2026年高考数学模拟试卷及答案（四）

高考仿真卷(四)

(时间：120分钟分值：150分)

一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的)

1.若点力(2,1)在抛物线/=200>0)上，/为抛物线的焦点，则/用等于()

A.lB.2

C.3D.4

答案B

解析因为点4(2,1)在抛物线工2=20。>0)上，

所以4=22，即得p=2,

则|4同=1玲1+1=2.

2.已知集合力={-1,0,1},8={1,2,3},下列选项正确的是()

Ax£4是的充分条件

B/£(/n8)是的既不充分也不必要条件

C/W力是xWU8)的必要条件

D/W(408)是{1}的充要条件

答案D

解析当x=-l时，工£力成立，不成立，所以不是的充分条件，故A错误；

因为,4={-1,0,1},B={1,2,3},所以/08={1},

因为工£〃n8),所以x=l,所以所以是的充分条件，故B错误；

因为,4={-1,0,1},B={T,2,3},所以/U8={-1,0,1,2,3},当x=2时，x£(/!U4)成立，但工仁力

不成立，所以工仁力不是x£(/iU8)的必要条件，故C错误；

因为,4C8={1},所以尸1,所以x£{l},所以工£(如8)是x£{l}的充分条件，

由x£{l},可得x=l,所以x£(4n8),所以(4C8)是x£{l}的必要条件，

所以XW(4n8)是x£{l}的充要条件，故D正确.

3.在平面直角坐标系内，点力(0,I),B(b,b),直线/上的单位向量为(%o,9，若48_L/,则h的值为

()

A.4B.-3

C.3或4D,或-3

答案C

解析因为4(0,1),B(b,〃)，则而=(〃，人1),

因为直线/上的单位向量为力(工0,，，

则同=J/+M1，得劭=4

又因为48JJ,

则而J_e,

即48片公()+7(力-1)=0,

当劭=|时，/)』；

3

当M=w时，6=4；

则bg或b=4.

2025

4.已知定义域为R的奇函数/(x)满足/(x+4)=/(x),且当x£(0,1］时，/⑴3号则E/⑴的值为()

/i=1

A.-lB.0

C.1D.l

答案D

解析由题意知，函数人工)是周期为4的周期函数，

则人3)y・l)fl),火4)yo尸0,火2)=火-2尸次2),

则｛2)=0,

则川)+八2)+｛3)+/(4尸0,

当x£(0,1］时，｛1)=汨=1,

因为2025=4X506+1,

20254

故.S/(7)=5O6Z/(/)+/(1)=A1)=1.

1=11=,1

5.已知数列｛的｝满足册且。尸2,则下列说法正确的是()

Aqg

B.数列｛仇｝是周期数列

c.｛WJ是等比数列

D.数列｛七｝的通项公式为册《言

071X

答案D

解析对于由。得〃，

A,1=2,2=Q。1二Ho

的号4,故A错误；

对于C,由品”+1用詈，

得1__5+3_(%+1)+2_1+1

|-T

an+i+l2an+22(an+l)2a“+l'

则数列｛*｝是首项为今公差为T的等差数列，故C错误;

对于B，D，怨加1）筌，

则%+1=^7,解得0尸怒，故B错误，D正确.

074XOrtX

6.已知m>0,曲线）/=85（04与）/=85（3%—9相邻的三个交点构成一个直角三角形，则3等于（）

A.等B.学

C.夜兀D.V371

答案A

解析设曲线厂5•与尸(相邻的三个交点为“(刖，

COSCOS3X—y)Bg，72），。（％3，%），

cosco.v=cos(o)x—T)=^cossx+^sincox=sin(3X—^)=0,

解得4盒，旧，

不妨取QO,1,2,则即=£，M弋，X3号,

诉zV3V3V3

所以乃『，"=-彳，n=y，

贝1J/"一"一（）+3,/。-仁）：由题意得△49C为直角三角形,

所以ABKBGAd即29）2+6=（§）：

解得⑺号.

7.已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和4,高为3百.若该圆台内有一个球，则该球的表面积的最大

值为（）

A.9兀B等

C.277tD.红智

答案B

解析如图，作出圆台的轴截面48c。，要使球的表面积最大，则梯形/18CO内的圆。与力。，CD,BC

相切，取出?，CO的中点分别为G,E,则GE过点。

AGB

设圆。的半径为R,与8C的切点为厂,贝IOE=OF,

因为。E_LCO,OFtBC,

所以△OCE丝△03,

所以CF=CE,作BHLCD,

因为BG-l,C£-4,所以CH-3,而BHTG

由勾段定理得BC=J(3百)2+32=6,

贝ij0G=3®R,

且O32=5G2+OG2=O尸+6产，

BF=BC-CF=BC-CE=2,

即14(3A/5-R)2=R2+22,

解得R考，

则该球的表面积的最大值为

S=4兀火2=4兀x甯甘.

