人教版九年级数学下册相似三角形专项讲义：模型探究

1.如图，ADUEFUBCAC交EF于点G,若肯=：,EG=2QG,求，的值.

CD3DC

类型二重叠双A

2.如图在△ABC中，MC6=90,BC=2/C=4,若正方形DEFG的顶点D在AB上顶点F,G都在AC上.射线

AE交BC边于点H,求CH的长.

类型三线束双A

3.如图，在口/以〕中，［历IC=9D,正方形DEFG的四个顶点都在匚力区的边上，连接AG,AF分别交DE

于M.N两点

⑴求证:DA4_MN_EN.

BG~GF~CFy

BG

(2)求证：UBGDQUEFC;

(3)W：MN2=DMEN.

1.如图.正方形ABCD的边长为2,P是BA延长线上的一点,连接PC交AD于点F.AP=FD.求为的值.

类型二线束双X

2.如图,AB〃CD.BC与AD交于点0.过点0的直线分别与ABCD交于E,F两点.已知BE=3,CF=5.求当的值

类型三错位双X

3.如图.P是Z8C。的对角线AC上的一点,连接BP并延长交AD于点F,交CD的延长线于点G,且AF=2F

D.

（1球卷的值；

⑵若四边形ABCD是菱形.DP=6.求GF的长.

模型探究3平行相似（三）构A、X型相似（一题多法）

如图，在E4CZ）中,E是AC的中点.直线EH交AD于点H,交CD的延长线于点B.且BC=3BD.3C=3BD.求

肄值•

方法一：过点A作CD的平行线

方法二：过点C作AD的平行线

方法三：过点D作AC的平行线

方法四：过点E作AD的平行线

B

D

方法五：过点A作BE的平行线

模型探究4平行相似(四)构A、X型相似(一题多问)

在△ABC中，ZUC5=90/C=8C,D为BC边上一点.且.BC=〃CD,CE3吁点E.

(2)如图2,n=2.延长BE交AC于点G.求差的值；

Cv

⑶如图3产2,延长CE交AB于点F.求,勺值；

(4)如图4,在⑶的条件下，求为的值；

AD

(5)如图5.延长BE交AC于点G,当G为AC的中点时.求n的值

A

图5

模型探究5母子型相似（一）射影型

图形：

结论：

如图、NACB=900,CHJ_AB于点H.

®AABC^AACH<^ACBH;

入

U46AH4B,BC2=BHL.BA,HC2=HAllHB.

类型一直接利用射影型相似

1.如图在△ABC中,NACB=9()o,CD_LAB十点D.

⑴若AD=2,BD=1,则AC的长为;

⑵若AC=20.BD=9.求CD的长.

类型二构造射影型相似

2.如图，在△ABC中,NACB=90'CDJ_AB于点D,NCAB的平分线分别交BC,CD于E,F两点.

⑴求证:CE=CF;

(2)求证：EFZEA=2CE2.

DB

3.如图.在四边形ABCD41,AB/7CD,ZADC=90°,E%BC±-^,CE=3BE.HAE±DE,gAD=6,^<AE的长.

区

DC

模型探究6母子型相似(二)仿射影型

图形：结论：

如图,NABD=NC.□匚48。0口4。8;

□■=4。

A

Ms

类型一直接利用仿射影型相似

1.(1)如图I,在口44。中,D为AB上一点匚力。。=口反求证：/C2*。口力4;

(2)如图2,在ABCD^P,E为BC上一点，F为CD延长线上一点，且匚BFE=LA.若BF=4,BE=3,求AD的长.

图I图2

类型二构造仿射影型相似

2.如图,AD为△ABC的角平分线,AD的垂直平分线交BC的延长线于点F,交AD于点E.

(1)求证：DF=BFDCF；

⑵若有《求海值

BDF

3.在△ABC中,P为边AB上的一点.

(1)如图1,若NACP=/B,求证：A^APUAB;

(2)如图2,M为CP的中点，二4CRJB=3〃C=2,,求AP的长.

1.如图.在正方形ABCD中,E是AD延长线上一点进接CE,过点E作EF-CEWBA的延长线交于点F.

(1求证：口五花匚口后。。；

(2)若径=)8=4,求AF的长.

类型二构造三垂直型相似

2.如图，□48C=90,"=3乃C=4温线段AB绕点A逆时针旋转a(0<a<90)得至I」线段AD,过点C作射线BD

的垂线，垂足为E,求箸的值.

