线段的垂直平分线（题型专练）解析版-2024北师大版八年级数学下册

1.4线段的垂直平分线

题型一利用性质求线段长

题型二利用性质求三角形周长

题型一利用性质求线段和的最小值

＜题型二求当三角形周长最小时角的度数

线段的垂直平分线能力提升题

题型三线段垂叁平分线的判定与性质综合

题型四线段垂直平分线（尺规作图）

拓展培优题—题型一线段垂直平分线的综合应用

基础达标题

题型一利用性质求线段长

1.125-26八年级上•辽宁营口•期末）如图，在VA4C中，直线MN为线段/3C的垂直平分线，交AC于点D,

连接4。.若4力=4cm,8O=10cm,则AC的长为（）

D.16cm

【答案】B

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是

解超的关键.

根据线段垂直平分线的性质得到CZ）=4O=10cm,则从。=4力+。。=14€111.

【详解】解：••・直线MN为8c的垂直平分线，

CD=HD=I()cm,

.MC=A£>+CD=14cm,

故选:B.

2.125-26八年级上上海浦东新•期末）如图，已知在VABC中，NC=9O。，MN是A〃的中垂线，ZA=30°,

AM=20cm,则CM=cm.

【分析】本题考资了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的

关键.

根据垂直平分线的性质可得BM=AM=20cm,进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得CM的长.

【详解】解：在VA8C中，ZC=90°,Z4=30°,

：.ZABC=ar,

•••MN是48的中垂线，

BM=AM=20cm,

...NMK4=NA=30。，

.•.N€BM=30°,

.•.CM=g8M=10（cm）,

故答案为：10.

3.（25-26八年级，•山西吕梁•月考）如图，在V/18C中，AB=AC,分别以A,4为圆心，大于;八5的长

为半径画弧，两弧交于。，E两点，作直线OE,分别交AB,BC于点E,D,若N8=36。，AE=3,则

CD=.

【答案】6

【分析】由尺规作图判断出OE是A8的垂直平分线，则度）=4）,AB=2AE=6,进一步得到

NB=/BAD=36。.由AB=AC,结合三角形内角和定理，可证出AC=CD,得到答案.

【详解】解：根据题意可知，。石是A8的垂直平分线，

：•BD=AD,AE=BE,

••.N9=N8A£>=360,AB=2AE=6,

-AB=AC,

."="=36。，

N8AC=180°-ZB-ZC=i80°-36°-36°=108°,

ZCAD=ZBAC-NBAD=108°-36°=72°，

：.ZCDA=180°-/CAD-Z61=180°-72°-36°=72°,

..ZCDA=ZCAD,

CD=AC=6.

故答案为:6.

【点睛】本题考查垂直平分线的尺规作图，垂直平分线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定

理，掌握好尺规作图的操作规范是解题关键.

4.（25-26八年级上•青海西宁・期中）如图所示，点P在/AO8的内部，点M,N分别是点P关于直线。4,OB

的对称点，线段"N交OA,OD于点E,F.若！尸E尸的周K是15cm,则线段"N的长是.

N

【答案】15cm

【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、轴对称的性质等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关

键.根据题意，可得OA和OB分别是线段MP和线段NP的垂直平分线，然后根据“垂直平分线I二的点到线

段两端点的距离相等“，即可得到=ME=PE,结合“！庄户的周长是15cm”，由

MN=NF+EF+EM=PE+EF+FP,即可获得答案.

【详解】解：•••M、尸关JQ对称，N、尸关于03对称,

AOA和OB分别是线段MP和线段NP的垂直平分线，

:.NF=FP,ME=PE,

又•；！庄户的周长是15cm,gpP£+EF+FP=15cm,

:.MN=NF+EF+EM=PE+EFi-FP=\5cm.

故答案为：15c、〃z.

题型二利用性质求三角形周长

1.（25-26八年级上•吉林松原•期天）如图，在VA8C中，AC的垂直平分线交A8于点。，交AC于点E,

连接C。，若A8=12cm,BC=8cm,则△8QC的周长为（）

C.10cmD.20cm

【答案】D

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.

根据ED足AC的垂直平分线，得到AD=CD,再根据BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC,即“J求解.

【详解】解：•「即是AC的垂直平分线，

,\AD=CD,

,/AB=\2cm,BC=8cm,

..△BDC的周长为BO+CD+AC=4。+AD+BC=AB+BC=20cm.

故选：D.

2.（25-26八年级上•吉林・期末）如图，“BC中，AB=AC,钻的垂直平分线交AC于七，连接BE,

AB+BC=6,则.BCE的周长是.

