初中数学专项练习-平行四边形的性质-专项训练

平行四边形的性质-专题训练

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（朝阳区校级月考）平行四边形的一边长为10,那么它的两条对角线的长可以是（）

A.4和6B.6和8C.8和12D.20和30

2.（河南模拟）如图，在图ABCD中，AELBC,垂足为E,AF1CD,垂足为F.若4E：AF=2-.3,^ABCD

的周长为10,则48的长为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

3.（句容市期中）如图，点尸是用形A6c。的对角线AC上一点，过点?作E/〃6C,GH//AB.分别交

AB.CD、AD.BC于E、F、G、H,连接尸8.若AE=3,尸尸=8.则图中阴影部分的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

4.（红安县期中）如图，在平行四边形A8C。中，CD=24O,8EJ_A。于点E,尸为。C的中点，连接EF、

BF,下列结论：

①尸；②EF=BF；（3）SWDEBC=2S„EFB；④/CFE=3NDEF；

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.（温州月考）如图，在团ABC。中，BELCD,BFVAD,NEBF=45°,CE=3,DF=\,则团ABC。的

面积是（）

6.（泉港区一模）如图，E、/在©A8CD的对角线AC上，AE=EF=CD,NAO/=90°,NBCD=54°,

7.（宁波模拟）如图，平行四边形纸片ABC。和ER”上下叠放，AO〃E”且AD=E”，CE交GH于点

O,已知BE）AHCD=a,S^EFGH=b（«</?）,则S阴影为（）

9.（东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，目人BC。的顶点坐标分别为人（3,〃），8（2,2）,C（b,

3）,D（8,6）,则a+人的值为（）

10.（江都区期末）如图，在见WC7）中，ZABC=45°,BC=4,点/是C7）上一个动点，以阴、FR为

邻边作另一个自从£。人当F点由。点向C点运动时，下列说法正确的选项是（）

①囿4E3/7的面积先由小变大，再由大变小

@^AEBF的面积始终不变

③线段E尸最小值为4企

A.①B.②C.①③D.②③

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（渝中区校级期末）如图，已知团48CQ的周长为18cm,BC=2AB,NA=2N8,则团A8C。的面积为

cm2.

12.（江干区校级期末）在图A3C。中，AB=3,NA4C的平分线交平行四边形的边于点£,若。£=1,则

^ABCD的周长是.

13.（南岗区期末）在团ABC。中，ZA=30°,AD=4V3,连接8D,若8。=4,则线段CO的长为.

14.（岳麓区校级期末）如图，在平行四边形48CO中，48=4,BC=6,AC的垂直平分线交于点E,

15.（渝中区校级一模）在回4伙?。中，ABV4C,对角线AC的垂直平分线交A。于点£,连结CE,若圈ABC。

的周长为20c/n,则△CQE的周长为cm.

16.（江都区月考）团ABCD中，对角线AC和8。相交于0,如果AC=IO,BD=6,AB=mf那么〃?的取

值范围是.

17.（亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，ZADC=\\S°,BELDC于点E,DFLBC于点、F,BE与

DF交于点、H,则度.

18.（海陵区校级期末）如图，在△48C中，AC=4V3,ZCAB=30°,。为A6上的动点，连接CO,以

AD.CD为边作平行四边形ADCE,则。石长的最小值为.

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（吉林二模）如图，平行四边形ABC。，延长4。到点E,使。连接〃F与。C相交于点O.求

证：△BOgAEOD.

20.（赣榆区期中）如图，在团A8CD中，E为BC边上一点，且A8=AE.

（1）求证：ZXABC也△E4D；

（2）若N8=65°,ZEAC=25°,求NAE。的度数.

21.（开福区校级期末）如图，在平行四边形A8CO中，点£为4。的中点，延长CE交84的延长线于点

F.

(1)求证：AB=AF\

(2)若BC=2A8,ZfiCD=100°,求N4BE的度数.

DC

22.(宿松县模拟)如图，在平行四边形ABCD中，点E是4B边上一点，CE=AB,DFLBC,垂足为点F,

交CE于点G,连接DE,EF.

(1)求证：ZAED=9()°-建DCE；

(2)若点E是A8边的中点，求证：ZEFB=^ZDEF.

23.(射阳县二模)如图，在团中，点E为8c上一点，连接4E并延长交OC的延长线于点F,AD

=DF,连接

(1)求证：4七平分NBAO；

(2)若点£为3c中点，NB=60：AD=4,求回48CQ的面积.

