相似三角形 （含答案详解）-全国重点高中自主招生

相似三角形

一、单选题

1.（2022•福建•九年级统考竞赛）如图，在矩形A8CO中，AB=2BC,点M是CD边的中点，点E,尸分别

是边A8,8c上的点，且AALME,G为垂足.若E8=2,BF=1,则四边形BFGE的面积为（）

2.（2014.全国•八年级竞赛）已知JAC的三边长分别为2,3,4,例为三角形内一点，过点M作三边的

平行线，交各边于。、E.F、G、八Q（如图），如果OE=/G=PQ=x,则1=（）

3.（2016・全国•九年级竞赛）如图，在四边形A8C。中，NBAC=NRDC=90°,AB=AC=45,CO=1,

对角线的交点为则力M=（）

A.3B.更C.—D.J

4.（2016秋•山东泰安•九年级竞赛）如图，在即A/WC中，ZC=90°,AC=BC=6cm,点P从点4出发，沿

4B方向以每秒拒cm的速度向终点8运动；同时，动点。从点8出发沿8c方向以每秒1cm的速度向终点

C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点产.设点Q运动的时间为，秒，若四边形QPC产为菱形,

则i的值为（）

A.V2B.2C.272D.3

5.（2014.全国•九年级竞赛）在中，NC=90。,乙4=60。,47=1,。在8C上，£在48上，使得VADE

为等腰直角三角形，Z4DE=9O%则属的长为)

A.4-26B.2-75C.>/3-1D.

6.（2015秋•山东泰安♦九年级竞赛）4ABC中,D、E、F分别是在AB、AC、BC上的点，DE〃BC,EF

〃AB,那么下列各式正确的是（）.

A.处二里B.型至AD_BFD.些二处

C.

DBEC箕FCDB-FCECBF

7.（2015秋・山东泰安•九年级竞赛）如图,在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在

x相上，OC在y轴上，矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC，的面枳等于矩形OABC

面积的"，那么点卬的坐标是（）.

B

Ar

O6~*

吟4

A.B.(-2,--)

4444

C.(2?)或(一2,-)D.(2,-)nJc(-2,--)

8.（2015秋•山东泰安•九年级竞赛）如图，直线/和双曲线产一（Q0）交于A、B两点,P是线段A8上的点

J

（不与A、B重合），过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、。、E,连接04、OB、OP,设△AOC

的面积为，、△40。的面积为与、的面积为邑，则（

二、填空题

9.（2023春・浙江宁波•九年级校联考竞赛）如图，在四边形设力8c。中，ABHCD,ZB=NC=90。，YADE

是等边三角形，且点E在8c上，如果A8=6,CD=9,V4OE的面积为.

10.（2018.全国.八年级竞赛）若空空=处£=审，则（a+b）（*）（c+a）的值为_____.

cababc

11.（2022秋•江苏•八年级校考竞赛）如图，在RIAABC中，ZACB=90°，点。是人B的中点,过点。作。石JL8C,

垂足为点E,连接CD,若CD-5,8C-8,贝iJ/）K=.

三、解答题

12.（2022春・湖南长沙•八年级校联考竞赛）回答下列问题：

⑴如图，当NA8C=90。时，AB=BC,将MAB绕8点顺时针旋转90。画出旋转后的图形;

⑵在(1)中，若上4=2,PB=4,PC=6,求NAPA的大小.

(3)如图，ZABC=60°,AB=AC,且/%=3,PB=4,PC=5,则AAPC面积是

(4)如图，△48C中，ABAC=ar,AA=2AC,点尸在aABC内，且PA=G，PB=5,PC=2、求AABC的

面积.

13.（2023春•浙江宁波•九年级校联考竞赛）如图1,四边形A8CD和AE尸G都是菱形，ND4B=/G4E=60。，

点GE分别在边AQ,48上，点产在菱形A8CO内部，将菱形AEFG绕点A旋转一定角度明点£、尸始

终在菱形A4C。内部.

（1）如图2,求证：△DGAg/XBEA；

（2）如图3,点P、。分别在4爪4。的延长线上，连接A尸并延长与NQ。。的平分线交于点，，连接AE

并延长与/PBC的平分线交于K,连接。”、HK、CH、CK.

①求证：AADHS^KBA；

②若AR=2而.DH=5,则线段的长度为线段"K的长度为一

③菱形AEFG绕点A旋转a度（0°<a<30。），AB=m,aKBC是等腰三角形，则线段HK的长为

14.（2015秋•山东临沂•九年级竞赛）如图，在平行四边形A8CO中，E是48延长线上的一点，DE交BC

于点足已知刀=£，S@F=3,求△C。/的面积.

