2025-2026学年苏教版高一数学上学期期末必刷常考题之不等式

2025-2026学年上学期高一数学苏教版期末必刷常考题之不等式

一.选择题（共6小题）

1.设a>0,b>0,且。+23=2而，则2a+b的最小值为（•

9

A.-B.9C.3D.4

2

2.若a>b>0,小V0,下列结论正确的是（）

mmbb-m

A.b2>abB.—>—C.a-m<-b-:nD.->------

abaa-m

3.已知集合/={x|f-2x-3W0},8={x|0VxW2},则CA8=(

A.{x|・IWXWO或2WxW3}B.{x|・IWXWO或2VxW3}

C.3-0<0或2«}D.{x|-IWXVO或2VxW3}

4.若x>3,则函数/(%)=%+工取得最小值为()

A.4B.5C.6D.7

5.已知x>（）,y>0,则“x24,y26"是'如己24"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

23

6.已知x,y为正实数，且为，=1,则1+盹勺最小值为（）

A.2V6+5B.2V6-5C.272+1D.272-1

二.多选题（共3小题）

（多选）7.对于任意实数〃，瓦c,d,则下列命题正确的是（）

A.若oc2〉/）。?，贝ij

B.若a>b,c>d,则。+。>人”

C.若a>b,c>d,则ac>bd

D.若a>b,则工V：

ab

（多选）8.若关于x的一元二次不等式af+kx+cX）（.a,h,c£R）的解集为{尤|-1VxV2},则（）

A.a<0B.b=-aC.c=-2aD.bc<0

（多选）9.下列说法中，正确的是（）

1

ab），

A.若/<^2»则a<b

11

B.若『Ab—ab>0,ffl-<7

ab

„,a+ma

C.若6>a>0,m>0,则;--->—

b+mb

D.若a>b,c<cL则a-c>b-d

三.填空题(共4小题)

10.若不等式小-5x+cV0的解集是(2,3),则不等式cf+5x+心0的解集是.

II.二次函数y=a^+bx+c的图象如图所示，则不等式。(x+\)2+b(x+\)+c<0的解集

12.函数尸，3x-4的定义域是［-1,小值域是［-苧,0］,则用的取值范围是.

13.已知函数y=q4-x(a>()且1)的图像恒过定点力，且点A在直线nix+ny-1=0(/??«>0)±,则工+—

mn

的最小值为.

四.解答题(共2小题)

14.已知函数/(x)=x2-2ax-3.

(1)已知/'(x)在［3,+8)上单调递增，求a的取值范围；

(2)求/(x)在［-1,2］上的最大值.

15.设函数/(x)=av2+(1-«)-2(AER).

(1)若关于x的不等式/(x)W0的解集为［0,1］,求实数。的值；

(2)若不等式/(x)W-2对于任意实数x恒成立，求。的取值范围；

(3)解关于x的不等式：/G)V〃-1.

2

2025-2026学年上学期高一数学苏教版（2019）期末必刷常考题之不等式

参考答案与试题解析

一.选择题（共6小题）

题号123456

答案ABBDAA

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ABABCACD

选择题（共6小题）

1.设〃>O,b>0,且a+2b=2而,则2。+力的最小值为（)

9

A.-B.9C.3D.4

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】结合“1”的代换，利用基本不等式求解.

【解答】解：由a+2b=2ab,可得：—+-=1,。>0,b>0,

2ba

V2a+b=（2a+b）（^4-i）=1+^+^>|+2j17jz_9

;=r

当且仅当2=3即a=b=?时取等号.

abN

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最求解中的应用,属于基础题.

2.若。>方>0,“<0,下列结论正确的是（）

、mmbb-m

A.b1>abB.—>—C.a-m<b-inD.>

abaa—m

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】整体思想：综合法；不等式；运算求解.

【答案】B

3

【分析】根据不等式的性质分析8C选项，根据作差法判断,4。选项.