24.(江都区二模)如图，四边形ABCO为平行四边形，E为8c的中点，连接AE并延长交0C的延长线

于点F.

(I)求证：△回入30、

(2)过点。作OGJ_AE于点G,〃为。G的中点.判断CH与。G的位置关系，并说明理由.

平行四边形的性质-专题训练（解析版）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1.（朝阳区校级月考）平行四边形的一边长为10,那么它的两条对角线的长可以是（）

A.4和6B.6和8C.8和12D.20和30

【分析】根据平行四边形的性质中，两条对角线的一半和一边构成三角形，利用三角形三边关系判断可

知.

【解析】如图,BC=\0cmt

•・•四边形48C。是平行四边形，

：,OB=^BD,OC=

A、若4C=4,BD=6,

则OB=3,OC=2,

•••2+3V10,不能组成三角形，

故本选项错误；

B、若4c=6,8。=8,

则04=4,OC=3,

V3+4<10,

，不能组成三角形，

故本选项错误；

C、若AC=8,BD=\2,

则OB=6,OC=4,

V4+6=10,不能组成三角形，

故本选项错误；

D、若4c=20,BD=30,

则08=15,0c=10,

V15-10<10<15+10,能组成三角形，

故本选项正确.

故选：D.

D

B工------------

2.（河南模拟）如图，在回A8CO中，AELBC,垂足为E,AFLCD,垂足为E若AE：AF=2：3,^ABCD

的周长为10,则A8的长为（）

A.2B.2.5C.3D.3.5

【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半.根据平行四力形的面积,

可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比.

【解析】•・•四边形ABCD是平行四边形，

：,AB=CD,AD=BC,

.\??C+CD=104-2=5,

根据平行四边形的面积公式，得BC：CD=AF：4E=3：2.

，8C=3,CD=2,

••・44=CO=2,

故选:A.

3.（句容市期中）如图，点P是矩形A8C。的对角线AC上一点，过点尸作E尸〃8C,GH//AB.分别交

AB.CD、AD.BC于E、尺G、H,连接P8.若AE=3,P产=8.则图中阴影部分的面积为（）

A.8B.12C.16D.24

4EPE

【分析】注意到易证得△AEQs4CFP,则有二7二二7，整理得，FC*PE=AE*PF=8X3=24,而阴影

FCPF

111

部分的面积为7BE•尸E,由四边形A8CQ为矩形，则8E=FC,即阴影部分的面枳为1-FC•P£=之x24

222

=12,即为答案.

【解析】

•・•矩形"CD的对角线4c

：.ZEAP=ZFCP

:./XAEPsRCFP

.AEPE

FC~PF

，FC-PE=AE・PF=8X3=24

*：EF//BC

••・四边形EFCB为矩形

:.EB=FC

•・•阴影部分的面积为PE

・•・阴影部分的面枳为工・“・P£=g,FC・PE=1x24=12

故选：B.

4.（红安县期中）如图，在平行四边形ABC。中，CD=2AD,8E_LA。于点E,r为。C的中点，连接所、

BF,下列结论：

®ZABC=2^ABF；@EF=BF；③SV5DEBC=2S"FB；④4CFE=3NDEF；

其中正确结论有（）

【分析】延长EF交BC的延长线于G,取48的中点H连接F”.想办法证明BE1BG,四

边形BCF，是菱形即可解决问题.

【解析】如图，延长石尸交8C的延长线于G,取AB的中点〃，连接"7.

*：CD=2AD,DF=FC,

：,CF=CB,

:"CFB=/CBF,

,:CD〃AB,

：.4CFB=/FBH,

:.NCBF=NFBH,

AZABC=2ZABF.故①正确，

\'DE//CG,

:"D=/FCG,

(ZD=ZFCG

在△。尸E和△CFG中，＜DF=CF

IcDFE=乙CFG

/.△DFE^AFCG(ASA),

:,FE=FG,

*：BEYAD.

AZAEB=90°,

-：AD//BC,

；・/AEB=/EBG=90°,

:,BF=EF=FG,故②正确，

,:SADFE=SACFG,

S四边形DEBC=S^EBG=2S^BEF,故③正确，

*：AH=HB,DF=CF,AB=CD,

:.CF=BH,VCF//BH,

・•・四边形5cm是平行四边形，

,:CF=BC,

・•・四边形8cm是菱形，

；・/BFC=NBFH,

'：FE=FB,FH//AD,BE±AD,

/BFH=NEFH=NDEF,

：,ZEFC=3ZDEFt故④正确，

故选：D.