【答案】6

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键.

由趣意知AE=BE,根据△8CE的周长为I3E+CE+BC,通过线段的等量关系，得13E+CE+BC=AB+BC,

计算求解即可.

【详解】解：••・£>£是A8的垂直平分线，

•••AE=BE，

又.AB=AC

••.△BCE的周长为8E+CE+3C=A£+£C+8C=AC+BC=AB+8C=6,

故答案为：6.

3.（25-26八年级上•甘肃天水・期天）如图，在VA3C中,直线m是线段8C的垂直平分线，点尸是直线m

上的一个动点，连接心、PC,若AB=7,AC=5,则△APC周长的最小值是

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握相关知识点的应用是解题的关键.

连接砂，由直线机是线段3c的垂直平分线，则8尸=。尸，又周长为AP+CP+AC=AP+8P+AC,

则当点4P、B三点共线时，4A尸C周长最小，为AB+AC,然后代入即可求解.

【详解】解：连接BP，

•••直线小是线段8c的垂直平分线，

:BP=CP,

4Ape周长为AP+CP+AC=AP+BP+AC,

则当点4P、8三点共线时，△APC周长最小，

••.△APC周长的最小值为AB+AC=7+5=12,

故选：B.

4.（25-26八年级上.全国・期末）如图，在V/WC中，AC=10,BC=6,A5的垂直平分线交于点。,

交AC于点E,则△4C运的周长是.

【答案】16

【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质推出ABCE的周长为8C+AC,进行求解即可.

【详解】解：•••扬是AB的垂直平分线,

AE=BE，

AC=1（）,BC—6,

「.△3CE的周长=8C+8E+CE=8C+A£+CE=3C+AC=10+6=16

故答案为：16

5.125-26八年级上•甘肃天水•期末）如图，在VA3C中，OE是A3的垂直平分线，交3c于D,交AB于E,

连接A。，已知4E=lcm,△AC£＞的周长为10cm,则VAAC的周长是cm.

【答案】12

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是掌握垂直平分线上的点到两端距离相等.

根据垂直平分线的性质得出4B=24E=2cm,AD=BD,进而得出

AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=10cm,即可解答.

【详解】解：•••£＞£是A8的垂直平分线，AE=lcm,

..AB=2AE=2cm,AD=BD，

•・•△.4。£＞的周长为1（）81，

:.AC+CD+AD=AC+CD+BD=AC+BC=10cm,

VABC的周氏=AC+8C+A8=10+2=12cm,

故答案为：12.

6.：22-23八年级下•广西北海•期中）如图，在VAAC中，AC=BC,AB=6,V人BC的面积为12,CDLAB

于点D，直线EF垂直平分8C交AB于点E,交BC于点F,P是线段E尸上的一个动点，则吸的周长

的最小值是.

【答案】7

【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟

练掌握线段垂直平分线的性质.

根据中垂线的性质，得至进而得到P8+尸。=尸。+叩2。。，根据三角形的面积公式求解即可.

【详解】解：在V48c中，AC=BC,CD上AB于点D,

：.BD=LAB,

2

连接PC,如图,

：.PC=PB,

・•.PB+PD=PC+PD>CD,当且仅当点P为CO与所的交点时取等号,

-AC=BC,AB=6,4ABC的面积为12,

SJBC=2ABCD=12,

解得：CD=4,

△PBD的周长PB+PD+BD>CD+-AB=4+3=7

2

故答案为：7.

能力提升题

题型一利用性质求线段和的最小值

1.（25-26八年级上.甘肃武威.期天）如图，在VA5C中,BC=6,V48c的面积为21,的垂直平分线

分别交A4、人C于点M、M若点夕和点。分别是线段和8C边上的动点，连接P。，BP,则.PB+PQ

的最小值为.

AA

cB

Q

【答案】7

【分析】本题考查轴对称最短问题，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最

短问题转化为垂线段最短.

连接AQ,AP,设VABC中BC边上的高为/?,利用三角形的面积公式求出人=7,由题意P8+PQNAQ,

求出4Q的最小值，可得结论.

【详解】解：连接AQ,设VABC中8c边上的高为心

2

/./1=7,

•.•MN垂直平分线段AB,

：.PA=PB,

PB+PQ=AP+PQ>AQ,

・•・当AQ的值最小时，尸3+PQ的值最小，

根据垂线段最短可知，当AQ_L8c时，AQ的值最小，

此时AQ=h=l,

.•・M+PQ的最小值为7,

故答案为：7.

