中考数学二轮专项复习（考前训练）-二次根式（原卷版+解析版）

中考数学二轮探究性专题考前训练

二次根式

一、选择题

1.某校研究性学习小组在学习二次根式d滔二|a|之后，研究了如下四个问题，

其中错误的是（）

A.在a>l的条件下化简代数式a+Va2-2a+1的结果为2a-1

B.当a+CT一2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是

C.a+或2—2。+1的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的

值可以为!

D.若Va2-2a+1二（1则字母a必须满足a21

2.观察式子:V4x9=V36=6,V4xV9=2x3=6;J.x彳==去x

x|=|i；V0.25x0.04=Vom=0.1，V025xV^04=0.5x0.2=0.1.由

此猜想而=衣.Vb（a>0,b>0）.上述探究过程蕴含的思想方法是（）

A.特殊与一般B.整体C.转化D.分类讨论

3.已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积问题，中外数学家曾经进行过深

入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年）给出求其面积的海伦公式

S=Jp（p—a）（p—b）（p一c）,其中p=我国南宋时期数学家秦九韶（约1202

-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=gJ。2b2一（弋江）2,

若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是（）

A3A/T5B3V15,3\T50V15

8・4•2•~

二、填空题

4.为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间

经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”

表示算数平方根.我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用

的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：VIE+痂我=?则图2

所示题目（字母代表正数）翻译为，计算结果为.

等

今

广今

若

仃有

干

大6甲

相

甲q

天

加3

桁

图1图2

5.斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇

妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在

研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花,

飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣

的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用+

［（0）丁（0）口表示.

22

通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为，第2个数为.

三、综合题

6.探究：

（1）计算下列各式，并判断结果大小;

(2)根据你发现的规律，再写出一个类似的式子;

(3)用字母表示这一规律，并给出证明.

7.问题探究：因为(或一=3—2或，所以＞/3-2以=为-1,

因为(&+1)2=3+2仿所以,3+2&=及+1,因为(2—遮＞=7-4V3,

所以J7—4旧=2—遮,请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：

8.在数学小组探究学习申，张兵与他的小组成员遇到这样一道题:

已知Q=S，求2a2—8Q+1的值.他们是这样解答的：

Z+V3

・.1_2-旧_7_&

*2+73-(2+8)(2-V5)-7

••a—2=—V3

(a-2)2=3即次-4Q+4=3

/.a2—4a=-1

・'.2小—8(2+1=2(层—4cz)+1=2x(—1)+1=-1.

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

⑴备=---------♦

(2)化简焉+熹+寻看+…+何:师;

9.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下

面一次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

(1)具体运算，发现规律，

特例1：口1=禺=61=2上

特例2：用=抨=斤=34

特例3：河=41

特例4：.(填写一个符合上述运算特征的例子);

(2)观察、归纳，得出猜想.

如果九为正整数，用含九的式子表示上述的运算规律

为：;

(3)证明你的猜想；

⑷应用运算规律化简：＞22+^x74048=--------.

10.探究过程：观察下列各式及其验证过程.

验证:

(1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想:

泰=---------;5JI=-----------;

(2)通过上述探究你能猜测出：n

(n>0),并验证你的结论.

11.探索规律：

先观察下列等式，再回答问题：

11111

J1--2-2+—32=1+2----2-+--1-=1一6'•

卜式1+衣1=1+§1-=1=1运1

(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想J1+表+曰=

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式：

(3)计算：J1+.+表+J1+9+最++…+壶+盛

12.阅读理解下面内容，并解决问题：

善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论：

①=9x4,(V9xV4)2=(V9)2x(V4)2=9x4,V95?4和

V9xV4都是9X4的算术平方根，

而9X4的算术平方根只有一个，所以V95<4=V9xV4.

②«9x16>=9x16,(V9xV16)2=(^)2x(V16)2=9x16,V9x16

和V9xV16都是9X16的算术平方根,

而9X16的算术平方根只有一个，所以.

请解决以下问题：

（1）请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a20,b，0时，痫

与口、⑷之间的大小关系是怎样的？

（2）再举一个例子，检验你猜想的结果是否符合题意.

（3）运用以上结论，计算：V81x144的道.