5.(温州月考)如图，在团A8CO中，BELCD,BFLAD,ZEBF=45a,CE=3,DF=\,则团A8c。的

面积是（)

A.18-3V2B.15+3&C.15-372D.18+3直

【分析】在四边形BED/中，由四边形的内角和为360°及已知条件求出/。=135°,根据平行四边形

的性质求出NA=NC=45°,利用直角三角形的性质求出BC=AO=3或,进而求出面积即可.

【解析】VBEXCD,BFLAD,

；・NBEC=90°,NBED=NBFD=9(1°,

VZEZ?F=45°,

・・・NQ=3600-90°-90°-45°=135°,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

J.BC//AD,

AZC=180°-ZD=45°,

・・・N4=NC=45°,

VCE=3,

：.BE=EC=3,

:,BC=3五,

VDF-1,

：.AF=BF=3^2-[,

・・・西片。。的面积是人。乂月/=3&、(3V2-1)=18-3A/2.

故选：A.

6.（泉港区一模）如图，E、尸在0A4c。的对角线AC上，AE=EF=CD,NAQF=90°,ZBCD=54°,

则/4。£的大小为（）

A.46°B.27°C.28°D.18°

【分析】设NA。"％,由等腰三角形的性质和直角三角形得出ND4E=NAQE=x,DE=^AF=AE=

EF,得出短E=CD,证出NQCE=NOEC=2i,由平行四边形的性质得出NOCE=N8C。-ZBCA=54°

-x,得出方程，解方程即可.

【解析】设NAOE=x,

•；AE=EF,/人/）产=90°,

，ZDAE=ZADE=x,DE=^AF=AE=EF,

,：AE=EF=CD,

:,DE=CD,

:・/DCE=/DEC=2x,

•••四边形ABCQ是平行四边形，

.\AD//BC,

：.ZDAE=^BCA=x,

：./DCE=NBCD-NBCA=54°-x,

，2x=54°-x,

解得：x=18°,

即NAQ£=18°；

故选：D.

7.（宁波模拟）如图，平行四边形纸片48CO和E尸G〃上下叠放，A。〃?〃且AD=E”，CE交GH于点

O,已知SeA8CD=a，S^EFGH=b（。＜力），则S阴影为（

1、11

A.h-aB.—（.b-a）C.-aD.—h

22

【分析】证△硒。0△。水）（AAS）,得出图中阴影部分面积的是平行四边形的一半解答即可.

【解析】•・•平行四边形纸片A8CQ和£7诂，上下叠放，4。〃七”且47）=由，

:・EH=BC,EH//BC,

，乙EHO一乙CBO,

ZHOE=ZBOC

在△E//。与△CB。中，Z_EHO=乙CBO

、EH=CB

:•△EHO*ACBO（A4S）,

:.△EHO面积=Z\CB。面积，

1i

A5用账=SaEG，=2^EFGH=2〃；

故选：D.

8.（太仓市期中）如图所示，平行四边形A4CQ中，AC=4cm,BD=6cm,则边AO的长可以是（）

A.4cmB.5cmC.6crnD.1cm

【分析】根据三角形的三边关系求出AD的范围即可判断；

【解析】•・•四边形4BCO是平行四边形，AC=4cmtBD=6cm,

••・OA="c=2,0D=3BD=3,

A1<AD<5,只有4cm适合,

故选：A.

9.（东台市期中）如图，在平面直角坐标系中，团A8C。的顶点坐标分别为4（3,a）,B（2,2）,C（儿

3）,D（8,6）,则a+A的值为（）

【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出〃、力即可.

【解析】如图，连接AC、3。交于点0,.

••・四边形A13CD是平行四边形，

：.AO'=OlC,BO'=O,D,

VA(3,a),B(2,2),C(b,3),D(8,6),

.3+b2+8a+32+6

2222

，a=5,b=l,

.*.</+/?=12,

故选：C.

10.(江都区期末)如图，在IM8C。中，NA8C=45°,8C=4,点?是CO上一个动点，以胡、FB为

邻边作另一个(2AE8凡当”点由。点向C点运动时，下列说法正确的选项是()

①①4£8尸的面积先由小变大，再由大变小

(2)^AEBF的面积始终不变

③线段E尸最小值为4&

A.①B.②C.①③D.②③

【分析】过点C作CG_LA区于点G,根据三角形的面积公式知△人“〃的面枳始终不变化，进而根据平

行四边形与三角形的面积关系得出W1E8产的面积始终不变，便可判断①、②的正误；连接ER与A8

交于点”，由于E尸始终经过A8的中点“，当"/与4B垂直时，EF的值最小，求出此时的EF的值

便可.

