一元二次方程的应用 同步练习-2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章•一元二次方程

6一元二次方程的应用

第1课时一元二次方程的应用一图形面积及方案设计问题

夯基础

1.如图所示，某景区内有一块长方形油菜花田地（图中单位：m）,现在其中修建一条观花道

（阴影部分）供游人赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的;•设观花道的直角

边（如图所示）为xm,则x的值为（）

2.小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成

一个无盖的长方体盒子（如图）.如果这个无盖的长方体底面积为81cn?,那么剪去的正方形

边长为（）

A.2cmB.Icm

C.0.5cmD.0.5cm或9.5cm

3.我国古代著作《算法统宗》中记载：“今有方田一段，圆山一段，共积二百五十二步，只

云方面圆径适等.问方（面）圆径各若干?”意思是：现在有正方形田和圆形田各一块（如图所

示），面积之和为252,只知道正方形田的边长与圆形田的直径相等.问正方形田的边长和圆

形田的直径各为多少?设正方形田的边长为x,则可列出方程为（）

第3题图

A.+nx2=252B.x2+nx2=252

C/+7T仔)=252D.2x2+2nx2=252

4.如图，某小区在一块长为16m,宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中

一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得

小路占地面积为40求小路的宽度.设小路的宽度为xm,甲、乙两位同学分别得到如下

方程:

甲:(16-2x)(9-x尸16x9-40;

乙：9x2x+16x-x2=40.

其中正确的是()

A.甲对、乙不对B.甲不对、乙对

C.甲、乙均对D.甲、乙均不对

5.用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏，建成如图所示的黄河特色文化

生态园，中间用围栏隔开.由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米（围栏自身的宽忽

略不计）.若生态园的面积为144平方米，生态园垂直于墙的边长为一米.

6.《燕几图》是北宋文字学家、书法家、书学理论家黄伯思所编著的杂黑丛书，其中“燕

几''即宴几，如图1.书中名称为“回文”的一套燕几的拼合方式如图2所示，共包括两张长

桌、两张中桌和三张小桌，且每张桌面的宽都相等，若该燕儿的面积为72正，则这些桌

面的宽度为m.

图1图2

第6题图第7题图

7.如图，小区工人用长为17m的围栏将一块荒地改造成矩形种植园，种植园的一面靠濡

（墙的最大可用长度为9m）,且为了方便出入，在AB段用其他材料做了一扇宽为1m的门.

若种植园的面积为40m2则围栏AD段的长为—m.

8.数学杨老师与学生学习一元二次方程的应用中关于面积的问题时，他指导学生制作一个

有盖的长方体盒子.他用一块长30cm,宽12cm的矩形纸板，为了合理使用材料，小凯同学设

计了如图的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，

问能否裁剪并折出底面积为104cnf的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）?如果

能，请你求出裁去的左侧正方形的边长：如果不能，请说明理由.

第8题图

9.如图，利用一面墙（墙的长度不限），用20m长的篱笆围成一个矩形场地ABCD.

（1）若矩形场地的面积为48nf,求AB的长；

（2）该矩形场地的面积能否为60m2?，若能，求出AB的长；若不能，请说明理由.

第9题图

能力

10.我国古代数学家赵爽（公元3〜4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记

载过一元二次方程正根的几何解法，以方程x2+2%-8=0即x（x+2）=8为

例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是（（%+%+2尸,同时第10

它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4x8+22,因此（x+x+2尸=4x

8+22,所以x=2.则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程%2-4%-5=0正根的几

何解法的构图是（）

ABCD

11.如图1,将面积为16的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所

示的矩形ABCD,则AB长为_.

图1图2

第11题图

第2课时一元二次方程的应用一数学模型a(x±771)2=b问题

夯基础

1.学校统计今年近视学生人数是前年近视学生人数的80%,那么这两年平均每年近视学生

人数降低的百分率是多少?设平均每年降低的百分率为x,根据题意列方程得()

A.1-=80%B.(1+xY=80%

C.l-2x=80%D.(1-x)2=80%

2.安徽省2023年人均GDP是7.03万元,2024年人均GDP是7.68万元.设人均GDP年立均

增长率是x,根据题意可列方程为()

A.7.03(l+2x)=7.68

B.2x7.03(l+x)=7.68

C.7.03(1+x)2=7.68

D.7.03(1+x2)=7.68

3.有2人患了流感，经过两轮传染后共有98人患了流感，设每轮传染中平均一人传染了x

人，则x的值为()

A.5B.6C.7D.8

4.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其

意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘(鱼取1.4).