2.125-26八年级上•浙江绍兴•期中）如图，VA4C中，48=AC=10,BO=6,A。是8C边上的中线，尸是AD

上的动点，E是AC边上的动点，则Cb+M的最小值为.

【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，垂线段最短，等积法求线段的长，连接BF,BE,三线合一,

推出=进而得到b+M=8尸+£尸根据垂线段最短，得到当8E_LAC时，BE最小，等枳

法求出3E的长即可.

【详解】解：连接

...M=AC=]0,BZ)=6,A。是3c边上的中线,

••.A。垂直平分BC,8c=280=12,

：,AD=\JAB'—BD~=8‘BF=CF»

CF+EF=BF+EF>BE,

又••£是AC边上的动点，

.•.当8EJ_AC时，8E最小，此时;BCSQ=；AC-BE,即12xB=108E,

:.BE=96,

.•.CF+律的最小值为9.6.

故答案为：9.6.

3.（25-26八年级上•重庆•月考）如图，在VA8C中，BA=BC,B。平分/A3C,交AC于点Z）,点M,N

分别为3c上的动点，若8C=4,△A3。的面积为3,则CM+MN的最小值为.

【答案】3

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，垂线段最短，过点A作A〃_L8C

由等腰三角形的性质可得8。垂直平分AC,即得AM=CM,即得至l」C也+=+可知当AM、N

三点共线且4M_L8C时，CM+MV的值最小，最小值即为AH的长，再利用三角形的面积求出AH的值即

可求解，熟练掌握知识点是解题的关键.

【详解】解：如图，过点A作AHJ_8c于〃，

A

：BA=BC,5。平分NA4C,

：.AD=CD,BD±CD,

・••BD垂直平分AC,

..AM=CM,

:.CM+MN=AM+MN,

当A、M、N三点共线且4W_L6c时，CM+mV的值最小，最小值即为A"的长，

・・•△A8D的面积为3,

S'ABC=2S,A8D=6,

S4/A1H0VC=—2BCAH=—2x4xAH=6,

.-.AH=3,

••.CM+MN的最小值为3,

故答案为：3.

4.（25-26八年级上•河南南阳・月考）如图，在VA8C中，AO_Z3C,点E为边BC上的定点，8=。E，AO=8,

CD=3,A8=17,尸是线段AB上的动点，CF交AD于点、P,则EP+FP的最小值是.

【分析】本题主要考杳了垂线段最短，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，等面积法求三角形的高，推

导出EP+FP的最小值即为V48c中A8边上的高是解题的关键.

先根据垂直平分线的判定与性质可得。?二即，再根据垂线段最短得出EP+FP的最小值即为V4BC中A8

边二的高，利用勾股定理计算出。B，即可得到BC的长，再运用等面积法即可求解.

【详解】解：•••AOJ.8C,CD=DE,

.•.4。垂直平分CE,

：.CP=EP,

EP+FP=CP+FP=CF,

当C、尸、”三点共线，且EP+FP的值最小，最小值为。尸，

•.•在必“IDB中，BD=JAB2・心=>/172-82=15，

.•.80=8+08=3+15=18,

-S^=-BCAD=-ABCF,

BC22

BCAD18x8144

AB1717

144

故答案为：下

题型二求当三角形周长最小时角的度数

1.（2025八年级上•江苏连云港•专题练习）如图，在V/1BC中，A5的垂直平分线分别交A5,BC于点M,

。，AC的垂直平分线分别交AC,4c于点N,K,MZ）,旅的延长线交于点。.连接40,CO,若N8AC=115。,

则/4OC的度数为（）.

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】B

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键.

连接4。，根据垂直平分线的性质和等边对等角可得NA8O=NBAO,ZOAC=ZOCA,即

ZABO+ZBAO+ZOAC+ZOCA=230°,代入/BOC=360°-(Z43O+NBAO+NOAC+/OC4)中，即可求

解.

【详解】解:连接40,

A

•••胡。垂直平分A5,NO垂直平分AC,

:.AO=BO=()C,

:“BO=NBAO,ZOAC=ZOCA,

•••NBAC=ZBAO+ZCAO=115°

:.ZABO+ZBAO+ZOAC+ZOCA=2x115°=230°,

Z.BOC=360°-(ZABO+ZBAO-^ZOAC+ZOCA)=360°-230°=130°,

故选：B.

