初中九年级上册数学：实际问题与二次函数

实际问题与二次函数

0目标导航

课程标准

(1)能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的

知识求出实际问题的最大(小)值，提高解决问题的能力。

(2)通过求最大面积、最大利润等问题，体会二次函数是一类解决最优化问题的数学模型。

澳:知识精讲

知识点01列二次函数解应用题

列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次

函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式.对于应用题要注意以下步骤：

(1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，

找出等量关系(即函数关系).

(2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确.

(3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是

二次函数.

(4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题.

(5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案.

(6)写出答案.

知识点02建立二次函数模型求解实际问题

一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；

(2)将已知条件转化为点的坐标；

(3)合理地设出所求函数关系式；

(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；

(5)利用关系式求解问题.

【注意】(1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数

问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象

及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.

(2)对于本节的学习，应由低到高处理好如卜三个方面的问题：

①首先必须了解二次函数的基本性质；

②学会从实际问题中建立二次函数的模型；

③借助二次函数的性质来解决实际问题.

知识点03利用二次函数求图形面积的最值问题

一些几何图形的面积与其相关边长成二次函数关系时，可以用二次函数的最值求其最大面

积。

求矩形的最大面积时，通常用含有自变显工的代数式表示矩形的长与宽，根据矩形的面积公

式构造关于X的二次函数，再结合二次函数的图象和性质，利用公式法或配方法求出二次函

数的最大值，同时要注意自变量的取值范围。

知识点04利用二次函数求最大利润问题

（1）利润问题是本节的重点问题之一，在日常生活中经常出现，是考试热点。对于这类问

题，只要审清题意，记住利润问题中的几个公式，便可解决此类问题。

①每件的利润=销售单价-成本单价；

②总利润=总销售价-总成本价=每件利润X销售量。

（2）利用二次函数的最值解答商品销售中的“最大利润”问题时，可采用以下步骤：

①设出自变量，用含自变量的代数式表示销售单价或销售量及销售收入：

②用含自变展的代数式表示销售商品的成本；

③用因变量及含自变量的代数式分别表示销售利润，即可得到函数表达式；

④根据函数表达式求出最值及取得最值时自变量的值，注意结果要符合实际意义及题意。

知识点05利用二次函数解决抛物线型建筑物问题

这类问题所给的问题情境常有一个抛物线型物体，比如拱桥或隧道这些问题都可以通过构造

二次承数的表达式来解决，解决这类问题般是利用数形结合思想和函数思想。

1.一般解题思路

（1）在示意图中建立适当的平面直角坐标系，将题目中所给条件转化平面直角坐标系中的坐

标。

（2）根据图中坐标利用待定系数法求得二次函数的表达式。

（3）由二次函数的性质去分析解决问题，检验问题的结果是否符合实标意义，并作答。

2.卡车过拱桥（隧道）问题

在问题中，抛物线的函数表达式是首要条件，有时函数表达式已经给出，有时需要先求出来,

求出函数表达式后有两种方法可以判断卡车能否从桥下通过：

（1）固定卡车的宽，看桥是否足够高（即相当于已知x的值，根据函数表达式求,，的值，然

后与限制的高的值比较大小）；

（2）固定卡车的高，看桥是否足够宽（即相当于已知），的值，根据函数表达式求工的值，然

后与限制的宽的值比较大小）

H能力拓展

考法（）1求几何图形面积的最值

【典例1】如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m长的篱笆围成一个矩形（ABCD）

花园，这个花园的最大面积是（）

AD

5---------------------C

A.18m2B.12nl2C.16in2D.22m2

【即学即练】如图，四边形ABC。中，ACO若AC+8O=12,则四边形ABC。的面积

最大值为（）

【典例2】如图，在平面直角坐标系"3,中，直线y="（左为常数）与抛物线y=g/_2交

于A、B两点，且点A在〉轴左侧，点P的坐标为（0,-4）,连接PA,PB,则APA5面积的

最小值为（）

\U

A.2遍R.4遍C.473D.6

【即学即练】如果一个矩形的周长与面积的差是定值加（2vmv4）,我们称这个矩形为“定

7

差值矩形如图，在矩形A8C。中，AB=x,AD=yt2（x+y）-^=-,那么这个“定差

值矩形''的对角线AC的长的最小值为（）

A4D考

考法02利用二次函数解最大利润问题

【典例3】某种商品每件的进价为30元，在某时间段内若以每件x元出售，可卖出（10（）-

x）件.若想获得最大利涧，则定价x应为（）

A.357EB.45元C.55元D.65元

【即学即练】某商品的利润），（元）与售价工（元）之间的函数关系式为），=-9+8.什9,且

售价x的范围是1WE3,则最大利润是（）

A.16元B.21元C.24元D.25元

【典例4】某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经过调查发现，

销售单价每降低5元，每天可多售出10件，下列说法错误的是（）

A.销售单价降低15元时，每天获得利润最大

B.每天的最大利润为1250元

C.若销售单价降低10元，每天的利润为1200元

D.若每天的利润为1050元，则销售单价一定降低了5元

【即学即练】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每