13.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2鱼=（1+加）2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+by[2=（m+4/2＞（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b&=m2+2n2+

2mnV2.

・・.a=m2+2n2,b=277m.这样小明就找到了一种把类似a+的式子化为平

方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m＞n均为正整数时，若a+=（m+几百＞，用含m、n的式

子分别表示a、b,得：a=,b=；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、门、n填空:+V3=

（+________V3）2；

（3）若a+4旧=（m+几遮）2,且a、m、n均为正整数，求a的值？

（4）化简：&+2遥.

14.阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式

子的平方.

例如：3+2V2=（1+V2）2,善于思考的小敏进行了以下探索:

当a、b、m>n均为整数口寸，若a+bV^=(m+nV2)「则有a+bV2=m2+2n"

+2mnV2.

a=m2+2n2,b=2mn.这样小敏就找到了一种把类似a+ba的式子化为平方式的

方法.

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m>n均为整数时，若a+b遥=(m+几而)2,用含mn的式子分

别表示a、b,则：a=,b=；

(2)若a+6V7=(m+nV7)',且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)直接写出式子,49+20n化简的结果.

15.著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句

话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要

有一双敏锐的眼睛.请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质

化夫里面的一层根号.例如：73+2V2=71+2x1x72+2=

J124-2x1x724-(V2)2=J(l+V5)2=l+&・

解决问题：

(1)在括号内填上适当的数：714+6V5=^9+2x3x75+(1)=

](3+②2—

①：，②：，③.

(2)根据上述思路，求出J28-10百+J7+4百的值•

16.小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号

的代数式的平方，如3+2或=(1+或)2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a4-bV2=（m4-nV2）2（其中a、b、m>n均为整数），则有a+b^/2=m24-

2mnV2+2n2.a=m2+2n2,b=2mn,这样小明就找到了一种把类似a4-

by/2的代数式化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为整数时，若Q+68=（巾+几百/，用含m、n的代

数式分别表示a、b,则：a=,b=；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：_+_遮=（+

—V3）2.

（3）若a4-4A/3=（m4-nV3）2,且a、m、n均为正整数，求a的值.

17.【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数.如：2xi=l,我们就说2和：互为

倒数.

【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数

之间也具有互为倒数的关系.例如：（鱼+1）（鱼一1）=1,可得加+1与加一1

一互为倒数.

即弥=‘一1，高=&+1・

类似的，小=遮一&小=8+贝，之=2-8，/=2+后

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

⑴出=---------，■=---------；5为正整数）

（2）若=2鱼_=,则771=；

（3）计算：焉+康+战+……+焉瓯

18.阅读材料•：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，

那么这两个代数式互为有理化因式.

例如：V3xV3=3,（V6-V2）（V6+鱼）=6-2=4,我们称心的一个有理化

因式是6，逐一加的一个有理化因式是返+鱼.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母

的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

例如：\=*=与

v3-v3xv33

q=坪+*）L=小①©=2遍+2应.

x/6—V2（\/6—V2）（V6+V2）4

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

（1）质的有理化因式为，夕+遮的有理化因式为；（均

写出一个即可）

（2）将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：

喝；

（3）计算：小+岛f+募+・”+谢］皿的结果•

19.若V20^是一个正整数，那么正整数m的最小值是多少？请探究.

20.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下

面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

（1）具体运算，发现规律，

特例1：乒=严=乒=24

特•

特:3：6^=44

特例4：.（填写一个符合上述运算特征的例子）;

（2）观察、归纳，得出猜想.

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为:；

（3）证明你的猜想；

（4）应用运算规律化简：（20224--^-x74048=_________.

72024

21.在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知。=舟,

求2a2—8a+1的值.他们是这样解答的：

•:___1_________2_-_V__3______2—厂

・2+遮一（2+V3）（2-V3）一

・•・Q-2=—V3

・•.（a-2>=3即次-4a+4=3

・•・a2-4a=-1

:,2次—8a+1=2（次—4a）+1=2x（—1）+1=-1.

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：

⑴--------------

（2）化南加+1+V3+V2+V4+V3+…+V169+V168+而而嬴

（3）若a=昌》求d-4a3-4a+7的值.