AB3

DC

15.（2013・浙江绍兴•九年级竞赛）如图.AD、AH分别是ZiABC（其中AB>AC）的角平分线、高线，M点

是AD的中点，AMDH的外接圆交CM于E,求证/AEB=90。.

16.（2013・全国•七年级竞赛）已知四条直线人人儿L依次相交于O,过4上的任意一点A引平行于乙的

直线交4于点4,过4引平行于4的直线交4于点4,过4引平行于的直线交乙于点4,过人引平行于4

的直线交4于点P.求证：OP«；OA.

17.（2018・全国•九年级竞赛）如图，在扇形Q48中，乙408=90。，Q4=12,点C在。4上，AC=4,点

。为08的中点，点E为弧上的动点，OE与CD的交点、为F.

乂一

（1）当四边形。DEC的面积S最大时，求EF；

（2）求CK+2O石的最小值.

18.（2017春.江苏镇江•九年级竞赛）如图，已知：正方形44co中，A3=8,点。为边A8上一动点，以

点。为圆心，08为半径的。O交边人。于点石（不与点人、。重合），EF工OE交边CD于点F.设80=.*

AE=y.

（1）求），关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（2）在点。运动的过程中，尸。的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示的周

长；如果不变化，请求出△E/O的周长；

（3）以点4为圆心，04为半径作圆，在点。运动的过程中，讨论。。与。A的位置关系，并写出相应的工

的取值范围.

参考答案:

1.B

【分析】设8C=a,得到A8=2a,=MC=a.作M"J.AB于H,先证明出

RIAEMHSRSFAB,利用性质建立等式解出。=3，利用勾股定理求出从*=而，再根据

RMAEGSRMFB,利用相似比求出面积即可.

【详解】解：设8。=〃，则48=2。，DM=MC=a.

作MH±ABT”,

则NEMH=90°-ZMEA=NFAB.

MHAB

所以

7lE~~BFf

即黑彳

解得。=g.

于是8C=2,AB=5.

2

所以4/=，.2+8斤2=后+1?=底，

=—ABxBF=—x5xl=—

222

又RiAAEGSR*FB，

所以引些

S八AFB

9945

囚此S△人£G=Z7S^AFR

Zo26252

所以S四边形BFGE=S^AFB-SAAEC=

乙J乙J乙

【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理，解题的关键是掌握

相似三角形的判定.

2.D

【分析】首先证得四边形四边形ARWQ,四边形CEMG均为平行四边形，利用相

似三角形的判定和性质可得ADAE,易得BD,PM,QM,利用平行四边形的性质可得

PM,MG,求得△QMEs^MPG,利用相似三角形的性质列方程，解得工

【详解】解：•・•P0〃A8,DE//BC,FG//AC,

・•・四边形4OQM,四边形4FM。，四边形CEMG均为平行四边形，

VDE//BC,

・•・AADEsAABC,

.DEADAE

xADAE

•t•==,

423

|3

AAD=-x,AE=-x,

24

ABD=2--x=PM,CE=3--x=MG,

24

1337

/.QM=x-PM=x-2+-x=-x-2FM=x-MG=x-3+-x=-x-3=AQ

22t44f

VFG//AC,DE//BC,

:.NQEM=NMGP,NMQE=NPMG,

/.AQMEs八MPG,

•QM=QE

24

94

解得x=^.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质定理和相似三角形的判定及性质定理，能

够用x表示出其它边的长是解答此题的关键.

3.D

【分析】过点A作A〃_L8力于点H,利用有两个角相等的三角形相似判定

根据相似三角形的性质得比例式，设AM=x,用含”的式子分别表示出CM、AH.BM,

再由面积法得出A”的第二种表示方法，从而得关于％的方程，解得x的值，则CM的值可

得，然后用勾股定理求得0M即可.

【详解】解：如图，过点A作A"于点〃，

•.­ZAHM=乙CDM=90°,ZAMH=Z.CMD

:&\MHs卫MD,

.AHAM

"~CD~~CM'

vCD=l,

CM

设AM=x,由于AC=6,故CM=y5—x,

A…H=~产x

6-x

在中，AB=y/5

由勾股定理得：BM=>JAB2+AM2=y]x2+5»

......AB»AMJ5x

贝卜'"=一^-=招=

BMV-r+5

显然xwO,化简整理得2/一375.1+|。=。

解得工=或，（x=26不符合题意，舍去），

2

故CM二更,

2

在RlaCZW中，DM7cM2-CD。=L

2

故选：D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理在计算中的应用、面积法及方程思

想在几何计算中的应用，本题具有一定的难度.