3.如图.在△ABC中，48=4。,。。口4。,且CD=2AC,延长BC至点E,使□CEZ>150.求证:DE=2BC

1.【问题背景】⑴如图点BCD在同一直线上2B=NACE=ND.求证:△ABCs^CDE;

【问题探究】⑵在⑴的条件下，若C为BD的中点,求证:A^ABUAE.

类型二构造一线三等角型相似

2.如图.在△ABC中.NBAC=120c,AB=AC,点D,E分别在边AC,BC上.且/BDE=120。.

(1球证:NCDEtNABD;

(2)若8E=13历,CE=2v5,求AD的长.

3.如图,NBAC二NADB=45yE〃BD交AD于点E,AE=2,BD=3,求学的值.

模型探究9旋转型相似

结论：

图形：如图，CABCr^ADE.

cABAD

A□—=—；

ACAE'

口［□。4E;

口［历1。口口。£

类型一直接利用旋转型相似

1.（2025湖北中考改编）如图，在X8C中,口/。8=90，将匚力BC绕点C旋转得到［DEC点A的对应点D

落在边AB上，连接BE.

⑴求证：D8CEQDACD;

⑵当BC=2,AC=1时，求BE的长.

C

类型二构造旋转型相似

2.如图在正方形ADBC中,P是边BC上一点,PA绕点P顺时外旋转90得到PE,连接AE,Q为AE的中点，连

接CQ.

(1)求证：4P=v5C0;

(2港力片由CO=v5,求正方形ADBC的边长.

模型探究10十字架型相似

图形:如图.已知矩形ABCDC/nDE于点G.结论：

©△DCF^AADE^AGCD^AGDF;口冷

AD

CD'

1.如图EG,F,H分别是矩形ABCD四条边上的一点，且EQG”.若AB=2,BC=3,=3,求焉的值.

2.如图，四边形ABCD为矩形，以AD为边向上作等边口力。£连接BE.过点C作C小用改AB于点H，交

BE于点G,若AE=2,求BEBG的值.

3.如图，在口/&〕中,[BAC=90,夕=2为AC的中点、过点A作."匚4。,交BC于点F.求喘的值.

/ICqDU

模型探究1平行相似（一）

找A型

1.解:设FG=a,®!JEG=2a.

VEF/7BC,

□AEG"/黯

£G=JE=2

BC~AB~5

BC=lEG=^2a=5a.

VEF/7AD,

/.△CFG^ACDA,

r-=-=3

AD~CA~5

匚AD=^FG=",

空=!

Hc~3

2・解:•・•四边形DGFE为正方形.

；・DG〃EF〃BC,DG=EF,

/.△ADG^AABC,AAEF^AAHC,

DG=AGEF_=AF_

~BC~'AC''a{~'AC

设DG=EF=x,

xAGxAG+x

24'CH4

,v2x+x

CH4

CH=?

3.证明:⑴TDEaBC,

.,.△ADM^AABG,

DM_AM

~BG~~AG

DM_MN

~BG~~GF

DMMNEN

BGGFC尸

(2)VZB+ZC=ZCEF+ZC=90°,

AZB=ZCEF,

又：ZBGD=ZEFC=90°,

AABGD-^AEFC;

(3)VABGD^AEFC,

rDGBG

CFEF

又•・•DG=GF二EF,

DGEF=GF2=CFBG,

[M^=DM3EN.

模型探究2平行相似（二）

找X型

L解:设AP=x.则FD=x,AF=2-x.

•・•在正方形ABCD中.AB〃CD.

AAPAF^ACDF,

=_

解得x]=y[5-1^2V5-1,Vx>0,

匚%=逐一1,

,4F_2-(V5-1)_V5-I

AP~•

2.解:•・・AB〃CD,

.,.△BOE^ACOF,AAOE^ADOF,

BE=OEAE=OE

CF-OF,DF-OF,

一丝=些=3

"DF~"CF-5'

3.解：(l)：四功形ABCD是平行四边形，

，AD=BC,AD〃BC,

VAF=2FD,AAFP^ACBP,

⑵•・•四边形ABCD是菱形，

AAC平分NBAD,AB二AD,

AAAPB^AAPD,

ADP=BP=6,

匚F*BP=4,

FB=FP+BP=IO.

•・・Z3边形ABCD是平行四边形，

.•・AB〃DCGDGF^AABF.

[GF=；BF=5.