22.阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2或=1+2+2&=12+2鱼+（企>=（1+式）2.继续进行

以下的探索：设a+byf2=（m4-小⑵2（其中Q,b,m,几都是正整数），则有a+bV2=

m2+2n2+2mnV2./.a=m2+2n2,b=2mn,这样就得出了把类似a+人鱼的式

子化为平方式的方法.

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

（1）当a,b,m,九都是正整数时，若a—仄行=（"1一八遍）？，用含?n,九的式

子分别表示a,b,得a=,b=；

（2）利用上述方法，填空：21-4遥=（-V5）2;

（3）如果Q—6V5m石）2,且Q,m,"都是正整数，求Q的值.

23.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2&=（1+鱼尸.善于思考的小明进行了以下探索：若设Q+

bV2=（m+nV2）2=m24-2n2+2mnV2（其中a、b、几均为整数），则有a=

4+2几2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b近的式子化为平方式的方

法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

（1）若a+b西=（m+几遥）2,当Q、b、m＞九均为整数时，贝ija=,

b=,（均用含m、n的式子表示）

（2）若％+4旧=（m+小月＞，且％、九均为正整数，分别求出x、九的

值.

（3）【拓展延伸】

化简，5+2遍=・

24.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式

子的平方，如3+2&=（1+&）2,善于思考的小明进行了以下探索：

设a+=（m+&九）2（其中a、b^m、n均为正整数），则有a+V^b=m2+

2\[2mn+2n2,

/.a=m2+2n2,b=2mn.

这样小明就找到了一种把部分Q+的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+缶8=（771+7^71）2,用含m、n的式

子分别表示a、b,得：a=,b=；

(2)若Q+=(m+V5九>，且a、m、n均为正整数，求a的值；

(3)化简：J7-/21+焉.

25.先阅读下列解答过程，然后再解答：小芳同学在研究化简J7+4旧中发现:首

先把J7+48彳匕为J7+2ym，由于4+3=7,4'3=12,即：(，5)2+(V3)2=7,

V4xV3=V12，所以J7+4百=57+2m=J(V4)2+2V4x^4-(V3)2=

(J(V44-V3)2=2+后

问题：

(1)填空：d4+2v5=------------，V5—2V6=--------------；

(2)进一步研究发现:形如而百赤的化简，只要我们找到两个正数a,b(a>b),

使Q+b=/n,ab=n,BP(7H)24-(VF)2=m,迎乂〃=«，那么便有：

yjm±2y/n=•

(3)化简：V4-V15(请写出化简过程)

26.探究逼近V7的有理近似值.

方法介绍：

经过k步操作(k为正整数)不断寻找有理数分，bk，使得ak<y[7<bk,

并且让bk-ak的值越来越小，同时利用数轴工具将任务几何化，直观理解通过等

分线段的方法不断缩小V7对应的点P所在线段的长度(二分法)

思路分析：

在数轴上记ak,bk对应的点分别为人血，ak和bk的平均数以=”普

对应线段AkBk的中点(记为Ck).通过判断夕Vq还是夕,“，得到点P

是在二等分后的“左线段A&”上还是“右线段CkBk”上，重复上述步骤，不

断得到Ck，从而得到V7更精确的近似值.

具体操作步骤及填写“阅读活动任务单”:

(1)当k=1时,

①寻找左右界值：先寻找两个连续正整数四,必，使得ai<^<b1.

因为V22<V7<V37,所以2V夕<3,那么即=2,瓦=3,线段必/

的中点的对应的数4=晋=等=2.5.

V7>

Ck=Ck还点P在“左线段得出更精确的V7

ak+bk

kbk2是AkCk”上还是“右线与恁，瓦，》的

的值V7<段c出”上大小关系

Q

V7

2.5<V7<3

1232.5点P在线段C1B1上

>Q

V7

22.532.75点P在线段42c2上2.5<V7<2,75

<3

V7

32.52.752.625

>c3

4

②二分定位：判断点P在“左线段A£k”上还是在“右线段CkBk”上.

比较7与4的大小，从而确定上与q的大小；

因为夕，S（填或“<”），得到点P在线段_的当上（填

“”或“C$i”).