【解析】过点C作CG上AB于点G,

则又入"=，CG,

••・A4与CG的值始终不变化，

•••△A3/7的面枳始终不变化，

,?^AEBF的面积=2乂/k48/的面积，

・・・包4£8尸的面积始终不变

・••①错误，②正确；

连接EF,与A8交于点”，

•・•四边形AEB/是平行四边形，

:・AH=BH,EH=FH,

当时，尸〃的值最小，七r=2”的值也最小,

此时，FH=CG,

VZA13C=45O,CG工AB,

:.BG=CG,

V^G2+CG2=«C2=16,

：.CG=2V2,

:,FH=2V2,

J线段“最小值为EF=2FH=4四.

，③正确，

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上

11.（渝中区校级期末）如图，已知团A8CO的周长为18amBC=2AB,NA=2NB,则团A8C。的面积为

9x/3_cnz2.

【分析】根据目ABC。的周长为18cm,BC=2AB,NA=2/&可求得人8和BC,在RtAABE中可求

得AE,可求出四边形AI3CD的面积.

【解析】如图，过点A作AE_L8c于点E,

•・FABCD的周长为18c〃?，BC=2AB,

A2(AB'BC)=18,

•**6A8=18,

•••A8=3,

・・・8C=6,

VZA+Z5=I8OC,ZA=2ZB,

・・・3NB=180°,

:.ZB=60°,

・33百

••AIL-29

JmABC。的面积为：

BC・4E=6x呼=9/(cm2).

故答案为：9V3.

12.(江干区校级期末)在团ABCD中，4B=3,NABC的平分线交平行四边形的边于点E,若DE=1,则

^ABCD的周长是14.

【分析】由平行四边形/WC。得到人8=CO,AD=BC,ADf/BC.再和已知BE平分NA8C,进一步推

出NABE=NAE/6,即48=AE=3,即可求出人8、人。的长，就能求出答案.

【解析】如图，

•二座为/A8C的平分线，

，NABE=NEBC,

•・•四边形人8CO是平行四边形，

J.AD//BC,

，ZAEB=NEBC,

ZAEB=ZABE,

：,AE=AB=3,

：.AD=AE+DE=4,

，团48C。的周长=2CAB+AD)=14,

故答案为14.

13.（南岗区期末）在回A38中，ZA=30°,AD=4^3,连接3D,若30=4,则线段的改为4或

8.

【分析】作。E_LA8于E,由宜角三角形的性质得出OE=£AD=2V5,由勾股定理得出4E=6。七=6,

BE=yjBD2-DE2=2,得出4B=AE-8E=4,或A8=AE+8E=8,即可得出答案.

【解析】作OE_LAB于E,如图所示：

VZA=30°,

.*.DE=1AD=2V3,

：,AE=V3D£=6,BE=>/BD2-DE2=J42-（2V3）2=2,

：,AB=AE-BE=4,或AB=AE+BE=S,

•・•四边形A8CO是平行四边形，

，CO=AB=4或8；

故答案为：4或8.

14.（岳麓区校级期末）如图，在平行四边形A3C。中，A4=4,BC=6,AC的垂直平分线交AO于点£,

则△COE的周长为10.

【分析】根据平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质即可求出ACQE的周长.

【解析】•・•四边形ABC。平行四边形，

：,AB=DC=4,BC=AD=6,

VAC的垂直平分线交AD于点E,

EA=EC,

，DE+EC=DE+EA=AD=6,

则△CDE的周长为：

DE+EC+DC=AD+DC=6+4=\0.

故答案为：10.

15.（渝中区校级一模）在区488中，A3V8C,对角线AC的垂直平分线交AQ于点心连结CE,若回A8C。

的周长为20cm,则△CDE的周长为10cm.

【分析】根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质解答即可.

【解析】•・•对角线AC的垂直平分线交于点£

：.AE=CE,

*/^ABCD的周长为20c/??,

/.AD+DC=\0cin,

）△COE的周长=OE+CE+C£>=AE+OE+CO=AD+CO=10cm,

故答案谀：10.

16.（江都区月考）财88中,对角线4c和BD相交于O,如果AC=10,BD=6,AB=m,那么〃?的取

值范围是2VmV8.

【分析】根据平行四边形的性质求出OA.OB,根据三角形的三边关系定理得到OB-OA-A+OB,

代入求出即可求得m的取值范围.