2.(25-26八年级上•辽宁营口•期末)如图，若NAOB=46。，P为—AOA内一定点，点M在。4上，点N在

OB上，当△PMN的周长取得最小值时，/例PN的度数为()

A.88°B.86°C.84°D.82°

【答案】A

【分析1本题考查轴对称的性质，垂直平分线的性质作点P关于。4的对称点C，作点P关于08的对称点。,

连接CO,OC,OD,CM,ON,得到CM=PM,PN=DN,OC=OP.OD=OP,APM/V的周长

=PM+MN+PN=CM+MN+DNNCD,当点M、N在线段C。上时，△PMN的周长取得最小值，证明

△MOC冬MOP(SSS),得到乙WCO=NM/O,同理可得N8OQ=N6OP,zLNPO=/NDO,再证明

ZCOD=2ZAOB=92°,得到NMCO+NNDO=88。，最后根据

ZMPN=ZMPO+NN尸O=ZMCO+ZND()=88。求解即nf.

【详解】解：作点P关于。4的对祢点C，作点P关于08的对称点。，连接CO,OC,OD,CM,DN,

A

OA垂直、r•分PC,OB垂直,『分PD，

：.CM=PM,PN=DN、OC=OP、OD=OP,

：NMN的周长=PM+MN+PN=CM+MN+DNNCD,

:.当点M、N在线段CO上时，APA/N的周长取得最小值，

•；OC=OP,CM=PM,

:.ZAOC=ZAOP,△MOC^MOP(SSS),

・•.ZMCO=ZMPO,

同理可得NBOD=NBOP,/NPO=/NDO,

•••ZAOB=ZAOP+Z.POB=46°,

/COD=ZAOC+ZAOP+ZBOD+ZBOP=2(ZAOP+NPOB)=92°,

••・NOCD+NODC=1800-ZCOD=88。，即ZMCO+/NDO=88°,

:.ZMPN=ZMPO+ZNPO=NMCO+ANDO=88°,

故选：A.

题型三线段垂直平分线的判定与性质综合

I.(25-26八年级上•安徽合肥・期中)如图，AC=AD,3C=8D,点E是线段A8上任意一点，连接CE,

DE.求证：EC=ED.

【答案】见解析

【分析1本题考查线段垂宜平分线的判定，熟练掌握线段垂直.平分线的性质与判定是解题的关键.

连接C。，证得A8是线段C。的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得EC=£D即可.

【详解】证明：连接C。，

「.4在线段CO的垂直平分线上，B在线段CO的垂直平分线上，

即AB是线段CD的垂直平分线，

;£在A8上，

/.EC=ED.

2.(25-26八年级上•福建三明・期末)如图，在VABC中，。是AC上的一点，连接4),作交/W于

点E,。//AC交AC于点片且4。平分/B4C,连接£7L

(1)证明：4。垂直平分族.

(2)若VA8C的周长为18,面积为24,BC=6,求。E的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)4

【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定和性质，垂直平分线的逆定理.解题的关键在于

对知识的灵活运用.

(1)证明△人日注可得小=瓶，DE=DF,从而得到点A和点。在E尸的垂直平分线上，即可.

(2)首先求出A8+AC=12,再证明=OE,ZAED=ZAFZ)=90°,然后根据面积法进行求解即可;

【详解】(1)证明：：DELAB，DF1AC,

:ZAED=ZAFD,

•••A/)平分NBAC,

•••ZEAD-NFAD,

在△AED和△A/TTlL

ZAED=ZAFD

，ZEAD=ZFAD,

AD=AD

:.^AED名△AF£>(AAS),

.'.AE=AF,DE=DF,

•••点A和点。在E尸的垂直平分线上，

•••AD垂直平分£尸.

(2)解：•••VA8C的周长为18,BC=6,

AB+AC-12,

rh(1)得VAD&VAPF,

^AED-^AFD-90°，

:.S\NC=-ABDE+-ACDF=^DE(AB+AC)=24,

222

」OExl2=24,

2

:DE=4.

3.(25-26八年级上•河南洛阳•月考)如图，在VABC中，8c的垂直平分线分别交A8,BC于点、M,N,

ADJ.8C于点、D,交4D于点E.

⑴若四=7,AC=5,求△4MC的周长.

⑵求证：点M在线段AE的垂直平分线上.

【答案】(D1MC的周长为12

(2)证明见解析

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，利用线段垂直平分线的性质得到

线段相等是解题的关键.

(1)利用线段垂直平分线的性质得知8=MC,将△AMC的周长转化为AB+AC即可得出；

(2)先由=得出N3=NMC3,再结合4。工BC利用余角性质得到N3AO=NOEC,利用对顶角相

等得“£C=ZA£M,进而得NM4E=NAEM，由等角对等边得MA=ME，根据到线段两端距离相等的点

在线段的垂直平分线上即可得证.