（2）当k=2时，在（1）中所得2.5〈正<3的基础上，仿照以上步骤，继

续进行下去，得到表中k=2时的相应内容.

请继续仿照以上步骤操作下去，补全“阅读活动任务单”：

27.有这样一个问题：探究函数丫=写的图象与性质.小华根据学习函数的经验,

对函数y=g的图象与性质进行了探究.下面是小华的探究过程，请补充完整：

(1)函数y=W的自变量x的取值范围是一；

(2)如表是y与x的几组对应值.m的值为

3111

X-2-11234•••

32

V5V6•••

y0IB—V6V21VToV31

TT

(3)如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根

据描出的点，画出该函数的图象；

(4)结合函数的图象，写出该函数的一条性质：.

(5)结合函数图象估计里-％=0的解的个数为个.

X

中考数学二轮探究性专题考前训练

二次根式

一、选择题

1.某校研究性学习小组在学习二次根式d滔二|a|之后，研究了如下四个问题，

其中错误的是（）

A.在a>l的条件下化简代数式a+Va2-2a+1的结果为2a-1

B.当a+CT一2a+1的值恒为定值时，字母a的取值范围是

C.a+或2—2。+1的值随a变化而变化，当a取某个数值时，上述代数式的

值可以为!

D.若Va2-2a+1二（1则字母a必须满足a21

【答案】C

2.观察式子:W5否=痴=6,〃*眄=2*3=6；厝：=盘=畀册*

/=永狂看倔罚而=75瓦=0.1，倔芯x师=0.5X02=0.1.由

此猜想痘=V^-Vd（a>0,6>0）.上述探究过程蕴含的思想方法是（）

A.特殊与一般B.整体C.转化D.分类讨论

【答案】A

3.已知三角形的三边长分别为a,b,c,求其面积问题，中外数学家曾经进行过深

入研究，古希腊的几何学家海伦（Heron,约公元50年）给出求其面积的海伦公式

S=yjp（p—a）（p—b）（p-c）,其中p=^我国南宋时期数学家秦九韶（约1202

-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S=1小2按_（牛彳

若一个三角形的三边长分别为2,3,4,则其面积是（）

A3属B3mr3/D叵

【答案】B

二、填空题

4.为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间

经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“'

表示算数平方根.我国使用根号是由李善兰（1811T882年）译西方数学书时引用

的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：V16^+V4^=?则图2

所示题目（字母代表正数）翻译为，计算结果为.

等

〜

今

广等今

大/I

若6于有

干

甲若z__

相

天干甲

加

3

和2

图I图2

［答案］+3）2；a+3

5.斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇

妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在

研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花,

飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣

的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用5

［（J）n_（匕叵）n］表示.

22

通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为,第2个数为.

【答案】1;1

三、综合题

6.探究:

（1）计算下列各式，并判断结果大小;

（2）根据你发现的规律，再写出一个类似的式子:

（3）用字母表示这一规律，并给出证明.

【答案】⑴孚孚3V63瓜8>/158V15

15；15；

44

（2）解:

右边=几后=

Vn3-n

n—1

・•・左边二右边.

』+六=n居

7.问题探究：因为（鱼一1）2=3-2或，所以J3-2立=企-1,

因为（四+1）2=3+2V2,所以J3+2&=72+1,因为（2-V3）2=7-4百,

所以，7—48=2-8,请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：

⑴V5-2V6；

⑵舟日

【答案】(1)解：V5-2V6

=73-276+2

=J(V3)2-2V6+(V2)2

=J(V3-V2)2

=y/3—V2.

⑵解:Jj+V2

V2+(V2)2

8.在数学小组探究学习中，张兵与他的小组成员遇到这样一道题:

已知。=荒，求2a2—8。十1的值.他们是这样解答的：

..1_2-『-7_[a

♦2+0一(2+V3)(2-V3)-"

•••ci—2=­V3

••*(Q-2)2=3即次—4a+4=3

/.a2—4a=-1

•••24—8a+1=2(次-4ci)+1=2x(—1)+1=-1.

请你根据张兵小组的解题方法和过程，解决以下问题：

⑴备=---------♦

(2)化简意+熹+苏力+…+放：71而;

【答案】⑴2-V3

(2)解：磊+备+麻+”，+嬴痼

=V2—1+V3—V2+V4—V3+…+V169—V168

=-1+V2—V2+V3—y/3+V4—…―V168+V169

=-14-7169

=-1+13

=12.