4.B

【分析】首先连接PP交8c于O,根据菱形的性质可得PP'_LCQ,可证出PO〃AC,根据

APrn

平行线分线段成比例可得益=而,再表示出AAA"C。的长,代入比例式可以算出,

的值.

【详解】解：连接PP咬8C于0,

•••若四边形QPCP为菱形,

:・PPtQC,

工ZPOe=90°,

•・•NAC8=90°,

：.PO//AC,

.APCO

••丽・丽

•・•设点。运动的时间为“少，

.\AP=y/26QB-t,

・・・QC=6T,

：.CO=3--,

2

*：AC=CB=6,/ACB=90。，

:・AB=6五,

••・3=3-；

6五一6

解得：Q2,

故选B.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例；等腰直角三角形及菱形的性质.

5.A

【分析】过点E作£F〃47,交BC十点F,证明△AOC和△/无尸全等，得出力尸=4。=1,

设CD=x,利用平行线分线段成比例定理，列出比例式，列方程解答.

【详解】过点E作所〃AC,交BC于点F,

B

ZC=90°,ZfiAC=60°,

・•・ZZ?=3O°,

JAB=2AC=2,

在RlZ\A8C中，由勾股定理得：

CB=y]AB2-AC2=V22-12=V3»

•・・v人DE是等腰直角三角形，

,DE=DA,

•・,ZDAC+ZADC=90°,ZEDF+Z4DC=90°,

：.4DAC=/EDF,

在△ADC和SET中，

NDAC=/EDF

-NC=NEFD=90。

DA=DE

/.^ADC=△£）EF（AAS）,

，DF=AC=i,

设CD=x,所=尸=G-l-x,

,:EF〃AC

.EFBFx>/3-l-x

••---=----,即一=-----7=----,

ACBC1£

解得x=2-G，

,BE=2x=4-2xl3.

故选A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，等腰直角三角形

的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

6.C

【详解】试题分析：根据题意画出图形，如图:

ADAP

VDE#BC,———,A>D错误;

DBEC

AREF

•・・EF〃AB,AAABC^AEFC,,故B错误;

ACEC

AnspAE_BF.ADBF

VDE/7BC,EF〃AB,—=—故C正确;

DBEC~EC~~FC^~DB~~FC

故选c.

考点：1、相似三角形的判定和性质；2、平行线分线段成比例定理.

7.D

【详解】解：根据位似图形的性质可知，当矩形OA，B，C在第一象限时,

114

OAr=-OA=2OC=-OC=-,

3t33

4

此时点的坐标为(2,§)；

当矩形OAB'C在第四象限时，

4

点B'的坐标为(-2,-§).

故选D.

【点睛】此题考查了位似变换与坐标与图形的性质.此题难度不大，注意位似图形是特殊的

相似图形，注意掌握数形结合思想的应用.

8.D

【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直

角三角形面积S的关系即5=/攵|解答即可.

【详解】解：根据双曲线的解析式可得=k

所以可得，=$2=(&

设OP与双曲线的交点为匕，过片作x轴的垂线，垂足为M

而图象可得5,“小”<S3

所以S=S2Vs3

故选：D.

【点睛】本题主要考查了反比例函数y=与中〃的几何意义，即过双曲线上任意一点与原点

X

所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积为;阳，是经常考查的一个

知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解攵的几何意义.

9.21石

【分析】作/班户=30。，交A8于点G,过点A作"1EF,垂足为尸，证明

△AFE^AEC£)(AAS),可得尸E=9,设：BG=m,贝i」4G=6—〃2,EG=2m,FG=9-2m,

证明“GEs△氏汨，根据相似三角形对应边成比例可得空=或，即可解出川，即可求出

FATn(r

VAOE的面积.