【解答】解：对于力，。>6>0时，由不等式性质可得，b2<ab,4错误；

对于8,由则一V;,而〃7<0,因此一>•—»8正确；

abab

对于C,若a>b>0,〃[V0,Ma-m>b-m,。错误；

“工八把、入、八-Abb-m(a-b)m

对于D,右a>b>Q,rn<0,—-----=-------------=------<0,

aa—ma{a—m)a{a—m)

bb—m

所以一v—，。错误.

aa-m

故选：B.

【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

3.已知集合4={小2-2%-3<0},8={x|0VxW2},则CA8=()

A.{x|-IWXWO或2WxW3}B.{x|-IWxWO或2VxW3}

C.{x|-IWXVO或2<xW3}D.{x|-IWXVO或2cxW3}

【考点】解一元二次不等式；求集合的补集.

【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求辞.

【答案】B

【分析】先解不等式得集合4再根据补集的概念计算即可.

【解答】解：已知集合彳={x|?-2x・3W0},8={x|0VxW2},

由/-2x・3<0可得・13,

所以CA8={X|・IWXWO或2VxW3}.

故选：B.

【点评】本题考查集合间的运算以及一元二次不等式相关知识，属于基础题.

4.若x>3,则函数/(x)=无+取得最小值为()

人O

A.4B.5C.6D.7

【考点】基本不等式及其应用.

【专题】转化法：函数的性质及应用：不等式的解法及应用.

【答案】。

【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出.

【解答】解：・・%>3,・•・函数f(x)=%+3=x・3+3+322j(x-3),3+3=7,当且仅当x=5

时取等号.

4

故选：D.

【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.已知x>0,y>0,则“x24,)，26”是“xy224”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】A

【分析】由x24,可得xy224,而可，224得不出x24,j，26,可得结论.

【解答】解：因为x>0,y>0,则“x24,y26,所以孙224,

所以j，26”是“9224”的充分条件；

当x=2,y=13,可满足中224,必要性不成立，

所以“x24,y26”是“孙224”的充分不必要条件.

故选：A.

【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.

6.己知x,y为正实数，旦工十y—1,则2十。的最小值为()

yx

A.2V6+5B.2&-5C.272+1D.272-1

【考点】运用基本不等式求最值.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】A

【分析】利用基本不等式，结合“1”的妙用，直接求解即可.

■23232x3y3y2%(3v2x

【解答】解：因为一+-=(x+y)(-+-)=—+3+2+===+―+5々2=•一+5

yxyxyxxyylxy

2行+5,

X

当且仅当｛X+y=!，即｛"二嘘时，等号成立.

[x>0,y>0

5

故选：A.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

二.多选题(共3小题)

(多选)7.对于任意实数b,c,d,则下列命题正确的是()

A.若ac1>bc1,则a>b

B.若a>b,c>d,Ma+c>b+d

C.若a>b,c>d,贝I

D.若a>b,则工V：

ab

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】AB

【分析】结合不等式的性质检验各选项即可求解.

【解答】解：若。。2>儿2,则(？>0,所以4>力，4正确；

若a>b,c>d,则a+c>6+d,B正确;

当。=2,b=1,c—~1>d=-2时，C显然错误；

当。=1,8=-1时，。显然错误.

故选：AB.

【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

(多选)8.若关于x的一元二次不等式ad+bx+c〉。(a,b,cER)的解集为{x|-1VxV2},贝(J()

A.aVOB.b=-aC.c=-2aD.bc<0

【考点】解一元二次不等式.

【专•题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】ABC

【分析】根据一元二次不等式以及根与系数的关系相关知识可解.

【解答】解：若关于x的一元二次不等式qf+bx+cX)(°,5,cGR)的解集为{X|-1<X<2},

('=1

则〃V()且，则〃=-4,c=-2a,bc=2a2>0,故/I,B,C正确，O错误.

la一_2

故选：ABC.

【点评】本题考查一元二次不等式以及根与系数的关系相关知识，属于基础题.