天可售出450千克.当售价每涨0.5元/千克时，日销售量就会减少15千克.设当日销售单

价为x（元/千克）（xN30,且x是按0.5的倍数上涨），当日销售量为〉（千克）.有下列说

法：

①当x=36时，y=420

②）'与x之间的函数关系式为丁=-30x+1500

③若使口销售:利润为2880元，且销售量较大，则口销名单价应定为42元/千克

④若使日销售利润最大，销售价格应定为40元/千克

其中正确的是（）

A.①②B.①②④C.D.②®

考法03利用二次函数解拱桥问题

【典例5】如图，某涵洞的截面是抛物线形,现测得水面宽AB=1.6m,涵洞顶点O与水面

的距离C。是2m,则当水位上升1.5m时，水面的宽度为（）

A.0.4mB.0.6mC.0.8mD.Im

【即学即练】如图是抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，顶点离水面2m,当水面宽度增加

到6m时，水面下降（）

A.ImB.1.5mC.2.5mD.2m

【典例6】如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，水面在/时，拱顶（拱桥洞的最高

点）离水面3米，水面宽4米.如果按图（2）建立平面直角坐标系，那么抛物线的解析式是

图（2）

【即学即练】某桥梁的桥洞可视为抛物线，AA=12m,最高点C距离水面4〃?，以A3所在

直线为x轴（向右为正向），若以A为原点建立坐标系时，该抛物线的表达式为

1c4

y=9+3Xf已知点。为抛物线上一点，位于点。右侧且距离水面3加，若以点。为原

点，以平C行于A8的直线为x轴（向右为正向）建立坐标系时，该物线的表达式为

考法04利用二次函数求喷水、投球等实际问题

【典例7】从某幢建筑物2.25米高处的窗口A用水管向外喷水，水流呈抛物线，如果抛物

线的最高点M离墙I米，离地面3米，那么水流落点B与墙的距离06是（）

A.1米B.2米C.3米D.4米

【即学即练】如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安

一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m,

水柱落地处离池中心3m,水管的长为（）

A.2m

B.D

4-6

【典例8】如图，若被击打的小球飞行高度。（单位：m）与飞行时间I（单位：s）之间具

有的关系为h=10t-5t2,则小球飞行的最大高度为in.

【即学即练】如图，以地面为人轴，名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：米）与水平

17S

距离工（单位：米）之间的关系是y=-5/+?工+：.则他将铅球推出的距离是一米.

X分层提分

题组A基础过关练

1.一小球被抛出后，距离地面的高度力（米）和飞行时间，（秒）满足下面函数关系式：/?=

-5胫+20/-14,则小球距离地面的最大高度是（）

A.2米B.5米C.6米D.14米

2.在地球上同一地点，不同质量的物体从同一高度同时卜.落，如果除地球引力外不考虑其

他外力的作用，那么它们的落地时间相同.物体的下落距离〃（m）与下落时间，（s）之间

的函数表达式为其中g取值为9.8m/?.小莉进行自由落体实验，她从某建筑物

抛下一个小球，经过4s后落地，则该建筑物的高度约为（）

A.98mB.78.4mC.49mD.36.2m

3.某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元.若

每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

设每盆多植工株，则可以列出的方程是（）

A.（3+x）（4-0.5.r）=15B.（x+3）（4+0.5x）=15

C.（x+4）（3-0.5x）=15D.（x+l）（4-0.5x）=15

4.如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为矩形的面积为Smt当x

在一定范围内变化时，S随犬的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（）

y

x

A.S=x(5-x)(0<x<5)B.5=x(10-x)(0<x<5)

C.S=x(x-5)(0<x<5)D.S=x(x-10)(0<x<5)

5.某单车公司第一个月投放〃辆单车，计划第三个月投放单车），辆，该公司第二、三两个

月投放单车数量的月平均增长率为元那么），与x的函数关系是（）

A.y=o（l-B.y=〃（l+jv）~C.y=CLX'D.y=x2+a

6.向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为），=加+法+c

（。和）.若此炮弹在第6秒与第18秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的

是（）

A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

7.据了解，某蔬菜种植基地2019年的蔬菜产量为100万吨，2021年的蔬菜产量为>万吨,

如果2019年至2021年蔬菜产量的年平均增长率为Mx>0）,那么丁关于x的函数解析式为

8.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于），轴对称.轴，

最低点C^x?|i|±,CH=1cm,BD=2cm则右轮廓线所在抛物线的函数表达式为一

（不用写x的取值范围）.

9.某商场经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价为25元时,

每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.

（1）若商场每天要获得销售利润2000元，销售单价应定为多少元？

（2）求销售单价定为多少元时，该文具每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

10.如图，ABCD是一块边长为4米的正方形苗画，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的

形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG=2BE.设BE的长为x米.改

造后苗圃AEFG的面积为y平方米.

