE=AP+即=(0,2,0)+联百,-3,0)=(图,2-3九0),

Z?=(0,2,0),^C=(V3,-l,3).

设平面R4C的法向量为n-(x,y,z),

n-AP22°,取x=V5,可得n=(V3,0,-l).

则

n-AC=v3x-y+3z=0,

设直线AE与平面PAC所成的角为0,由题意可得sin。=第=।"=

码同2xj3*+(2-3.

3

4出¥+3

因为所以%—?,即2=；时直线AE与平面以C所成角的正弦值最大，为金

AZ3L

此时直线AE与平面PAC圻成的角最大，为0三,故当案=|时，直线AE与平面PAC所成

JIUO

的角最大，为0=^.

18.⑴证明因为NNBC=90°,AO〃3C,所以AO_LAP,AO_L4民因为P4nAB=A,P4/13u

平面PA昆所以AO_L平面PAB,所以8。_1_平面PA&又BCu平面PBC,所以平面PBC1.

平面PAB.

(2)解(/)在四棱锥P-ABCD中，由(1)知NPA8即二面角P-AD-B的平面角，

故NP4B=120°，因为M4=CO=2A8=2,所以NC=6,N8=3,从而8。二3次,/。。8=30°,

过点A作AF_LP氏交P5于点尸，又因为AR_LBC,可得AF±平面PBC,PA与平面PBC所

成角即为NAPk

在APAB中，由余弦定理可得PB=>JPA2+AB2-2PAABcosl20°=夕，由等面积法，得

〈PA/Bsinl20°V21AF>/H

AF=2——i--------------=―,sinZAPF=—=—,

▲pB7'4P14'

2

所以PA与平面PBC所成角的正弦值为字.

14

(力.)以点A为原点,AB,AO所在直线为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

则40,0,0)/(-1,0,aB(1,0,0),0(0,275,0)01,375,0),而=(-l,-2V3,V3).

设期=2而/e[0,1，可得E(-A,273(14),V32),4E=(-2,2V3(1-

Q,何)，而=(1,0,0),DC=(l,V3,0).

设平面A3E的法向量为m=(x,y,z),

则9=0,即r二o,

bn•荏=0,11*+2V3(1-A)y+V3Az=0,

令y=2,可得m=((M,2a・l)).

设平面PDC的法向量为n=m,b,c),

nDP=0,-a-2V5b+V3c=

则即,0,

n-DC=0,a+y/3b=0,

令a=V5,可得n=(V3,-l,-l).

设平面A3E与平面POC的夹角为。视cos。=左吃=3解得2=；或

v5,V5Z^-8A+4525

所以存在点£当DE《DP或。石4。尸时满足题意.

19.解(1)由离散曲率的定义得。,=1—