6

（多选）9.下列说法中，正确的是（)

Qb

A.若/<-»则a<b

B.若/>52,ab>0,则工V:

ah

„,a+ma

C.若b>a>0,m>0,则；--->—

b+mb

D.若a>b,c<d,则a-c>b-d

【考点】等式与不等式的性质.

【专题】整体思想；综合法；不等式；运算求解.

【答案】ACD

【分析】利用不等式性质判断力0;举例说明判断从作差确定正负判断C

abc

【解答】解：对于4,由”<3，得c2〉。，则。<力，4正确；

CC

对于从取4=-2,b=-I,〃显然错误：

,*.a+?nam（b-a）-a+ma.“

对于C,由6>。>0,机>0,得ZD;—--=――—->0,则；—>-,C正确；

b+mbb（b+m）b+mb

对于。，由eV4,得-c>-d,而a>/）,则4--",Q正确.

故选：ACD.

【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题.

三.填空题（共4小题）

10.若不等式以2-5x+c〈0的解集是（2,3）,则不等式cx2+5x+a20的解集是18,-1]_U

[一/，+ooj.

【考点】解一元二次不等式.

【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

11

【答案】（-8,一引“一百，4-00）.

【分析】根据根与系数的关系以及一元二次不等式相关知识可解.

【解答】解：若不等式al-Sr+cVO的解集是（2,3）,

（-=5

则4>0且，则4=1,C=6,

la=6

则不等式c『+5x+a20可化为6F+5x+120,则xW—/或x>-

7

则不等式的解集为(—8,-J]U+8).

11

故答案为：(-8‘一2]"一+8).

【点评】本题考查根与系数的关系以及一元二次不等式相关知识，属于基础题.

11.二次函数F二一+岳也的图象如图所示，则不等式。(x+1)2+b(x+1)+cVO的解集为(-8,())

U(2,+8).

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】对应思想；定义法；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】(-8,0)U(2,+8).

【分析】根据一元二次不等式以及二次函数相关知识可解.

【解答】解：已知二次函数》=0?+云+。的图象如图所示，

则1和3是方程a/+bx+c=O的两根，且/(0)=3,则c=-3,

1=4

则la，则。=-1,b=d

9r=3

则不等式a(x+1)2+b(x+1)+<?<()等价于-(x+1)2+4(x+1)-3VO,

即x2-2x>(),则xVO或x>2,

则不等式的解集为(・8,0)u(2,+8).

故答案为：(-8,o)u(2,+8).

【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于基础题.

12.函数y=x2-3x-4的定义域是[-1,〃小值域是[一隼0]，则机的取值范围是_4，4]_.

【考点】二次函数的性质与图象.

【专题】函数的性质及应用.

【答案】见试题解答内容

【分析】》=/-3x-4的图象是开口朝上，且以x二5为对称的抛物线，故当》=■!时，函数取最小值一半,

8

又由/(-I)=/(4)=0,一得当函数・3厂4的定义域是［7,正值域是［一芋0］时,实数

m的范围.

【解答】解：・・，=/-3x-4的图象是开口朝上，且以x=，为对称的抛物线，

・••当时，函数取最小值一竽，

又•••/(-1)=/(4)=0,

・•・当函数y=f-3x-4的定义域是［-I,刈，值域是［一竿，0］M,wG［f,4］,

・一的取值范围是碍,4］,

故答案为：4，4］.

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键.

13.已知函数y=a4-x(a>。且"*］)的图像恒过定点儿且点”在直线〃gi=o(〃〃»o)上，则一1十一47M

mn

的最小值为8.

【考点】运用基本不等式求最值；指数函数的特征及解析式.

【专•题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；不等式；运算求解.

【答案】8.

【分析】求得定点力的坐标，进而可得〃?，〃的关系式，利用不等式中1的妙用可求上+处的最小值.

mn

【解答】解：因为函数的图像恒过定点力(4,1),

点A在直线ntx+ny-1=0(mn>0)上，所以4/n+n=1,

147n47n+n47nn4mn4m

所以一+—=-----+—=4+—+—>4+2-x—=8,

mnmnmnyjmn

当且仅当乌二处，即n=冷，m=4时取等号，所以工+班的最小值为8.