8.已知函数/(X)及其导函数/(X)的定义域均为(0,+8),/(/+产尸汉切2+伏刃]2+工2",且/⑴=1,八1)日，则

八5)等于()

A.)B：

44

J45D£4

答案c

解析因为/M+y2户的)]2+m)]2+打2,且川)=1,令尸产1,

得｛2)=贝)卢伏1)产1=3.

令尸1,得火炉+1尸伏刈

两边同时求导，得207a2+1)=2/V)«x)+2x,

即w+iwaMQ+x,

令I,得八2)=八1)川)+1引得，

313

令尸2,得2八5)=/\2)/(2)+20义3+2—,

故八5)中

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.下列说法正确的是()

A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的中位数为14

B.若随机变量X服从正态分布M3,出)，且P(AW4)=0.7,则户(3〈¥〈4户0.2

C.两人变量的样本相关系数〃的绝对值越接近1,这两个变量的线性相关性越强

D.对具有线性相关关系的变量x,j,其经验回归方程为y=0.3xn,若叵,歹)=(〃?，2.8)»则实数的值是~4

答案BCD

解析对于A,因为一共有10个数据，所以中位数为粤=13.5,故A错误；

对于B.若随机变量工服从正态分布M3.〃).且P(XW4)=0.7,

则尸(X>4)=l-P(XW4)=0.3,则尸(3<XW4)=0.5-P(X>4)=0.2,故B正确；

对于C,样本相关系数的绝对值，I越接近1,两个变量的线性相关性越强，故c正确;

A

对于D,经验回归直线y=0.3x■加过点(又，歹)，

所以2.8=0.3加-机，故m=-4,故D正确.

10.复数Z1,Z2满足Z[+Z2=4,ZI2=8,则()

人.阂忸=8B.|zrz2|=4

C」ZI|+|Z21=4D.T-=1

z2

答案ABD

解析依题意得，复数z”Z2是方程炉4叶8=0的两个根，

x2-4x+8=0可得4=(-4尸-4X8=・16,

解得厂4±*_4广—2土2i,令Z1=2+2i,z2=2-2i,

所以㈤・㈤="T^X"T5=2四X2近=8,故A正确；

|z「Z2|=|4i|=4,故B正确；

|zi|+区|=2无+2鱼=4近，故C错误；

陋鬻H誓H汩出故D正确.

11.已知函数/(x)=lOOOx+lOO和8(工)="。°°1,以下判断正确的是()

A.函数y=/(x)-g(x)在区间(100010000,1OOP。。。。)内有唯一的零点

B.3xe(lOOO10000,+8)时，段)＞虱x)

C.当xWQOOO】。000,+8)时,g(x)^2/(x)

D.存在正实数小当+8)时，对于任意大于1的正实数N,g(x)2/W(x)

答案AD

解析由于x£(0,+8),

当xWl000H)00°时,x0000,^l000,x1000,^l000x<l000x+100,则/&)-g(x)>0,

当x>100时，1001x>lOOQv+lOO,

故当上21OOP。00。时,x00001^l001,x,000,^l001x>lOOOx+lOO,

则以)-g(x)<0,

故必有x°£(l000i°°°°,1001")颐)，使右000汨)+100,故A正确，B错误；

对于任意正实数N>1,

当xX\001/V),0000>100时，X,OOO,>[(1001/V)loooo]ooool-x=^l001x>Ml000x+100),

取所(1001NV。00。，当x£(m+8)时，对于任意大于1的正实数N,虱r)2项x),故D正确;

而当N=2时，a=200210000,故C错误.

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

3

12.已知cosasin(a-^)-sinacos(y?-a)=7,则sin夕=.

答案4

解析由cosQsin(a/)-sin«cos(^-a)=^,

W-sin(/?-a)cosa-cos0-a)sinQ=1,

3

则sin(^-a)cosa+cos伊-a)sina=--t

所以sin/?=sin[(^-«)+«]=-1.