模型探究3平行相似（三）

构A、X型相似（一题多法）

方法一：解过点A作AM〃CD,交BE的延长线于点AHM^ADHB,AAEM^ACEB,

lAHAMCEBC,

DHBDyAEAM'

JAM=BC,

「AH_BC

VBC=3BD,

匚业与

方法二:解过点C作CG〃AD,交BE的延长线于点GJU!UBDH-ABCG,AAEH-ACEG,

坦=空”=些

-CG-£V,CG-BC,

VBC=3BD,AE=CE,

AAH=CG.

AH_CG_BC__

"DH~~DH~~Bb~,

方法三:解过点D作DF〃AC,交BE于点F,则△BDFsABCE.AFDH^AEAH,

r—=——=~

而一而，而一茄，

VBC=3BD,AE=CE,

AH_CE_BC

"DH~~FD~~BD~,

方法四:解:过点E作EN〃AD,交CD于点N,则△BDHs△BNE,ACEN^ACAD,

-笠=丝=0=!

AC~7D~CD~2,

,/BC=3BD,

[BD=\CD=DN,

DH_RD_1

EN-8N-2'

Dff_\EN_1

~AD~2EN~\1

r-AH.

匚犷3.

方法五解过点A作AQ〃BE,交CB的延长线于点Q,则今=黑，^=^=1,

nuDUALD\J

VBC=3BD,

・・・BQ=BC=3BD,

lAH、

犷3.

模型探究4平行相似（四）

构A、X型相似（一题多问）

解（1）:ZACB=90°,CE±AD,

/.ACEDIAAEC,

DE_CE_CD

~CE~~AE~~AC'

VAC=BC=2CD.

匚DE=；CE="E,

l—DE=­1•

一AE4'

⑵过点D作DN〃AC,交BG于点N,

.,.△BDN^ABCG,ADENs△AEG.

XVD为BC的中点隼J

At4

"=竺=』竺=竺」

一CG-SC_2'4G一力£-4'

ACG=2DN,AG=4DN,

.\AG=2CG,

⑶过点D作DM〃AB,交CF于点M,/.ACDM^ACBF.ADEMs/\AEF.又丁D为BC的中点空二,

AE4

DM_CD_IDM_DE_I

~BF~'CB~2',~AF~~AE~A'

ABF=2DM,AF=4DM,

-B-F-=_I.

AF2'

（4试点F作FHJ_BC于点H.

VZFCH+ZACE=ZACE+ZDAC=90°,

.*.ZFCH=ZDAC.

AAFCH^ADAC,

CF_CH

~AD~'AC'

VFH/7AC,

£H=AF=2

而一薪一9

-CF=一2•

AD3'

⑸过点A作AP〃BC,交BG的延长

线于点p,则△BCG^APAG,ABDEs/XPAE.

设CD=1个单位长度,则BC=n,由⑴可得等=4

AE/r

又・・・G为AC的中点，

「BCCG1

APAG'

on40_廿BDDE1

即AP=BC=n.-=-=^

〃TI

LU

Vn>0,

模型探究5号子型相似(一)射影型

1.解:(1)由NACB=90°,CD±AB,可证得△ACD^AABC,

/.AC2=ADAB=2x3=6,

4C=倔

(2股AD=x，由AC2=AD/人得2()2=X(X+9),

解得x=16或-25(舍负)，

FCD2=AC2-AD2=202-\62=l2\

/.CD=12.

2.证明:(I)：NACB=9()\CD_LAB,，NCEA+ZCAE=ZAFD+ZEAB=90°.

VZCAE=ZEAB,

，ZCEF=ZAFD=ZCFE,

ACE=CF;

(2)过点C作CHJLAE于点H.

VCE=CF,

，EF=2EH.

由/ACE=ZCHE=90。可证得ZiCHEs/XACE,

匚CE2=EHJEA,

AEFEA=2EHEA=2CE2.

3解:延长AE,DC交于点F.

VAB//CD,

.•.△ABES/^FCE,

匚些=些」

EFCE3'

设AE=a,贝!JEF=3a,AF=4a.

VAE1DE,

/.ZDEF=ZADC=90°,ZDAE=ZFAD,

.•.△DARs/\FAD、

[乂。2=/片二月尸=4。2=36,

・・・AE=a=3(舍负值).