假设每天“遗忘”的百分比为x,根据“两天不练丢一半”，有下列说法：

甲：可列方程(1一口2=]

乙:可列方程l-2x=50%;

丙：每天“遗忘”的百分比约为30%；

T：每天“遗忘”的百分比约为25%.

其中正确的是()

A.甲、丙B.甲、丁C.乙、丙D.乙、丁

5.根据乘联会(简称CPCA)数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势.2025年

1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到

241.8万辆.若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x,依题意，可列出

方程为()

A.74.4+74.4(l+X)+74.4(1+X)2=241.8

B.74.4(l+3x)=241.8

C.74.4(1+x)2=241.8

D.74.4x3(l+x)=24L8

6.有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有36人患了流感，设每轮传染中平均一个人传

染了x个人，对于甲、乙、丙三人的说法，下列判断正价的是()

甲：第1轮后有(x+1)个人患了流感

乙：第2轮乂增加x(x+l)个人患流感

丙：依题意可列方程l+x+/=36.

A.甲错，丙对B.甲对，乙错

C.甲对，丙错D.乙和丙都对

7.A1技术的应用越来越广泛，某AI应用软件2025年2月其点击率达到5.25亿次，2025

年4月其点击率达到7.56亿次，设点击率从2月到4月的月平均增长率为x,则可列方程

为.

8.在中考前，班级每位同学向其他同学赠送1件纪念品，结果共有互赠纪念品1260件，求

该班级的学生数，设该班的学生有x人，那么可列出方程为•

9.据国家统计局公布的《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》，我国原

油产量从2021年到2023年增长了5.1%,设这两年的平均增长率为x,依题意可列方程

为.

1().随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为L6万人，5月

份游客人数为2.5万人.

(1)求这两个月该景区游客人数的月平均增长率;

(2)预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率.已

知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天FI均接待游客人数

最多是多少万人？

11.在国家积极政策的鼓励下，中国新能源汽车的市场需求呈螺旋式上升，某汽车企业2023

年到2025年这两年间A型汽车年销售总量增加了60%,年销售单价下降了10%.

(I)设2023年销售A型汽车总量为a万辆，销售单价为b万元，请用代数式填表：

年销售A型年销售A型年销售A型

年份汽车总量/万汽主单价/万汽车总额/亿

辆元元

2023ab①

20251.6a0.9b②

(2)该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率相同，求年增长率.

练能力

12.经统计，某景区去年5月的游客人数比4月的游客人数增加60%,6月的游客人数比5

月的游客人数减少了10%.求该景区去年5月份、6月份游客人数的月平均增长率.

13.为加快数字化城市建设，规范居民安全用电行为，某市计划新建一批智能充电桩，第一

个月新建了150个，随着居民对智能充电桩需求量的增加，到第三个月新建充电桩216个.

(1)求这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率；

(2)若市场上有A,B两种充电桩，A种充电桩的价格是每个0.5万元，B种充电桩的价格是

每个0.7万元.该市决定再追加购买A,B两种充电桩共100个，且A种充电桩的个数不超

过B种充电桩的个数，求本次追加购买最少花费多少钱?

第3课时一元二次方程的应用一营销问题

基础

1.山西剪纸是一项古老的民间艺术，有极高的审美价值.某经销商销售“广灵剪纸”“浮山剪

纸”“晋城剪纸'"'中阳剪纸”等礼盒，进价均为每盒50元，售价为每盒70元，平均每天可售

出100盒，经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20盒.若该经销商想要

平均每天获利2240元，则每盒剪纸礼盒应降价多少元?设每盒剪纸礼盒应降价x元，根据

题意可列方程为()

A.(70卜k-50)(100"x20)=2240

B.(70-%-50)(100+；x20)=2240

C.(70-X-50)(100-^x20)=2240

D.(70+%-50)(100-：x20)=2240

2.某商店将进货价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可售200件.通过调查发现，该商

品若每件涨0.5元，其销量就减少10件.售价为一元时，每天的利润可得到700元.()

A.13B.15C.13或15D.10

3.某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1C00

个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100

个.当该商品的售价定为一元/个时，月利润为9600元.()

A.32B.28

C.32或36D.32或28

4.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗.园林公司规定：如果购买树苗

不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1

棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元.若该校最终向园林公司支付树苗款8800元,

设该校共购买了X棵树苗，则可列出方程为.