Tnnmn

故答案为:8.

【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题.

四.解答题(共2小题)

14.已知函数/(x)=AT-2ax-3.

(1)已知/(x)在［3,+8)上单调递增，求a的取值范围；

(2)求/(x)在［-1,2］上的最大值.

【考点】二次函数的值域；二次函数的单调性与单调区间.

9

【专题】转化思想：综合法；分类法：函数的性质及应用；运算求解.

【答案】(1)(-8,3］；

(2)当QW*时，函数/(X)的最大值为/(2)=1-4a；当时，/(x)的最大值为/(-I)=2a

-2.

【分析】(l)/(x)=x1-2ax-3=(x-4)2-3”2可得对称轴为尸处根据开口向上即可求解；

(2)由(1)有对称轴为人=a,开口向上，根据a的范围分类讨论即可求解.

【解答】解：(1)由题意有函数/(x)=，-2ax-3=(XF)2・3-Q2,可得二次函数的图象开口向

上，且对称轴为x=m

要使得/(x)在［3,+oo)上单调递增，则满足aW3,所以a的取值范围为(-8,3］；

(2)由函数/(x)=/-2公-3=Cx-a)2-3-a2,可得/(x)的图象开口向上，且对称轴为x=a,

当QW4时，函数/(工)的最大值为/(2)=1-4«；

当Q>3时，函数/(x)的最大值为/(-I)=2a-2；

综上，当aW/时，函数/(X)的最大值为/(2)=1-4a；

当时，f(x)的最大值为/(-1)=2a-2.

【点评】本题考查了二次函数的性质，属于基础题.

15.设函数/(x)=ax2+(1-tz)x+a-2(〃WR).

(1)若关于x的不等式/'(x)W0的解集为［0,1］,求实数。的值；

(2)若不等式/«)W-2对于任意实数x恒成立，求a的取值范围；

(3)解关于x的不等式：/G)<a-\.

【考点】一元二次不等式恒成立问题：解一元二次不等式.

【专题】对应思想：定义法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；运算求解.

【答案】(1)2；

(2)(-oo,-1］：

(3)当a=0时，不等式解集为：(-8,1)；

当a>0时，不等式解集为：(—〈，1)；

当・lVaV0时，不等式解集为：(一8,l)U(-i,+8)；

当4=-1时，不等式解集为：(-8,1)u(I,+8)；

10

1

当aV-1时，不等式解集为：（—8,——）U（1»+oo）.

【分析】（1）由二次不等式的解集得到对应二次方程的解，代入方程求得实数。；

（2）由题意得/（X）〃必<-2,讨论〃的值，得到函数的最大值/（戈）〃小，然后由不等式解得。的取

值范围；

（3）列出不等式，通过讨论。的不同取值，解对应不等式，得到不等式解集.

【解答】解：（l）/（x）WO,即不等式a/+（1“）x+a・2W0的解集为[0,1],

2

即方程ax+（1-a）x+a-2=0的解打=0,x2=*，月.a>0,

2=0

1—a,八,

—+cz-o2=0

解得a=2.

（2）由题意可知/（x）〃sW-2,

当。=0时，函数/（x）=x-2是一次函数，在R上没有最大值，舍去；

当4>（）时,函数/（x）是开口向上的二次函数，在R上没有最大值，舍去；

当aVO时,函数/'（%）</（崂）=矶MT+（1一。）（郊）+。一2,

a2-2a+l4a2_8a_3a2-6a-l

“八〜max-4a-+4a=4a'

3a2-6a-1,_

所以---------<—2,因为4V0,所以3a2-6a-12-&r,

4a

即（3o-l）（a+1）20,解得或aW-1,

则a的取值范围为（・8,・i].