【详解】(I)解：:MN是线段BC的垂直平分线，

：MB=MC,

vA£?=7,AC=5,

••.△AMC的周长=4A/+MC+AC=AM+M3+AC=A4+AC=12；

(2)证明：由(1)得MB=MC,

;.NB=NMCB.

.ADJ.BC,

.'./LADB=ZADC=^°,

••.NB4£>+N8=900,/DEC+ZMCB=90。,

ZBAD-ZDEC,

,•/DEC=ZAEM,

：ZMAE=ZAEM，

•・•点M在线段AE的垂直平分线上.

4.(25-26八年级上•江苏无锡力考)如图，在VA3C中，A8边的垂直平分线4交3c于点。，AC边的垂直

平分线4交8C于点E,4与4相交于点。，连接OB,OC.

(1)若VAD石的周长为10cm,线段3c的长为；

(2)判断点O是否在8c的垂直平分线上，并说明理由;

(3)若N8AC=130。，求/ZM石的度数.

【答案】(l)10cm

(2)点。在8C的垂直平分线上，理由见详解

⑶/aAE=80°

【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分

线上的点到线段两个端点的距离相等.

(I)根据垂直平分线的性质得出=EA=EC,求出8C=3O+OE+EC；

(2)根据垂吏平分线的性质得出。4=。8,OA=OC,推出08=0C,即可证明点。在BC的垂宜平分线

上；

(3)根据三角形内角和得出NA6C+NACB=50。，根据等腰三角形的性质得出,

ZEAC=ZACI3,根据ZDAE=ABAC-NBAD-ZEAC求出结果即可.

【详解】(1)解：是A8边的垂直平分线，

:.DA-DB，

•.4是AC边的垂直平分线，

EA=EC,

的周长为10cm,

:.BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=10(cm)；

故答案为：10cm；

(2)解：点。在的垂直平分线上，

理由：是48边的垂直平分线，

:.0A=OB,

•.4是AC边的垂直平分线，

：.OA=OC,

：OB=OC,

.•.点。在BC的垂直平分线上；

(3)解：•••N4AC=130°,

:.ZABC+ZACB=180°-130°=50°,

・U是A3边的垂直平分线，

•••DA-DB，

•.4是AC边的垂直平分线，

：.EA=EC,

；"AD=ZABC,N£4C=ZACB,

.-.ZfiAZ>+Z£XC=50°

NDAE=ZBAC-(ABAD+ZEAC)=130°-50°=80°.

5.125-26八年级上•安徽安庆・月考)如图，在VABC中，边AB的垂直平分线分别交48,8c于点M,D,

边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N,E,MD,被相交于点。，连接BO,CO.

(1)试判断点。是否在8c的垂直平分线上，并说明理由；

(2)若N84C=105。，求/3OC的度数.

【答案】(1)点。在8c的垂直平分线上，理由见解析

(2)150°

【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质和判定，根据

题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

(1)连接。A,根据线段垂直平分线的性质可得。A=O4,Q4=OC,从而可得04=0C,然后利用线段

垂直平分线性质定理的逆定理即可解答；

(2)因为OA=O8=OC,根据“等边对等角”得=NO4C=NOC4.

则可得NQ8A+ZOC4=ZBAC=105°,由三角形内角和可得NBOC的度数.

【详解】(1)解：点O在BC的垂直平分线上，理由如下：

连接AO,如图.

EN分别是AB,AC的垂直平分线,

二根据线段垂直平分线的性质可得,OA=OB,OA=OC,

:.OB=OC,

•・•点。在BC的垂直平分线上:

(2)解：-OA=OB=OC,

/.ZOAB=ZOBA,ZOAC=ZOCA,

/.ZOAB+ZOAC=AOBA+NOCA,

•/zMC=105°,

/.ZOBA+ZOC4=ZBAC=105°,

ZAOB+NOAB+NOBA=ZAOC+ZOAC+ZOCA=180%

/.(ZAOB+NOAB+NO8A)+(ZAOC+ZOAC+ZOCA)=360°,

/.ZBOC+/BAC+(ZOBA+ZOCA)=360°,

即Z^OC+105°+105°=360°，

/.ZBOC=360°-(NOBA+NOC4)-NBAC=150°,

即ZBOC=150°.

6.(25-26八年级上•河南信阳•月考)如图1,ZABC=ZADC=90c,AC与B。相交于点E,ZABD=ZADB.

图1图2

(1)如图1,求证：AC垂直平分8D；

(2)如图2,在图1的基础上，过点8作8尸〃C。交C4的延长线于点尸，如果A8=A尸，求证：小BCD是

等边三角形；

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定、线段垂直平分线的判定、三角形外角的性质、直角三

角形的性质以及等边三角形的判定.