9.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下

面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整：

(1)具体运算，发现规律，

特例L国=柠=乒=2/

特例2：斤=再=2=3上

特例3：国=4/

特例4：.（填写一个符合上述运算特征的例子）;

（2）观察、归纳，得出猜想.

如果几为正整数，用含九的式子表示上述的运算规律

为：;

（3）证明你的猜想；

（4）应用运算规律化简：（2022+-i-x74048=_________.

'2024

【答案】⑴国=54

（2）/+击=5+1）忌;

（3）解：等式左边=产2计1="1/=（九+］）工=右边,

7n+2Nn+27n+2

故猜想成立

（4）2023或

10.探究过程：观察下列各式及其验讦过程.

（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想:

(2)通过上述探究你能猜测出：71忌=

(n>0),并验证你的结论.

【答案】(1)

2

n(n-l)+n二右边

n2—1

先观察下列等式，再回答问题:

11111

12十22,十11+112,

11111

1-I----I---=1-4---------=1一•

223222+16'

11111

3242十33+112,

(1)根据上面三个等式提供的信息，请你猜想Jl+»*=

(2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式：

(3)计算：小+*+*+J1+J+5+J1+L+-+J1+募+康

【答案】(1)意

乙U

(2)/+自=1+

(3)解:小+专+击+小+〜+*+小+9+P+…+/+盛+短

1111111

1+1一一+1+----+1+-----+…+1+--------

2233499100

1

=1x100-

100

1

=100--

100

_9999

-100•

12.阅读理解下面内容，并解决问题:

善于思考的小明在学习《实数》一章后，自己探究出了下面的两个结论:

①(回7y=9x4，(V9XV4)2=(V9)2x(V4)2=9x4,V9V4和

V9xV4都是9X4的算术平方根，

而9X4的算术平方根只有一个，所以V93<4=V9xV4.

②(，9x16)2=9x16,(V9xV16)2=G^9)2x(V16)2=9x16,V9x16

和眄xg都是9X16的算术平方根，

而9X16的算术平方根只有一个，所以—.

请解决以下问题：

(1)请仿照①帮助小明完成②的填空，并猜想：一般地，当a2O,b20时，

与迎、声之间的大小关系是怎样的？

(2)再举一个例子，检验你猜想的结果是否符合题意.

(3)运用以上结论，计算：V81x144的值.

［答案］(1)解：79x16=V9xV16,

根据题意，当a20,b20时，yTab与VH、VF之间的大小关系为：Vab=Jdx

（2）解：根据题意，举例如：V25x1=V25xVI,

验证：V25x1=V25=5,V25xVl=5xl=5，所以V25x1=V25xVI.

又举例如：V25x16=V25xV16，

验证：V25x16=V400=20,V25xV16=5x4=20,所以V25x16=

生x布等，

符合（1）的猜想

（3）解：V81xl44=V81xV144

=9X12

=108.

13.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+2遮=（1+a）2.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+by[2=（m+4/2）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b&=m2+2n2+

2mnV2.

・・.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+的式子化为平

方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m>n均为正整数时，若a+队”=（m+几百>，用含m、n的式

子分别表示a、b,得：a=,b=；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、门、n填空:+V3=

（+_________V3）2；

（3）若a+4旧=（m+几遮）2,且a、m、n均为正整数，求a的值？

（4）化简：&+2遥.

【答案】（1）m2+3n2；2mn

（2）4；2；1；1

(3)解：由(1)可知，a=?712+3n2,b=2mn=4,

4

・•・mn=-=2

乙

而a、m,n均为正整数，

/.m=1,九=2或者〃1=2,n=1,

当zn=l,九=2时，◎=巾2+3九2=1+3x2?=13；

当?n=2,几=1时，a=mz+3n2=224-3x1=7.

综上，a=13或者a=7.

(4)解：由题意得：

V6+2V5

=，S+2返+1

=J(显)2+2而+#

=J(星+1J2

=|V5+1|

=V5+1.