（1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）；

（2）根据改造方案，改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，

请问此时BE的长为多少米？

题组B能力提升练

1.如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O,B,以点。为原点，水平直线03

为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线产-0.01（x-20）2+4,桥拱与

桥墩AC的交点C恰好位于水面，且4cLi轴，若04=5米，则桥面离水面的高度AC为（）

A.5米D.1.25米

2.如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即OB的

长度）是1米.当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米，水流喷射的最远

水平距离OC是（）

A.20米B.18米

3.飞机着陆后滑行的距离s（单位；米）关于滑行时问“单位：秒）的函数表达式为s=c〃2+/〃，

当滑行时间为10秒时，滑行距离为450米：当滑行时间为20秒时，滑行距离为600米，则

飞机的最大滑行距离为（）

A.600米B.800米C.1000米D.1200米

4.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量），（单位：n^）与旋钮的旋转角度x（单位：

度）（0<.\<90）近似满足函数关系y=aH+bx+c（白和）.如图记录了某种家用燃气灶烧开同

一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶

烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为（）

4y

0.09--------------------f

0.072------♦•

II

0.06------*--------•

O7SsnAOk

A.37.5°B,40°

C.42.5°D.45°

5.如图，四边形ABC。是边长为2的正方形，点E是射线A8上的动点（点E不与点A,

点〃重合），点厂在线段OA的延长线上，且=连接夕'，所.设=4BEF的

面积为）'，下列图象能正确反映出与工的函数关系的是（）

6.某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量）'

（件）马销售单价x（元；之间满足函数关系式），=-51+550,若要求销售单价不得低于成

本，为每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（）

A.90元，4500元B.80元，4500元

C.90元，4000元D.80元，4000元

7.某一型号飞机着陆后滑行的距离），（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数表

达式是y=60x-1.5x2,该型号飞机着陆后滑行的最大距离是.

8.如图所示，用长为21米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度〃为10米），围成中间

隔有一道篱笆的长方形花圃，为便于进出，开了3道宽为1米的门.设花圃的宽48为x米,

面积为S平方米，则S与x的之间的函数表达式为一；自变量工的取值范围为一.

AD

B\———।———L

■/

9.为满足市场需求，某超市在中秋节前夕购进价格为12元/盒的某品牌月饼，根据市场预

测，该品牌月饼每盒售价14元时，每天能售出2（X）盒，并且售价每上涨1元，其销售量将

减少10盒，为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌月饼的售价不能超过20元/盒.

⑴当销伐单价为多少元时，该超市每天销售该品牌月饼的利润为720元；

⑵当销售单价为多少元时，超市每天销售该品牌月饼获得利润最大？最大利润是多少？

10.小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头尸

距地面0.7m,水柱在距喷水头。水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图

所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为），=。（4-其中x（m）是水柱距喷

水头的水平距离，＞'（m）是水柱距地面的高度.

⑴求抛物线的表达式.

（2）爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m,身高1.6m的小红在水柱下方走动，

当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离.

题组C培优拔尖练

I.两个正方形的周长和是10,如果其中一个正方形的边长为。，则这两个正方形的面积的

和S关于。的函数关系式为（）

A.S=/+（三＞B.5=«2+（5--）2

22

C.S=a2+（5—a）2D.S=a2+

2.某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次,

每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减

少3件.如果用相同的工时生产，总获利润最大的产品是第2档次（最低档次为第一档次，

档次依次随质量增加），那么k等于（）

A.5B.8C.9D.10

3.如图，在边长为4的正方形4BCD中，动点尸从A点出发，以每秒1个单位长度的速度

沿A8向8点运动，同时动点Q从8点出发，以每秒2个单位长度的速度沿5C—C。方向

运动，当尸运动到B点时，P,。两点同时停止运动.设P点运动的时间为3△APQ的面

积为S，则S与f函数关系的图象是（）

4.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不

考虑空气阻力，足球距离地面的高度。（单位："。马足球被踢出后经过的时间/（单位：C

之间的关系如表：下列结论不正确的是（）

r01234567...

h08141820201814•・・

9

A.足球距离地面的最大高度超过20〃？B.足球飞行路线的对称轴是直线/=]

C.点（10,0）在该抛物线上D.足球被踢出5s:7$时，距离地面的高度逐

渐下降.

5.2020年6月中旬以来，北京市新冠肺炎疫情出现反弹，北京市民对防疫物资需求量激增.某

厂商计划投资产销一种消毒液，设每天产销量为x瓶，每口产销这种消毒液的有关信息如F

表：（产销量指生产并销售的数量，生产多少就销售多少，不考虑滞销和脱销）若该消毒液

的单日产销利润），元，当销量x为多少时，该消毒液的单日产销利润最大.（）

消毒

每瓶售价（元）每瓶成本（元）每日其他费用（元）每日最大产销量（瓶）

液

30181200+0.02.\2250

A.250B.300C.200D.550

6.如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面

0.8〃?，水流在离喷出口的水平距离1.25机处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径

为的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到

池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75〃?，则应把出水口的高度

调节为高出水面（