(1)根据等角对等边可求=CB=CD,再运用垂直平分线的判定定理和两点确定一条直线即可证

明AC垂直平分60.

(2)根据等腰三角形性质和三角形外角性质可知N84C=2N八再通过平行线性质和直角三角形性质可求

ZBAC=2ZACB,利用三角形内角和求N8CO=60。，最后通过等边三角形的判定定理即可求证.

【详解】(1)证明：•.•ZABD=ZADB，ZABC=ZADC=90°,

.\AB=ADrZABC-ZABD=ZADC-ZADB,

二.A在4/)的垂直平分线上，4CBD=4CDB,

:.CB=CD

.•.C在BD的垂直平分线上，

・•/C垂直平分BO.

（2）证明：设/产=a,

,/AB=AF，

;.ZABF=NF=a,

•・•NB4C是z\A卯的外角，

ZBAC=ZF+ZABF=2a,

由（1）得AC/3O,CB=CD,

:.ZBCE=ZDCE,

-BF//CD,

ZF-ZZX7E,

：.ZF=ZBCE=a,

•/Z4BC=90°.

/.NBCE+NBAC=9（）。，

即4+27=90。解得a=300.

.\ZDCB=2ZBCE=60°,

又YBC=CD,

.•.△BC。是等边三角形.

题型四线段垂直平分线（尺规作图）

I.（25-26八年级上•黑龙江齐齐喳尔•期中）如图，在RtZSABC中，ZC=90°,/3=28。，根据尺规作图的

痕迹，则的度数是（）

A.52°B.57°C.59°D.62°

【答案】C

【分析】本题主要考查垂线与角平分线的尺规作图及直角三角形的性质，熟练掌握垂线与角平分线的尺规

作图及直角三角形的性质是解题的关键；由作图可知：4。平分NC48,DEJ.AB，由题意易得

ZC4B=90°-ZB=62°,则有N£>A8=，NC48=3I。，然后问题可求解.

2

【详解】解：由作图可知：力力平分/CAB,DEJ.AB,

•••NC=90。，NB=28。,

ZCAB=90。-/B=62°,

•••AZZ'F分2G44,

：.Z.DAB=-^CAB=3\0,

2

：DE上AB、

:.ZADE=90°-/DAB=59°；

故选：C.

2.（25-26九年级上•四川成都・月考）如图，已知等边V48C边长为4,点。是边上一点，BD=l,以点

A为圆心，8。的长为半径画弧交AC于点E,连接OE,分别以点E和点。为圆心，大于（OE的长为半径

画弧分别交于点G和点“，作直线G"交AO于点尸，则律的周长等于.

【答案】4

【分析】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读

懂图象信息.

证明田=小，证明的周长=AD+AE,可得结论.

【详解】解：由作图可知，G"垂直平分线段OE,

:.FD=FE，

•.•等边VA8C边长为4,

/.AB=AC=4,

•••以点A为圆心，BO的长为半径画弧交AC于点E,

：.BD=AE=\,

:.AD=AB-BD=3,

二.所的周长=4P+E/+AE=AF+FZ）+A£=AO+AE=3+1=4；

故答案是：4.

3.（25-26八年级上•全国•课后作也）如图，已知直线44及A8外一点P.求作：经过点P且垂直于43的直

线.

•P

AB

【答案】见解析

【分析】本题考查了作垂线（尺规作图），解题关键是掌握作垂线（尺规作图）.

以P为圆心大到P到"的距离为半径作圆弧，交AB于两点,以这两点为圆心，同样长度为半径，在48下

方作圆弧，两圆弧交于点C,连线PC,PCA.AB,以此求解.

【详解】解：如图，PCLAB,直线PC即为所求作.

4.（25-26八年级上•江苏盐城•期末）如图，VA8C中，AB=AC,ZA=120°.

A

BC

（I）作边A4的垂直平分线。£,与A/3BC分别相交于点Q,E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写

作法）;

（2）在（1）的条件下，若8石=2,求8的长.

【答案】（1）见解析

（2）4

【分析】本题考查线段垂直平分线的性质及其画法、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、含30度角

的直角三角形的性质，正确画出线段垂直平分线是解答的关键.

（1）根据线段垂直平分线的尺规作图步骤画图即可；

(2)先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得N8=NC=30。，根据线段垂直平分线的性质得

到AE=8石=2,则N84E=N6=30。，ZC4£=90°,然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可.