（3）f（x）<a-1,即ax^+（1-a）x-1<0,

当4=0时，x-1<0,解得不等式解集为：（-8,1）：

当。>0时，一!<1，则一去VxVl，不等式解集为：（一5，1）;

当ar0时，（axi1）（x1）<0,

当-lVa<0时，一5>1，则xVl或不等式解集为：（一8,l）U（-i,+oo）；

当a=-l时，xHl,不等式解集为：（-8,1）u（1,+8）；

当aV-1时，一看VI，则或4>1，不等式解集为：（一8，-i）U（l,+00）；

综上，当4=0时，不等式解莫为：（-8,1）；

当a>0时，不等式解集为；（一：，1）；

11

当-IVaVO时，不等式解集为：（一8,1）U（-，，+co）；

当a=-l时，不等式解集为：（-8,1）u（1,+8）；

1

当。V-1时，不等式解集为：（―8,——）U（1>+00）.

【点评】本题考查一元二次不等式相关知识，属于中档题.

12

考点卡片

1.求集合的补集

【知识点的认识】

一股地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作

U.(通常把给定的集合作为全集).

对于个集合月，由全集。中不属于集分Z的所有元素组成的集合称为集合/I相对于全集U的补集，简

称为集合4的补集，记作Co4,即Cu4={小6"，且X"}.

【解题方法点拨】

常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法.

【命题方向】

通常情况卜以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、

值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现.

已知集合A=[x\y=V1-x}»则CR/1=()

解：根据题意可得/1={X|XW1},

：.QRA={X\X>\].

2.等式与不等式的性质

【知识点的认识】

1.不等式的基本性质

(I)对于任意两个实数a,h,有且只有以下三种情况之一成立：

①。>力=。-/)>0；

②-/?<0；

③-b=0.

(2)不等式的基本性质

①对称性：a>/)=/)Va；

②传递性：a>b,b>c=>a>c：

③可加性：a>b^a+c>b+c.

④同向可力口性：a>b,c>d=>a+c>b+d\

⑤可积性：a>b,c>0=>ac>bc；a>b,c<0=>ac<Z)c；

13

⑥同向整数可乘性：a>b>0,c>d>O=ac>bd；

⑦平方法则：a>b>O=>an>b"(wGN,且〃>1)；

⑧开方法则：a>b>()^rVa>Vb(/»GN,且〃>1).

3.基本不等式及其应用

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其匕表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：—^―>y[ab(。20,620),变形为(-y-)2或者常

常用于求最值和值域.

实例解析

例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是.

2abx^+247

Ata,b均为负数，则7+-->2.B：/>2.C：sinx>4.D：aER+,(3—a)(l——)<0.

b2aJ%2+isinxa

解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知48、。均满足条件.

对于。选项中sinxW±2,

不满足“相等”的条件，

再者sinx可以取到负值.

故选：C.

力选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；夕分子其实可以写成

/+1+1,然后除以分母就可换成基本不等式.这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，

而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求>二品的最值？当OVxVl时，如何求、=玛的最大值.

解：当x=0时，y=0,

当时，、=缶=竟'

用基本不等式

若xA0时，0V)S?，

万

若x〈0时，—5~WyV0,

综上得，可以得出一辛0£*，

・・4=昌3的最值是一冬与当

14

这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0,没有明确表示的话就需要讨

论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数;

最后套用基本不等式定理直接求的结果.

【解题方法点拨】

基本不等式的应用

1、求最值

例1:求下列函数的值域.

（1）y=3x?+去（2）y=x+：

解：（D2:3炉+会224x2圭=a.•.值域为[加,zo）

（2）当x>0时，尸x+；小艮=2：

当x<0时，J=x+；=-（-x-j）=-2

・•・值域为（-00,-21U[2,+oo）

2、利用基本不等式证明不等式

例2：已知a、b、ceR',且a+b+c=l。求证：,--1^-1--1j>8

分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又

工-1=匕，匕2£之也，口」由此变形入手。

aaaa

..,_D,.,,1.1«1-ab+c2-Jbc闩坤1,2y[ac1«、25/S

jiff-:.a、b\ceR,a+b+c=l。..——1==-----2-------。同]里一一12-------，一一12-------。

aaaabbcc

上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得

Q-ljQ-lJl-ij>零•半.4^.8o当且仅当a=b=c=；时取等号。

3、基本不等式与恒成立问题

10

例3：已知x>0»>0且一+—=1,求使不等式x+）亚加恒成立的实数次的取值范围。

*y

M八.八19,x+y9x+9y.10y9x.