【解析】•・•四边形A4CO是平行四边形，AC=10,BD=6,

：.OA-OC-5,OD-OB-3,

在△OAB中，OB-OA<m<OA+OB,

・・・5-3V〃V+3,

A2<w<8,

17.（亭湖区校级期中）如图，平行四边形中，ZADC=118°,BE上DC于点、E,DFLBC于点F,BE与

DF交于点H,则62度.

D

【分析】直接利用平行四边形的性质以及结合三角形内角和定理得出答案.

【解析】•・•四边形4BCD是平行四边形，

J.AD//BC,DC//AB,

VZADC=\\S°，DFLBC,

AZ/\DF=90",

则NEO”=28°,

*：BE±DC,

AZDE/7=9O°,

：,/DHE=/BHF=90°-28°=62°.

故答案为：62.

18,（海陵区校级期末）如图，在△48C中，AC=4V3,ZCAB=30°,。为44上的动点，连接CO,以

AD.CO为边作平行四边形ADCE,则QE长的最小值为2陋.

【分析】取AC的中点。，当。。_L48时，OE的长最小，根据含30°的直角三角形的性质可求。。,

即可得出DE的最小值.

【解析】如图，取4c的中点O,当OOJ_4B时，。七的长最小，

VAC=4V3,

・"。=2百，

•・・NC4B=30°,

：.OD=V3,

••・。石长的最小值为2Vs.

故答案为：2Vs.

E

三、解答题（本大题共6小题，共46分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.（吉林二模）如图，平行四边形ABC。，延长4D到点E,使力E=AO,连接8E与QC相交于点0.求

证：△BOg^EOD.

【分析】根据平行四边形性质得出AO=8C,AD//BC,推出NEOO=NBC。，ZDEO=ZCBO,求出

DE=BC,根据ASA推出两三角形全等即可.

【解析】证明：•・•在平行四边形ABC。中，

AD=BC,AD//BC,

：.ZEDO=ZBCO,NDEO=NCBO,

'：DE=AD,

:.DE=BC,

在△80。和△EOZ)中，

(ZOBC=NOED

=DE，

30CB=乙ODE

:•△BOSAEODCASA).

20.(赣榆区期中)如图，在团ABC。中，E为BC边上一点、,且AB=4£

(I)求证：/XABCg△E4O；

(2)若N8=65°,ZEAC=25°,求N4E。的度数.

【分析】（1）先证明N8=NEA。，然后利用S4S可进行全等的证明；

（2）先根据等腰三角形的性质可得N84E=50°,求出NBAC的度数，即可得N4E。的度数.

【解析】（1）证明：•・•在平行四边形ABC7）中，AD//BC,BC=AD,

；・NEAD=NAEB,

又

：,ZB=ZAEB,

：.NB=/EAD,

在△ABC和△£4。中，

(AB=AE

l^ABC=AEAD,

(8C=AD

/.AABC^AEAD(SAS).

(2)解：t：AB=AE,

：,ZB=ZAEB,

.*.ZBAE=50°,

/.ZBAC=ZBAE+ZEAC=500+25°=75°,

••,△ABCW"AO,

AZAED=ZBAC=75°.

21.(开福区校级期末)如图，在平行四边形ABC。中，点E为A。的中点，延长CE交BA的延长线于点

F.

(I)求证：AB=AF；

(2)若8c=2A8,N3CO=100。，求N/WE的度数.

【分析】（1）由四边形A8C。是平行四边形，点E为人。的中点，易证得△OECgAAE尸（4AS）,继

而可讦得OC=AF,又由OC=A8,讦得结论：

（2）由（1）可知8/r=2A6,EF=EC,然后由N8CQ=100°求得平分NC8”，继而求得答案.

【解析】证明：（1）•・•四边形A8CO是平行四边形，

:・CD=AB,CD//AB,

:・/DCE=/F,ZFBC+ZBCD=\SOQ,

•・・E为A。的中点，

：.DE-AE.

在△QEC和△A£F中，

(ZDCE=ZF

\^DEC=Z.AEF^

IDE=AE

/.△DEC^A/IEF(AAS).

：,DC=AF.

：.AB=AFi

(2)由(1)可知8F=2A3,EF=EC,

*：ZBCD=\OO0,

AZFBC=180°-100°=803,

，：BC=2AB,

:・BF=BC,

・・・BE平分NC8F,

ZABE=^ZFBC=|x80°=40。

22.(宿松县模拟)如图，在平行四边形ABCO中，点E是AB边上一点,CE=AB,DFtBC,垂足为点F,

交CE于点G,连接。E,EF.

(1)求证：ZAED=90°-聂DCE；

(2