【详解】(1)解：如图所示，直线OE就是所求.

(2)解：连接AE,

因为NA=120。，且A4=AC,

所以NB=NC=(180°—120°)+2=30。，

因为OE是线段AB的垂直平分线，BE=2,

所以AE=8E=2,

所以NZMK_N»_30°,

则/6£=120。-30。=90。，

在RtZ\C4E中，ZC=30°,

所以CE=2AE=4.

5.(25-26八年级上•山东德州♦月考)如图，在VA3C中，AB=AC.

(1)尺规作图：作A8的垂直平分线交BC于点。(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，若4>=8,求N84O的度数.

【答案】(1)图见详解

(2)/BAD=45。

【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合儿何图形的基

本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰三

角形的性质.

⑴利用基本作图作A3的垂直平分线即可；

(2)先根据线段垂直平分线的性质得到4)=8。，由于AO=8,所以加>=8,再根据等腰三角形的性

质得到AO/8C,所以△A8D为等腰直角三角形，从而得到NBA。的度数.

【详解】（1）解.：如图，点。为所作；

（2）解：・.•四的垂直平分线交BC于点力,

AD=BD，

•/AD=CD，

BD=CD,

VAB=AC,

：.AD1BC,

:.ZADB=90°,

.•.△ABQ为等腰直角三角形，

ZR4D=45°.

6.（25-26八年级上•安徽黄山•期中）如图，在数学活动课上，小明剪了一张VA3C的纸片，其中4=60。,

他将VA4c折叠压平使点A落在点B处，折痕OE,。在A8上，E在AC上.

（1）请作出折痕。£;（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.）

（2）连接应:，若AE=5,△BCE的周长为12,求V4BC的周长.

【答案】（1）见解析

⑵17

【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质等知识点；

熟练掌握翻折变换的性质、证明三角形是等边三角形是解题的关键.

（1）如图：作A8的垂直平分线OE,垂足为。，交AC于E,OE即为所求；

（2）由线段垂直平分线的性质得出AE=8E,由4=60。可证△ABE是等边三角形，则AE=8E=5：进而

得到得出度+47=12,由等边三角形的性质得出A8=AE=5,即可得出VABC的周长.

【详解】（1）解：如图，。石即为所求.

B

H

C

(2)证明：由题意知:力E垂直平分

/.AE=BE，

-,-Z4=60°,

:AABE是等边三角形,

AB=AE=5,

QV8CE的周长为12,

8C+BE+CE=12,

•.AE=BE,

BC+AE+CE=]2,

BC+AC=12,

.•.△A4C的周长为BC+AC+A8=12+5=17.

7.(25-26八年级上•广东湛江•月考)操作与探究：三角形边与角的不等关系

【问题提出】我们知道：在一个三角形中，等边对等角，等角对等边.那么在一个三角形中，大边对大角，

大角也会对大边吗？

【探究一】在一个三角形中，大边对大角.

(1)已知：如图，在VABC中，AB>AC.求证：ZACB>ZABC.

小亮的研究思路是利用轴对称的性质，把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相

等的问题，具体做法如下：作—84C的角平分线AO,交BC于点D,在A5边上截取AE=AC,连接£>£.请

在图中用无刻度的直尺和圆规作出以上辅助线(保留作图痕迹，不写作法)并写出证明过程.

【探究二】在一个三角形中，大角对大边.

(2)已知：如图，在VABC中，ZACB>ZABC.求证：AB>AC.

类比小亮的研究思路，在图中用无刻度的直尺和圆规添加辅助线（保留作图痕迹，不写作法）并写出证明

过程.

【答案】（1）图和证明过程见详解；（2）图和证明过程见详解

【分析】本题主要考查角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三角形外角的

性质及三角形三边关系，熟练掌握角平分线与线段垂直平分线的尺规作图、全等三角形的性质与判定、三

角形外角的性质及三角形三边关系是解题的关键；

（1）根据角平分线的尺规作图及线段的尺规作图进行作图，然百可得注△AEO（SAS）,则有

ZACB=ZAED,进而根据三角形外角的性质可进行求解；

（2）作线段4C的垂直平分线交线段A5于点F,由题意易得=则有人8=八尸+。尸，然后根

据三角形三边关系可进行求解.

【详解】解：（1）作284。的角平分线AO,交8C广点Q,在A3边上截取AK=AC,连接DE,如图所

示：

:.NCAD=ZEAD=-ABAC，

2

在和中，

AC=AE

<NCAD=/EAD,

AD=AD

ACD^AED(SAS),

:.ZACB=ZAED,

vZAED=ZABC+NEDB=ZACB,

：.ZACB>ZABCx

（2）作线段BC的垂直平分线仞V,交线段48于点片如图所示:

:.BF=CF,

-AB=AF+BF,

..AB=AF+CF,

在△Ab中，根据三角形三边关系可知：AF^CF>AC,

:AB>AC.

c拓展培优题.