5.暑假期间，某商场购进一批价格为40元的文化衫，根据市场预测，每件文化衫售价为60

元时，每周可售出150件，售价每上涨10元，销售量将减少5件，为了维护消费者的利

益，物价部门规定，该文化衫的售价不能超过进价的2倍.该商场为了确保这批文化衫每周

的销售利润为5600元，每件文化衫应定价—.

6.某文具店销售一种每个进价是12元的口风琴.经调查发现，当每个口风琴的售价为20元

时，平均每天能够售出8个：售价每降低0.5元，平均每天能多售出4个.现在，该文具店

希望这种口风琴每天的销售利润为144元，并且要尽可能多地让利给消费者，那么每人口

风琴的定价应该是元.

7.2025年“哪吒系列组合吉祥物”深受大家的喜欢，某特许零住:店的“哪吒系列组合吉祥物”

销售量日益火爆.据统计，该店2025年3月的“哪吒系列组合吉祥物”销量为1万套，2025

年5月的“哪吒系列组合吉祥物”销量为1.21万套.

(1)求该店“哪吒系列组合吉祥物”销量的月平均增长率；

(2)该零售店6月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80

元的“哪吒系列组合吉祥物”按每套1()0元出伐，每天可销售500套，在此基础上伐价每涨

1元，那么每天的销售量就会减少10套，该零售店要想母天获得12000元的利润，且销量

尽可能大，则每套商品的售价应该定为多少元？

8.•家水果店以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，然后以每千克4元的价格HI

售，每天可售出100kg.通过市场调研发现，这种水果每千克的售价每降低0.2元，每天可

多售出40kg.设这种水果每千克的售价降低x元.

(1)该水果店每天的销售量是一kg；(用含x的代数式表示)

(2)若该水果店销售这种水果想要每天盈利300元，且每天至少售出230kg,则该水果店应

将这种水果每千克的售价降低多少元？

9.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)满足一次函数

关系，部分数据如下表所示：

每件售价X7元•••4()4351•••

日销售量y/件•••605749•••

(1)求y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)该商品日销售额能否达到2500元?如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由.

练能力

10.一花店用500元购进了一批产品，按40%的利润定价，无人购买，决定打折出售，但仍

无人购买，结果又一次打折后才售完，经计算，这批产品共盈利67元，若两次打折相同,

则每次打了一折.

II.根据以下销售情况，解决销售任务.

销售情况

公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下

店面甲店乙店

日销售情况每天可售出20件，每件盈利40元每天可售出30件，每件盈利30元

市场调查经调查发现，每件衬衫每降价1元，甲、乙两家店一天各多售出2件

情况设置设甲店每件衬衫降价a元，乙店每件衬衫降价b元（a,b均为整数）

任务解决

甲店销售的衬衫，每件利润为一元（用含a的代数式表示）

任务1

乙店销售的衬衫，每天的销售量为_（用含b的代数式表示）

任务2当a=5,6=4时・，分别求出甲、乙店每天的盈利

当a+b=20时，请分别求出甲、乙两店每件衬衫下降各多少元，甲、乙两

任务3

店•天的盈利之和为2200元

第4课时一元二次方程的应用-图形问题

夯基础

1.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道x

“折竹抵地''问题："今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”翻译\

成数学问题是：如图所示，在ZkABC中，ZACB=9O°,AC+AB=1O,BC=3,^ACI\

CI

的长.如果设AC=x,则可列方程为()第1题图

A.x2+(10-x)2=32

B.x2+32=(10-%)2

C.x2+32=102

D.(10-x)2+32=x2

2.《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而

斜东北与乙会，问甲乙各行儿何?”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度

为6,乙的速度为4,乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后

与乙相遇，甲、乙各走了多少步?”请问乙走的步数是()

A.36B.26C.24D.10

3.如图，在dABC+,ZC=9O°,AC=4cm,BC=3cm,一-动点P从点C出发沿着CB方向以1cWs

的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC边以1cm/s的速度运动,P,Q两点同时出发,

运动时间为t(s).当PQ=时,t=()

用

A.理B.