【详解】解：如图，作NBM=30。，交AB于点G,过点A作垂足为尸，

•:?B90?,

，ZAE^=90°-ZBAE,

,/NBEF=30。,

・•・ZAEF=ZAEB-/BEF=90。-NBAE-30°=60。-/BAE,

•••VADE是等边三角形，

/.ZAED=tkT,AE=DE,

••・/DEC=180°-ZAEB-ZAED=180°-(90°-ZB/AE)-60°=30°+NBAE,

又：ZC=90°,

・•・NEDC=90°-/DEC=9O°-(3O°+ZBAE)=60°-NBAE,

・•・ZEDC=ZAEF,

•・•在八4尸石和aEa)中，

ZAEF=ZEDC

-ZF=ZC=90°

AE=DE

・••△AFE^AECD(AAS),

/.FE=CD=9,AF=CE,

设：BG=in,则AG=6-in,

•・•NBEF=3。。，

・•・EG=2BG=2m,

・•・FG=FE—EG=9—2m,

VZ«=ZF=90°,ZAGF=NEGB,

•二△AG尸

,AGFG

**~EG=~BGf

.『=工解得姓4,

2mtn

：,BG=4,EG=8,AG=2,FG=l,

JBE=』EG?-BG2=而-4?=46,AF=\lAG2-FG2=^?2-\2

:・CE;AF=6,

••q=-Jq梯形AB。-*q6BE—Q，£DE，

-，-^AD£=^x(6+9)x(4^+V3)-ix6x4x/3-lx9xV3=21^,

故答案为：21G.

【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定及相似三角形的性质和判定，等边三角形的性

质等，熟练掌握全等三角形及相似三角形的性质和判定，并根据题目作出辅助线是解答本题

的关键.

10.-1或8

【分析】设山="=牛=匕根据比例的性质可得a+b=ck,b+c=ak,c+a=bk,根据等

cab

式的性质可得2(a+b+c)=k(a+b+c),分a+b+c=0和a+b+HO两种情况，分别求出k值,

(a+b)(b+c)(c+a)

根据二妙即可得答案.

abc

.、壬、na+bb+cc+a

【详解】设----=-----=——=k

cab

/.a+b=ck,b+c=ak,c+a=bk,

a+b+b+c+c+a=ck+ak+bk,即2(a+b+c)=k(a+b+c),

:.(a+b+c)(2-k)=0,

当a+b+c-0口寸，即a+b--c,

,a+b-c

k=------=~

c

.(a+b)(b+c)(c+a)a+bb+c

—=k3=-l,

abcab

当a+b+cWO时，则2・k=0,

解得：k=2,

,(a+b)(b+c)(c+a)a+bb+cc+a

-k3-8,

abcab

故答案为：-1或8

【点睛】本题考查比例的性质，分情况讨论，注意整体代入思想的运用是解题关键.

11.3

【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10,利用勾股定理求出4C,再说明。石〃AC,得

到矍=当=:，即可求出。£

ACAB2

【详解】解:点。为A6中点,

AB=2CD=\0,

8c=8,

AC川AB—BC，=6,

DEIBC,AC1BC,

DE//AC,

DEBD1以DEBD1

---=---=—,即nn---

ACAB26AB-2

DE=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通

过平行得到比例式.

12.(1)图见详解

(2)135°

（3）随+3

4

（4）6+76

2

【分析】（1）由A8=8C,NA8C=90。可知点A旋转到点C,在BC的下方过点B作8尸的

垂线，并且在垂线上截取比=3尸，则产为点〃绕8点顺时针旋转90。以后的对应点，△PC8

即为所求；

（2）连接小，求出AP4P是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得夕产=4a,

NBPP=45。,再利用勾股定理逆定理求出NCP尸=90。，然后计算即可得解；

（3）根据全等三角形的面枳相等求出AAP8与AAPC的面积之和等于四边形APR的面积，

然后根据等边三角形的面积与直角三角形的面枳列式计算:即可得解，同理求出AA放和

MPC的面积的和，AAPC和MPC的面积的和，从而求出AA8C的面积，然后根据ABPC的

面积=A44c的面积WPB与AAQC的面积的和计算即可得解；

（4）首先作“8。，使得NQ4B=NPAC,43Q=ZACP,则有△0440抬。，即可得AABQ

与△ACP的相似比为2,继而可得AAQQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质即

可求解△ABC的面枳.

（1）

解：如图1所示，△尸CB即为所求；

A

・•・将APAI3绕B点顺时针旋转90°,与△PCB重合,

,"BP=，F,

:.BPuBD,ZAPB=NCPB,AP=CP=2,

.•・M酎是等腰直角三角形，

:.PF=4iPB=4叵,/BPP=45°.