13.已知厂是双曲线C：弓・£1的右焦点，尸是C左支上的一点，A/是圆。：N+(y—2旬2=2上一点，则

\MP\+\PF]的最小值为.

答案4V2

解析设双曲线C的左焦点为丹，连接777PD.

由题知，实轴长2。=2&,F\(・瓜0).。(0,2A/3),

由双由线的定义知，|叩=2a+|PQ|=2五+|PQ|,

则|加尸|+|尸。尸F|-&=|/7斗&+2北+|尸Q|=\PD\+\PFX|+V2,

当尸，D,R三点共线且点。位于品，M两点之间时，也小|+|P/q取得最小值，

且最小值为|^^|+72=76+12+V2MV2.

14.有2〃个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要求所有人握手时手臂互不交

叉，例如〃=2时・，一共有4个人，以1,2,3,4表示，握手两人用一条线连接，共有2种方式，如图所

示.记一次握手中，共有丫对相邻的两人握手，当〃=4时，丫的数学期望E(y)=.

答案y

解析当〃=3时，按顺时针方向把人标记为1,2,3,4,5,6.用(八./)表示，和/握手.

若1和2握手，共有两种方法：(3,4),(5,6)和(3,6),(4,5)；

若1和6握手，共有两种方法：(2.3),(4,5)和(3,4),(2,5)；

若1和4握手，共有1种方法：(2,3),(5,6),

所以一共有5种方法.

当〃=4时，

若1和2握手，剩下6个人，情况同〃=3,共5种方法；

若1和8握手，剩下6个人，情况同〃=3,共5种方法；

若1和4握手，则2和3握手，5,6,7,8之间握手情况同〃=2,一共2种，从而有1X2=2（种）方法;

若1和6握手，由对称性，情况向1和4握手，共2种方法，

所以一共有5+5+2+2=14（种）方法.

其中，共2种方法使得丫=4,

21

P（Y=4）-t

共4种方法使得y=2,

42

共8种方法使得r=3,

P4

尸（丫=3）年

y的分布列为

Y234

241

P

777

故£（K）=2X舁3X*4X#.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步腺）

15.（13分）在△力8c中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量＞=（。，-2b）,〃=（2s内&75cos力）,

且mLn.

（1）求角小（6分）

（2）若△4BC的面积为百，求。的最小值.（7分）

解（I）：/”」_〃，

，2asinA-2百/）cosJ=0,

结合正弦定理可得sin/sin5-V3sin8cos4=0,

:sin8WO,

AsinJ-V3cos^=0,

/.tanJ=V3,

V/ie（o,n）,：.A=^.

⑵由（1）可知

J=V3,

如isnT=^/?C=V3,

234

bc=4,

由a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-bc22bc-bc=bc=4（当且仅当b=c=2时取等号）,

即。的最小值为2.

16.（15分）已知函数/（x）=（x2-ax）lnx+x的图象在点（e,/（e））处的切线斜率为3（e-l）.

(1)求实数。的值；(6分)

(2)求.”)在区间及，2］上的最大值.(9分)

解(1)函数A.v)=U2-«A)lnx+x的定义域为(0,+°°),

求导得/(x)=(2x-4)lnx+x-a+1,

由函数段)的图象在点(e,火。))处的切线斜率为3(e-l),

得/'(c尸(2c-a)lne+e-a+l=3e-3,

所以。=2.

(2)由(1)得加)一(N_2x)lnx+x,/(x)-(2x-2)lnx+x-\-(x-\)(21nx+1),

由/。)=0,得x=l或G，

当仁或1W2时，/(.r)>0,

当为<1时，/(x)<0,

函数©在妆,+)，(1,2］上单调递增，在1)上单调递减，

而G"亲一①殳啧：<2)=2,七)/2)，

所以函数在区间段，2〕上的最大值为2.

17.(15分)设过点41,0),8(-1,0)的动直线儿乙交于点P，小，2的斜率之积恒为1.

(1)求动点2的轨迹。的方程；(4分)

(2)设直线/与曲线。交于点M,M若以MN为直径作圆，该圆恒过点4

(i)请判断直线/是否符合如下的结论①或结论②，并给予证明.

结论①：/过定点；结论②：/的斜率为定值；(7分-)

(ii)是否存在直线/使得△4”N为等腰直角三角形？若存在，靖求出此时△力MN的面积；若不存在，请说

明理由.(4分)

解(1)设点P的坐标为(x,y)(xW±l),直线①%的斜率分别为舟，解

根据斜率的定义可得舟左2Tp

根据斜率之积恒为I,可得名七L

化简可得动点尸的轨迹。的方程为X2，=I(XK±1).