解：■$■x+v=Zcx>0Av>0—+—=1,/.---+-----=1.—+—+—=1

“5svsxykxkykkxky

103

/.1-—>2-。二人之16,we(-00.161

kk

4、均值定理在比较大小中的应用

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例4：若。>6>LP=历取：2=W(lga+lgb),及=电(胃)，则尸，。小的大小关系是_____.

分析：'.'a>d>l.'.1ga>0,1g>0

Q=g(1ga+lgb)>7iga\gb=p

R=>1g4ab-yigab=QS.R>Q>Po

【命题方向】

技巧一：凑项

例1：已知x<),求函数丫=4、-24一!—的最大值。

44x-5

解：因4x-5<0,所以首先要•调整甯号，又(以-2)・二一不是常乱所以对4x-2要进行拆、凑项，

4x-5

•.•1<，,二5-4x>0，y=4x-2_=-；5-4x4-_1__W_2+3=1

当且仅当5-4x=J—,即x=l时，上式等号成立，故当x=l时，vtta=lo

点评：本题需要调整项的符号，乂要配凑项的系数，使其积为定值.

技巧二：凑系数

例2：当0VxV4时，求y=x(8-2x)的最大值.

解析：由0VxV4知，8-2r>0,利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积

的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2v)=8为定值，故只需将y=x(8-2r)凑上一个系数即可.

1、12x+8-2x、

y=x(8-2r)二界此(8-2x)]<^(——-——v)2=8

当2x=8-2x,即x=2时取等号：当x=2时，y=x(8-x2)的最大值为8.

评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到有为定值，从而可利用基本不等式求最大值.

技巧三：分离

例3：求1="\草：1°(丫>一1)的值域.

解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离.

X2+7X+10(X+1)2+5(X+1)-4...4,

尸x+1=------和------=(x+1)+(申+5c'

当x>-1,即x+l>0时，y>2J(x+l)x击+5=9(当且仅当x=l时取"=”号)

技巧四：换元

对于上面例3,可先换元，令z=x+l,化简原式在分离求最值.

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技巧五：结合函数/(x)=x+E的单调性.

例4:求函数的值域。

々+4

解：令42+4=«£22),则j-二—=、!，q+:一一=r」Q

代+4Jx'+41

因,>0<；=1,但/=；解得，=±1不在区间［2,+8),故等号不成立，考虑单调性。

因为y=r+l在区间［L+00)单调递增，所以在其子区间［2,田)为单调递增函数，故产之：。

t幺

所以，所求函数的值域为;1田;。

技巧六：整体代换

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例5：已知x>0j>0,且±+-=1,求x+y的最小值。

xy

43解：>'x>0,y>0y且工+2=1,，x.j,,(x+丁］2■12故(x+y)为三=12°

错因：解法中两次连用基本不等式，在x+y22而等号成立条件是x=y,在白+2之2任等号成立条

*yN外

19

件是4=3即y=9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出等

%y

号成立条件是解题的必要步骤，而且是检蛉转换是否有误的一种方法。

1ER：•.,JC>0,V>0,-+—=B,X+T=(X-J］,L+2l匕一“一1026-10=16

“xy."(xyJxy

QY19

当且仅当上=三时，上式等号成立，又一+—=1,可得x=4j=12时，(X+N)L=16。

Xyxy\H-.

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错.

技巧七：取平方

例6:求函数产百二1+后元C<x<3)的最大值。

22

解析：注意到2x—1与5-2x的和-定值。

y2=(72x-l+j5-2x)2=4+2J(2xT)(5-2x)<4+(2x-l)+(5-2x)=8

Xy>0,所以0<yW2/

当且仅当2x—1=5-2x,即工=：时取等号。故％=20。

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件.