在ACPP中，•.•P/>=4及，CP=2,PC=6,

.•.呼？+C产2=尸。2,

•••△C产产是直角三角形，/C户产=90。，

/.NCOB=ZBPP+ZCPP=450+90°=135°；

(3)

解：如图3①，将/小4绕A点逆时针旋转60。得到△6“•，连接心,

图3①

.•.MP必△"(7,

/.AP=APltZPA^=60°,C/]=BP=4,

・•.APM是等边三角形，

/4=AP=3,

•/CP=5,〃=4,P[=3,

2

:.PP^+CIf=CPf

・•.△eq。是直角三角形，/CRP=90。,

1i36961,

scx3x=,Scx3ax4=6

■,-^ppl=2-~iwc=2»

S网切开的叩=SAWI+S^ppic=~^~+6;

Swfp+Sg11c=加边形八KPI=~~+6;

如图3②,

同理可求：8P和MPC的面积的和=1x4x生色+2X3：＜4=4J5+6,

222

AAPC和MFC的面积的和='x5x必+，x3x4=^^+6,

2224

二.WC的面积=；（竽+6+46+6+与75+6）=^^+9,

.•.AAPC的面积=AA8C的面积-A4PB与MPC的面积的和=（生且+9）-（4々+6）=地+3.

44

故答案为为§+3.

4

（4）

解：如图，作AASQ,使得NQ48=NP4C,ZABQ=ZACP,连接PQ,取4Q的中点M

连接PM

A^QAB^PAC,

•/AB=2AC,

・•・△A4Q与△ACP的相似比为2,

，：PA=&,PB=5,PC=2,

・•・AQ=2PA=2y/3,BQ=2PC=4,ZQAP-=ZQAB+ZBAP=ZPAC+ZBAP-ZBAC=60°,

•・•点N是AQ的中点，

：.AN=AP,

•••△APN是等边三角形，

：.AN=QN=AP=PN,ZAM>=60。，

・•・NNQP=NNPQ=30。,

.・.NAPQ=90。，

•••"Q=-3,

：.BP2=25=BQ2+PQ2,

...NPQB=9()o,

作AM_L8Q于点M,延长AC,使得AC=CK,即

•••△4BK是等边三角形，

由NBQA=NBQP+4QP=120。，

.•・乙4QM=60。，

,QM="AM=3,

JAB?=8M2+AM2=(4+可+32=28+86,

•••△4BK是等边三角形，

・,•AK?=48?=28+85

设△ABK的高为力，则力二正AK=@AB,

22

・c_1e_11g/_1GAR2_6+7g

,•S.ABC=]S“BK=-x-ABh=-x—AB=---•

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性质、等边三角形

的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定、含30度直角三角形的性

质、等边三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关健.

13.(1)见解析；⑵8,7；(3)小或叵

3

【分析】3)根据菱形的性质可得A£=AG,AA=A。，根据旋转角相等，可得

NBAE=NDAG=a,根据边角边即可证明AOGA丝△8EA；

(2)①根据菱形的性质以及角平分线的性质可得N4OH=NK4A=150。，根据旋转的性质

可得/D4/=30。-0,根据外角的性质可得NAKB=NK8P-N以8=30°-。，进而证明

△ADHs^KBA；②根据“力HSAKRA列出比例式，代入数值即可求得8K的长；连接

过点〃作MW_L3K,垂足为M,证明四边形O8W”是矩形，进而在用△〃用K中，勾股定

理即可求得"K的大小；③分情况讨论，当8C=CK和8c=8K时，当8C=CK时，根据

△ADHS&K3A求得DH,进而勾股定理在/?/△，•中，求得HK,当8c=8K时，证明四

边形力是正方形即可求得HK的长.