14.阅读材料：小敏在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式

子的平方.

例如：3+272=(1+V2)2,善于思考的小敏进行了以下探索：

当a,b,m,n均为整数口寸，若a+bV2=(m+nV2)',则有a+bV^=m'+2n“

+2mnV2.

a=m2+2n2,b=2mn.这样小敏就找到了一种把类似a+ba的式子化为平方式的

方法.

请你仿照小敏的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b>m>n均为整数时，若a+b遥=(TH+九花尸，用含mn的式子分

别表示a、b,贝ij：a=,b=；

(2)若a+6V7=(m+nV7)\且a、m、n均为正整数，求a的值;

(3)直接写出式子J49+20n化简的结果.

【答案】(1)a=m2+5n21b=2mn

(2)解：Va+6^7=(m4-nV?)2,

:.a+6夕=mz+7n2+2mnV7,

/.a=m24-7n2,6=2mn,

Ta、m、n均为正整数,

m=3(m=1

ri=1或n=3

a=16va=64

/.a=16或a=64；

⑶2V6+5

15.著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句

话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要

有一双敏锐的眼睛.请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质

化去里面的一层根号.例如：734-2V2=71+2x1x724-2=

Jl2+2xlxV2+(V2)2=J(l+V2)2=1+V2.

解决问题：

(1)在括号内填上适当的数：714+6V5=^9+2x3x75+®=

][3+笏=③

①；，②：，③.

(2)根据上述思路，求出J28-10遮++4遍的值•

【答案】(1)5；V5;34-V5

(2)解：原式=125-2x5xV3+(V3)2+J(2)2+2x2V3+(V3)2

=J(5一百A+J(2+机.

=5-V3+2+V3

=7.

16.小明在学习了“二次根式”后，发现一些含根号的代数式可以写成另一个根号

的代数式的平方，如3+2或=(1+鱼>.善于思考的小明进行了以下探索：

设a+by[2=(m4-nV2)2(其中a、b、m、n均为整数)，则有a+by/2=m2+

2mnV24-2n2.a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a4-

&V2的代数式化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、m、n均为整数时，若a4-=(m+nV3)2»用含m、n的代

数式分别表示a、b,则：a=,b=；

(2)利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：_+_遍=(+

_V3)2.

(3)若a+473=(m4-nV3)2,且a、m、n均为正整数，求a的值.

【答案】(1)m2+3n2；2mn

(2)13；4；1；2

(3)解：由(1)可知:a=m2+3n2,4=2mn,

.•.a=ni'+3n>mn=2,

Ta、m、n均为正整数,

n=2或mN,n=l5

•，=12+3X22=13或a=22+3X「=7,即a=13或7.

17.【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数.如：2xj=l,我们就说2和g互为

倒数.

【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数

之间也具有互为倒数的关系.例如：(或+1)(鱼一1)=1,可得加+1与企一1

互为倒数.

即意=应-1，六=贝+1・

类似的，丸=遮一夜，小=8+贝，*=2^=2+73.

【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题：

⑴春=---------，■=---------；5为正整数)

(2)若=2或_=,则771=；

(3)计算：高+康+乐+……+V100+V99-

【答案】(1)V6+V5：后而3

(2)±V7

(3)解：高+妥+高+”,+焉闻

=(V2-1)+(V3-V2)+(V4-V3)4-・・・+(V100-V99)

=-14-V2-V24-V3-V3+V4+V99+V100

=7100-1

=9.

18.阅读材料•：

材料一：两个含有二次根式而非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，

那么这两个代数式互为有理化因式.

例如：V3xV3=3,（V6-V2）（V6+鱼）=6-2=4,我们称心的一个有理化

因式是遮，逐一遮的一个有理化因式是遍+鱼.

材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母

的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化.

例如：\=*=与

v3-v3xv33

q=J”.==2遍+2a.

x/6—V2（V6—V2）（V6+V2）4

请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题：

（1）质的有理化因式为，夕+遮的有理化因式为；（均

写出一个即可）

（2）将下列各式分母有理化（要求写出变形过程）：

喝；

（3）计算：&+康+标+…+而£福的结果・

【答案】（1）V13:y/7—V5

（2）解：②2遥+3

（3）解：V2023-1

19.若际而是一个正整数，那么正整数m的最小值是多少？请探究.