题型一线段垂直平分线的综合应用

1.（25-26八年级上湖北武汉•月考）如图，在\ABC中，A8=8C,ZABC=30。，点。为AC中点，连接8。,

点、E、点产分别为B。、48上两幻点，过点/作FH_L8c于点H,当AE+EE+H7取最小值时，BH=4,

则VA4C的面积是（）

【答案】D

【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定

与性质及等边三角形的判定与性质.连接CE，过A8作点。的对称点O,连接08,过点/作RV±BO于

点M作CPJ.BO于点P,利用对称的性质当点C,E,F,N,P共线时，AE+M+FH取得最小值，设CO,

AB交于点Q,证明aR5壮△在8〃（AAS）,求得BN的值，再进一步证得△OBC为等边三角形，从而得到A8

的值，由于C,。关于48对•称，可求出的值，最终利用三角形面积公式求得结果.

（详解］解：如图，连接CE，作点C关于AB的对称点。，连接0B,过点/作FN±BO于点N,作CP±BO

于点尸，

由对称可知，BO=BC,ZABO=ZABC,

•:AB=BC,NABC=30。，点。为AC中点，

.■.BD±ACr即81）垂直平分AC,

'.AE=CE,

•••FHA.I3C,FNA.130,ZABO=ZABC,

：.FN=FH,

..AE+EF+FH=CE+EF+FN>CP,

•••两点之间线段最短，垂线段最短，

当点、C,E,F,M尸共线时，AE+EF+切取得最小值，此时点。与点N重合,

如图，设CO,AB交于点、Q,

:FHtBC,FPA.BO,

:ZPB=NFHB=9Cf,

在和中,

/FPB=NFHB=9U。

ZABO=NABC,

BF=BF

△FBP^AFB/7（AAS）,

:.BN=BH=4,

：ZAl3O=ZABC=30°,

.­.ZOZ^C=30°+30°=60°,

又•.8O=BC,

••.△O8C为等边三角形，

•••CO=BO,

:.BO=BC=BA=CO,

.CPJ-BO,

.-.BO=2BN=S,

:.BO=BC=BA=CO=^,

•：C,。关于AB对称，

..C2=：CO=4,CQA.AB,

•••5AABC=^5CC=1X8X4=I6-

故选：D.

2.（24-25八年级上•江苏苏州•期中）如图，VABC中，NAC8=90。，BC=3,AC=4,点。是48的中点,

将沿8翻折得到△口%）,连接AE、BE,则线段跖的长等于.

【答案】|

【分析】如图，延长。。交AE于点”，由勾股定理求得A8=5,由直角三角形斜边上的中线等于斜边的-

半可得人力=4。=。。=3人4=|,由翻折的性质可知AC=CE,AD=DE，ZACH=ZECH,可得C，是

AE的垂直平分线，得到NAHC=90。，AE=2A〃，设DH=x，则CH=|+x,在RMAC”和RsAD”中，

由勾股定理得A42=AC2一C〃2=AO2"〃2,即得到42—2+工=2一/，解得x=j得到

【2)⑶105

24

4E=G"，由A力=DE=8D,得到ZDAE=ZDEA,ZDEB=ZDBE，进而得到ZA£8=NDEA+4DEB=90°,

最后利用勾股定理计算即可求解.

【详解】解：如图，延长C。交4EJ，点〃，

在RtZXABC中,由勾股定理得"一J4c2+pc?一万一5,

•・・。为A4的中点，

..AD=BD=DC=-AB=-f

22

由翻折的性质可知，AC=CE,AD=DE,ZACH=ZECH,

・••CH是AE的乖直平分线，

ZAHC=90°,AE=2AH.

iS.DH=x,PIOC/7='|+^,

在RSACH中，由勾股定理得AH2=AC1-CH1=4之一(|+:

2

在Rt△皿/中,由勾股定理得A，2=A£>2-0彳=(|)_X,

5

；AD=DE=BD，

:ZD^E=QEA、ZDEB=ZDBE,

•••Z.DAE+Z.DEA+NDEB+NDBE=180°,

:.ZAEB=ZDEA+NDEB=90°,

BE=>JAB2-AE2=.52-f—1=-»

VUJ5

故答案为：p

【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，

线段垂直平分线的判定