总之，我们利用基本不等式求最慎时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积

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极创造条件利用基本不等式.

4.运用基本不等式求最值

【知识点的认识】

基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式.其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或

等于它们的算术平均数.公式为：(。20,620),变形为(?)2或者Q+522病.

【酢题方法点拨】

在运用均值不等式求最值时，可以将代数式分解成可以应用均值不等式的形式.例如，要求代数式X+：

的最小值，可以利用均值不等式％+当22从而得出最小值为2,并且在x=\时取到最小值.需要注

人

意的是，运用不等式时要确保代入的数值符合不等式的适用范围，并进行必要的等号条件验证.

【命题方向】

均值不等式求最值的命题方向包括代数表达式的最值求解、几何图形的最优设计等.例如，求解一个代数

式的最小值，或设计一个几何图形使其面积最大.这类题型要求学生能够灵活运用均值不等式进行最值求

解，并能正确代入和计算.

已知正数a,b满足〃+b=l,则衍1+后了的最大值是.

解：因为正数〃，力满足a+Z>=l,

所以a+1+b+1=3,

则•T+Vb+1<2百1产1=瓜

当且仅当〃=/>=/时取等号.

故答案为：瓜.

5.二次函数的性质与图象

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变

量的变化而变化.它的一般表达式为：y=ax2+bx+c(a^=0)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有

可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、儿个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物

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线的焦点、准线和曲线的平移.

这里面略谈一下他的一些性质.

①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当“>0(<0)时，图象开口向上(向下)；对称轴x=-六:

最值为：/(一得)；判别式△=序・4",当△=()时，函数与x轴只有一个交点；△>()时，与x轴有两

个交点：当△<()时无交点.

②根与系数的关系.若△》()，且xi、X2为方程y=or，%x+c的两根，则有xi+x2=-，，JI*X2=

③二次函数其实也就是抛物线，所以.3=20，的焦点为(0,与)，准线方程为y=-%含义为抛物线

上的点到到焦点的距离等于到准线的距离.

④平移：当y=a(x+b)2+c向右平移一个单位时，函数变成y=a(x-\+b')2+c；

【命题方向】

熟悉一次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关系，抛物线最值得

取得，这也是一个常考点.

6.二次函数的值域

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量

的变化而变化.它的一股表达式为：)，=尔+加出(4#0)

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可

能出题，其性质主要有初中学的汗口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线

的焦点、准线和曲线的平移.

-确定二次函数的开口方向(通过。的正负判断).

-计算顶点x坐标，

-计算顶点处的函数值/(-/)・

-根据开口方向确定值域范围.

【命题方向】

主要考查求二次函数的值域，涉及开口方向、顶点的计算及实际应用问题.函数/(x)=f+[-2(x€[O,

2])的值域是.

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解：函数/(x)=/+'-2的对称轴为工二一右

故函数/(%)=f・2在［0,2］上单调递增,

又/'(())=-2,/(2)=4,

所以函数/(x)=x2+x-2(xe［O,2］)的值域是［-2,4］.

7.二次函数的单调性与单调区间

【知识点的认识】

二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量

的变化而变化.它的一般表达式为：y=ax2+bx+c(〃#())

【解题方法点拨】

二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可

能中题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线

的焦点、准线和曲线的平移.

二次函数在顶点左右的区间上具有不同的单调性.对于/(x)=ax2+hx+c,顶点为3=-/处，左侧单

调递减，右侧单调递增(当。>0时).

【命题方向】

涉及二次函数单调区间的判断与证明题，结合实际应用问题解答.

判断函数y=f-2x,.虻［-2,2］的单调性，并求出它的单调区间.

解：二次函数夕=--Zr,开口向上，对称轴x=l,

所以xW［-2,1］时，函数单调递减；

xW(1,2］时,函数单调递增.

即函数的单调递增区间为(1,2］,单调递减区间为［-2,1).

8.解一元二次不等式

【知识点的认识】

含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式.它的一般形式是ax2+bx+c>()或

aF+/>x+cV()(a不等于0)其