【详解】（1）如图，

•••四边形ABCD和AEFG都是菱形,

二.AE=AG,AB=AD

ZBAE=ZDAG=a

4DAGW4BAE

(2)如图，

①;四边形/WC。和AEFG都是菱形，ND4B=NGAE=60。,

DC//BA.AD//BC

NQDC=NQAP=60。

.\ZABC=^ADC=120°,

.\ZCBP=60°

•.•£)”平分/QOC,8K平分NP8C,

NHDC=iNQOC=30°,NKBP=NKBC=gNCRP=30°

NHDA=ZADC+4HDC=120。+30°=150°

ZABK=ZABC+NCBK=150°

:4DA=ZABK

•・•NGAE=60°,AF为菱形AEFG的对角线，

ZGAF=ZFAE=-ZGAE=30°

2

•：^BAE=^GAD=a

/DAF=ZGAF-ZGAD=30。一a,ZAKB=ZKBP-/KAB=30°-a

:.ZDAJ/=ZAKB

^ADH^KBA

②•.•四边形A8CO是菱形

AB=AD=2>/l0

•/JDHS^KBA

ADPH

"~KB~~AB

a。ADAB2710x2710

..DK=----------=----------------=oQ

DH5

如图，连接。出过点”作，垂足为M,

ZDCB=ADAB=60°,DC=CB

.•.△DBC是等边三角形

/.ZCDB=ZCBD=60°,DB=AD=2M

ZHDC=|ZQDC=30°.NCBK=gNCBP=30°

;"HDB=/DBK=90。

二•四边形。用WH是矩形

DH=BM

:.MK=BK-BM=BK-DH=8-5=3,

HM=DB=AD=2屈

在RiAHMK中,

HK=y]HM2+MK2+3?=7

：.HK=1

故答案为：8,7

③•.•/K8C=30。，ZkKBC是等腰三角形,

当8C=CK时，如图，过点C作CNJ.8K,连接。从过点〃作〃M_L4K,垂足为“,

：.BN=NK=LBK

•••NC8K=30。

:.CN=-I3C=-m

22

在RMCN中

BN=y/3CN=—m

2

BK=\/3in

•••SDHs^KBA

ADDH

KBAB

♦;AB=m,:.DB=HM=m

：.MK=BK-BM=BK-DH=y/3m--m=-岛1

在RiAHMK中

HK=dHM'+MK?=J/?r+|—m

当8c=8K时，如图,

0/H

ABP

*：BC=BK=AB=m

•••SDHs^KBA

ADPH

"~KB~~AB

〜,AD-ABmxm

：.DH=-------=-----=m

KBrn

・「四边形O8W”是矩形

又DH=DB=m

••・四边形DBMH是正方形

：.HK=DB=AB=m

综上所述〃K="?或者且〃?

3

故答案为：〃，或

3

【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形全等的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正

方形的性质与判定，矩形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，角平分线的定义，三角形

外角的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

14.SCDF=—.

A4

【分析】根据平行四边形的性质，可证△血产由“：48=2：3,可证BE：DC=2：

3,根据相似三角形的性质，可得$叩二63)2、.乂阳.=^9'3=彳27.

【详解】解：•・•四边形ABC。是平行四边形,

：.AE//DC,

:.△BEFs^CDF

•：AB=DC,BE：AB=2：3,

:.BE：DC=2：3

2

S^EF•SR0CF=(BE:DC)=4:9

••S&MF=~7•S&BEF二WX3=W.

【点睛】本题主要考查了用似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，熟练掌握

相关性质及判定定理是解题关键.

15.通过三角形相似求得角度的相等，进而进行角度转化

【详解】试题分析：如图，连结

vJ/是Rt'lHD斜边AD的中点

Md=\IH=\ID（5分）

：・AIHD=AIDH

・・・MD乩E四点共圆

"CEH2IDH

：.ZMHD=—IDH=LHEC

••・£避密（10分）

•：2C\IH=乙的E,AAC1田s、HVE

A1H

二大7，即1出：=.1£口。（15分）

J7cMzi

汨=姻,双崛，又•・•NCTA=一扑IE

••・“―辎,

/.^ICA=^\UE（20分）

:•一BHE+ZBAE=_DHE■一BAD+—.T£dE

=ADHE+NMdC+mCA=ZDHE+ZDSIE=180!

四点共圆，,・・心脸二4^辍二颤已（25分）

考点：三角形相似

点评：本题属于对三角形相似的考点的，进而运用角度的变换求解

16.见解析

【详解】证明：延长A.34分别交/八4于M、N,

延长尸义交于R

设。4=。，OP=b,4A=c,

则AM=b,PN=c-b.

•:MR:RA[=OP:PN,

MR:b=b:(c-b).

而MR+R4+AA=。4,得方程----\-b+c=aBPc2-ac+ab=O

c-bf

把上式看作c的二次方程，有/一4岫之0.由。之0即得。工!〃亦即

44

17.(1)y；(2)8厢.

【分析】(1)四边形面积最大时，两三角形的高的和等于半径，即可求得EF；

(2)延长OB至点G,使BG=OB,连接GE、GC、DE.证明aDOE〜AEOG,得到EG=2DE,

所以CE+2DE=CE+EG,当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，此时

CE+EG=CG=doC，+0G?=782+242=8>/10即CE+2DE有最小值为8M.

【详解】解：(1)分别过0、石作OM_LC。于M,EN工CD于N,

VCD=10,