C•竽$或^sD.竽s或

AA\

第3意图第4题图

4.如图,AABC中/C=9()o,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速

度向B运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度向C运动，P,Q两点同时

出发，运动时间为t(s).当t为一秒时,APCQ的面积是^ABC面积的;()

A.1.5B.2

C.3或1.5D.以上答案都不对

5.如图所示，点阵M的层数用n表示，点数总和用S表示，当S=66时，则n的值为()

6.如图，在RtAABC中,AC=40cm,CB=32cm/C=90。,点P从点A开始沿AC边向点C以

2cm/s的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度移动，当

△PCQ的面积等于300cm2时，经过的时间是—.

7.如图,△ABC中/B=90o,AB=6cm,BC=8cm,点P从A点开始沿AB边向B

点以1cm/s的速度运动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度/

移动.如果P,Q分别从A,B同时出发，那么_一秒后，线段PQ将4ABC分成面/

积2:1的两部分.第7题图

8.AABC中/B=90o,AB=]2cm,BC=18cm,点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速

度移动,与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以3cm/s的速度移动,如果点P.Q分

别从点A,B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动•设运动时间为t秒.

⑴填空：BQ=___cm,PB=___cm(用含［的代数式表示)；

⑵当I为何值时,PQ的长度为10cm?

9.如图，在矩形ABCD中.AB=3cm,BC=6cm.点P从点D出发向点A运动，运动到点A即

停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P,Q的速度都是1

cm/s.连接PQ,AQ,CP.设点P,Q运动的时间为ts.

(1)当t=_时,四边形ABQP是矩形；

⑵当t=_时,四边形AQCP是菱形；

(3)是否存在某•时刻t使得PQ_LPC,如果存在，请求出t的值：如果不存在，请说明理由；

(4)在运动过程中，沿着AQ把4ABQ翻折，当t为何值时，翻折后点B的对应点B恰好落在

PQ边上.

第9题图

能力

10.如图，在AABC中/B=90。,AB=12mm,BC=24mm,动点P从点A开始沿边AB向点B以

2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动，如果P,Q两

点分别从A,B两点同时出发，设出发时间为ts.有下列结论:①当t=2s时,PQ=8或mm

②3BQ的面积可以为35mm2③t=ls时的四边形APQC的面积大于t=5s时的四边形

APQC的面积.其中，正确结论的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

11.如图，在矩形ABCD中,BC=2AB=8,G是BC的中点，连接DG,点E从点B出发，沿BC向

点C运动，到点C停止，点F在DG上,DF=&GE,,连接AE,EF,AF,当AAEF的面积是10

时，BE的长为

第1课时一元二次方程的应用■图形面积及方案设计问题

1.C2.C3.C4.A5.66.0.67.5

8.解:能裁出面积为104cm2的有盖盒子,理由如下:

设裁去的左侧正方形的边长为xcm,

则折成的长方体盒子的底面长为双罗=(I5-x)cm,

由题意，得(15・x)(12・2x)=104,

整理，得/一21%+38=0,

解得%1=2,必=19(舍去),

即能折成104cm2的有盖盒子，裁去左侧的正方形的边长是2cm.

9.解:⑴设AB=xm,则BC=(20-2x)m,根据题意，得x(20-2x)=48,

整理，得一一10%+24=0,

解得4=4,x2=6.

答:AB的长为4m或6m;

(2)该矩形场地的面积不能为60nW,理由如下：

假设该矩形场地的面积能为60m2,设AB=ym,则BC=(20-2y)m,

根据题意，得y(20-2y)=60,

整理，得y2一ioy+30=0,

•••△=(-10)2-4x1x30=-20<0,

•••原方程没有实数根，

二假设不成立，即该矩形场地的面积不能为60m2.