(2)(i)符合结论②.

证明如下：当直线/的斜率不存在时，设直线/的方程为

由题意可得行』=|b1|,解得Q1,不符合题意，舍去.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为尸去+加.

设M(Xi,j“)，N(X29J，2)，X仔±1，冷W/1，

联立该直线与曲线C的方程可得(心1)J2+2切?x+〃?2+］=0,

—1H0,

.2km

:］安二目，

4>0,

若以MN为直径作圆，该圆恒过点力，则等价于

即可得丽・丽=0,

则(即・1)(如1)+7必

=(X「1)(必-1)+优。+〃?)(履2+加)

=(居+1)由必+(公〃-1)8+》2)+〃於+1

_(m2+l)(k2+l)(km-l)2km卜(而+1)(左2一1)_0

~k2-ik2-lk；二1~U,

2

化简可得km+k=0t即可得40或k+m=0.

当什冽=0时，可知直线/恒过定点(1,0),此时不满足题中条件，故舍去.

故NO,即直线/的斜率恒为定值0,因此/符合结论②.

(ii)不存在.

理由如下：根据(i)可得直线/的方程为尸m(/nWO),

22

设A/,N的坐标分别为(-V1+TH,ni),(Vl+mym),

线段MN中点7的坐标为(0,m)，

则直线/7与直线/始终不垂直，由此可得△4WV不可能是等腰直角三角形.

18.(17分)图1是直角梯形48C。，AD//BC,N8=90。，四边形.4ECO是边长为2的菱形，并且N

490120。，以。石为折痕将△口)£折起，使点。到达点G的位置，如图2.

(1)求证：AC{1DE；(4分)

(2)若平面GOEJ•平面48E。，在棱8G上找一点〃，使得点M到平面<OG的距离为甯，并求盟的

值；(7分)

(3)在(2)的前提下，求直线与平面ADC,所成角的正弦值.(6分)

⑴证明取。E的中点0,连接04,0G，四边形/ECO是边长为2的菱形，ZJDC=120°,

则WJ_Z)£OCJQE,

又O/nOG=。，OA,OGu平面04G，

所以DE_L平面OAC^

又力Gu平面OAC\,

所以,4G_!_£>£

(2)解在菱形4ECO中，ZJZ)C=120°,

贝i」ND4E=60。，

所以/氏4E=30。，

所以BE=1,AB=®

因为OCJDE,

所以/力OG即为二面角AOE-G的平面角，

因为平面CQEL平面4BED,

所以N4OG=90。，即。4J_OG，

如图，以点。为原点建立空间直食坐标系，

则4(乃,0,0),8俘，|,0),D(0,-1,0),G(0,0,V3),

故AO=(-V5,-1,0),ACI=(-V5\Q,V3),8ci=(一亨，—1,6),

设西=/苑=（-袅-|九V3A）（O＜；^1）,

设平面4Z）G的法向量为〃=（x，y，z）,

n-AD=—V3x—y=0,

则有n-ACi=—V3x+V3z=0,

可取〃=（1,-百，1）,

因为点M到平面ADC,的距离为普,

|nM*一?入+受2+逐入|_264713

所以

\n\V5V515

解得

所以言

DL\5

(3)解由(2)得MCi=(一1,—1,平)，E(0,1,0),

则而函赤+蔗=(一亨，-1,^)+(0,1,-V3)=(-y,0,一蔓),

|n-MF|_Vio

故|cos〈〃，ME〉|忌W5

所以直线EM与平面/1OG所成角的正弦值为平.

19.（17分）甲参加了一场智力问答游戏，每轮游戏均有两类问题（难度系数较低的A类问题以及难度系数较

高的B类问题）供选择，且每轮游戏只回答两类问题中的其中一个问题.甲遇到每类问题的概率均为右甲遇

到力类问题时回答正确的概率为士回答正确记1分，否则记0分；甲遇到8类问题时回答正确的概率为

回答正确记2分，否则记0分，总得分记为X分，甲回答每个问题相互独立.

(1)当进行完2轮游戏时，求甲的总得分X的分布列与数学期望；(5分)

(2)设甲在每轮游戏中均回答正确且累计得分为〃分的概率为GS).

①证明：[5+1)-/65)｝为等比数列；(5分)

②求G(〃)的最大值以及对应〃的值.(7分)

⑴解