模型探究6母子型相似(二)仿射影型

1>:(1)VZACD=ZB,

NA=NA,

.,.△ADC^AACB,

AD=AC

AC~AB'

LA(?=AD3AB\

(2)V四边形ABCD是平行四边形.

AAD=BC,ZA=ZC

又：/BFE=NA,

ZBFE=ZC,

XVZFBE=ZCBF,

.,.△BFE^ABCF,

BF_BE

BC~BF'

BF1=BE[BC,

16

2.解:⑴连接AF.

VEF是AD的垂直平分线.

AAF=DF,

AZADF=ZDAF,

VZBAD=ZCAD,

AZADF-ZBAD=ZDAF-ZCAD,

AZB=ZCAF,

AAACF^ABAF,

AF_CF

而一方，

[AF2=BFLCF,

[DF2=BFnCF;

⑵•••△ACFSABAF,

AF_CFAC

BFAFAB4'

[BF=.F,CF=：AF,

-£L=2.

L而一布.

3.解:([)•・•ZACP=ZB,ZA=ZA,

/.△APC^AACB,

AC_AP

"AB-7C'

[AC^APUAB;

(2版AP的中点G,连接MG.

设AG=x,贝！]PG=x,BG=3-x.

VM为PC的中点，

GM\AC,GM=^AC=\,

：.NGMP:NACP二NPBM,

/.△GPM^AGMB.

匚G4=GPBG,

即l2=x(3-x),

解得产喑

VAB=3>AP,

JP=2x=3-V5.

模型探究7一线三等角型相似(一)三垂直型

1>:(1)VZFAE=ZCDE=ZCEF=90°,

/.ZFEA+ZCED=ZDCE+/CED=90。，

AZFEA=ZDCE,

/.△FAE^AEDC;

(2)VAFAE^AEDC,

JF=/1£=£F=3

DE~DC~CE~

设DE=X,

则=把一

x42'

解得x=2,

LAF=^x=3.

2解:过点A作AF_LBE于点F.

VAB=AD.

[BF=^BD.

由ZABC=ZAFB=ZBEC=90。,可证得△AFB^ABEC,

BF_AB_3

一5一而_1，

EBF=：CE=；BD,

「BD3

.——

-

CE2,

3.证明:过点A作AF_LBC于点F,过点D作DG_LBE于点G.

VAB=AC,

匚CF=；BC,

EDC£D=150

DG=；DE,

由AF_LBC,CD_LAC.DG_LBE可证得△AFC^ACGD,

CF_AC_1

DG~CD~2,

ADG=2CF,

；QE=2x/C,

ADE=2BC.

模型探究8一线三等角型相似(二)一般型

1.证明:⑴•・•NACD=ZB+ZBAC.ZACE=ZB,

AZBAC=ZECD.

VZB=ZD,

AAABC^ACDE;

(2)VAABC^>ACDE,

lABAC

CD~CE"

又〈CD=BC,

ABAC

BC~CE'

又「NB=NACE,

・•・△ABCs△ACE,

AB_AC

'AC~"AE'

2>:(1)VZABD+ZA=ZBDC=ZCDE+ZBDE,

HZA=ZBDE=120°,

.\ZCDE=ZABD;

(2过点E作EF_LBC交AC于点F.

VZBAC=120°,AB=AC,

LAB=AC=^=15,LC=30,

v3

EDDFE=90+30a=120J.

在RtACEF中.EF=^=2,CF=4,

设AD=x，则DF=ll-x,

ZABD=ZCDE,ZA=ZDFE,

AABAD^ADFE,

"DF~~EFy

:，解得x=5或6,

I\-x2

・；AD的长为5或6.

3.解过点B作BF_LBD交AD于点F,

VZADB=45°,

CQBFD=45=□力。8,

/.BF=BD=3,ZAFB=135°,

VCEZ/BD,

AZCED=ZADB=45°,XVZCED=ZC+ZCAE,

/./C+ZCAR=45°=ZRAC=ZCAF+/RAF,

AZC=ZBAF,

又•••/AEC=NAFB=135。，

/.△AEC^ABFA,

丝="=3

~AC~'AE-2'

模型探究9旋转型相似

1.解：(1)由旋转可彳导AC=CD,CB=CE,NACD=NBCE,

r一—之=一—五’

/.△BCE^AACD;

(2)VBC=2,AC=l,ZACB=90°,-AB7Adi

过点C作CH_LAB于点H,则AD=2AH.

由s,ABC=\ACBC=\AB-

CH得CH=W=*,

AnV5

[