1().A11.2V5-2

第2课时一元二次方程的应用数学模型(Q(X±m)2=》问题

1.D2.C3.B4.A5.A6.C

7.5.25(1+%)2=7.5668.x(x-1)=1260

9.(1+x)2=105.1%

10.解；(1)设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,

根据题意，得1.6(1+%)2=2.5,

解得Xi=0.25=25%,0=一2.255(不符合题意，舍去),

答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为25%;

(2)设6月份后10天日均接待游客人数是y万人，

根据题意，得2/25+10yW25x(l+25%),解得yWO.l,

答：6月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人.

11.解:⑴ab;1.44ab;

⑵设这两年销售总额的年增长率为x,二ab(l+x)2=1.44ab,

AXt=0.2=20%,x2=-2.2舍去)，(

答：该汽车企业A型汽车这两年销售总额的年增长率为20%.

12.解：设该景区去年5月份、6月份游客人数的月平均增长率为x,

依题意，得(1+X)2=(1+60%)X(170%),

解得x=0.2=20%,xD=・2.2(不符合题意，舍去).

答：该景区去年5月份、6月份游客人数的月平均增长率为20%.

13.解：(1)设这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,

根据题意，得150(1+^)2=216,

解得*=0,2=20%,x2=-2,2(不符合题意,舍去).

答：这三个月该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为20%：

(2)设本次追加购买m个A种充电桩，则追加购买(100-m)个B种充电桩,

根据题意，得mSOO-m,解得走50,设本次追加购买共花费w万元，

根据题意，得w=0.5m+0.7(l00-m)=-0.2m+70、

•.--0.2<0,..w随m的增大而减小,

当m=5O时,3取得最小值，最小值=-0.2x50+70=60,

答：本次追加购买最少花费6()万元.

第3课时一元二次方程的应用一营销问题

1.B2.C3.D

4.x[120-0.5(x-60)]=8800

5.80元6.15

7.解：(1)设该店“哪吒系列组合吉祥物”销量的月平均增长率为x,

根据题意，得1x(1十x)2=1.21,

解得X1=0.1,%2=-2.1(舍去).

所以该店“哪吒系列组合吉祥物”销售量的月平均增长率是10%；

(2)设每件商品的售价应该定为m元，则每件商品的销售利润是(m-80)元，每天的销售量是

50()-10(m-l00)=(1500-10m)件，

根据题意，得(m-80)(l500-10m)=12000,

解得恤=110,m2=120.

因为要使销售量尽可能大，所以m=110.

所以每件商品的售价应该定为110元.

8.解：⑴由题意可知，该水果店每天的销售量是100+2x40=(100+200%)/®

故答案为：(100+200x);

(2)由题意，得(42x)(100+200x)=300,

整理，得2/-3%+1=0,

解得Xi=0.5,%2=1,

当x=0.5时,l()0+2()0x0.5=20()<230,不符合题意，舍去;

当x=l时,100+200=300>230,符合题意;答：该水果店应将这种水果每千克的售价降低1元.

9.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k知)，

将(40,60),(43,57)代入y=kx+b,得哦:J]矍解得仁就

・•.y与x之间的函数关系式为y=-x+100;

(2)该商品日销售额能达到2500元，理由如下：

依题意，得x(-x+100)=2500,

整理，得％2—100%+2500=0,

解得%i=%2=50,

二该商品日销售额能达到2500元，每件售价为50元.

10.9

11.解:任务1,甲店每件利涧为(40同元,乙店每天的销售量为(30+2b)件，

故答案为：(40-a),(30+2b)件；

任务2,当a=5时,(40-5)x(20+2x5)=35x30=1050(元)，

即甲店每天的盈利为1050元；

当b=4时,(30-4)x(30+2x4)=26x38=988(元)，

即乙店每天的盈利为988元；

任务3/.,a+b=20,.,.b=20-a.

•••两家分店•天的盈利和为2200元，由题意，得(20+2a)(40-a)+(30+2b)(30-b)=2200、

.*.(20+2a)(40-a)+[30+2(20-a)][30-(20-a)