【答案】解：,・・&而是一个正整数，

，根据题意，厮是一个最小的完全平方数，

m=5.

20.小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下

面二次根式的运算规律.

下面是小丽的探究过程，请补充完整;

(1)具体运算，发现规律,

特例1:

特例4：.(填写一个符合上述运算特征的例子);

(2)观察、归纳，得出猜想.

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为:；

(3)证明你的猜想；

(4)应用运算规律化简：(20224^x74048=_________.

72024

【答案】⑴河=5企

⑵/+击=5+1)忌

(3)解：等式左边=户五=叵1=5+1)三=右边，

7n+27n+2'，，九+2

故猜想成立；

(4)2023立

21.在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题：已知。二六,

2+V3

求2次—8。+1的值.他们是这样解答的：

12-V3「

v_____=_______________=2—V3

・2+b(24-V3)(2-V3)

CL—2=­V5

•••(a—21=3即层—4a+4=3

・•・a2—4a=-1

:.2a2—8a+1=2(次—4(z)+1=2x(—1)+1=-1.

请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题：

⑴vriv5=-------

⑵化筒7577+-+1V169+V168+\<V70+\/i69,

(3)若a=^77，求d—4a3—4。+7的值.

【答案】⑴V3-V2

(2)原式=企一1+遮一&+"-B+…++—

=-l+V2-V2+V3-V3+V4-...-V168+V169-V169+V170

=-14-V170；

(3)9点=(-=通+2,“一2=底

・,.(a-2)2=5,

即a2-4a+4=5.

.\a2-4a=l.

Aa4-4a3-4a+7

=a2(a2-4a)-4a+7

=a2X1-4a+7

=a2-4a+7

=1+7

=8,

22.阅读理解：学习了二次根式后，你会发现一些含有根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2&=1+2+2迎=仔+2&+(V2)2=(1+V2)2.继续进行

以下的探索：设a+Z?V2=(zn+小②2(其中。，b,m,九都是正整数)，则7fTa+b^2=

m24-2n2+2mn\TL；・a=m2+2n2,b-2mn,这样就得出了把类似a+的式

子化为平方式的方法.

请仿照上述方法探索并解决下列问题：

(1)当a,b,m,九都是正整数时，若Q—b西=(血一九伤下,用含血，几的式

子分别表示a,b,得a=,b=；

(2)利用上述方法，填空：21—4遮=(-V5)2；

(3)如果。一6西=(TH—几遍)2,且a,m,九都是正整数，求a的值.

【答案】(1)m24-5n2；2mn

(2)1；2

(3)解：由(1)得2mn=6,

：.mn=3,而m,几都为正整数，

••TTL—3,TI—1U戈？H=1,XL—3.

当m=3,几=1时，a=m2+5n2=32+5xI2=14

当m=1,n=3时，a=m2+5n2=1+SX32=46

23.【阅读材料】小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个

式子的平方，如3+2&=(1+四下.善于思考的小明进行了以下探索：若设a+

by/2=(m+nV2)2=m24-2n24-2mnV2(其中a、b、m.九均为整数)，则有a=

m2+2小，b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b近的式子化为平方式的方

法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

【问题解决】

(1)若a+Zr店=(m+冗面＞，当a、b、九均为整数时.，则a=,

b=.(均用含m、n的式子表示)

(2)若％+4g=(771+7[8)2，且X、772、建均为正整数，分别求出;V、772、71的

值.

（3）【拓展延伸】

化简，5+2乃=・

【答案】⑴m24-5n2；2mn

（2）解：（m+nV3）2=m2+2y/3mn+3n2,

**,%+473=（m4-nV3）2=m2+2y/3mn+3n2,

.（2mn=4

**tm2+3n2=x'

又♦.“、m.ri均为正整数，

m=1（m=2

n=2或九=1,

I%=13\x=7

即TH=1,几=2,%=13或巾=2,n=l,x=7;

（3）V2+V3

24.阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式

子的平方，如3+2&=（1+四）2,善于思考的小明进行了以下探索：

设a+=（m+&九7（其中a、b^m、n均为正整数），则有Q+V^b